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第18讲行程问题三

内容概述

运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律.

典型问题

兴趣篇

1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米?

答案：159

详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍

53×3=159

2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间．

答案：30分钟

详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50

步行+步行=70得知

一个全程骑车比步行多用20分钟

70－2×20=30分钟

3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了?

答案：差4分钟

详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分，在这段时间小悦行走了4000/260×60=12000/13米同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程差，路程差÷速度差=追及时间，所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800米，走这2800米的速度为175米/分所以用的时间是2800÷175=16分，

因此本题所用总时间分三部分从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。所以距离8点还有4分钟。

4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳

模来校作报告，往返需用1小时．实际上这位劳模在下午l点便提前离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午2点40分到达问：汽车行驶速度是劳模步行速度的几倍?

答案：8倍

详解：由题意知汽车单程走了40÷2=20分钟。比计划时间60÷2=30少用10分钟，这10分钟是劳模从1点到1点20共80分钟走出来的路程，所以在同样的路程汽车要10分钟，而步行要80分钟，所以汽车速度是步行速度的8倍。

40÷2=20 60÷2=30 30－20=10 1时20分=80分80÷10=8

5．快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过4小时在途中相遇．相遇后两车继续向前行驶．慢车到达甲地后停留1小时再返回乙地．快车到达乙地后停留2.5小时再返回甲地．已知慢车从乙地到甲地用了12小时，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多长时间

答案：10小时。

详解：慢车行完全程要12小时，相遇前行了4小时，那么相遇后应该还要走8小时，相遇后走的8小时是快车相遇前走的4小时的路程，所以快车慢车的速度比是2：1，所以快车走完全程需要6小时，那么快车走从相遇地点到达乙地用的时间是慢车的二分之一，2小时，所以快车到达乙地，再停留2.5小时，所以第一次相遇后4.5小时开始往回走，慢车从相遇后到达甲地用的时间是甲相遇前的2倍，4×2=8小时，停留1小时，所以相遇后9小时慢车开始从甲地往回走，这时快车已经走了9-4.5=4.5小时，还余下1.5小时的路程，这段路程有两个人合走，要1.5×2÷3=1，所以从第一次相遇到第二次相遇，共用9+1=10小时。12-4=8 8÷4=2 12÷2=6 4÷2/=2 2+2.5=4.5 6-4.5=1.5

1.5×2÷3=1 1+9=10

6．甲、乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：

(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?

(2)第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次相遇?

(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?

答案（1）6小时（2）12小时（3）12小时

详解：合走一个全程路程和÷速度和300÷（30+20）=6

（2）第二次相遇合走2×2－1=3个全程3×6=18 18-6=12

（3）第三次相遇合走2×3-1=5个全程5×6=30 30-18=12

相对出发迎面相遇n次合走2n-1个全程

7．甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：

(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?

(2)第一次迎面相遇后又经过多长时问甲、乙两车第二次迎面相遇?

(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇?

答案：（1）12 （2）12 （3）12

详解：（1）第一次相遇两个人合走2个全程300×2=600 600÷50=12小时。

（2）第一次相遇到第二次相遇合走2个全程答案同第一

（3）每两次相遇都用12小时

8．A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行．在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进(保持原速)各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回．在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远?若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇?

答案：120千米。在距离甲地10千米处相遇

详解：选取A为研究对象。第一次相遇两人合走一个全程，A走50千米，第二次相遇合走3个全程，A走3×50=

150千米，150千米比一个全程多了30千米，所以全程是150－30=120千米。

第三次相遇合走5个全程，那么A走50×5=250 250÷120=2...10 所以在距离甲地10千米处相遇。

9．A、B两辆汽车同时从甲地出发，在甲、乙两地间不断往返行驶．第一次迎面相遇距离甲地40公里，第二次迎面相遇距离乙地10公里．求甲、乙两地之间的距离．

答案：120公里

详解：第一次相遇时两车合走了一个全程，A车走了0公里，即两车每合走一个全程A车就走40公里，第二次相遇时，两车合走了3个全程，那么A车走了3个40即3×40=120公里。

10．A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米．请问：

(1)如果小明从A地坐电车去B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?

