积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用
【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分
不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。
【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho ..
lder 不等式 Gronwall 不等式
Young 不等式
1 引言
在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2
1
0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计
算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1
'20()f x dx ?），因此我们希
望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.
?
?
≤
2
1
2
1
ln ln xdx x xdx x ，
()()
2
2
()cos ()sin 1b b a
a
f x kxdx
f x kxdx
+≤?
?
都是积分不等
式.
2积分不等式的证明方法
2.1 定义法
我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1
12
00
()()f x dx f x dx ≤
??
.
证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式
n
x x x n
x x x n
n
2
222121
+++≤+++ .
设T 为区间] 1 , 0 [的n 等分.由上述不等式,有∑
∑
==??? ??≤??? ??n
i n
i n
n i f n
n i f 1
21
1 1
. 令∞→n , 注意到函数)(x f 和)(2x f 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 ||x 和x 的连续性，就有积分不等式 1
12
00
()()f x dx f x dx ≤
??
.
例2 设f 在区间[],a b 上连续，()0p x ≥，()0b
a p x dx ≥?，且()m f x M ≤≤，()
h x 在[],m M 上有定义，并有二阶导数''()0h x >，试证明：
()()()(())(
)()()b b a
a
b b a
a
p x f x dx
p x h f x dx
h p x dx
p x dx
≤
??
?
?
.
证 （利用积分和）将[],a b n 等分，记()i i x a b a n
=+
-，()
i i p p x =，()i i f f x =，
1,2,3i =
因为''()0h x >，所以()h x 为凸函数，所以1
1
1
1
()
(
)n n
i i
i i i i n
n
i
i
i i p f p h f h p p ====≤∑
∑
∑
∑
则有11
1
1
()
(
)n
n
i i i i i i n
n
i
i
i i b a b a p f p h f n n
h b a
b a p p n
n
====--≤
--∑
∑
∑
∑
令n →+∞取极限，便得欲证明的积分不等式.
2.2 利用定积分的基本性质
例3 设)(x f 在[],a b 上二次连续可微，()02
a b f +=，试证：3
()
()24
b
a
M b a f x dx -≤
?，
其中''sup ()a x b
M f x ≤≤=.
证 将)(x f 在2a b x +=
处用泰勒公式展开，注意到(
)02
a b f +=，则
'
''
2
1()(
)()()()
2
2
2!
2
a b a b a b f x f x f x ξ+++=-
+
-
，)(x f 的右端第一项在[],a b 上的
积分为0，故
''
2
1
()()()2!
2
b b a
a
a b f x dx f x dx ξ+=
-
?
?''
2
1
()()2
2
b a
a b f x dx ξ+≤
-
?31()|6
2
b
a
a b M x +≤
-
3
()
24
M b a -=
，其中''sup ()a x b
M f x ≤≤=.
例4设函数()f x 在[]0,1连续且递增，证明：对任意()0,1k ∈，有
1
()()k
f x dx k f x dx ≤?
?.
证1 1
10
()()()()()k k
k k
k f x dx f x dx k f x dx f x dx f x dx
??-=+-
????
??
??
?
10
(1)()()k
k
k f x dx k f x dx =-+?? []12(1)()()k k f f ξξ=--
0≥12(1)
k ξξ<<<<其中0,
移项即得.
证2 1
0()()k
f x dx k f x dx ≤??1
()()()k
k
k
f x dx k f x dx k f x dx ?
≤+?
??
1
(1)()()k
k
k f x dx k f x dx ?-≤??或10
11()()1k k
f x dx f x dx k
k
≤
-?
?
但f 在闭区间[]0,1上连续且递增，故
10
11
()()()1k k
f x dx f k f x dx k
k
≤≤
-?
?
，即
10
11()()1k k
f x dx f x dx
k
k
≤
-?
?
成立，原题获证.
2.3 利用重积分证明积分不等式
把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式. 例5 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1b
a f y dy =?，k 为任意实数，求证：
()()
2
2
()cos ()sin 1b b a
a
f x kxdx
f x kxdx
+≤?
?
（*）
证 （*）式左端()cos ()cos ()sin ()sin b b
b b
a a
a
a
f x kxdx f y kydy f x kxdx f y kydy =+???
?
[]()()()b b a
a
dx f x f y cosk x y dy
=-?
?
()()1b b
a
a
dx f x f y dy ≤
=?
?
原式获证.
2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法
例 6 设函数()f x 在[]0,1上有连续二阶导数，(0)(1)0f f ==，()0
f x ≠
（()0,1x ∈），试证：''
10
()4()
f x dx f x ≥?
.
证 因()0f x ≠（()0,1x ∈），故()f x 在()0,1内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在()0,1内，与()0f x ≠矛盾），不妨设()0f x >（0<的情况类似可证），
()0,1x ∈,因()f x 在[]0,1上连续，故存在[]0,1c ∈，使得01
()max ()x f c f x ≤≤=，于是对
任意01a b <<<有
''
''
110
()()()
()
f x f x dx dx f x f c ≥
?
?
1''
''
11()()()()
b a
f x dx f x dx f c f c =
≥
?
?
''
1()()
b a
f x dx f c ≥
?
''
1()()()
f b f a f c =-
下面我们来恰当地选取,a b ，得到所需的估计.注意到(0)(1)0f f ==，应用Lagrange 公式得，
()'
()(0)()0,,()0f c f f c c f c c ξξ-?∈=
=
-； ()'
(1)()(),1,()11f f c f c c f c
c
ηη-?∈=
=-
--.
