等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算
知识点：
一．等差数列 1．等差数列基本概念
⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．
⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即
2
x y
A +=
． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)
22
n n n a a n n S na d An Bn +-=
=+=+． 1．等差数列通项公式的推导：
2132121n n n n a a d a a d
a a d a a d
----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：
1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．
由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：
1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++
++-，
把项的顺序反过来，可将n S 写成：
()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+
+--，
将这两式相加得：
11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++
++=+，
从而得到等差数列的前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+． 二．等比数列
1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．
2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．
3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即
2G xy =．
两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．
1．等比数列通项公式的推导： 由等比数列的定义知：
3124123
21
,,,,,n n n n a a a
a a
q q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11
n n
a q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m n
m
a q a -=．
一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算
{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）
解：1994500a a S S S +=?=?=.选B.
{}1845184518451845
2.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）
答案：B.
3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值
答案：2,50a k ==
7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若
844S S =，则10a =（ ）
（A ） 172 （B ）19
2
（C ）10 （D ）12 答案：B
7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )
A.3
B.4
C.5
D.6 解：有题意知
==0，∴=－
=－（-）=－2，
=
-=3，
∴公差=-=1，∴3=
=－，∴
=5，故选C.
2.将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．
4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数
列，则（ ） A.
B.
B.C. D.
（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a
（A ）100
（B ）99
（C ）98 （D ）97
解：由等差数列性质可知：()
195
959929272
2
a a a S a +?=
=
==，故53a =， 而108a =，因此公差105
1105
a a d -=
=- ∴100109098a a d =+=．故选C ．
4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解：45113424a a a d a d +=+++=
6165
6482
S a d ?=+
= 联立求得11
272461548a d a d +=???
+=??①
② 3?-①②得()211524-=d
624d = 4d =∴.选C
3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )B
A ．2
B ．3
C ．2-
D ．3-
4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若
2
12n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）
A ．42n +
B ．4n
C ．21n +
D ．2n
4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．12
9. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.
310n a n =-
C. 228n S n n =-
D. 2
122
n S n n =
- 解：由题知，415
14430
245d S a a a d ?
=+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，故选A ．
18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．
（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．
由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．
因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=
. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．
14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10
5
S S =________.4
14．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.
15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231
22
n S n n =
+，则5a = ．14
6. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于
（ A ）
A ．3
B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题
1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[]09.0=，[]26.2=．
解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得12
1,5
a d ==，
所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??
=????
，
当n=1,2,3时，23
12,15n n b +≤
<=； 当n=4,5时，23
23,25n n b +≤<=；
当n=6,7,8时，23
34,35n n b +≤<=；
当n=9,10时，23
45,45
n n b +≤<=，
所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=.
17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中
[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．
（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 解： ⑴设的公差为，，
∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则
． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，．
∴．
（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.
解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得11
2512,
72149.a d a d +=??+=?
{}n a d 74728S a ==44a =41
13
a a d -=
=1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++???+[][][]121000lg lg lg a a a =++???+0lg 1n a <≤129n =???，，
，1lg 2n a <≤101199n =???，
，，2lg 3n a <≤100101999n =???，
，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =?+?+?+?=
解得11=a ，2=d ， 所以12-=n a n .
（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ， 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;
当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .
所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=?+?+?+?.
③与其他内容结合
4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为
4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥????=+=-+++≤??≤+≤??解答案为
二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算
1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9
a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）
答案：B
3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为
答案：332n n a -=?
364714.,36,18,,____2
n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中
答案：9n =
13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：6
7.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84 答案：B
12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C
5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=
A ．7
B ．5
C ．-5
D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，
所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =
或2x =-。若474,2a a ==-
，则可得18,a q =-=110817a a +=-+=-；若
472,4a a =-=
，则可得11,a q ==110187a a +=-=-。
{}{}16342
23432
5.(1)11,(2),(3)9
24,,,.39n n a a a a a a a a a +=?=+（二星）等比数列同时满足下列三个条件：三个数依次成等差数列试求数列的通项公式
答案:11
23
a q ==，
}{n a 4
1
1=a )1(4453-=a a a =2a 218
1
3．（二星）(全国Ⅱ理)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a ＝＋，59a ＝，则1a ＝ ( )
A ．13
B ．13-
C ．19
D ．19
-
解：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，
而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.
∵q ≠1时，S 3＝31(1)
1a q q
--＝a 1·q ＋10a 1，
∴311q q --＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝1
9
.
