2021中考数学热点题型专练反比例函数含解析
热点08 反比例函数
【命题趋势】
1．反比例函数解析式的确定；
2．反比例函数中k的几何意义；
3．反比例函数与一次函数结合,根据图象解答相关问题．
【满分技巧】
一、反比例函数的图象及性质
利用图象解决问题,从图上获取有用的信息,是解题的关键所在．已知点在图象上,那么点一定满足这个函数解析式,反过来如果这点满足函数的解析式,那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起,是分析解决问题的一种好方法．
二、反比例函数的图象与几何图形的关系
1．常见的有：（1）双曲线与三角形的关系；（2）双曲线与四边形的关系；（3）双曲线与圆的关系；（4）两条双曲线之间的关系．
2．在平面直角坐标系中与几何图形相联系时,通常要构造一个三角形,以坐标轴上的边为底,相对顶点的横坐标（或纵坐标）的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边,则用坐标轴将其分割后求解．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．在反比例函数y=﹣6
x
图象上的点是
A．（﹣2,3）B．（4,﹣2）C．（6,1）D．（2,3）【答案】A
【解析】A．把x=﹣2代入y=﹣6
x
得：y=﹣
6
2-
=3,即A项正确,
B．把x=4代入y=﹣6
x
得：y=﹣
63
42
=-≠﹣2,即B项错误,
C．把x=6代入y=﹣6
x
得：y=﹣
6
6
=﹣1≠1,即C项错误,
D．把x=2代入y=﹣6
x
得：y=﹣
6
2
=﹣3≠3,即D项错误,
故选A．
2．对于反比例函数6
y x
=-,当10x -<时,y 的取值范围是
A ．6y
B ．60y -≤<
C ．06y <
D ．6y <-
【答案】A 【解析】∵k =–6<0, ∴6
y x
=-的图象在第二象限上,y 随x 的增大而增大, ∴1
0x -<时,∴6y ．
故选A ．
3．若点A （﹣1,y 1）,B （2,y 2）,C （3,y 3）在反比例函数y =的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是 A ．y 3 【答案】C 【解析】∵点A （﹣1,y 1）,B （2,y 2）,C （3,y 3）在反比例函数y =的图象上,∴y 1= =﹣6,y 2==3,y 3==2,又∵﹣6<2<3,∴y 1 y x =- ,下列结论错误的是 A ．y 随x 的增大而减小 B ．图象位于二、四象限内 C ．图象必过点()2,4- D ．当10x -<<时,>8y 【答案】A 【解析】在反比例函数y =–8x - 中, ∵k =–8<0,∴在每个象限内,y 随x 的增大而增大,故选项A 错误； ∵k =–8<0,∴图象在二,四象限内,故B 选项正确； ∵–2× 4=–8,∴图象必经过（–2,4）,故C 选项正确； ∵k =–8<0,每一象限内,y 随x 的增大而增大,当–1 2k x -的图象位于第一、第三象限,则k 的取值范围是 6 x 6x 6 1 -6263 A ．k <2 B ．k >﹣2 C ．k <﹣2 D ．k >2 【答案】A 【解析】∵y = 2k x -的图象位于第一、第三象限, ∴2﹣k >0,k <2． 故选A ． 6．如图,一次函数y 1=k 1x +b 1与反比例函数2 2k y x =的图象交于点A （1,3）,B （3,1）两点,若y 1 A ．x <1 B ．x <3 C ．0 D ．x >3或0 【答案】D 【解析】一次函数图象位于反比例函数图象的下方, 由图象可得当x >3或0 2 x 经过Rt △OAB 的直角边AB 的中点P ,则△AOP 的面积为 A ． 12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】B 【解析】∵双曲线y = 2 x 经过P , ∴S △ABP = 2 k 丨丨 =1, ∵P 为AB 边上的中点, ∴S △AOP =S △ABP =1, 故选B ． 8．如图,矩形ABCD 的边AB 在x 轴上,反比例函数(0)k y k x =≠的图象过D 点和边BC 的中点E ,连接DE ,若△CDE 的面积是1,则k 的值是 A ．3 B ．4 C ． D ．6 【答案】B 【解析】设E 的坐标是m n k mn =（，），，, 则C 的坐标是（m ,2n ）, 在mn y x = 中,令2y n =,解得：2 m x =, ∵1CDE S =△, ∴ 1122m n m -=,即1122 m n ?=, ∴4mn =, ∴4k =, 故选B ． 二、填空题 10．已知反比例函数 k y x =（k为常数,0 k≠）的图象位于第二、第四象限,写出一个符合条件的k的值为 __________． 【答案】–1（答案不唯一） 【解析】∵比例函数 k y x =（k为常数,k0 ≠）的图象位于第二、第四象限, ∴k<0,∴k可以为–1, 故答案为：–1（答案不唯一）． 11．已知反比例函数y= 6 k x - 的图象在每一象限内y随x的增大而增大,则k的取值范围是__________． 【答案】k<6 【解析】∵反比例数 6 k y x - =的图象在每一象限内y随x的增大而增大, ∴k﹣6<0,解得k<6．故答案为：k<6． 12．如图,已知直线y=2x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y=k x （x>0）的图象交于点C, 过点C作CD⊥x轴于点D,若OA=AD,则k的值为__________． 【答案】4 【解析】∵直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点, ∴A （1,0）,B （0,﹣2）, ∴OA =1,OB =2, 在△OBA 和△DCA 中,90OAB DAC AOB ADC OA AD ∠=∠?? ∠=∠=???=? , ∴△OBA ≌△DCA , ∴AD =OA =1,CD =OB =2, ∴C （2,2）, ∵点C 在y =k x 上, ∴k =4． 故答案为：4． 13．如图,A 、 B 两点在双曲线y =5 x 上,分别经过A 、 B 两点向坐标轴作垂线段,已知S 阴影=2,则S 1+S 2=__________． 【答案】6 【解析】根据题意得S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=5, 而S 阴影=2,所以S 1=S 2=3, 所以S 1+S 2=6．故答案为：6． 三、解答题 14．已知反比例函数3y m x =- 和一次函数y =kx ﹣1的图象都经过点P （m ,﹣3m ）． （1）求点P 的坐标和这个一次函数的解析式； （2）若点M （a ,y 1）和点N （a +1,y 2）都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质,说明y 1大于y 2． 【解析】（1）将点P （m ,﹣3m ）代入反比例函数解析式可得：﹣3m =﹣3, 即m =1,故P 的坐标（1,﹣3）, 将点P （1,﹣3）代入一次函数解析式可得：﹣3=k ﹣1,故k =﹣ 2, 故一次函数的解析式为y=﹣2x﹣1． （2）∵M、N都在y=﹣2x﹣1上, ∴y1=﹣2a﹣1,y2=﹣2（a+1）﹣1=﹣2a﹣3, ∴y1﹣y2=﹣2a﹣1﹣（﹣2a﹣3）=﹣1+3=2>0, ∴y1>y2． 15．如图直线y1=–x+4,y2=3 4 x+b都与双曲线y= k x 交于点A（1,m）,这两条直线分别与x轴交于B,C两点． （1）求k的值； （2）直接写出当x>0时,不等式3 4 x+b> k x 的解集； （3）若点P在x轴上,连接AP,且AP把△ABC的面积分成1∶2两部分,求此时点P的坐标． 