令,a b ξη==，则''
1
'
'
()1()()()
()
f x dx f b f a f x f c ≥
-?1()
()1()1(1)
f c f c f c c
c
c c =
+
=
--
因为2
11(1)24c c c c +-??
-≤= ???
，所以''
10()14()(1)f x dx f x c c ≥≥-?，获证. 2.5 构造变限积分的方法
对于一个积分不等式，可把常数a 变为变量构造辅助函数()y F x =，再利用函数
()y F x =的性质来证明积分不等式.
例7 设()f x 在[]0,1上可微，且当[]0,1x ∈时，'0()1f x <<，(0)0f =，试证明：
1
1
2
3
00
(())()f x dx f x dx >
??
.
证1 问题在于证明1
1
230
(())()0f x dx f x dx ->??
故令2
30
()(())()x
x
F x f t dt f t dt =-??，因(0)0F =，
故只要证明在(0,1)内有'()0F x >.
事实上，'3
()2()()()x
F x f x f t dt f x =-?
20()2()()x
f x f t dt f x ??
=-????
?
令20
()2()()x g x f t dt f x =-?，故只要证明在(0,1)内有()0g x >，因(0)0g =，故只要证明在(0,1)内有'()0g x >.事实上，
'
'
'
()2()2()()2()(1())
g x f x f x f x f x f x =-=-，
已知(0)0f =，'0()1f x <<（[]0,1x ∈），故(0,1)x ∈时，()0f x >，所以'()0g x >，故'()0F x >.
证2 已知(0)0f =，'0()1f x <<（[]0,1x ∈），故(0,1)x ∈时，()0f x >
所以问题在于证明
1
2
13
(())
1()f x dx f x dx
>??
（*）
令20
()(())x F x f s ds =?，3
()()x
G x f s ds =
?
则（*）式左端（利用Cauchy 中值定理）有
1
2
013
(())
(1)(0)(1)(0)
()f x dx F F G G f x dx
-=
-??
'
'
()()
F G ξξ=
3
2()()()f f t dt
f ξ
ξξ=
?
2
2()()
f t dt
f ξ
ξ=
?
02
2
2()2()()(0)
f t dt f t dt f f ξ
ξ-=
-?
?
'
'
2()11(01)2()()
()
f f f f ηηξηηη=
=
><<<
2.6 其它方法
证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.
3 几个重要积分不等式及其应用
本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨
论它们的证明与应用.
3.1 Schwarz 不等式及其应用
3.1.1 Cauchy 不等式[ 9 ]
对任意n 个数0,1,2,3,i a i n ≥= 恒有2
2
21
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，其中等号当且仅
当i i a b 与成比例时成立.
我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz 不等式. 3.1.2 定理1(Schwarz 不等式)[ 9 ]
dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a ??
?≤
)()())()((2
2
2
,)(),(x g x f 在区间],[b a 上可积，其中等
号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不同时为0）. 证1 将],[b a n 等分，令()i i x a b a n
=+
-，应用Cauchy 不等式得
2
2
2
1
1
1
(()())()()n
n
n
i i i i i i i f x g x f x g x ===≤
?∑∑
∑，则有
2
2
2
1
1
1
1
1
1
(
()()
)()()
n
n
n
i i i i i i i b a b a b a f x g x f x g x n
n
n
n n
n
===---≤
?
∑∑∑
，令n →+∞得
dx x g dx x f dx x g x f b
a b
a
b
a
??
?≤
)()())()((2
2
2
.
证2 利用定积分的性质易知0])()([2
≥-?dx x tg x f b a
，即
0)()()(2)(2
2
2
≥+
-?
??
b
a
b
a
b
a
dx x f dx x g x f t dx x g t
(1)当2()0b a
g x dx =?时，因为()g x 在区间],[b a 上可积，所以2()g x 在区间],[b a 上也可积且非负，故有2()0,g x a e =?于E ，所以()0,g x a e =?于E ，继而有
()()0,f x g x a e =
?于E ，所以有()()0b
a
f x
g x dx =?，命题得证，其中[],E a b =.
(2)当2()0b
a
g x dx ≠?时，上面方程是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：
0)()(4))()((42
2
2
≤-=????b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f ，即：
dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
??
?≤
)()())()((2
2
2
,命题得证.
证3 利用二重积分来证明Schwarz 不等式.
2
2
2
()()(()())
b b
b
a
a
a
f x dx
g x dx f x g x dx -?
??
2
2
2
2
1
1
()()()()()()()()2
2
b b
b b
b b
a a
a
a
a
a
f x dx
g x dx f y dy g y dy f x g x dx f y g y dy
=?+
?-
?????
?
2
2
2
2
1[()()()()2()()()()]2
b b
a a
dy f x g y f y g x f x g x f y g y dx =+-??
2
1
[()()()()]2
b b
a
a
dy f x g y f y g x dx =
-??0
≥
即有dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
??
?≤
)()())()((2
2
2
，由此看出若)(),(x g x f 在区间
],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不
同时为0）.
3.1.2 Schwarz 不等式的应用
应用Schwarz 不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数,f g . 例1 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1b
a f y dy =?，k 为任意实数，求证：
()()
2
2
()cos ()sin 1b b a
a
f x kxdx
f x kxdx
+≤??
