微积分课后题答案第九章习题详解

第9章

习题9-1

1． 判定下列级数的收敛性：

(1) 11

5n n a ∞

=?∑（a ＞0）； (2) ∑∞

=-+1

)1(n n n ;

(3) ∑∞

=+13

1

n n ; (4) ∑∞

=-+12)1(2n n

n ; (5) ∑∞

=+11ln n n n ; (6) ∑∞

=-12)1(n n

;

(7) ∑∞

=+11

n n

n ; (8) 0(1)21n n n n ∞

=-?+∑．

解：（1）该级数为等比级数，公比为

1a ,且0a >,故当1

||1a

<,即1a >时，级数收敛，当1

|

|1a

≥即01a <≤时，级数发散. （2）

Q n S =+++L

1=

lim n n S →∞

=∞

∴

1

n ∞

=∑发散.

（3）113

n n ∞

=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11

n n ∞

=∑发散，故原

级数

11

3

n n ∞

=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22

2n n n

n n n n ∞

∞-==??

+--=+ ???∑∑ 而11

12n n ∞

-=∑,1(1)2m n

n ∞

=-∑是公比分别为1

2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2

2n n n n ∞

-=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln

ln ln(1)1

n

n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞

=-∞,所以级数

1

ln

1

n n

n ∞

=+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==-

∴ lim n n S →∞

不存在，从而级数

1

(1)

2n

n ∞

=-∑发散.

（7）Q 1

lim lim

10n n n n U n

→∞

→∞+==≠

∴ 级数

1

1

n n n ∞

=+∑发散. （8）Q (1)(1)1

, lim 21212

n n n n n n U n n →∞--==++

∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1

(1)21n n n

n ∞

=-+∑发散.

2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：

(1) ∑∞

=??? ??+13121n n n ； (2) ※

∑∞

=++1)2)(1(1n n n n ;

(3) ∑∞

=?1

2sin n n n π

; (4) 0πcos 2n n ∞

=∑．

解：Q （1）1111, 23n n n n ∞

∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112

3n n n ∞

=??

+ ???∑收敛，且其

和为1+

12=3

2

. （2）Q

11121(1)(2)212n n n n n n ??

=-+ ?++++??

∴121112111211121122322342345212n S n n n ????????=

-++-++-+++-+ ? ? ? ?++????????

L 11112212n n ??=-+ ?++??

1lim 4n n S →∞

=

故级数收敛，且其和为14

. （3）πsin 2n U n n =,而π

sin

ππ2lim lim 0π222n n n U n

→∞→∞=?=≠，故级数1

πsin

2n n n ∞

=?∑发散. （4）π

cos 2

n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-

故lim n n U →∞不存在，所以级数

π

cos

2

n n ∞

=∑发散. 3※

． 设

1n

n U

∞

=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明

1

n

n U

∞

=∑亦收敛．

证：设

1

(0)n

n n U

U ∞

=>∑加括号后级数1

n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1

n n U ∞

=∑的部分和

1

n k k S U ∞

==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使

1

1

n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑

又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n

n S →∞

存在，即原级数

1

n

n U

∞

=∑亦收敛.

习题9-2

1． 判定下列正项级数的收敛性：

(1) ∑∞

=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞

=+1

n n n

1;

(3) ∑∞

=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )

5(1

2；

(5) 111n

n a ∞

=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞

=+1n n b

a 1

(a , b ＞0); (7)

()

∑∞=--+1n a n a n

2

2

(a ＞0); (8) ∑

∞

=-+1

n n n 121

4

； (9) ∑∞

=?1n n

n n 23； (10) ※

∑∞

=1

n n n n !; (11) ∑∞

=+????+????1n n n )13(1074)12(753ΛΛ; (12) ∑∞=1n n n

3

；

(13) ※

∑∞

=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞

=??

?

