动点问题、存在性问题小结

动点问题和存在性问题小结训练

一、基础训练

1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中，

正确的是（）

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：

① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3.

其中正确的是( )

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④

3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．

4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式．

5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．

6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

7.如图，在平面直c

bx

ax

y+

+

=2角坐标系中，抛物线c

bx

ax

y+

+

=2经过

A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值．

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二、温故提升

1.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。

2.如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2

），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

3.如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于

C 点.

（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，

请说明理由.

4．如图, 已知抛物线c bx x y ++=

2

2

1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；

(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的

面积最大时，求点D 的坐标；

(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐

标，若不存在，说明理由.

5.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C （1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标。

6.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、

OB分别是关于x的方程x2-7x+12=0的两个根（OA＜OB）

（1）求直线AB的解析式；

（2）线段AB上一点C使得S△ACO：S△BCO=1：2，请求出点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四

边形是梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由

7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0

）、C（0，3）三点，对称轴与

抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

动点问题题型方法归纳

动点问题 知识点： 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 6 4 y x =-+ 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点 Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o． （1）求⊙O的直径； （2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速 度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为 )2 )( (<

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版） 一、单选题（共10道，每道10分） 1?如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ?设点P的运动时间为t秒， 当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形. A D A.5 B.- 10 C.4 D.- 答案：D 解题思路：

点只。速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题 的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注： g ② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、 时间范围， 如图； ③ 表达线段长，建等式. 点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/； 点Q 已走路程CQ=t. ^PQC 是以尸。为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r 即 10-2t=t r 故选D. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 2?已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每 秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接 DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题： 0

t的取值范围为（） —y J C.0W￡W12 D.0W（W18 答案：A 解题思路： 根据题意列动点运动的路线图为乂 （3/s）P\B 45>C F秒 （￡Z/S）O:C----- A 对应的F的取值范围为OGW 4?故选A. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的 A.t=2，CQ=9 B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 答案：B 解题思路： ①要使△ BPD^2ACOP, 则需BD^CP且 .”=1 "：C0 = 3 ②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG ^3r=12-3r .\t-2 "\CQ = 9 综上z=l?口2=3或戶2, CQ=9. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（） （1）根据点P的运动，对应的

直角三角形存在性

直角三角形的存在性问题代数法 1.写出三边的平方 2.分类列方程 3.解方程 几何法 1.分类 2.画图——“两线一圆” 3.计算

例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0

例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式. (2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比.

专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)

y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。

由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

动点问题、存在性问题小结

动点问题和存在性问题小结训练 一、基础训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中， 正确的是（） A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论： ① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3. 其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 7.如图，在平面直c bx ax y+ + =2角坐标系中，抛物线c bx ax y+ + =2经过 A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值． （3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

全等三角形经典培优之动点问题(讲义及答案)

三角形全等之动点问题（讲义） ?课前预习 已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点 同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间 为t秒，请解答下列问题： （1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）； （2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______． ?知识点睛 由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题． 动点问题的解决方法： 1.研究_____________； 2.分析_____________，分段； 3.表达_____________，建等式． ?精讲精练 1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且 AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC A E D 向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒． （1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由； （2）当t为何值时，△DCP≌△CDE． B C P A E D B C

2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动 点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ． Q P D C B A D C B A

中考数学 专题16 函数动点问题中三角形存在性(解析版)

专题16 函数动点问题中三角形存在性 模型一、等腰三角形存在性问题 以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解. 模型二、直角三角形存在性问题 以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”. 【例1】 （2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3 2 x+c经过点A(－1,0),B(4,0)， 与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q. （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4）， 将点（0，－2）代入上式，得：a=1 2 ， 即抛物线的解析式为：y=1 2 x2－ 3 2 x－2； （2）由y=1 2 x2－ 3 2 x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC 由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=1 2 x－2， 设P（m，1 2 m2－ 3 2 m－2），则Q(m， 1 2 m－2)， 过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，

∴ CQ QM BC AB = ,4 m =， ∴CQ , PQ =－12m 2+2m , PC ①当CQ =PQ 时， =－1 2 m 2+2m ，解得：m =0（舍）或m =4； ②当CQ =PC 时， = m =0（舍）或m =2或m =4（舍）； ③当PQ =PC 时， －12m 2+2m = m =0（舍）或m =32； 综上所述，存在点P ，使△CPQ 是等腰三角形，点P 的横坐标为：42或3 2 . 【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L ：y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，已知点B (3,0)，抛物线的对称轴为x =1. （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界），求h 的取值范围； （3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x =－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P 的坐标，若不能，请说明理由. 【答案】见解析.