【解析】（1）把A（1,m）代入y1=–x+4,可得m=–1+4=3,∴A（1,3）, 把A（1,3）代入双曲线y=k x ,可得k=1×3=3． （2）∵A（1,3）, ∴当x>0时,不等式3 4 x+b> k x 的解集为：x>1． （3）y1=–x+4,令y=0,则x=4, ∴点B的坐标为（4,0）, 把A（1,3）代入y2=3 4 x+b,可得3= 3 4 ×1+b,∴b= 9 4 , ∴y2=3 4 x+ 9 4 , 令y=0,则x=–3,即C（–3,0）, ∴BC=7, ∵AP把△ABC的面积分成1：2两部分, ∴CP=1 3 BC= 7 3 ,或BP= 1 3 BC= 7 3 , ∴OP=3–7 3 = 2 3 ,或OP=4– 7 3 = 5 3 , ∴P（–2 3 ,0）或（ 5 3 ,0）． 16．如图,一次函数y1=kx+b（k,b为常数,k≠0）的图象与反比例函数y2=m x （m为常数,m≠0）的图象相交于 点M（1,4）和点N（4,n）． （1）反比例函数与一次函数的解析式． （2）函数y2=m x 的图象（x>0）上有一个动点C,若先将直线MN平移使它过点C,再绕点C旋转得到直 线PQ,PQ交x轴于点A,交y轴点B,若BC=2CA,求OA·OB的值． 【解析】（1）将点M（1,4）代入y2=m x （m为常数,m≠0）, ∴m=1×4=4,∴反比例函数的解析式为y=4 x , 将N（4,n）代入y=4 x ,∴n=1, ∴N（4,1）, 将M（1,4）,N（4,1）代入y1=kx+b, 得到 4 41 k b k b += ? ? += ? ,∴ 1 5 k b =- ? ? = ? , ∴一次函数的解析式为y=﹣x+5． （2）设点C（a,b）,则ab=4,过C点作CH⊥OA于点H．①当点B在y轴的负半轴时,如图1, ∵BC=2CA,∴AB=CA． ∵∠AOB=∠AHC=90°,∠OAB=∠CAH, ∴△ACH∽△ABO． ∴OB=CH=b,OA=AH=1 2 a, ∴OA?OB=1 2 ab=2． ②当点B在y轴的正半轴时,如图2,当点A在x轴的正半轴时, ∵BC=2CA, ∴ 1 3 CA AB = ∵CH∥OB, ∴△ACH∽△ABO． ∴ 1 3 CH AH CA OB OA AB ===, ∴OB=3b,OA=3 2 a, ∴ 9 18 2 OA OB ab ?==； ③当点A在x轴的负半轴时,BC=2CA不可能．综上所述,OA?OB的值为18或2． 17．如图,直线l：y=x+1与y轴交于点A,与双曲线 k y x =（x>0）交于点B（2,a）． （1）求a,k的值． （2）点P是直线l上方的双曲线上一点,过点P作平行于y轴的直线,交直线l于点C,过点A作平行于x 轴的直线,交直线PC于点D,设点P的横坐标为m． ①若m=3 2 ,试判断线段CP与CD的数量关系,并说明理由；②若CP>CD,请结合函数图象,直接写出m 的取值范围． 【解析】（1）∵直线l：y=x+1经过点B（2,a）, ∴a=2+1=3, ∴B（2,3）, ∵点B（2,3）在双曲线 k y x =（x>0）上, ∴k=2×3=6． （2）①∵点P的横坐标为3 2 ,把x= 3 2 代入y= 6 x 得,y= 6 3 2 =4,代入y=x+1得,y= 3 2 +1= 5 2 , ∴P（3 2 ,4）,C（ 3 2 , 5 2 ）, ∵直线l：y=x+1与y轴交于点A, ∴A（0,1）, ∴D（3 2 ,1）, ∴CP=4﹣5 2 = 3 2 ,CD= 5 2 ﹣1= 3 2 , ∴CP=CD； ②由图象结合①的结论可知,若CP>CD,m的取值范围为0 2 ． 18．模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具．对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下： m 初中反比例函数习题集合（经典） （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1； x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． x y O x y O x y O x y O A B C D 反比例函数知识点及典型例题 反比例函数这一章是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质： 反比例函数 (0)k y k x = ≠ k 的符号 0k > 0k < 图象 性质 ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每 个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠． ②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象 限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． 2、反比例函数与正比例函数(0)y kx k =≠的异同点： 函数 正比例函数 反比例函数 x y O x y O 解析式 (0)y kx k =≠ (0)k y k x = ≠ 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围 全体实数 0x ≠的一切实数 图象的位置 当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限． 当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限． 性质 当0k >时，y 随x 的增大而增大； 当0k <时，y 随x 的增大而减小． 当0k >时，y 随x 的增大而 减小； 当0k <时，y 随x 的增大而增大． 二,、典型例题 例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3 x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y =)0(≠k ， 它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式． 例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填 (正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； 反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析 考点1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B． C．D． 考点2．图象和性质 （1）已知函数是反比例函数， ①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． （2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． 反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题（每空3分，共36分） 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m =______，n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A （m ，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=，其图象在第一、三象限内，则k 的值可为 。 （写出满足条件的一个k 的值即可） 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点（－1，3），如果A (11,b a )，B (22,b a )两点在该双曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b ． 7、函数y=x 2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平 移2个单位后，那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (ｋ≠０)与ｙ＝4x -的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿ （第9题） 9．如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ，x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作 y 轴的平行线，与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则 y 2 005= ． 二、选择题（每题3分，共30分） 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ，A 点的横坐标为－1，则此反比例函数的解析式为（ ） A ．2y x = B ．12y x = C ．2y x =- D ．12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y =x 1 （C ）y = x 2 (D) y = 1x 13、若点（3,4）是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点，则此函数图象必须经过点 （ ）. O x y （第12题） 第10 反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、反比例函数y ＝ x n 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝ x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－ 2 1 ，2） C 、（－2，－1） D 、（ 2 1 ，2） 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝ x k 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）． A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A ． B ． C ． D ． 7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变． ρ与V 在一定范围内满足ρ＝ V m ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）． A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x 1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大 小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 9、已知反比例函数y ＝ x m 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜2 1 D 、m ＞ 2 1 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0或x ＞2 D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）． 13、若反比例函数y ＝x b 3 -和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ． 14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2 － 10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ． 反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由 （6）已知y 与2x －3成反比例，且4 1 =x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式． 反比例函数难题 1、如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P 2、P3…P n都在函数 y=4 x （x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则点A10的坐标为 2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函 数y=k x 的图象上． （1）求AB的长； （2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=k x 的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y= 1 k x 的图象（如 图2），求k1的值； （3）在条件（2）下，直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线 k x 于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由． 1.已知反比例函数y= 2k x 和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式 2k x ＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由． … 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝ x m (m ≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝4 5． (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC 的面积． 反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，52， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，2- (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． 反比例函数的典型例题一 例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y - =；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式， （4），（5）就是这两种形式． 