??+1n n

n n 12;

(15)

∑∞

=1

π

n n

n

3sin

2

; (16) ∑

∞

=1

π

n n n n 2cos 3

2

．

解：（1）因为211

(1)(2)n n n <++而21

1n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞

=++∑收

敛.

（2

）因为lim lim

10n n n U →∞

→∞

==≠，故原级数发散. （3）因为21

(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而1

11n n ∞

=+∑发散，由比较判别法知，级数

12

(1)

n n n n ∞

=++∑发散. （4）

3

2

1n

<

=

,

而

1

n ∞

=是收敛的p -

级数3

(1)2

p =

>,由比较判别法知,

级数

1

n ∞

=收敛.

（5）因为111lim lim lim(1)111n n n n

n n n n

a a a a a →∞→∞→∞+==-++

11112001

a a a >???

==??<

而当1a >时，11n n a ∞

=∑收敛，故1

1

1n

n a ∞

=+∑收敛; 当1a =时，11n n a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故11

1n

n a

∞=+∑发散; 当01a <<时1lim

101n n a →∞=≠+，故1

lim

1n

n a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1

a >时，1

lim 1n

n a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n n n n n b a a b a b a b b

→∞→∞→∞+==-++ 1

1111

01b b a b >???==?+?<时, 1

1n n b ∞

=∑收敛，故11

n

n a b ∞

=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 1

01a <<+∞+,故11n

n a b ∞

=+∑也发散; 当01b <<时，11

lim 0n n a b a →∞=≠+故1

1n n a b ∞

=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞

=+∑发散;当b >1时，级数11

n

n a b

∞

=+∑收敛. （7

）因为n n n

→∞=

0n a ==>

而11n n ∞

=∑

发散，故级数1

0)n a ∞

=>∑发散. （8）因为43443

1

121lim lim 1212

n n n n n n n n →∞→∞++-==-

而311n n ∞

=∑收敛，故级数21121n n n ∞

=+-∑收敛.

（9）因为1113233

lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n n

U n n U n n +++→∞→∞→∞??==>+?+由达朗贝尔比值判别法知，级数1

32n

n

n n ∞

=?∑发散. （10）因为11(1)!1

lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n n

U n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=?=+=>+，由达朗贝尔比值判别

法知，级数1

!n

n n n ∞

=∑发散.

（11）因为1357(21)(23)4710(31)

lim

lim 4710(31)(34)357(21)n n n n

U n n n U n n n +→∞→∞????+?+????+=?????+?+????+L L L L

232

lim

1343

n n n →∞+==<+,

由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.

（12）因为111311

lim lim lim 1333n n n n n n n

U n n U n n ++→∞→∞→∞++=?==<，由达朗贝尔比值判别法知，

级数

1

3n n n

∞

=∑收敛. （13）因为2

22

21221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n n

U n n U n +++→∞→∞→∞++=?= 由2212121(1)2(1)1

lim lim lim 222ln 22ln 2

x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==??

2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==?知2

121(1)lim lim 012

n n n n n U n U ++→∞→∞+==<

由达朗贝尔比值判别法知，级数

2

21

(!)2

n n n ∞

=∑

收敛.

（14

）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121n

n n n ∞

=?? ?+?

?∑收敛.

（15）因为ππ2sin

sin 33lim lim 1π2π

33n n n

n n n n n

→∞→∞==?

而112233n

n n n n ∞

∞

==??

= ???

∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=?∑仍收敛，

由比较判别法的极限形式知，级数

1

π

2sin

3

n n n ∞

=∑收敛. （16）因为

2

π

cos 322n n

n n n ≤而与（12）题类似地可证级数12

n n n ∞

=∑收敛，由比较判别法知级数

1

π

cos 32n

n n n ∞

=∑

收敛.

2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：

(1) ∑∞

=1n n n x ; (2) n

n x n ∑∞

=???

??1

23．

解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n n

U x n nx

x U n x n ++→∞→∞→∞=?==++

由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散; 当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调

1

1

n n ∞

=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1

n

n x n ∞

=∑收敛.