（*）
证 （*）式左端第一项应用Schwarz 不等式，得
()()
2
2
()cos ()(()cos )b b a
a
f x kxdx
f x f x kx dx
=
?
?
2
()cos ()b b
a
a
f x kxdx f x dx ≤
?
?
2
()cos b a
f x kxdx =?
同理
()
2
2
()sin ()sin b b a
a
f x kxdx
f x kxdx ≤
?
?
所以
()()
2
2
2
2
()cos ()sin ()cos ()sin b
b b b a
a
a
a
f x kxdx
f x kxdx
f x kxdx f x kxdx +
≤
+
?
?
?
?
()b a
f x dx ≤
?
1=
例2 求证：1
1
1
2
2
2
222((()()))(())(())b
b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx +≤+???,其中)
(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()a f x b g x ≡时成立,,a b 不同时为0.
证 22
2
(()())()()2()()b
b b b
a
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx f x g x dx +=
+
+??
?
?
1
1
2
2
2
2
22
()()2(())(())b b b
b
a
a
a
a
f x dx
g x dx f x dx g x dx ≤
+
+?
?
??
2
11
22
22(())(())b b a a f x dx g x dx ??=+??
??
??
对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.
3.2 Ho ..
lder 不等式及其应用
3.2.1 基本形式[ 1 0 ]
设,0,1,2,3,i i a b i n ≥= ，',k k 为实数，且有'
111k
k
+
=，则
当1k >（从而'1k >）时，1
1
''111n
n
n
k k k k i i i i i i i a b a b ===????
≤? ? ???
??
∑∑∑ 当1,0k k <≠（从而'1k <）时，1
1
'
'1
11
n
n
n
k
k k k i i i i i i i a b a b ===????≥? ? ??
?
?
?
∑∑∑
其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立. 3.2.2 Ho ..
lder 不等式的积分形式[ 1 0 ]
定理 2 设(),()0f x g x ≥，并使得所论的积分有意义，,'0,1k k ≠为共轭实数（即
'
111k k
+=），则
当1k >（从而'1k >）时，()()
1
1'
'
()()()()b
b b k
k k
k a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
≤
??
?
当1,0k k <≠（从而'1k <）时，()()
11'
'
()()()()b
b b k
k k
k a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
≥
??
?
若,f g 连续，则其中的等号当且仅当'
()()k k f x tg x ≡时成立. 证 当1k >（从而'1k >）时，令[,]E a b =.
因为(),()0f x g x >，所以'
()0,()0b
b
k k a
a
f x dx
g x dx ≥≥??，
(1)若()0b
k a
f x dx =?，又()0f x ≥，则()0k f x ≥，所以(),k f x a e =?于E ，故
(),f x a e
=?于
E
，所以有
()
()
f x
g x a e =?于E ，故
()()(b a
E
f x
g x dx f x g x dx =
=?
?
，原式得证.同理'
()0b
k
a
g x dx =?时，原式可证.
（2）若()0b
k a
f x dx ≠?，'
()0b
k a
g x dx ≠?，
令()
1()
()()k
k
E
f x x f x dx
?=
?
，()
'
'
1()
()()k
k
E
g x x g x dx
ψ=
?
，因为有'
'
k
k A B AB k
k
≤
+
（此式见
本文第13页例8）,令(),()A x B x ?ψ==，则得
'
'
()
()
()()k
k
x x x x k
k ?ψ?ψ≤
+
'
'
'
'
()()()()k
k
k k E
E
f x
g x k f
x dx
k
g x dx
=
+
??
所以'
11()()1E
x x dx k
k
?ψ≤
+
=?，()()
'
1
1()()
1()()E
k
k
k
k
E
E
f x
g x dx f x dx
f x dx
?
≤?
?
?
()()
1
1'
'
()()()()b b b k
k k
k a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
?
≤
?
?
?
.
当1,0k k <≠（从而'1k <）时，因'(1)0k k k +-=，则
()
()
'
'
1(1)
()()()()()()
k
b b b
k
k
k k k k k
a
a
a
f x dx f x g
x dx f x g x g
x dx -+-=
=
?
?
?
()
1'
()(()())()k
b b
b k k
k a
a
a
f x dx f x
g x dx g x dx
-?
≤?
???
()()
()()
'
1
11
1'
'
()()()()()()k b b b b b k
k
k
k
k
k k
k a
a
a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
f x dx
g x dx
-?
≥
=
?
?
?
?
?
所以有()()
11'
'
()()()()b
b b k
k k
k a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
≥
??
?
.
在上述两种情况中，等号当且仅当'
()()k k f x tg x ≡时成立. 3.2.2 Ho ..
lder 不等式的应用 例3 试证明：3
sin cos 20
(0)4
x
x
xa
dx a
dx a π
π
π
-?≥
>??.
证 令2
x t π
=+
，sin cos 20
x
t
xa
dx a
dt π
π
π
=??
于是sin cos cos cos 2
220
x
x
t
x
xa
dx a
dx a
dt a
dx
π
π
π
π
π
--?=????
?
2
cos cos 222
t t a dt ππ-??≥ ???
?24ππ=?3
4π=
例5 设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1
'20()1f x dx ≥?.
证 在Ho ..
lder 不等式中取'2k k ==，则
()()()
1
1
11112
2
2
'2
'2
2
()()1f
x dx
f
x dx
dx
=
?
?
?
?