14.（二星）（全国2文）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______
解：显然公比1≠q ，设首项为1a ，则由0323=+S S ，得q
q a q q a --?-=--1)
1(31)1(2131，即
04323=-+q q ，即0)1(4)1(4422223=-+-=-+-q q q q q q ，即0)44)(1(2=++-q q q ，
所以0)2(4422=+=++q q q ，解得2-=q .
{}{}252
2
1
6.,6,162(1)(2) 1.n n n n n a a a a S S S ++==?<（三星）已知数列为等比数列，
求数列的通项公式；证明
答案：（1）123n n a -=?（2）提示：使用换元.
{}7.,2211,342411,.
n a n n （三星）已知由正数组成的等比数列若前项和等于它前项中的偶数项之和的倍第项与第项之和为第项与第项之积的倍求数列的通项公式
152521
1
9.{},||1,-8,,.(2)
.(2)
.(2)
.(2)
n n n n n
n
a a a a a a a A B C D --==>=------（三星）等比数列中则
5111211011::(2),.
00
2:|;0,.
n n a a a a A a q q a C D a B A ->==?????∴=-???<<=-???∴>∴解法一易得选法二|=1，，错误又易知错误，故选 所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是a n =12-n 和a n =13-n ,n =1,2,3,…
12.（四星）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n
S 是
公差为d 的等差数列，求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）. 解：由题意知：0d >，
21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=
，2213)]2),d a d -=+
化简，得：2211,a d d d a d -+===
22(1),n d n d nd S n d =+-==，
当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形. 故所求2(21)n a n d =-
8.(0),(0),80,54,26560;
a a q q n n a q >>（四星）等比数列首项公比前项和为其中最大的一项为又它
的前项和为，求和
(1)(1)n d n d =-=
-
222221352413524135248.{}()()4,()()36,()+()________________.
n a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++=+++=（三星）在等比数列中,则
52255111135242
(1())(1())(1)364,36,()+()9.1()114
a q a q a q a a a a a q q q ----==∴+++===----解：
19.（三星）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞
=++
+，
则q = .
解：223111011a a q a q q q q q ==?+-=?=
--，∵01q <<
，∴12q =
（3）已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列,则的值是（ A ）
（A
（B ）
（C ）
（D ）
17.（二星）设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)
521n a a -+（*N n ∈）.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2
132a a a =.
因为1238a a a =，所以3
2
8a =，解得22a =. 因为()2135213n n S a a a a -=++++，
所以213S a =，即1213a a a +=. 因为22a =，所以11a =.
{}n a 3541
2a ,a ,a 3546a a a a ++
因为等比数列{}n a 的公比为2
1
2a q a =
=， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.
（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =， 所以()111n n a q S q
-=
=
-122112
n
n -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2n n n ?-. 所以123n T b b b =+++
1n n b b -++
(23122232=?+?+?)2n n +
+?-()123n +++
+.
设23122232n P =?+?+?2n n ++?. 则2321222n P =?+?+41322n n +?+
+?.
所以(1232222n n P n +=?-++)422n +++=()1122n n +-+.
因为123+++
()12
n n n ++=，
所以()112n n T n +=-()
122
n n ++-
. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()
122
n n ++-.
14．（2017全国3卷理）设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________.
解：由题意可得：()()12
11113a q a q ?+=-??-=-?? ，解得：112a q =??=-? ，则3
418a a q ==-
17．（2018全国3卷理）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整
数解．若，则．由得，解得．综上，．
14. （2019全国1卷理）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
14
613
a a a ==，，则S 5=____________．
解：设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以
325
11(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55
15
1
(13)
(1)12131133
a q S q --===--．
18．（2019全国2卷文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得
22416q q =+，即2280q q --=．
解得2q =-（舍去）或q =4．
因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=?=．
（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=．
5．（2019全国高考3卷理）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且
{}n a q 1n n a q -=424q q =0q =2q =-2q =1(2)n n a -=-12n n a -=1
(2)
n n a -=-1(2)3
n
n S --=63m S =(2)188m -=-12n n a -=21n n S =-63m S =264m =6m =6m =
a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（ ）C A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2
②与函数结合
10．（三星）设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、，都有
，若，（），则数列的前项和的取值范围是（ ）
.
.
. .
解：是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、， 都有，，（）
则数列的前项和的取值范围是。
③与不等式结合
11.（四星）设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式. 解：（Ⅰ）由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0,故解得d =－2,a 1=20.
