2012年高考数学第一轮复习知识点分类指导

高考数学第一轮复习知识点分类指导

一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.

（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，

}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。

（答：8） （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____

个（答：7）

2. “极端”情况否忘记?=A ：集合{|10}A x ax =-=，{}

2

|320B x x x =-+=，且

A B B = ，则实数a ＝______.（答：10,1,2

a

=）

3.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）

4.运算性质：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，

}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）

5.集合的代表元素：（1）设集合{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则

M N = ___（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),

M a a R λλ==+∈

，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+

，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）

6.补集思想：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一

个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3

(3,)2

-）

7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）

8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若

0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2

≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要

而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1

[0,]2

）

9. 一元一次不等式的解法：已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1

,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

10. 一元二次不等式的解集：解关于x 的不等式：01)1(2

<++-x a ax 。

（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，1

1x a

<<；当1

a =时，x ∈?；当1a >时，1

1x a

<<）

11. 对于方程02

=++c bx ax 有实数解的问题。（1）()()222210a x a x -+--<对一切

R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]2

π

内有两个不等的实

根满足等式cos221x x k =+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）

12.一元二次方程根的分布理论。

（1）实系数方程2

20x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

2

--a b 的取值范围是_________（答：（

4

1

，1）） （2）不等式2

3210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是____（答：?）。

二、函 数

1.映射f : A →B 的概念。

（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在

N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：

12）

2.函数f : A →B 是特殊的映射。若函数422

12

+-=

x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）

3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）

4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数

lg 3y x =

-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；（2）设函数

2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤）

（2）复合函数的定义域：（1）若函数)(x f y =的定义域为??

????2,2

1，则)(log 2x f 的定义

域为__________（答：{}

42|≤≤x x ）；（2）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法―（1）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2

-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大

值，则a 的取值范围是___（答：2

1

-

≥a ）；

（2）换元法（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,

]8

-）；（2

）21y x =++的值域为_____（答：(3,)+∞）

t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；3）s i n c o s s i n c o s y x x x x

=++ 的值域为____

（答：1

[1,2-+）；（4

）4y x =+的值域为____

（答：[14]）；

（3）函数有界性法―求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x

x

y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答：

1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2

-∞）；

（4）单调性法――求1(19)y x x x =-<<，2

29sin 1sin y x x

=++的值域为______（答：

80(0,)9、11

[,9]2

）；

（5）数形结合法――已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2

y

x +及2y x -的取值范围

（答：[33

-

、[）

； （6）不等式法―设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值

范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

（7）导数法―求函数32

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

6.分段函数的概念。（1）

设函数2

(1).(1)

()41)

x x f x x ?+

取值范围是____（答：(,2][0,10]-∞- ）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-

，则不等式

(2)(2)5x x f x +++≤的解集是___（答：3

(,]2

-∞）

7.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法―已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2

1()212

f x x x =

++） （2）配凑法―（1）已知,s i n )c o s 1(2

x x f =-求()

2x f 的解析式___（答

：

242()2,[f x x x x =-+∈）

；（2）若22

1)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =___（答：223x x -+）；

（3）方程的思想―已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2

()33

f x x =--）；

8. 反函数：

（1）函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A 、(],1a ∈-∞

B 、[)2,a ∈+∞

C 、[1,2]a ∈

D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞ （答：D ）

（2）设)0()1(

)(2

>+=x

x

x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：1()1)f x x -=>）

． （3）反函数的性质：

①单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1

x f -的

定义域为??

????a

a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）.

②已知函数13

2)(-+=

x x x f ，若函数()y g x =与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线x y =对

称，求(3)g 的值（答：7

2

）；

③（1）已知函数)24

(

log )(3+=x

x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______（答：1）

； ④已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那

么不等式()12log 1f x -<的解集为________（答：（2,8））；

9.函数的奇偶性。

（1）①定义法：判断函数

y =

____（答：奇函数）。

②等价形式：判断11

()()212

x

f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.

若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31

(f =2，则不等式2

)(log 8

1>x f 的解集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞ ）

④(0)0f =若22

()21

x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.