1
1
'
'
1()()f x dx f x dx ≥
?=
=?
?
(1)(0)1f f -=
故有1
'20
()1f x dx ≥?
3.3 Gronwall 不等式及其应用
3.3.1 Gronwall 不等式[2]
定理3 设k 为非负常数，(),()f t g t 为区间[],a b 上的连续非负函数，且满足不等式 ()()()t
a
f t k f s
g s ds ≤+?，[],t a b ∈，则有()()exp
()t a
f t k
g s ds ≤?，[],t a b ∈.
证1 当0k ≠时，令()()()t a t k f s g s ds ?=+?，则()t ?在[],a b 上恒正且可导，则
'
()()()()()t f t g t g t t ??=≤，则
'
()()()
t g t t ??≤'
()()()
t t a
a
s ds g s ds s ???
≤
?
?
，
ln ()ln ()()t a
t a g s ds ???-≤
?
()()exp
()b a
f t k
g s ds
?≤?
；
当0k =时，()()()t a
f t f s
g s ds ≤
?
，[],t a b ∈
ε?>，()()()t
a
t f s g s ds ?ε=+?，则有()()exp
()t a
f t
g s ds ε≤?
由ε的任意性知，()()00exp ()t a
f t
g s ds ≤=??，原式得证.
证2 令()()()t a
t f s g s ds ?=
?
， ()()exp ()t a
t g s ds ψ=-?
则()0a ?=，()1a ψ=且()t ?在[],a b 上可导，'()()()(())()t f t g t k t g t ??=≤+
'
()()()()t t g t kg t ???-≤'
()()()()()()t t g t t kg t t ??ψψ???-≤??
对上式两边取积分得，'
()()()()()()t
t a
a
s s g s s ds kg s s ds ??ψψ??-≤
????
()()0()()exp(())t
a
t t k t k t k k g s ds ?ψψ??-≤-+?≤-+?
()()exp(())exp(())t t
a
a
f t t k k k k
g s ds k g s ds ??≤+≤-+=??，原式得证.
3.3.2 Gronwall 不等式的应用
下面我们来看一下Gronwall 在证明一阶线性微分方程的惟一性时的应用. 例 6 设积分方程0
0(,())x
x
y y f y d ξξξ=+?在区间[]00,x x h +上存在连续解，且
(,)f x y 关于y
满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y k y y -≤-，证明这个连
续解()x ?是惟一的.
证 设此方程还有一连续解()x ψ.现在取00()x y ?=，构造皮卡逼近函数序列如下：
0001()()(,())x n n x x y x y f d ??ξ?ξξ
-=???
=+??
?
，[]00,x x x h ∈+，1,2,3n =
则0
0()(,())x
x x y f d ?ξ?ξξ=+?，0
0()(,())x
x x y f d ψξψξξ=+?
()()(,())(,())x x x x x x f d f d ?ψξ?ξξξψξξ
-=
-
?
?
0(,())(,())x x f f d ξ?ξξψξξ
≤
-?
()()x x k d ?ξψξξ
≤
-?
应用Gronwall 不等式得()()0x x ?ψ-≤，则有()()x x ?ψ≡，即连续解()x ?是惟
一的.
3.4 Young 不等式及其应用
著名的不等式还有很多，我们不准备一一介绍，最后，我来绍一个在证法上有特点的Young 不等式. 3.4.1 Young 不等式[ 1 0 ]
定理4 设()f x 递增，连续于[)0,+∞，(0)0f =，,0a b >，1()f x -表示()f x 的反函数，则1
()()a
b
ab f x dx f
y dy -≤
+
?
?
，其中等号当且仅当()f a b =时成立.
该式从几何上看上要分清楚的.因积分等于曲边梯形的面积，可能发生的三种情
况，如下图所示，这时0
()a OABO f x dx S =?，10
()b
OCEO f y dy S -=?，O AD EO ab S =，其中
O C EO S 表示图形O C E O
的面积.
y=f(x)
(1)x y B,C,D
O
E(b)
A(a)y=f(x)
(2)x
y
C
D
O
E(b)
A(a)B
y=f(x)
(3)
x
y
C
O
E(b)
A(a)
B
D
()b f a = ()b f a < ()b f a >
证 0
1我们证明()
1
00
()()()a f a f x dx f
y dy af a -+=??
①
因为()f x 递增，连续于[]0,a 上，故1
f -递增，连续于[]0,()f a 上.故①式有意义.
将[]0,a n 等分，记分点为0120n x x x x a =<<<<= ，相应的点为()i i y f x =，（1,2,3,i n = ）构成[]0,()f a 上的一个分划：0120()n y y y y f a =<<<<= ，因为()f x 在[]0,a 上连续，故在[]0,a 上一致连续.故n →+∞时，对于分划
0120()n
y y y y f a =<<<<= 来讲，有
11111max max ()max (()())0i i i i i n
i n
i n
y y y f x f x --≤≤≤≤≤≤?=-=-→()n →+∞，故
()1
1
10
1
1
()()lim ()()n
n
a f a i i i i n i i f x dx f
y dy f x x f
y y ---→∞
==??
+
=?+
???
??
∑∑
?
?
()1
1111lim
()()(())()()n
i
i
i i i i n i f x x
x f
f x f x f x ----→∞
=??=-+-??
∑
()1111lim
()()()()n
i
i
i i i i n i f x x
x x f x f x ---→∞
==-+-????