()f x R x ∈y R ()()()f x f y f x y =+11
2
a =
()n a f n =n *∈N {}n a n n S A 1,22??
????
B 1,22??
????
C 1,12??????
D 1,12??
??
??()f x R x ∈y R ()()()f x f y f x y =+11
2
a =()n a f n =n *∈N 11(1)(1)()2n n a f n f f n a +=+==11[1()]
12
21()1212
n n n S -?==--{}n a n 1
,12??????
因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n ,n =1,2,3…
（Ⅱ）由1411177,0,6S a a ≤??
>??≥?得
11121311,100,6a d a d a +≤??+>??≥? 即11121311,2200,212
a d a d a +≤??--
由①+②得－7d ＜11，即d ＞－7
11; 由①+③得13d ≤－1，即d ≤－13
1 于是－7
11＜d ≤－
13
1，又
d ∈Z ,故d =－1④
将④代入①②得10＜a 1≤12.又a 1∈Z ,故a 1=11或a 1=12.
④数学文化题
3.（2017全国2理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 解： 方法一：常规解法
一座7层塔共挂了381盏灯，即7381S =；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即
2q =，塔的顶层为1a ；由等比前n 项和()()1111n n a q S q q
-=≠-可知：()171238112
n a S -=
=-，解得
13a =.
方法二：边界效应
等比数列为递增数列，则有1n n a S +≈，∴87381a S ≈=，解得1 2.9a =，∴ 13a =.
三、等差等比综合
①基本量运算
5．（一星）（全国2文）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ） A ． n （n+1）
B ． n （n ﹣1）
C ．
D ．
解：由题意可得a 42=a 2?a 8，即a 42=（a 4﹣4）（a 4+8），解得a 4=8，
∴a 1=a 4﹣3×2=2，∴S n =na 1+
d=2n+
×2=n （n+1），故选：A ．
{}{}1144101011.(1),,,n n a b d d a b a b a b a d ≠===（二星）等差数列的公差和等比数列的公比都是且，
求实数和的值.
{}{}{}121112.,1,2,(1)(2,0).
(1),:;(2)n n n n n n n n n a a a a q a qa n q b a a b a +-+===+-≥≠=-（三星）数列中且设证明是等比数列求数列的通项公式.
17．（2017全国1卷文）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
解：（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得12
1
(1)2
(1)6a q a q q +=??++=-? ，解得2q =-，12a =-. 故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-.
（2）由（1）可得1
1(1)22()133
1n n n n a q S q +-==--+-. 由于321
2142222()2[()]23133
13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.
17．（2017全国2文）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2a b a b =-=+=.
（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S
.
9．（2017全国3卷理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠，()()()2
232612115a a a d d d =??+=++，
22d d =-，又0d ≠，所以2d =-，()665
612242
S ?=?+?-=-，故选A.
②与函数结合
（15）（三星）（2016全国1卷理）设等比数列}{n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a 21的最大值为 ．
解：由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．
∴2
13113
2411
101055a a a a q a a a q a q ?+=+=?????+=+=???，解得：1812
a q =???=??．
故4
12
n n a -??
= ?
??
，∴()()()
()2
1
174932 (472)
224121
11...222n n n n n a a a ????-+-++----?? ???????
??
???????=== ?
? ???
??
??
当3n =或4时，2
17
49224n ?
?
??
--?? ???????
取到最小值6-，此时2
174922412n ????--?? ???????
??
?
??取到最大值62．
所以12...n a a a ???的最大值为64．
2.（四星）若
是函数
的两个不同的零点，且
这
三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 解：由韦达定理得
，
，则
，当
适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，
．
当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，
，
解得
，
；当
是等差中项时，，解得
，
，
综上所述，，所以
，选D ．
③创新题
4.{},{}(1),(2),(3),
,(),()12_____________.
n n n a m a S S S n S n S n n n m a <=（三星）已知数列共有项记的所有项和为第二项及以后所有项的和为第三项及以后所有项的和为第项及以后所有项的和为若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，
22112
2
:(),(1)(1),
()(1)(1)2 1.