（2）因为1

3

13(1)2lim

lim 2

2n n n n n n

x n U x

U x n ++→∞→∞

??

+? ?

??==

??? ???

,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即

2x >时，原级数发散;

当012

x

<

<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3

lim n n →∞=+∞知31

n n ∞

=∑发散，综上所述，

当02x <<时，级数

31()2n

n x n ∞

=∑收敛.

习题9-3

1． 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：

(1) ∑∞

=--1

121

)1(n n

n ; (2) 11(1)2(1)2n n n

n ∞

-=-+-?∑; (3) ∑∞

=1

2

sin n n nx ; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞

+=-∑; (5) ∑∞

=-??? ?

?-11210121

n n n ； (6) ∑∞

=+-1)1(n n x n ;

(7) ∑∞

=?1

!)

2sin(n n n x ．

解：（1）这是一个交错级数121n U n =

-, 1

lim lim 021

n n n U n →∞→∞==-, 111

2121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知1

1(1)21n

n n ∞

=--∑. 又1111(1)2121n n n n n ∞

∞

==-=--∑∑，由1

121lim 12n n n

→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1

121n n ∞

=-∑发散，所以级数

1

1

(1)

21

n

n n ∞

=--∑条件收敛.

（2）因为2111

(1)211

(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-?-?,故

11111

(1)21111

(1)22(1)22(1)2

n n n n n n n n n ------+--=+≤+-?-?-? 1113

222n n n

-=

+=

而112n n ∞

=∑收敛，故132n n ∞

=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)

2n n n

n ∞-=-+-?∑收敛，所以级数11

(1)2

(1)2n n n

n ∞

-=-+-?∑绝对收敛. （3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n

∞=∑收敛，由比较判别法知2

1sin n nx

n ∞

=∑收敛，因此，级数

2

1

sin n nx

n ∞

=∑绝对收敛. （4）因为1

21ππ

|(1)sin |sin πlim

lim 11π

n n n n n n n n

+→∞

→∞-==

而211n n

∞

=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)

sin |πn n n n ∞

+=-∑收敛，从而级数1

1π

(1)sin πn n n

+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数11

2n

n ∞

=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而2111

12

10n n n ∞

-=??+ ???∑收敛，由比较判

别法知级数

211

11210n n n ∞

-=-∑

收敛，所以原级数211112

10n n n ∞

-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因

1

1

n x n ∞

=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条

件收敛.

（7）因为sin(2)1

!!

n x n n ?≤

由比值判别法知11!n n ∞

=∑收敛(Q 1

(1)!

lim 01!

n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1

sin(2)!n n x n ∞=?∑收敛，所以级数1

sin(2)

!n n x n ∞

=?∑，绝对收敛.

2． 讨论级数

∑∞

=--1

1

1

)1(n p

n n 的收敛性(p ＞0)． 解：当1p >时，由于

1

1

111(1)

n p p n n n n ∞

∞-==-=∑∑收敛，故级数11

1(1)n p n n ∞

-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)n n p p

u u n n +=

>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数

1

11(1)

n p n n ∞

-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，111

11(1)n p p n n n n ∞∞

-==-=∑∑发散，故此时，级数1

1

1

(1)n p n n

∞

-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.

3※

． 设级数

∑∞

=1

2n n

a

及

∑∞

=1

2

n n

b

都收敛，证明级数

∑∞

=1

n n

n b

a 及

()∑∞

=+1

2

n n n

b a

也都收敛．

证：因为2222

||||110||222

n n n n n n a b a b a b +≤≤

=+ 而由已知1n

n a ∞

=∑及2

1

n n b ∞

=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞

∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞

=??

+ ???∑收

敛，由正项级数的比较判别法知

1n n

n a b

∞

=∑也收敛，从而级数

1

n n

n a b

∞

=∑绝对收敛.又由

2

2

2

()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2

2

11,n n n n a b ∞

∞

==∑∑,以及1

n n n a b ∞

=∑收敛，利用数项级数的基本性

质知，

2

2

1

(2)n

n n n n a

a b b ∞

=++∑收剑，亦即21

()n n n a b ∞

=+∑收敛.