∑
[]111
lim
()()n
i
i
i i n i f x x
x f x --→∞
==-∑
[]00lim ()()n n n f x x x f x →∞
=-
()0(0)()af a f af a =-?=， ①式获证.
2由①式可知，若()b f a =，则1
()()a
b
ab f x dx f
y dy -≤
+
?
?
中等号成立.
3
若0()b f a <<，则由f 的连续性知，存在()00,x a ∈，使得0()f x b =，于是
000
()1
1
00
()()()()()a b x a f x x f x dx f
y dy f x dx f x dx f
y dy
--+
=
+
+
?
?
?
?
?
000
()
1
(()())()x f x a x f x dx f
y dy f x dx
-=+
+
?
?
?
00000()()()()f x a x f x x af x ab >-+==
4()b f a >时，只要把f 看作是1
f
-的反函数，就可由03的结论得到.
5
联系02，03，0
4可知定理成立.
3.4.2 Young 不等式的应用
例7 证明当,1a b >时，不等式1ln a ab e b b -≤+成立.
证 令()1x f x e =-，则f 单调递增且连续，1()ln(1)f y y -=+ 因,1a b >，应用Young 不等式可得1
1
1
(1)(1)()()a b a b f x dx f
y dy -----≤
+
?
?
?1
ln a ab e
b b -≤+.
例8 设,0a b >，1p >，
111p
q
+
=，试证：p
q
a
b
ab p
q
≤
+
.
证 设1()p f x x -=，则f 单调递增且连续，11()q f x y --= 因1p >，应用Young 不等式可得1
()()p
q
a b a
b
ab f x dx f
y dy p
q
-≤
+
=
+
?
?
，且等号当
且仅当()f a b =即p q a b =时成立。原式获证.
4 积分不等式的应用
4.1 求含积分的数列或函数的极限
设收敛数列()n a f n =或()y f x =是一个有关定积分的数列或函数，若它不容易算出来，此时我们就可以借助两个积分不等式来估计它，再应用数列或函数的夹逼原则即可以得出它的极限.
例1求（1）20
lim
sin n
n xdx
π
→∞
?
；（2）10
lim 1n
n x dx x
→∞
+
?
解 （1）任意0ε>（不妨设
02
π
ε>>）
222
2
22
0sin sin sin n
n
n
xdx xdx xdx π
π
ε
π
π
ε
-
-
≤
=
+
?
?
?22
20
2
2
sin (
)12
2
n
dx dx
π
ε
π
π
ε
π
ε
-
-
≤
-
+
??
?
(
)sin (
)2
2
2
22
n
π
ε
π
ε
ε
≤-
-
+
因为0sin(
)122
π
ε
<-
<，所以(
)sin (
)0()
2
2
2
2
n
n π
ε
π
ε
-
-
→→+∞
故存在0N >，使得n N >时，()sin (
)2
2
2
2
2
n
π
ε
π
ε
ε
-
-
<
所以()sin (
)2
2
2
2
2
n
π
ε
π
ε
ε
ε
-
-
+
<
故2
lim
sin n
n xdx π
→∞
?
=0.
（2）因110
100()1
1n
n
x dx x dx n n x
≤
≤
=
→→+∞++
?
?
，所以10
lim
1n
n x dx x
→∞
+
?
=0.
例2 设f 严格递减，在[]0,1上连续，(0)1,(1)0f f ==，试证：任意()0,1δ∈，
都有1
()lim
0()n
n n
f x dx f x dx
δδ
→∞
=??
.
证 因为
f 严格递减，0()()2f f δ
δ<<，所以()0()
()2n
f n f δδ??
?→→+∞ ? ???
故对任意固定的()0,1δ∈有
1
1
1
2
20
()()()0()()()2
n
n
n
n
n
n f x dx
f x dx
f dx f x dx
f x dx
f dx δδδ
δδ
δ
δδ≤
≤
≤
????
?
?
()10()()22n
f n f δδ
δδ?? ?-≤?
→→+∞ ? ??? 所以1
()lim
0()n
n n
f x dx f x dx
δδ
→∞
=??
.
4.2 估计积分
对于一个定积分()a
b
t f x dx =
?
，若它不易求出，而又要用.到它的一些性质时，我
们往往用另外两个定积分来逼近它，或找一个接近它的定积分作为它的估计值. 例3估计下列各式
（1） 1212
arctan xdx -?；（2）2
1
x
e
dx -?；
（3）1
12
,1
n x
dx n Z x x -+
∈-+?
解 （1）因为()arctan f x x =在11,22??
-????上有界，即11,22x ??
?∈-????
，有()2f x π
≤，
所以
1
2
12
arctan 2
xdx π
-≤
?
.
（2）因为2
()x f x e -=在[]0,1上是单调递减的，故(1)()(0)
f f x f ≤≤，[]0,1x ∈，即
1()1f x e
≤≤，所以
2
10
11x
e
dx e -≤
≤?
.
（3）令2()1f x x x =-+，则[]0,1x ∈时，3 () 14
f x ≤≤，所以
1
111
2
11
()
n n x
dx x
dx x x f η--=
-+?
?
1()
nf η=
（(0,1)η∈），故
1
12
141
3n x
dx n
x x n
-≤
≤
-+?
下面我们来看下积分估计在某些例题中的应用. 例4．设
f 在0,2π??
????
上连续，220
()sin ()cos 0
f t tdt f t tdt π
π
=
=??