n n m n m n S n a a a n S n a a n a S n S n n n n ++=+++=+=+
+=+=-+=-+=--解则
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算 知识点： 一．等差数列 1．等差数列基本概念 ⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-． ⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即 2 x y A += ． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1) 22 n n n a a n n S na d An Bn +-= =+=+． 1．等差数列通项公式的推导： 2132121n n n n a a d a a d a a d a a d ----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得： 1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-． 由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导： 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-， 把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+ +--， 将这两式相加得： 11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++ ++=+， 从而得到等差数列的前n 项和公式1() 2 n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+． 二．等比数列
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
等差数列基础测试题题库doc
一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211, n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则 n a =（ ） A ．21n - B ．43n - C ．54n - D ．n 2．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 4．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且 713n n S n T n -=，则5 5 a b =（ ） A ． 34 15 B ． 2310 C ． 317 D ． 62 27 5．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ． 43 C ．4 D ．4- 9．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30
等比数列基本量运算
2018年7月29日高中数学作业 1．已知等比数列满足，则（） A. 243 B. 128 C. 81 D. 64 2．已知数列是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和为（）A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 3．正项等比数列中，，，则的值是 A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4．已知等比数列的前项和为,若，则=（） A. 2 B. C. 4 D. 1 5．已知等比数列中，，，则 A. 4 B. －4 C. D. 16 6．在等比数列中，已知，，则（） A. B. C. D. 7．数列为等比数列，若，，则为（） A. -24 B. 12 C. 18 D. 24 8．已知等比数列中，,则=( ) A. 54 B. -81 C. -729 D. 729 9．已知等比数列的公比，其前项的和为，则（） A. 7 B. 3 C. D. 10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则公比为（） A. B. C. D. 11．等比数列的前项和为，已知，则等于（） A. 81 B. 17 C. 24 D. 73 12．等比数列{a n}中a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝( )
A. 33 B. 72 C. 84 D. 189
13．数列 中， ， （ ），则 （ ） A. B. C. D. 14．等比数列中，，，的前项和为（ ） A. B. C. D. 15．等比数列中， ，则数列的公比为（ ） A. 2或-2 B. 4 C. 2 D. 16．已知 为等比数列， ， ，则（ ） A. 5 B. 7 C. -7 D. -5 17．等比数列 中， ，则 等于( ) A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4 18．已知等比数列中，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 19．在等比数列中， ， ，则公比等于（ ）． A. B. 或 C. D. 或 20．已知等比数列 满足 ，则的值为 A. 21 B. 32 C. 42 D. 170 21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=， 142a a +=，则58a a +=（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 22．己知数列 为正项等比数列，且 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则 的值为__________． 24．已知等比数列 的前项和为，若 ，则__________． 25．已知正项等比数列 的前项和为，.若 ，且．则=________．
数列基本量运算
等差、等比数列基本量的运算法宝 典例解析： 题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2，则S 2 013的值为( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
跟踪训练 1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数 的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1 a n ＋1－a n ＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比 数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列； ③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n 2 n }的前n 项和．
数列常见数列公式(很全)
常见数列公式 等差数列 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式： 或=pn+q (p、q是常 数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=－② d=③ d= 4．等差中项：成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n项和公式 6.等差数列的前项和公式 （1）（2）（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用：当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n 的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n 的值 （2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 等比数列 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比数列的通项公 式:，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q， 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性： 当q>1, >0或0
一轮等差数列基本量练习题
等差数列基本量计算练习 1．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= A ．26 B ．27 C ．28 D ．29 2．已知等差数列{}n a 中，15123456a a a a a a a +=++++=，则（ ） A ．106 B ．56 C ．30 D ．15 3．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ ）． A ．100 B ．40 C ．20 D ．12 4．设等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于（ ） A 、60 B 、45 C 、36 D 、18 5．若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A ．1 B ．53 C ．2 D ．3 7．在等差数列{}n a 中，若4681012240a a a a a ++++=，则91113a a - 的值为（ ） A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 8．已知等差数列{}n a 中，70,10161514134321=+++=+++a a a a a a a a ，则数列前16项的和等于（ ） A ．140 B ．160 C ．180 D ．200 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 10．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- ， 则它的公差为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3- 11．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 12．已知等差数列的前n 项和为n S ，若,0,01213>数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算