⑤设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()

()2

f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。①

判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x

x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一

个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1

2

x ）

10.函数的单调性。

（1）若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，已知函数3

()f x x ax =-在区间

[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；

（2）若函数2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；

（3）已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1

(,)2

+∞）； （4）函数()

212

log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

（5）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数

m 的取值范围。（答：12

23

m -<<）

11. 常见的图象变换

①设()2,()x

f x

g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()

h x 的图像由()g x 的

图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________(答： 2()log (1)h x x =--)

②函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)

③将函数a a

x b

y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么

0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：

C)

④函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a

1

得到的。如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：1

2

x =-)．

12. 函数的对称性。

①已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x

x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：2

12

x x -

+)； ②己知函数33

(),()232

x f x x x -=

≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是_______（答：

221

x y x +=-+）；

③若函数x x y +=2

与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---）

13. 函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程

()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义

(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)；（3）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，

若它的最小正周期为T ，则=-

)2

(T

f ____（答：0） （2）利用函数的性质

（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（答：A ）；

（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果

2

3

lg

)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；（3）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数） （3）利用一些方法

（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，

当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <

的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22

π

π

-

- ）；

三、数 列

1、数列的概念：（1）已知*

2()156n n a n N n =

∈+，则在数列{}n

a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：

n a <1+n a ）

；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

A B C D

2.等差数列的有关概念：

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）

首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833

d <≤）

（1）数列 {}n a 中，*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，则1a ＝

＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数

列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*

2*

12(6,)

1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. （4）等差中项

3.等差数列的性质：

（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、1210,S S S 都

小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 （答：B ）

等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225）

（2）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3

41

3-+=

n n T S n n ，那么

=n

n b a ___________（答：

62

87n n --） （3）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：

前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，

200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）

4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数

项之积为120，则1n a +为____（答：

5

6

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝

126，求n 和公比q . （答：6n =，1

2

q =或2）

（3）等比数列的前n 和：（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；

（2）

)(1010

∑∑==n n

k k

n

C

的值为__________（答：2046）

； （4）等比中项：已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大

小关系为______（答：A ＞B ）

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…，

22

,,,,a a

a aq aq q q

...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。 5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）。

（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o g a n a

n x x +=+(*)n N ∈，且12100

100x x x

+++= ，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）；（2）在等比

数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）

若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为-_____（答：－2）

设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若

)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则

{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

6.数列的通项的求法：

已知数列 ,32

1

9,1617,815,413

试写出其一个通项公式：__________（答：1

1

212n n a n +=++

） ①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：{

3,1

2,2

n n n a n ==≥）；②数列{}

n a 满足

12211125222

n n a a a n +++=+ ，求n a （答：{

114,12,2n n n a n +==≥）

数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：61

16

） 已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--111(2)n ≥，则n a =________（答

：

1n a =）

已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a （答：4

(1)

n a n n =

+）

①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）

；②已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11532n n n a -+=- ）

； ①已知1

111,31

n n n a a a a --==

+，求n a （答：132n a n =-）；②已知数列满足1a =1

，

=n a （答：21

n a n =）

数列{}n a 满足11154,3

n n n a S S a ++=+=，求n a （答：{

14,1

34,2n n n a n -==≥ ）

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ

－１，则2

232221n a a a a ++++ ＝

_____（答：41

3

n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，

如2)1101

(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=?+?+?+?，那么将二进制

1

20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：2005

2

1-） （2）分组求和法： 1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- （答：(1)n

n -?）

（3）倒序相加法：①求证：0

1

2

35(21)(1)2

n

n

n n n n C C C n C n +++++=+ ；②已知

2

2

()1x f x x

=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______（答：72） （4）错位相减法：（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，

24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；

②122n n T n +=--）；（2）设函数)1(4)()1()(2-=-=x x g x x f ，，数列}{n a 满足：

12,()n a f a =(n a =-

))(()1++∈N n a g a n n ，①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-

(1)n n a x ++- ，求函数)(x h 在点38=x 处的导数)38(h '，并比较)3

8

(h '与n n -22的大小。

（答：①略；②8()(1)213n h n '=-+

，当1n =时，)3

8

(h '＝n n -22；当2n =时，)38(h '

8

(h '>n n -22） （5）裂项相消法：（1）求和：111

1447(32)(31)n n +++=??-?+ （答：31n n +）；（2）在数列{}n a 中，1

1

++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；

（6）通项转换法：求和：111

112123123n

++++=+++++++ （答：

21n n +） 四、三角函数

1、α的终边与

6π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。（答：Z k k ∈+,3

2π

π） 若α是第二象限角，则2

α

是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB 的周长是6cm ，

该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ）

2、三角函数的定义：（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααc o s s

i n +的值为＿＿。（答：713-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)23

）； 3.三角函数线（1）若08π

θ-<<，则sin

,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：tan sin cos θθθ<<)；（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）；（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的