，试证：f 在0,
2π?
?
??
?
内至少有两个零点. 证 若f 在0,
2π?
?
???
内无零点，
因f 连续，f 在0,2π?
?
??
?
内恒保持同号，
则()0f x >（或0
<），则得到估计20
()sin 0f t tdt π
>?（或0<），这与已知条件矛盾.可见f 在0,
2π?
?
??
?
内至少有一个零点0x 0,
2π?
?
∈ ???
. 若f 除0x 外在0,
2π??
??
?
内再无零点，则f 在()00,x 与0(,)2
x π
内分别保持不变号.
若f 在此二区间符号相异，则0()sin()f x x x -在()00,x 与0(,)2
x π
内恒正（或恒负），
则200
()sin()0f x x x dx π
->?（或0<），但由已知条件
222000000
()sin()cos ()sin sin ()cos f x x x dx x f t tdt x f t tdt πππ
-=?-??
?
?
=矛盾.若
f
在此二区间符号相同，则0()cos()f x x x -在()00,x 与0(,)2
x π
内恒正（或恒负），
同样可推出矛盾.故f 在0,
2π??
??
?
内至少有两个零点.
例5设f 在[]0,1连续，1
0()0k x f x dx =?，0,1,2,,1k n =- ，1
0()1n x f x dx =?，
求证：在[]0,1的某一部分上()2(1)n f x n ≥+.
证 由已知条件，对任意a ，恒有1
0()()1n x a f x dx -=?.
假设在[]0,1处处都有()2(1)n f x n <+.若能选取恰当的a ，由此得出估计
10
()()1n
x a f x dx -
，便找到了矛盾.事实上，取12
a =
，有
110
11
()()2(1)2
2n
n n
x f x dx n x dx -
<+-?
?
11
2102
11
2(1)()()122n
n
n
n x dx x dx ??=+-+
-
=???
?
??证毕.
4.3 证明不等式
例6．证明不等式 n n
n ln 1 1211 )1ln(+<+
++
<+
证 考虑函数 , 2 , 1 , 1 , 1
)(=+<≤=n n x n n
x f , ) , 1[ , 1
)(∞+∈=x x
x g .
易见对任何n ,在区间] 1 , 1 [+n 上)(x g 和)(x f 均单调,因此可积,且有
)(x g ≤)(x f ,注意到)(x g ≡
/)(x f ,就有1
1
1
1()()n n g x dx f x dx ++<
??
.而
1
1
11
1
1
1
1()()n
n
n
n i i i
i
i i i dx f x dx f x dx i
i
+++======∑
∑
∑
??
?
,
1
1
1
1
1
1
()ln |ln(1)n n n dx g x dx x n x
+++===+?
?
，
因此有 12
11 1 )1ln(1
n
i
n n
i +
++
=<+∑= .
取 , 2 , 1 , 1 , 1
1)(=+<≤+=
n n x n n x f , )
, 1[ , 1)(∞+∈=
x x
x g .
在区间] 1 , 1 [+n 仿以上讨论, 有1
1
()()n
n
g x dx f x dx >
??
. 而
1
()ln n g x dx x =?，1
1
1
1
1
1
11111()
1
1
2
3
n n n
i i
i i f x dx dx i i n
--+=====+++++∑
∑
??
，
?
n n
ln 1 12
11+<+
++
.
综上所述 ,有不等式n n
n ln 1 1211 )1ln(+<+
++
<+ .
例7试证：1212n
n
n
n
n n n n n n -????????
++++< ? ? ? ?????????
.
证 由定积分定义有：
10
1211101
n n n
n
n x dx n n n n
n ??-??????++++?<
=
?? ? ? ?+???????????
1211n n n
n n n n n n -??????
?+++< ? ? ?
+??????
所以有121121n n n n
n n n n n n n n ??-????????
++++<+
+????????
???? . 4.4 一阶线性微分方程的存在惟一性定理
考察微分方程的初值问题：
00
(,)|x dy
f x y dx y y ?=???=?
(1) 设(,)f x y 在2R 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件
1212(,)(,)f x y f x y k y y -≤-
则问题⑴有满足初始条件的惟一解.
证 问题(1)等价于积分方程00()(,())x
x y x y f t y t dt =+?的求解.取0δ>，使得
1
k δ<.考虑连续函数空间[]
00,C x x δδ-+，定义映射：
()()(,())x x T y x y f t y
t d t =+?， 显然[][]0000:,,T C x x C x x δδδδ-+-+ ，且
[]0
0121
2(,)m ax
(,())(,())x
x x x Ty Ty f t y t f t y t dt
δ
ρ-≤=-
?
0012m ax
(,())(,())x x x x f t y t f t y t dt δ
-≤≤-? 0
012m ax
()()x x x x k y t y t dt δ
-≤≤-?
0120m ax ()()x x k y x y x x x δ
-≤≤--
12(,)k y y ρδ≤12(,)k y y δρ=
由于1k δ<，故T 是压缩映射.由Banach 压缩映射原理，T 有惟一不动点
[]00(),y x C x x δδ∈-+，使得0
0()(,())x x y x y f t y t dt
=+
?
这个()y x 是连续可微的，它就是问题(1)的惟一解.但它仅限定义于[]00,x x δδ-+上，
重复利用Banach 压缩映射原理，可将它延拓到整个数轴上去. 4.5 Volterra 型线性积分方程解的存在惟一性
引理[6] 设X 是完备距离空间，:T X X →，如果存在正整数0n ，使得0
n T 为压缩
映射，则T 存在惟一不动点.