数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算 一．解答题（共40小题） 1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且， （1）求数列{a n}的通项公式； （2）令，求数列{b n}的前n项和． 2．已知数列{a n}前n项和， （1）求数列{a n}的通项公式 （2）求数列{|a n|}的前20项和T20； 3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若b n＝a n?2n，求数列{b n}的前n项和T n． 4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m （1）求{a n}和{b n}的通项公式 （2）求数列{a n?b n}的前n项和Q n 5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式； （2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n； 6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n． 7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足． （1）求a1，a2，a3的值； （2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n； 8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式； （2）证明：当n≥2时，． 9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且． （1）求数列{a n}的通项公式；
等差数列与等比数列的基本运算
一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②
等差等比数列基本量刘秋杏含详解
数列—等差等比数列基本量运算 1．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则 10S =___________. 【答案】100 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得 317 125,613a a d a a d =+=?? =+=?得11 ,2a d =??=? 101109109 101012100.22 S a d ??∴=+ =?+?= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键. 2．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?，
解得11,2 a q =?? =?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133 14 a S == ，，则S 4=___________． 【答案】5 8 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知22 3111314S a a q a q q q =++=++= ，即2 104 q q ++=. 解得1 2 q =-， 所以4 41411() (1)521181()2 a q S q -- -= ==---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算3 343431315 ()428 S S a S a q =+=+= +-=，避免繁分式计算． 4．【2019年高考江苏卷】已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==， 则8S 的值是__________． 【答案】16 【解析】由题意可得：()()()25811191470 98 9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=? ??=+=?? ， 解得：152 a d =-?? =?，则8187 840282162S a d ?=+=-+?=. 5．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763 44 S S ==,，则 8a =___________． 【答案】32 【解析】当1q =时，显然不符合题意；
数列基本量计算
等差等比的基本计算练习 1.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = . 2.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和， 若125,,a a a 成等比数列，则8S = . 3.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，则131211a a a ++______=. 4.在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______ 5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1，若11a =，且对任意的* n ∈N ，都有2120n n n a a a +++-=， 则5S = . 6.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= 7.已知等比数列}{n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列}{n a 的通项公式n a = . 设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____ 8.设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111==b a ，342b a a =+，342a b b =，分别求出数列{}n a 和{}n b 的前10项和10S 及10T 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21231n n a a --??? ??? 的前n 项和.
等差数列基本量及等差中项的计算
等差数列基本量及等差中项的计算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（ ） A ．18 B ．30 C ．36 D ．45 2．在等差数列{}n a 中，143,24a a ==，则7a = A ．32 B ．45 C ．64 D ．96 3．在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 4．在等差数列{}n a 中，若3691215120a a a a a ++++=，则12183a a -的值为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 5．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 6．等差数列{}n a 中，若243,7a a ==，则6a =( ) A ．11 B ．7 C ．3 D ．2 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4=52，S 10=15，则a 7=（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．2 8．已知等差数列{a n }中，若a 4=15，则它的前7项和为（ ） A ．120 B ．115 C ．110 D ．105 9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，且S 10=4，则a 3+a 8=（ ） A ．2 B ．35 C ．45 D ．25 10．已知数列{a n }是等差数列，a 4+a 7+a 10=15，则其前13项的和是 A ．45 B ．65 C ．91 D ．195 11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2834a a +=，438S =，则1a =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1+a 3=6，S 4=16，则a 4= A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
全国高考数学数列真题汇总
2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 111111324 3 3(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+ ?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+ =+=，联立11 2724 ,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=， 即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6 项的和为（ ）
数列基础练习题