定义域是_______（答：2(2,2]()33

k k k Z ππ

ππ-+

∈） 4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知53sin +-=m m θ，)2

(524cos πθπ

θ<<+-=m m ，则θt

a n ＝____（答：12

5-）；（2）已知11tan tan -=-αα，则ααα

αc o s s i n c o s 3s i n +-＝____；

2cos sin sin 2++αααy

T

A x

α

B S

O M P

＝___（答：35-

；5

13）；（3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______（答：－1）。

5.三角函数诱导公式（1）97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为________（答：23-）；（2）已知5

4)540sin(-=+α ，则=-)270c o s (

α______，若α为第二象限角，则

=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（答：54-；1003-） 6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值为

12的是 A 、1515sin cos

B 、221212

cos sin ππ- C 、

22251225tan .tan .-

D （答：C ）； （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、

充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；（3）已知

35sin()cos cos()sin αβααβα---=

，那么2cos β的值为____（答：7

25

）；（4）

110sin ______（答：4）；(5)已知0tan110a =，求0

tan 50的值（用a 表示）

，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是

______（答：甲、乙都对）

7. 三角函数的化简、计算、证明

（1）巧变角：（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4

π

α+的值是_____（答：322）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的

函数关系为______（答：43

(1)55

y x x =<<）

(2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin50(1) （答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1

8

）

(3)公式变形使用设ABC ?中，tan A tan B Atan B +，sin Acos A =，

则此三角形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：512

12

[k ,k ](k Z )π

π

ππ-

+

∈）

(5)式子结构的转化（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

+++（答：sin α）；（2）求证：

21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=

--；（3）化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()

44

x x x x ππ-+

-+（答：1cos 22

x ） (6)常值变换主要指“1”的变换已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-（答：35

）.

(7)“知一求二”（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：21

2

t -±)，特别提醒：

这里[t ∈；（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

（答：43

-）；

8、辅助角公式中辅助角的确定：（1）

若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是

______(答：3

2

-)；（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－

2)；（4）求值：=?+?

-?20sin 6420cos 1

20sin 322

2________(答：32) 9、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：

（1）若函数sin(3)6

y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=b ＿（答：

1,12

a b ==或1b =-）；（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[ππ-∈x ）的值域是____（答：

[－1, 2]）；（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____

（答：7；－5）；（4）

函数2()2cos sin()3

f x x x x π

=+-sin cos x x +的最小值是_____，

此时x ＝__________（答：2；()12

k k Z π

π+

∈）；（5）己知2

1

cos sin =

βα，求αβc os s

i n =t 的变化范围（答：1[0,]2

）；（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22

s i n s i n

+=y 的最大、

最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。

（3）周期性： (1)若3

sin )(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝___（答：0）；

(2) 函数4

()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____（答：π）；(3) 设函数

)5

2sin(2)(π

π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小

值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：（1）函数522y sin x π??

=-

???

的奇偶性是______（答：偶函数）

；（2）已知函数3

1f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f()-=______（答：－5）；

（3）函数)c o s (s i n c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k (

,)(k Z )ππ-∈、28

k x (k Z )ππ

=+∈）；（4）已

知f (x )s i n )c o s (x )θθ=++为偶函数，求θ的值。（答：6

k (k Z )π

θπ=+

∈）

（5）单调性：

16、形如sin()y A x ω?=+的函数：

()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2

π

?<

则()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）；

（1）函数2sin(2)14

y x π

=-

-sin y x =的图象？（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4

y x π

=-的图象，再向左平移8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，

最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）；(2) 要得到函数cos()24x y π

=-的图

象，只需把函数sin 2x y =的图象向___平移____个单位（答：左；2

π

）；（3）将函数

72sin(2)1

3

y x π

=-

+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a

；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量

(,1)6

a π=--

）；（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有

四个不同的交点，则k 的取值范围是 （答：）

（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：（1）函数23

y sin(x )π

=-+的递减区间是

______（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-

+∈）；（2）1234x y log cos()π

=+的递减区间是_______（答：336644[k ,k ](k Z )π

πππ-+∈）；（3）设函数)2

2,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f

的图象关于直线3

2π

=x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区

间52[

,]123ππ

上是减函数 C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）；（4）对于函数()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；