考察Volterra 型线性积分方程：()()(,)()x
a x f x k x y y dy ?λ?=+? （2）
其中()f x 在区间[],a b 上连续，而(,)k x y 在正方形,a x b a y b ≤≤≤≤上连续，则对于任意λ，方程（2）恒有惟一连续解. 证 利用上述引理来证明结论成立.
令[],X C a b =，()()(,)()x
a T x f x k x y y dy ?λ?=+?
显然:T X X →，任取12,X ??∈且有
[]1212()()(,)()()x a
T x T x k x y y y dy
??λ
??-=-?
12()m ax ()()a y b
M x a y y λ??≤≤≤--
12()(,)M b a λρ??≤- 其中,m ax (,)a x y b
M k x y ≤≤=
[]22
1212()()(,)()()x a
T x T x k x y T y T y dy
??λ
??-=-?
2
212(,)()x
a
M y a dy λρ??≤-?
2
2
2
12()
(,)2
b a M λρ??-≤
归纳易知，一般地有
1212()()()(,)!
m
m
m
m
m
b a T x T x M
m ??λ
ρ??--≤
从而1212(,)m ax ()()m m m m a x b
T T T x T x ρ????≤≤=-
12()(,),1,2,3!
m
m
m
b a M
m m λ
ρ??-≤=??????
由于级数0
!
m
n u
m ∞
=∑
对任u 都收敛，故可取一正数m ，使得()1!
m
m
m
b a M
m λ
-<
于是此m 可视为引理中的0n ，所以m T 为压缩映射，于是T 有惟一不动点，即方程（2）在[],C a b 有惟一解.
5 小结
本文将几种常见的证明积分不等式的方法列出，并不是就能解出所有的积分不等式问题，目的在于能举一反三，碰到相同的题型可以用文中所提到的方法，碰到没见过的题型应该仔细思考，认真分析，反复琢磨，以便能化为熟悉的类型而把题目解出来．另外，有些题可用多种方法求解，应认真分析各种方法的利弊，思索用最简单的方法来求解．
参考文献：
[1]华东师范大学数学系. 数学分析（上）[M]. 北京：高等教育出版社，2001. [2]王高雄等. 常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社, 2005.
[3]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社, 1993. [4]李贤平. 概率论基础[M]. 北京：高等教育出版社, 1997. [5]Beckenbach E F,Bellman R.Inequalities.Springer-V erlag 1983 [6]李国祯. 实分析与泛函分析引论[M]. 北京：科学出版社, 2004.
[7]钱珮玲等. 数学思想方法与中学数学[M]. 北京：北京师范大学出版社, 1997.
[8]孙清华. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M]. 华中科技大学出版社, 2003.
[9]胡克. 解析不等式的若干问题[M]. 武汉大学出版社, 2007.
[10]匡继昌. 常用不等式[M]. 济南：山东科学技术出版社, 2004.
[11]Hardy G H,Littlewood J E,Pólya G..Inequalities,2nd Edition.Cambridge University,1952
积分不等式的若干证明技巧
题目：积分不等式的若干证明技巧 学院：数学科学学院 专业班级：数学07－4实验班 学生姓名：努尔艾拉.阿西木 指导教师：塔实甫拉提副教授 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处
目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献： (11) 致谢 (12)
积分不等式的若干证明技巧 摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。 关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
使用定积分巧妙证明一类和式不等式
使用黎曼和巧妙证明一类和式不等式 摘要：借助黎曼和几何意义得到一类和式不等式的巧妙证明方法：考虑通过图像看出逼近定积分的过程中产生的一系列黎曼和总是大于或小于定积分值，从而建立黎曼和与定积分的不等关系，而和式又常常就是黎曼和，这样便建立了和式和定积分的不等关系，和式不等式便得以简化。 使用黎曼和精确放缩特性做加强命题：通过取出某些项使其不参与定积分的放缩来加强不等式。 关键词：定积分，黎曼和，和式不等式，证明与加强。 对于和式不等式，由于其变幻较为复杂，构造较为精巧，通常不易证明。针对一类有特殊特征的和式不等式，除了使用通常的构造、不等式放缩以外，还可以用黎曼和巧妙证明，从而免去繁杂的构造和放缩，使其证明更加简洁优美。 黎曼和：对一个在闭区间[,]a b 有定义的实值函数f ，f 关于取样分割0,,n x x 、01,,n t t - 的黎曼和 定义为以下和式： 直观地说就是以标记点i t 到x 轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积，它是求积分时在过程的中间形态，当n →+∞，矩形宽0→，则黎曼和就接近于定积分值。 例一（2012天津高考理科数学，20，第（3）问）证明12 2ln(21)21 n i n i =<+-∑（ ）- *()n N ∈ 分析：本题作为第三小题，原解答使用了第二问的结论，进行构造颇为繁琐，若撇开前两问， 单对此不等式分析，发现12 ln(21)221 n i n i =?<++-∑ 原式，左边是分式的累加，右边是对数函数，联想到1ln ||dx x C x =+?,因而一个简洁的证明就是取2 21 i -的不足黎曼和 证明：1 1 1 2 22 2121n n i dx i i ++=>--∑ ?由于 ……① 112222212121 n n i dx i n x +=∴+<-+-∑ ? 222 ln(21)2121 n i n i n =∴+<+-+∑ 222ln(21)22121 n i n i n =∴++2<++-+∑ 122ln(21)22121n i n i n =+<++-+∑即，舍去 221n + 即证得12ln(21)221 n i n i =<++-∑
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
几类定积分不等式的证明
万方数据
万方数据
几类定积分不等式的证明 作者：王阳， 崔春红 作者单位：河北农业大学中兽医学院,河北定州,073000 刊名： 和田师范专科学校学报 英文刊名：JOURNAL OF HOTAN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)：2009，28(3) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.白银凤微积分及其应用 2001 2.刘连福.许文林高等数学 2007 3.詹瑞清高等数学全真课堂 2003 4.沈燮吕.邵品宗数学分析纵横谈 1991 相似文献(10条) 1.期刊论文杜红敏.Du Hong-min浅谈定积分在不等式证明与因式分解中应用-中国科教创新导刊2009,""(3) 定积分是高中新课程体系中一个新增加的重要内容,很多教师在该部分内容的教学时都与高中其他知识点割裂开未,殊不知,定积分在高中阶段解题中具有广泛的应用,本文以定积分在不等式证明和因式分解中应用为例,探讨定积分在高中解题中的应用. 2.期刊论文陈欢定积分的一个不等式及其应用-福州大学学报(自然科学版)2003,31(6) 线性是定积分最重要的性质之一,在此基础上定性地分析了形如gfn的函数的定积分的随着n的变化趋势,得到一个定理,并利用这个定理重新证明了Holder不等式. 3.期刊论文嵇国平.Ji Guoping定积分在不等式上的应用-常州师范专科学校学报2003,21(2) 不等式的证明是中学教学的一个重要内容,同时也是一个数学难点.由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中,用定积分方法解决不等式证明已成为可能. 