博文教育专用试题 数列基础练习 1．已知等差数列 的公差为 ，若 成等比数列，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2．已知等差数列 中，若 ，则它的前 项和为（ ） A. B. C. D. 3．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 A. 35 B. 42 C. 49 D. 63 4．设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则 A. B. C. D. 5．在等差数列 中，已知 ，则 （ ） A. 38 B. 39 C. 41 D. 42 6．数列{}n a 为等比数列，且21a =，公比2q =，则4a =（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7．在正项等比数列{}n a 中，若1a ， 31 2 a ， 22a 成等差数列，则53a a =（ ） A. 1+ B. 1 C. 3+ D. 3-8．在等比数列{}n a 中， 22a =， 516a =，则6a =（ ） A. 14 B. 28 C. 32 D. 64 9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 10．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 11．若数列 的前n 项和 ,则 A. 120 B. 39 C. D. 12．已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a a a a ++的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 13．已知数列{}n a 满足11 2 n n a a += ，若48a =，则1a 等于 A. 1 B. 2 C. 64 D. 128 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35724a a a ++=，则9S =（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 72 15．已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a = A. 1 B. 12 C. 1 4 D. 4 16．在等差数列{}n a 中， 315,a a 是方程2 6100x x -+=的根，则17S 的值是 （ ） A. 41 B. 51 C. 61 D. 68 17．在各项为正数的等比数列{}n a 中， 29S =， 321S =，则56a a +=（ ） A. 144 B. 121 C. 169 D. 148 18．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =（ ）
数列基础之两大基本数列
数列基础之两大基本数列 概念： 若一个数列{}n a ，从第二项起，后一项减去前一项都等于同一个常数d ，则称数{}n a 为等差数列，其中d 称为公差。 递推公式：1n n a a d +-=或者()12n n a a d n --=≥ 通项公式：()11n a a n d =+- 典型例题【1】：已知数列{}n a 是首项为1，公差为2等差数列，求{}n a 的通项公式与前n 项和 变式训练【1】：若等差数列{}n a 中，13a =，412a =，求{}n a 的通项公式 已知数列{}n a 中，()11 22 n n a a n -=+ ≥,则数列{}n a 的前9项和等于 等差数列通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，由此可得n m a a d n m -=- 典型例题【1】：若等差数列{}n a 是递增数列，且24,a a 是方程2560x x -+=的两根，求 {}n a 的通项公式 变式训练【1】：若等差数列{}n a 满足：37a =，526a a =+，则6a = 等差数列的恒等性质： 若m n p q +=+，其中* ,,,m n p q N ∈，则n m p q a a a a +=+ 典型例题【1】：在等差数列{}n a 中，若12a =，3510a a +=则7a =（ ） .A 5 .B 8 .C 10 .D 14 变式训练【1】：在等差数列中，，则的值为（ ） .A 5 .B 6 .C 8 .D 10 变式训练【2】：在等差数列{}n a 中，若147105a a a ++=，25899a a a ++=则20a = 变式训练【3】：在等差数列{}n a 中，若34512a a a ++=，则 1234567a a a a a a a ++++++=（ ） .A 14 .B 21 .C 28 .D 35 变式训练【4】：在等差数列{}n a 中，若3456712a a a a a ++++=，则28a a += {}n a 1910a a +=5a
等差数列基础练习题
一、等差数列选择题 1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237 n n S n T n =+，则6 3a b 的值为 （ ） A ． 5 11 B ．38 C ．1 D ．2 2．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 5．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 6．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 7．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 9．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 11．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ）
2020版 高考高频考点对点练12 数列的基本运算
高考高频考点对点练 12 数列的基本运算 1．(2018·江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( ) A ．20 B ．24 C ．28 D ．34 B [∵a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，得a 15＝a 2＋13d ＝24.故选B.] 2．(2019·辽宁五校联考)已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 C [a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝10 2＝100.] 3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．60 C [设等差数列{a n }的公差为d ≠0.由题意， 得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0.① ∵S 8＝16，∴8a 1＋8×72×d ＝16, ② 联立①②解得 a 1＝－32， d ＝1.则S 10＝10×? ?? ??－32＋10×92×1＝30.] 4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( ) A.12 B.815 C.1629 D.1631 C [由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋ 30×292d ，解得d ＝
数列的极限及运算法则
数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim
2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(十三)数列中的基本量计算
课时达标训练(十三) 数列中的基本量计算 A 组 1．(2018·南京三模)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N * ，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________． 解析：由S 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1q 3 ＋a 2q 3 ＋a 3q 3 ＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3 )＝(1＋q 3 )S 3＝3S 3，得(1＋q 3 )S 3＝3S 3.因为S 3＝a 1(1＋q ＋q 2 )≠0，所以q 3＝2，得a 7＝4. 答案：4 2．(2019·苏北三市一模)在等差数列{a n }中，若a 5＝1 2，8a 6＋2a 4＝a 2，则{a n }的前6项和S 6的值为 ________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 5＝12 ，8a 6＋2a 4＝a 2，得?????a 5＝a 1＋4d ＝12，8（a 1＋5d ）＋2（a 1＋3d ）＝a 1＋d ， 解得? ????a 1＝52， d ＝－1 2 ， 所以S 6＝6a 1＋6×（6－1）2d ＝15 2. 答案：152 3．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．若a 3＝2，S 12＝4S 6，则a 9的值为________． 解析：由S 12＝4S 6，当q ＝1，显然不成立，所以q ≠1，则a 1（1－q 12）1－q ＝4a 1（1－q 6）1－q ，因为a 1 1－q ≠0， 所以1－q 12 ＝4(1－q 6 )，即(1－q 6 )(q 6 －3)＝0，所以q 6 ＝3或q ＝－1，所以a 9＝a 3q 6 ＝6或2. 答案：2或6 4．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2 b 2 ＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3； b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2. 所以a 2＝－1＋3＝2， b 2＝－1×(－2)＝2， 所以a 2b 2 ＝1. 答案：1