八年级数学全等三角形之动点问题

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习 解答题(本大题共8小题，共120分) 1.(本小题15分)如图，在等边△ABC的顶点A、C处 各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬 行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始 终相等吗？ （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”， 改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件 不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请 利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行， 连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中， DF始终等于EF是否正确． 核心考点:运动变化型问题 2.(本小题15分)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 核心考点:正数和负数 3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4

特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)复习课程

特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)

特殊平行四边形中的动点及存在性问题 【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. （1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标； （2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标. 【例2】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ； 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满 足16b =．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标； （2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P 、Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标． x

【例3】（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为 ； （2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标． 【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）． （1）求G 点坐标； （2）求直线EF 解析式； （3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)

二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题 一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式 （1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程ax2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 判别式 b 24ac二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△＞ 0与 x 轴交点方程有的实数根 △＜ 0与 x 轴交点实数根 △＝ 0与 x 轴交点方程有的实数根 3、抛物线上有两个点为A（x ， y）， B（ x ， y） 12 (1) 对称轴是直线x x 1 x2Q 2 (2) 两点之间距离公式： 已知两点 P x1 , y1,Q x2 ,y2 ，P G ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 2O 则由勾股定理可得：PQ 练一练：已知 A（ 0， 5）和 B（－ 2， 3），则 AB＝。 4、常见考察形式 1）已知 A（ 1,0 ）， B（ 0， 2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C，使△ ABC是等腰三角形； 总结：两圆一线 方法规律 :平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2）已知 A（ -2,0 ）， B（ 1， 3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C，使△ ABC是直角三角形； 总结：两线一圆 方法规律 {平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积： （ 1）直接用面积公式计算；（ 2）割补法；（ 3）铅垂高法； 如图，过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， A铅垂高 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽” （ a），中间的C h 这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高” （ h）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：B 水平宽1 S△ABC =2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。a 6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路：（ 1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3） 后计算

动点存在性问题

第一讲动点存在性问题 一．考情分析 二．知识回顾 1、题型分类 在中考中，存在性问题一般分为四类： 1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）； 2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）； 3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等； 4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。 2、方法归纳 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。 对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。 而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。 对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。 对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。

类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. （1）求点到的距离； （2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设. ①当点在线段上时（如图3），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由； ②当点在线段上时（如图4），是否存在点，使为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由. （B ）【典型例题3】如图，已知直线1 12y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线 21 2y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 学习心得 A B Q C P D 图1

全等三角形之动点问题(简单题)

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm. (1)求AB的长; (2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形? 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求：(1)△PAB为等腰三角形的t值; (2)△PAB为直角三角形的t值; (3) 若AB=5且∠ABM=45。，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值 三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题 3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由; (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等? 四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题 4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?; (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

专题：直角三角形存在性问题

直角三角形存在性问题 方法提炼： ●找点 已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置； ●直角三角形存在性问题探讨 1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论 2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解 方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解； 例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形 （1）求点A、B的坐标； （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

例3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO ＝45°． （1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由． 例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t 秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

●针对性演练： 1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式； （2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由． 2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。 （1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

中考数学专题复习教案 全等三角形中动点问题-word文档

A B C D E F 个性化辅导授课案 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课题 全等三角形的动点问题分析讲解 学情分析 .动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学目标 考点分析 思路： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学 重点 难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题 教学方法 教师引导，自主思考 教学过程 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落 在点P1，P2，P3，P4，…，P2019的位 置．试写出P1，P3，P50，P2019的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形 5、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60

直角三角形的存在性问题(教案)

直角三角形的存在性问题（教案） 学习目标： 1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。 2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。 一、课前准备 1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 . 2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 . 【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题. 二、我们一起来探究 如图，A （0，1），B （4，3）是直线12 1 += x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标. y x B A O y x B A O y x B A O （备用图1） （备用图2） 提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图. （4）解题有哪些方法？ （5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点. 变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值. 【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫. 三、反馈练习 1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个.

2019-2020年中考数学专题37动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(含解析)

2019-2020年中考数学专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题 （含解析） 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的 观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形 的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有 点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就 问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解 这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存 在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相 似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。 在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思 想准确地进行分类。 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线 1 l:y x 2 上，若以A、B、C三点 为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A。 【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题 一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论. 解题核心知识点： 折叠性质； ①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线； 勾股定理； 相似图形的性质、三角函数等. ★等腰三角形存在性问题 解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕； ★直角三角形存在性问题 解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题 例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB 上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析

_ Q _ G _ P _ O 二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题 一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式 （1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 判别式ac b 42-=? 二次函数与x 轴的交点情况 一元二次方程根的情况 △ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根 △ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根 3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2 x 2 1x x += (2)两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：2 21221)()(y y x x PQ -+-= 练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。 4、 常见考察形式 1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线 方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个 端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形； 总结： 两线一圆 方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的 两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S △ABC =1 2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3） 后计算 B C 铅垂高 水平宽 h a A

全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题（一） 1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A出发,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B出发,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时间为t 秒,用t表示线段PQ的长度为_____;若P,Q两点相距6厘米,则经过的时间t=______. 2、已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C 出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动 的时间为t秒.若△BPA≌△ADB,则t的值为 3、已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10. 动点P从点B出发,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P 运动的时间为t秒.若运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,则t的值为 4、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 5、如图，在等边ABC 的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 6、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明 7.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；