②图象关于直线12

x π

=

成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移

3

π

个单位得到；

④图像向左平移12

π

个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距

离为3

π

，那么此函数的周期是_______（答：π）

x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2

π

，而1|2s i n (3)|,|2s i n (3)2|626

y x y x ππ

=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；

ABC ?中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角

三角形）。

（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、

，且A=60 4,a b ==

，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（答：C ）；（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC ?中，

112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____（答：1

2

-

）；(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（答：

60

）；（5）在ABC ?中，若其面积222

S =则C ∠=____（答：30

）；（6）在ABC

?

中，60 1A ,b ==

，则ABC ?外接圆的直径是_______（答：3

）；

（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32

B C

a A +==则= ，

22b c +的最大值为 （答：19

32;）；（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是

（答：06

C π<≤）；（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=

，且

,,AOB BOC COA ???的面积满足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠（答：45 ）．

19.求角的方法（1）若,(0,)αβπ∈，且t a n α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ

+的值______（答：34

π

）；（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______（答：

3

π

）；（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值（答：23

π

）.

五、平面向量

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB

按向量a ＝（－1,3）平移后得

到的向量是_____（答：（3,0））

下列命题：（1）若a b = ，则a b =

。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，

终点相同。（3）若A B D C

= ，则A B C D 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC =

。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c

。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322a b -

）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==-

B. 12(1,2),(5,7)e e =-=

C. 12(3,5),(6,10)e e ==

D. 1213

(2,3),(,)24e e =-=- （答：B ）

；（3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC

可用向量,a b 表示

为_____（答：2433

a b +

）；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→

??→?=DB CD 2，

?→

??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4、实数与向量的积

5、平面向量的数量积：

（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________（答：－9）；

（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b +

等于____；（4）已知,a b 是两个非零向

量，且a b a b ==-

，则与a a b + 的夹角为____（答：30 ）

已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：

5

12

） （1）已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______

（答：43λ<-或0λ>且13

λ≠）；（2）已知OF Q ?的面积为S ，且1=??→??→?FQ OF ，若

2

3

21<

(cos ,si n ),(cos ,si n a x x b y y ==

a 与b

之间有关系式,0ka b kb k +=-> 其中，①用k 表

示a b ? ；②求a b ? 的最小值，并求此时a 与b

的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k

+?=> ；②最小值为

12

，60θ=

） 6、向量的运算：

（1）几何运算：

（1）化简：①

AB BC CD ++=

___；②AB AD DC --=

____；

③()()AB CD AC BD ---=

_____（答：①AD ；②CB ；③0 ）；（2）若正方形ABCD 的边长

为1，,,AB a BC b AC c === ，则||a b c ++

＝_____（答：；（3）若O 是ABC 所在

平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-

，则ABC 的形状为____（答：直角三角

形）；（4）若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足

0P A B P C P ++= ，设||

||

AP PD λ= ，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120 ）；

（2）坐标运算：（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈

，则当λ

＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：

1

2

）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6

π

或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123F F F F =++

的

终点坐标是 （答：（9,1））

设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB = ，3AD AB =

，则C 、D 的坐标分别是__________（答：

11

(1,),(7,9)3

-）

； 已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。（1）若x ＝3

π

，求向量、的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-

，函数x f ?=λ)(的最大值为2

1

，求λ的值（答：1

(1)150;(2)2 或1）；

已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60

，那么|3|a b + ＝_____；

如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是

这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e

分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆

心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）22

10x y xy ++-=）；

7、向量的运算律：下列命题中：① →

→→

→→

→

→

?-?=-?c a b a c b a )(；② →

→

→→

→→

??=??c b a c b a )()(；

③ 2

()a b →

→

-2

||a →

=2

2||||||a b b →

→

→

-?+；④ 若0=?→

→b a ，则0=→

a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ?=? 则

a c = ；⑥22a a = ；⑦2a

b b

a

a

?=

；⑧222()a b a b ?=? ；⑨222()2a b a a b b -=-?+ 。其中正确的

是______（答：①⑥⑨）

(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==

，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已

知(1,1),(4,)a b x ==

，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设

(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===

，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）

(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-= ，若OA OB ⊥ ，则m = （答：3

2

）；（2）以原点

O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：

(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b =

向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________ （答：

(,)(,)b a b a --或）

10.线段的定比分点：

若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为_______（答：7

3

-）

（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→

--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7

(6,)3

--）；

（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线12

y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB = ，则a 等于

_______（答：２或－４）

11.平移公式：（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a

把点(7,2)-平移到点______

（答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→

a 平移后，所得函数的解析式是

12cos +=x y ，则→

a ＝________（答：)1,4

(π