习题9-4

1． 指出下列幂级数的收敛区间：

(1) ∑∞

=0!n n n x (0!=1)； (2) ∑∞

=0!n n

n x n

n ；

(3) ∑∞

=?022n n n n x ； (4) ∑∞

=++-0

1212)1(n n n n x ．

(5) ∑∞

=?+02)2(n n n n x ； (6) ∑

∞

=-0)1(2n n n

x n

． 解：（1）因为1

1

1(1)!

lim

lim lim 01

1!

n n n n n

a n p a n n +→∞

→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1

!n

n x n ∞

=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. （2）因为-1

11lim lim lim 1e 11n n

n n n n n a n p a n n +→∞→∞→∞

??===-= ?++??，所以收敛半径1

e r p

=

=. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞

∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n

+=+，因为1(1)n

n +是单调递增

数列，且1(1)n

n

+

1

n n

u u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.

类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞

≠),综上所述，级数

0!n

n

n n x n

∞

=∑的收敛区间为(-e,e).

（3）因为2111

lim

lim ()212

n n n n a n p a n +→∞

→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数22101

2n n n n x n n

∞

∞===?∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;

当x =-2时，级数2201

1(1)2n n

n n n x n n ∞

∞

===-??∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，

故它收敛.

综上所述，级数202n

n n x n

∞

=?∑的收敛区间为[-2,2].

（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.

令21(1)21n n

n x u n +=-+，则2

2121lim lim 23n n n n

u n x x u n +→∞→∞+=?=+.

当2

1x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.

当2

1x >时，即||1x >时，级数0

||n n u ∞

=∑发散，从而21

0(1)21n n

n x n +∞

=-+∑发散，当1x =时，

级数变为01(1)21n

n n ∞

=-+∑;当1x =-时，级数变为1

1(1)21n n n ∞

+=-+∑;它们都是交错级数，且

满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.

综上所述，级数21

(1)21n n

n x n +∞

=-+∑的收敛区间为[-1,1].

（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11lim

lim 2(1)2

n n n n a n p a n +→∞

→∞===+. 所以收敛半径1

2r p

=

=，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.

当4x =-时，级数变为

1

(1)n

n n ∞

=-∑是收敛的交错级数， 当x =0时，级数变为调和级数

1

1

n n ∞

=∑,它是发散的.

综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).

（6）此级数（x -1）的幂级数

12lim

lim 21

n n n n a n

p a n +→∞

→∞===+ 故收敛半径1

2r =

. 于是当1|1|2x -<即13

22x <<时，原级数绝对收敛.

当1|1|2x ->即12x <或3

2

x >时，原级数发散.

当3

2x =时，原级数变为01n n ∞

=∑是调和级数，发散.

当12x =时，原级数变为1

1(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.

综上所述，原级数的收敛区间为13,22??????

. 2． 求下列幂级数的和函数：

(1) ∑∞

=-1)1(n n n

n x ； (2) ∑∞

=-1

1

22n n nx ；

(3) n

n x n n ∑

∞

=+1)1(1； (4) ∑∞=+0

)12(n n x n ． 解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.

设1

()(1)n n

n x S x n ∞

==-∑,则

1

11

1()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞

∞

-=='??'=-=-=-??+??∑∑ ∴001

()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x

-'===-+<+??

又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.

∴1

(1)ln(1) (11)n

n

n x x x n ∞

=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设21

1

()2n n S x nx

∞

-==

∑,当||1x <时，有

21

210

11

()d 2d 2d x

x x

n n n n S x x nx

x nx x ∞

∞

--====∑∑?

?

?