4.期刊论文张惠玲.ZHANG Hui-ling定积分中不等式性质的研究-西安航空技术高等专科学校学报2009,27(3) 关于不等式的性质结论中等号成立的问题,在定积分中,进行了研究与探讨,并举例说明了它的应用. 5.期刊论文冯其明含∑nk=1f(k/n)的不等式的一种证法-高等数学研究2003,6(4) 利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含∑nk=1f(k)/(n)的不等式. 6.期刊论文侯晓星.HOU Xiao-xing含定积分的不等式证明-泰州职业技术学院学报2005,5(4) 定积分不等式的证明是常见的一种题型.通过对典型例题的分析,利用换元法将被积函数转化为非负函数,或将定积分不等式视为数值不等式,再利用函数的单调性等,论述了含定积分的不等式证明的一般规律及求证方法. 7.期刊论文程仁华.李丽定积分的定义与某些重要不等式的推广应用-景德镇高专学报2004,19(4) 本文通n个正数的调和平均值、几何平均值、算术平均值及k次幂平均值的关系,并利用定积分的定义和连续函数极限的性质推导出函数的上述四种平均值之间的类似关系. 8.期刊论文沈凤英.孙存金.SHEN Feng-ying.SUN Cun-jin Schwarz不等式及旋转体侧面积的计算问题-苏州市职业大学学报2006,17(4) 文章应用Schwarz不等式的知识,给出了旋转体侧面积计算公式的一个新颖的证明,并同时指出用定积分计算旋转体侧面积时应该避免发生的错误. 9.期刊论文林银河关于Minkowski不等式的讨论-丽水师范专科学校学报2003,25(5) 在有关定积分不等式中,Minkowski不等式占有重要地位.将<数学分析>中提到的Minkowski不等式推广到更加一般的情形,从而改进已有的结论. 10.期刊论文刘放不等式(1/n+1+1/n+2+…+1/2n)2《1/2的六种不同证法-宜宾学院学报2003,6(6) 给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/5011861016.html,/Periodical_htsfgdzkxxxb-hwb200903135.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：05ca550e-ea59-4c55-8af2-9da600b00ff2，下载时间：2010年7月 1日
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
积分不等式的证明及应用论文
广西科技大学毕业论文 题目：积分不等式的证明及应用 英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院 所在专业：信息与计算科学 学号：200900901071 作者姓名：朱伟 指导老师：张明俊 二零一三年五月
摘要 积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。 【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式
Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/5011861016.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/5011861016.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/5011861016.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
定积分不等式
第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来： （1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的： （i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则?? ≤b a b a dx x g dx x f )()( . （ii ）? ?≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| . （iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则?? ≤b a d c dx x f dx x f )()(. (iv)(柯西不等式)??? ≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ 222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分 ? π 20 2sin dx x 的符号 分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2 sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2 x t =，把积分变为 dt t t dx x ?? =ππ 2020 2 sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分 的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解：令2 x t =，则 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin ＝ +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 对上式右端后一积分换元π+=u t 得 ? ? ?+-=+-=π π π π π π 2sin sin sin dt t t du u u dt t t 从而 =? π 20 2sin dx x -= ?π0sin (21dx t t )sin 0 ? +π π dt t t
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分 不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2 1 0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计 算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1 '20()f x dx ?），因此我们希 望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x ， ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等 式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限
1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法 摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词：定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a ． 证明：由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续， 故 由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?,
显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? （将b 换成x ）， 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f ＞0，∴ 02) () ()()(≥-+x f t f t f x f ， 又a 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，34 基本不等式的证明(1)