-

）

12、向量中一些常用的结论：

若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24

(,)33

-

）； 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足

=?→

?OC ?→

??→

?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）

六、不等式 1、不等式的性质：

（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①2

2,bc ac b a >>则若；

②b a bc ac >>则若,22；③2

2,0b ab a b a >><<则若；④b

a b a 1

1,0<<<则

若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b

a c a

b a

c ->->>>则若,0；

⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；

2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当

01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4

3

x =时，

1+3log x ＝2log 2x ）

3. 利用重要不等式求函数最值

（1）下列命题中正确的是A 、1y x

x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2

C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-

D 、23(0)y x x x

=-->的最小值是

2-C ）；（2）若21x y +=，则24x y

+的最小值是______（答：；（3）正数

,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______（答：3+； 4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：[)9,+∞）

5、证明不等式的方法：

（1）已知c b a >>，求证：2

22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，

求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11

,x y a b

>>，求证：

x y x a y b

>

++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222

a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。（答：{|1x x ≥或

2}x =-）

；（2）不等式(0x -≥的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x > 的解集为____（答：(,1)[2,)-∞+∞ ）；（4）要使满足关于x 的不等式0922

<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式

08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是_____.（答：81

[7,

)8

） 7.分式不等式的解法：（1）解不等式

25123

x

x x -<---（答：(1,1)(2,3)- ）；

（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集为____________（答：),2()1,(+∞--∞ ）.

8.绝对值不等式的解法：解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞ ）；若不等式

|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。（答：4

{}3

）

9、含参不等式的解法：（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是_____（答：1a >或2

03

a <<）；

（2）解不等式

2

()1

ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1

{|0}x x a

<<或0}x <）；（3）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不

等式02

>+-b

ax x 的解集为__________（答：（－1,2））

11.恒成立问题（1）设实数,x y 满足22

(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围

是______（答：)

1,+∞）；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a

的取值范围_____（答：1a <）；（3）若不等式)1(122

->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成

立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））；（4）若不等式n

a n n 1)1(2)1(+-+<-对

于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：3[2,)2

-）；（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：1

2

m >-）（6）

已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >）

七、直线和圆

1、直线的倾斜角：（1）直线023co s =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：

5[0][)66，，πππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）

2、直线的斜率： (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x

y

的最大值、最小值分别为______（答：

2

,13

-） 3、直线的方程：（1）经过点（2，1）且方向向量为v

=(－1,3)的直线的点斜式方程是

___________（答：12)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管

m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）

；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >）

过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：

（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合（答：

－1；

1

2

；31且m m ≠≠-；3）；（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490x y +-=）；（3）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（答：12a -<<）；（4）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++= 与sin sin 0bx B y C -+= 的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____（答：平行）；（6）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是________（答：43401x y x +-==和）

7、到角和夹角公式：已知点M 是直线240x y --=与x 轴的交点，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360x y +-=）

8、对称（1）已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与

点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_______（答：(,)b a ）；（2）已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是___________（答：

0bx ay c ++=）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是_________（答：3y=3x ＋）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x 510y -=＋）

；（5）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：29650x y +-=）；（6）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______

（答：。

9、简单的线性规划： 已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________（答：(][)31∞∞ －，－，＋）

（1）线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件

{||1||1

x y ≤≤下，取最小值的最优解是____（答：

（－1，1））；（2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（答：

23

t >

）；（3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数y x ,满足20

40250x y x y x y -+≥??+-≥?--≤??，则|42|-+=y x z 的最大值_________（答：21）

10、圆的方程：

（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（答：22(1)1x y ++=）

；（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；（3）

已知(1P -是圆

{

cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，P 点对应的θ值

为_______，过P 点的圆的切线方程是___________（答：22

4x y +＝；23

π

；40x +=）；

（4）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____

（答：[0，2]）；（5）方程x 2+y ２

－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：2

1

（6）若{

3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，若

φ≠N M ，则b 的取值范围是_________

（答：(

－）

11、点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２

＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______（答：13

1

||<

a ） 12、直线与圆的位置关系：（1）圆1222

2=+y x 与直线sin 10(,2

x y R π

θθθ+-=∈≠

k π+，

)k z ∈的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线30ax by +-=与圆22

410x y x ++-=切

于点(1,2)P -，则ab 的值____（答：2）；（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=