2221

1n

n x x

x

∞

==

=-∑ 于是2222

2()1(1)

x x

s x x x '??== ?--?? 又当1x =±时，原级数发散. 故

2122

1

22 (||1)(1)n n x

nx x x ∞

-==

<-∑

（3）可求所给级数的收敛半径为1.

令1

111()(0)(1)

(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞

∞====≠++∑

∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞

==+∑,则1

1

1()1n n g x x x ∞

-=''==-∑

01

()d ()(0)d 1x

x

g x x g x g x x

''''=-=-?

?

(0)0,()ln(1)g g x x ''==--

()d ()(0)ln(1)d ,(0)0x

x

g x x g x g x x g '=-=--=?

?

所以0

()ln(1)d ln(1)ln(1)x

g x x x x x x x =-

-=+---?

;

所以1()11ln(1),||1,S x x x x ??

=+--<

???

且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞

=+∑和1

1(1)(1)n

n n n ∞

=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.

故111ln(1)(1,0)(0,1)

()00,1x x S x x x x ???

+--∈-?? ?=??

??=±?

. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1

()n n S x nx

∞

-==

∑,

则

1()d .1x

n n s x x x x

∞

===

-∑?

于是211()()1(1)S x x x '==--,即1

2

1

1(1)n n nx x ∞

-==-∑. 所以

1

1

1

(21)2n

n n n n n n x

x nx

x ∞

∞

∞

-===+=+∑∑∑

22

1112(1)1(1)x

x x x x +=?+=--- (||1)x <

3． 求下列级数的和：

(1) ∑∞

=125n n n ； (2) ∑∞

=-1

2)12(1

n n

n ； (3) ∑∞

=--1

1221

2n n n ； (4) 1(1)2n

n n n ∞

=+∑． 解：（1）考察幂级数

21

n

n n x

∞

=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n

n u n x =，

2

lim ||lim n n n u n →∞

→∞

==+∞，因而lim 0n n u →∞

≠，故当1x ±时，级数21

n n n x ∞

=∑发散，故幂级数

21

n

n n x

∞

=∑的收敛区间为（-1，1）.

设21() (||1)n

n S x n x

x ∞

==

<∑，则211

()n n S x x n x ∞

-==∑

令2

1

11

()n n S x n x

∞

-==

∑,则

110

1

1

()d x

n

n n n S x x nx x nx ∞∞

-====∑∑?

.

再令1

21

()n n S x nx

∞

-==

∑,则

20

1

()d 1x

n n x

S x x x x

∞

===

-∑?

. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '

??==< ?--??

，从而有120()d (1)x x S x x x =-?. 123

1() (||1)(1)(1)

x x

S x x x x '??+==< ?--??

于是 2

13

()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==

<- 取15x =，则22

3111()

11555()5532115n n n S ∞

=+===??

- ???

∑. （2）考察幂级数

211

21

n n x n ∞

=-∑，可求得收敛半径r =1，设 2211111() (||1)2121

n

n n n S x x x x x n n ∞

∞

-====<--∑∑

令21111()21n n S x x n ∞

-==-∑,则2212

1

1()1n n S x x x ∞

-='==-∑. 120

0d 11()d ln

1-21x

x

x x

S x x x x

+'==-?

?

即 1111()(0)ln (,(0)0)21x

S x S s x

+-=

=-. 于是 111()ln ,(||<1)21x

S x x x

+=-，从而

11()()ln (||1)21x x

S x xS x x x

+==<-

取x =

则11(21)2

1n n S n ∞

===-∑

=

（3）考察幂级数

21

1

(21)n n n x

∞

-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为

21

21

211

1

1

(21)2n n n n n n n x

nx

x ∞

∞

∞

---===-=-∑∑∑

令21

11

()2n n S x nx

∞

-==

∑，则

2212

1

()d 1x

n

n x S x x x

x ∞

===-∑?

.