反比例函数的典型例题二 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； (7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）； (9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答： 说明：本题考查了 正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 反比例函数的典型例题三 例 已知反比例函数6 2)2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式． 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6 2)2(--=a x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小， 所以???>--=-.02,162a a 解得???>±=. 2,5a a X Y -9 -8-7-6-5-4-3-2-1 1110987654321 -8-7-6-5-4-3-2-1 9 876543210X Y -9 -8-7-6-5-4-3-2-1 11109876543 21 -8-7-6-5-4-3-2-19 8 7 6 5 4 3 2 1 0反比例函数 一、经典内容解析 1.反比例函数的概念 (1) (k ≠0)可以写成(k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件； (2) (k ≠0)也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k ，从而得到反比例函数的解析式； (3) 反比例函数 的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点. 解析式 x k y = （k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 0≠x 的实数 图 象 图象的性质 双曲线 0k > 0k < 示意图 位置 两个分支分别位于 一、三象限 两个分支分别位于 二、四象限 变化趋势 在每个象限内，y 随x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 对称性 是轴对称图形，直线x y ±=是它的两条对称轴 是中心对称图形，对称中心为坐标原点 3.反比例函数的性质(与正比例函数对比) 函数解析式 正比例函数 y=kx (k ≠0) 反比例函数 (k ≠0) 自变量的 取值范围 全体实数 x ≠0 图 象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 图象位置 (性质) 当k＞0时，图象经过一、三象限；当 k＜0时，图象经过二、四象限. 当k＞0时，图象的两支分别位于一、三 象限；当k＜0时，图象的两支分别位 于二、四象限. 性质 (1) 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. (2) 越大，图象越靠近y轴. (1) 当k＞0时，在每个象限内y随x的 增大而减小；当k＜0时，在每个象限 内y随x的增大而增大. (2) 越大，图 象的弯曲度越小，曲线越平直. 注： (1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论， 不能一概而论. (2) 正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称. (3) 反比例函数与一次函数的联系. 4.反比例函数中比例系数k的几何意义 (1)过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为. (2)过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形 反比例函数难题 1、如图,已知△Ｐ１OＡ1,△P2Ａ1A2，△P３Ａ２A3…△P n Aｎ-1Ａn都是等腰直角三角形，点P1、P 2、P３…Ｐn都在函 2、如图1，矩形ABCD的边BC在ｘ轴的正半轴上，点E(ｍ，１)是对角线BD的中点，点A、Ｅ在反比例函 数y= （１)求ＡB的长; (2)当矩形AＢCＤ是正方形时，将反比例函数y=k x 的图象沿ｙ轴翻折，得到反比例函数y= 1 k x 的图象(如 图2)，求k1的值; （3）在条件（２）下,直线ｙ=-x上有一长为2动线段ＭN，作MH、NP都平行ｙ轴交第一象限内的双曲线 y=k x 于点H、Ｐ，问四边形MＨPＮ能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标;若不能，请说明 理由. 1.已知反比例函数y= 2k x 和一次函数ｙ=2x-1,其中一次函数的图象经过(ａ,b ），（ａ+k ，b+k+2）两点．?(1)求反比例函数的解析式； （2)求反比例函数与一次函数两个交点Ａ、B 的坐标: （３）根据函数图象，求不等式 2k x >2x －1的解集;?（4)在（2)的条件下，ｘ轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在，请说明理由． １．如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (ｋ≠0)的图象与反比例函数y ＝ (ｍ≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝＼f （4，5). (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AO Ｃ的面积. (1)过A 点作AD⊥ｘ轴于点D,∵ｓin ∠AO Ｅ= 错误!未定义书签。,ＯA ＝5， ∴在Ｒｔ△ADＯ中,∵siｎ∠AOＥ＝错误!未定义书签。 =错误!未定义书签。= 4 5, ∴AD＝4,DO=ＯA ２－ＤA2=3,又点A 在第二象限∴点Ａ的坐标为(-3，4）, x m 第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ） 即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0 北师版九年级反比例函数知识点及经典例题 反比例函数 知识梳理 知识点l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x k y =或y=kx -1 （k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零；（2）x k 中分母x 的指数为1，如2 2y x =不是反比例函数。 （3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。 知识点2. 反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数x k y =的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法； （2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。 反比例函数的性质 x k y = )0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是： 当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数x k y =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。 （3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。 重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式x k y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对 反比例函数练习题 一、精心选一选！（30分） 1．下列 函数中，图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（ ） A ．1 y x = B ．1y x -= C ．2y x = D ．2y x -= 2． 反 比例函数2 k y x =-（k 为常数，0k ≠）的图象位于（ ） Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限 Ｃ．第二、四角限 Ｄ．第三、四象限 3．已知 反比例函数y ＝ x 2 k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k ＞2 （B ） k ≥2 （C ）k ≤2 （D ） k ＜2 4．反 比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 5．对于反比 例函数2 y x = ，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 6．反比 例函数 2 2)12(--=m x m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值时（ ） A 、±1 B 、小于 2 1 的实数 C 、－1 D 、1 7．如 图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则（ ）。 A 、S 1＜S 2＜S 3 B 、S 2＜S 1＜S 3 C 、S 3＜S 1＜S 2 D 、S 1=S 2=S 3 8．在同 一直角坐标系中，函数x y 2 - =与x y 2=图象的交点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 9．已知 甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 10．如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、 4 . 反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系． 反比例函数典型例题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 反比例函数的典型例题一 例 下面函数中,哪些是反比例函数？ (1）3x y - =;（2）x y 8-=;（３）54-=x y ;(４)15-=x y ；(5）.8 1=xy 解:其中反比例函数有(2）,(4）,（5)． 说明:判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义,x k y =)0(≠k ,它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式， （4）,(5)就是这两种形式. 反比例函数的典型例题二 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填（正);若成反比例关系，填（反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填（非）. (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ); (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）; (3)圆面积与半径的关系 ( )； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）; (5)三角形底边一定时,面积与高的关系 ( ）; (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）; （7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 ( ); (8)在圆中弦长与弦心距的关系 ( ); （9）x 越来越大时,y 越来越小，ｙ与ｘ的关系 ( ）; （10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 ( ）. 答： 说明:本题考查了正比例函数和反比例函数的定义,关键是一定要弄清出二者的定义． 反比例函数的典型例题三 例 已知反比例函数6 2 )2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式． 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6 2 )2(--=a x a y 是反比例函数,且y 随ｘ的增大而减小, 所以???>--=-.02, 162a a 解得???>±=. 2,5a a 所以5=a ,解析式为x y 2 5-= ． 反比例函数的典型例题四 初中数学反比例函数经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y k x =（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为25，则k 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C 【解析】 【分析】 过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值． 【详解】 过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ， ∵A ，B 两点在反比例函数y k x =（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （ 4 k ，4），B （2k ，2）， ∴AE ＝2，BE 12=k 14 -k 1 4=k ， ∵菱形ABCD 的面积为5 ∴BC×AE ＝5BC 5= ∴AB ＝BC 5= 在Rt △AEB 中，BE ==1 ∴ 1 4 k ＝1， ∴k ＝4． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键． 2．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 3．如图，点A 、B 在函数k y x = （0x >，0k >且k 是常数）的图像上，且点A 在点B 的左侧过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，过点B 作BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ，连结AB 、MN ．若CMN ?和ABC ?的面积分别为1和4，则k 的值为（ ）初中反比例函数经典例题
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