所截得的弦长等于 （答：）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则A ．//m l ，且l 与圆相交 B ．l m ⊥，且l 与圆相交 C ．//m l ，且l 与圆相离 D ．l m ⊥，且l 与圆相离（答：C ）；（6）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。①求证：对m R ∈，直

线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60

或120

③最长：1y =，最短：1x =）

13、圆与圆的位置关系

双曲线22

221x y a b

-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别

以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）

14、圆的切线与弦长：

设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为__________（答：22(1)2x y -+=）； （2）弦长问题： 八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10

21=+PF PF D ．122

2

2

1

=+PF PF （答：C ）；（2）方程

28=

表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是

_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程

（1）椭圆：（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：

11(3,)(,2)22

--- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2

2y

x +

的最小值是___2）

（2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于2

5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲

线的方程_______（答：2

214

x y -=）

；（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

2013届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系

第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.

∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C

(典型题)高考数学二轮复习-知识点总结-统计与统计案例

统计和统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1． 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差：

s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. 4． 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5． 独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 则K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样

高考数学知识点分类指导复习

高考数学知识点分类指导一 一、集合与简易逻辑 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. （1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =， }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个 2. “极端”情况否忘记?=A ：集合{|10}A x ax =-=，{} 2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______. 3.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 4.运算性质：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ， }5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___. 5.集合的代表元素：（1）设集合{|M x y == ，集合N ＝{} 2|,y y x x M =∈，则 M N =___； （2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____ 6.补集思想：已知函数12)2(24)(2 2 +----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正 确的是____ 8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若 0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是 偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（2）设命题p ：

2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc

9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b

B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直

高三数学第一轮复习教案(1)

第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.

高考数学集合专项知识点总结

高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。

高考数学复习：重要知识点梳理

高考数学复习：重要知识点梳理经过几轮的复习后，广大考生在备战高考数学时，还有哪些知识点、重要章节、重要技能没有掌握呢？为大家梳理高考数学复习的重点内容，以及高考考查的重要解题能力，供同学们参考复习。 首先，复习中要突出九大重点章节，即函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线方程、立体几何、概率与统计、导数等。 其次，高考解题，考生必须具备18种技能。这18种技能分别是：1.函数图像的变换技能。2.函数单调性、奇偶性的判断技能。3.图表的阅读技能。4.数列求和技能。5.代数式的配凑技能。6.三角式的恒等变形技能。7.平面向量的运算技能。 8.空间图形和平面图形（特别是空间角和距离）的处理技能。 9.直线与圆锥曲线的位置关系问题的探究技能。10.概率运算技能。11.可导函数的单调性、极值，以及单峰函数的最大值最小值的判断技能。12.不等关系的放缩技能。13.合情推理技能。14.数据处理与信息处理技能。15.心算与估算技能。 16.列举正例、反例的技能。17.研究设计技能。18.分类与整合技能。 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话 空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的

成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 第三，在高考中贯彻的数学思想需要同学们时刻牢记。平时在复习中要注意题目中蕴涵的数学思想，主要包括：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、有限与无限的思想、偶然与必然的思想。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名 家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强 语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作 中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。第四，注意培养五大能力、两种意识。这五大能力分别为：空间想像能力、抽

2013届高考数学第一轮复习教案9.

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、

速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的

2020高考数学第一轮复习全套讲义

第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1. 集 合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___． 【范例解析】 例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=， 可得A B ?. {0,2}

高三数学总复习知识点

1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.