所以21222

2() (||1)1(1)

x x

S x x x x '??==< ?--??,于是

21

21

211

1

1

(21)2n n n n n n n x

nx

x ∞

∞

∞

---===-=-∑∑∑

3

22222

2 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=

-=<--- 取1

2

x =

，得 3212111()

121102212291()2n n n S ∞

-=+-??

=== ?????-

???

∑.

（4）考察幂级数

1

(1)n

n n n x

∞

=+∑，可求得其收敛半径r =1.

设1

()(1) (||1)n

n S x n n x

x ∞

==

+<∑

则

1

2

1

1

1

()d x

n n n n S x x nx

x

nx

∞

∞

+-====∑∑?

.

又设1

11

()n n S x nx

∞

-==

∑则

10

1

()d 1x

n n x S x x x x

∞

===

-∑?

. 从而12

1()1(1)

x S x x x '

??== ?--??, 2

2

12

()d ()(1)x

x S x x x S x x ==-?

223

2() ||1(1)(1)

x x S x x x x '??==< ?--?? 取1

2

x =

，则 311

21(1)2822112n

n n n S ∞

=?

+??=== ?????

- ???

∑

习题9-5

1． 将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos

2

x ; (2) 2sin x ； (3) 2

x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4

x -． 解：（1）22

01cos 11cos (1)2222(2)!

n

n n x x x n ∞=+==+-∑ 21

1(1)

(-)2(2)!n

n

n x x n ∞

==+-∞<<+∞∑ （2）21

01sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=??

=--∞<<+∞ ?

+??

∑

（3）2

22100

11e

()(1) ()!!x n

n n n n x x x x x n n ∞

∞

-+===-=--∞<+∞∑∑

（4）

211111211x x x ??

=+??--+??

000

2011(1)221[(1)]

2 ||1

n n n

n n n n n

n n n x x x x x x ∞∞

==∞=∞

==+-=+-=<∑∑∑∑

（5）πππcos cos cos sin sin 444

x x x ??-

=+ ??

?

221

0(cos sin )2

(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x x

x n n +∞==

+??=-+-∞<<+∞??+??

∑ 2． 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：

(1)

x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3

π

; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21

x

, 在x 0＝３．

解：（1）因为111

1

3212

x x =?

---,而

0111 (||112212

n

n x x x ∞

=--??

=< ?-??-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222

n

n

n n n x x x x ∞∞

+==--??=?=-<< ?-??∑∑.

收敛区间为：（-1，3）. （2）π

ππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()3

33333x x x x ??=+-=---?

???

22100()()133(1)(1)2(2)!(21)!

n n n n n n x x n n ππ

+∞

∞

==--=-+-+∑

221011(1)())2(2)!33n

n n n x x n ππ∞+=??=--+-?

???

∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞. （3）

211111111

()11

43213481124

x x x x x x =-=?-?

--++++++ 001111(1)(1)4284n n

n n n n x x ∞∞==--????=--- ? ?????

∑∑

2230

1

1(1)(1)22n n n n n x ∞

++=??=--- ???∑

由

112x -<且1

14

x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3） （4）因为011113(1)()333313

n n

n x x x ∞=-=?=-?-+∑ 1

(3)(1)3n

n

n n x ∞

+=-=-∑ 而21

011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''??-??=-=-- ???????

∑

1

11(1)(3)3

n n n n n x ∞

-+=-=-?-∑

1111(1)(3)3n n n n n x +∞

-+=-=-∑ 2

(1)(1)(3)3n n

n n n x ∞

+=-+=-∑ 由

3

13

x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

最新大学微积分复习题

0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________

5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x y x =求函数 的导数 2、21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算 6、2 1 lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润 最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01 lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分 一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024 lim x x x →+等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、2 1x +__________ 2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）

大一微积分练习题及答案

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 （ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振

荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。 A.跳跃间断点; B.无穷间断点; C.可去间断点; D.振荡间断点 5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ． 当()()0

大学一级高等数学试题及答案

期 末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分221 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 222()()0 y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 2 1arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=2123。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ? --L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。