高考数学复习重点知识点汇总

高考数学复习重点知识 点汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学会考复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：解出)(1 y f x -=，y x ,互换，写出)(1 x f y -=的定义 域； 2、对数：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：01log =a ，③、底的对数等于1：1log =a a ， ④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log =， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系： ???≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； （2）、通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） （3）、前n 项和：1．2) (1n n a a n S +=d n n na 2 )1(1-+=（整理后是关于n 的没有常数项的二次 函数） （4）、等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A += 或b a A +=2，三个数成等差常设：a- d ，a ，a+d 3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 （2）、通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） （3）、前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n （4）、等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G =，即a b G =2（或ab G ±=，等比中项 有两个） 第四章 三角函数

数学高考第一轮复习策略

数学高考第一轮复习策略 一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率。 数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮 复习的重中之重。对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，确保基本概念、公式等牢固 掌握。要扎扎实实，对每个知识点都要理解透彻，明确它们要求以及与其他知识之间的联系。 复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思 维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后”，即先预习后听课， 先复习后作业。以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复 习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些 还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学 生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就 是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过 程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可 提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举 一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课 中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。 三、建好错题档案，做好查漏补缺。 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。复习，各类试题要做几十套，甚至更多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析， 然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补 缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。 每次订正试卷或作业时，在做错的试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类： 1、找不到解题着手点。 2、概念不清、似懂非。 3、概念或原理的应用有问题。 4、知识点之间的迁移和综合有问题。

高三数学专题复习知识点

高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

高考数学复习重要知识点归纳

2019高考数学复习重要知识点归纳 第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。 主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性；第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。 第二：平面向量和三角函数。 重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。 第三：数列。 数列这个板块，重点考两个方面：一个通项；一个是求和。 第四：空间向量和立体几何。 在里面重点考察两个方面：一个是证明；一个是计算。 第五：概率和统计。 这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。 这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2019年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。 第七：押轴题。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构

最新高考数学第一轮复习教案1

高三一轮复习 5.4 数列求和 （检测教 师版） 时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名： 一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20 【答案】C 【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4 ＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝ －3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12. 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15， 则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【答案】A 【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 3 5－3 ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1，所以数列???? ??1a n a n ＋1的 前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1 101＝100 101，故选A. 3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n

＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008 ＝( ) A.2 007 2 008 B.2 007 1 004 C. 2 0082 009 D.4 0162 009 【答案】D 【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝ 6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1 a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1 a 2 008＝ 2? ????1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2? ? ? ??1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ， 所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2? ?? ??1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1 a 2 008＝2? ??? ?1－12＋2? ????12－13＋…＋2? ????1 2 008－12 009＝2? ????1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个 【答案】A

2020年高考数学总复习知识点考点重点攻略

高考数学总复习方法建议 高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1．第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”。 大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材）②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。 2．第二轮复习，通常称为“方法篇”。 大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。 同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家务

高考数学总复习知识点

高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.

高考文科数学总复习试题知识点

高三文科数学总复习 集合： 1、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性 2、常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为N 正整数集记为* N 或+N ②整数集记为Z ③实数集记为R ④有理数集记为Q 3、重要的等价关系：B A B B A A B A ??=?= 4、一个由n 个元素组成的集合有n 2个不同的子集，其中有12-n 个非空子集，也有12-n 个真子集 函数： 1、函数单调性 （1）证明：取值--—作差----变形----定号----结论 （2）常用结论： ①若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数 ②增+增=增，减+减=减 ③复合函数的单调性是“同增异减” ④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反 9、函数奇偶性 （1）定义：①)()(x f x f =-，)(x f 就叫做偶函数②)()(x f x f -=-,)(x f 就叫做奇函数 注意：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ②奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ③若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f （2）函数奇偶性的常用结论： 奇 +奇 =奇，偶+ 偶= 偶，奇 *奇 = 偶，偶 * 偶= 偶，奇 *偶 = 奇 基本初等函数 1、（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1 ①负数没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作00=n ③当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n ④我们规定：(1)m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a (2)()01 >= -n a a n n （2）对数的定义：若N a b =,那么N b a log =,其中a 叫做对数的底数,b 称为以a 为底的N 的对数，N 叫做真数 注：（1）负数和零没有对数（因为0>=b a N ） （2）1log ,01log ==a a a （0>a 且1≠a ） （3）将N b a log =代回N a b =得到一个常用公式log a N a N = （4）x N N a a x =?=log 2、（1）①()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0②()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0③()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0 （2）①()N M MN a a a log log log +=②N M N M a a a log log log -=?? ? ??③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a ，利用换底公式推导下面的结论： （1）b m n b a n a m log log = （2）a b b a log 1log = 3、指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质