(2)如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他?

答案：（1）6分钟（2）10分钟15分钟

详解：12分钟=1/5小时相邻两辆车的间隔路程25×1/5=5千米，

（1）迎面相遇路程和÷速度和5÷50=:1/10小时=6分钟

（2）同第一5÷30=1/6小时=10分钟

追及问题路程差÷速度差5÷20=1/4小时=15分钟

拓展篇

1. 甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发．甲出发6分钟到达A地．此时乙距离起点150米．又过了3分钟乙到达A地，此时甲距离起点900米．问：乙比甲晚出发多长时间?

答案：5分钟

详解：设起点为O点，设甲到达A地时，乙到达B地，距离O点150米，当乙到达A地时设甲到达C地。

甲从O到A用了6分钟，从A到C用了3分钟，从A到C共用了9分钟，走了900米，所以速度是100米每分，所以A地距离O地是6×100，所以AB两地间距离是600-150=450. 450÷3=150 150÷150=1 6－1=5分钟

2．自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队．然后通信员立即返回出发点；到达出发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次追上时恰好离出发点18千米．自行车队每分钟行多少千米?摩托车每分钟行多少千米?

答案：

自行车队500米/分摩托车速度为1500米/分

详解：当摩托车第一次追上自行车队时，距离出发点是9千米，再次追上时自行车队距离出发点是18千米，所以在两次追及期间自行车队前进了9千米，而摩托车共行驶了9×3千米，所以，摩托车的速度是自行车的3倍，所以可知当第一次追上时自行车队行了9千米，而摩托车也行了9千米，而摩托车的速度是自行车的3倍，所以走同样的路程摩托车所用时间是自行车的1/3. 差2/3 差12分钟，所以12÷2/3=18分钟，即自行车走9千米用了18分钟，速度为9000÷18=500米/分摩托车速度为500×3=1500米/分

3．乌龟与兔子进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍．当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉．兔子醒来时发现乌龟已经领先它5000米，于是奋起直追．当乌龟到达终点时，兔子仍落后100米．请问：兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米?

答案：8020米

详解：当乌龟到终点时，兔子跑了10000-100=9900米，假如兔子没有睡觉，那么当它跑9900米时，乌龟的路程只能是它的1/5 9900×1/5=1980 而实际当兔子跑了9900米时，乌龟跑了10000米，所以在兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米。

4. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，12小时后在C地相遇．相遇后，两车并不停顿，继续前进．甲车在相遇后继续行驶4小时到达B地，然后立即掉头以相同的速度返回A地．请问：

(1)当甲车再次到达C地的时候，乙车还要再开几小时才能到达A地?

(2)如果甲车从B地返回的时候不是原速返回，而是变慢了．而且当它经过C地的时候，乙车正好到达A地．甲车返回的速度是原来速度的多少倍?

答案：（1）28小时（2）1/8

详解：（1）相遇后甲车用了4小时走了相遇前乙车12小时走的路程，即走同样的路程甲车用的时间是乙车的1/3 即甲车速度是乙车速度的3倍，所以乙车在相遇后从C点行驶到A地所用时间应该是甲车所用时间的3倍即12×3=36小时，甲车从C点到B点再从B 点回到C点用4×2=8小时，36－8=28小时。

（2）由第一知乙车从C地到A地用36小时，甲车从C地到B地用4小时，那么当乙车到达A地时，甲车用了36-4=32小时从B地到达C地，原来用4小时，所以速度是原来的4÷32=1/8

5．某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他上班．但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位．步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车赶到单位，结果发现比平时早到了30分钟，问：工程师上车时是几点几分?

答案：7点30分

详解：由于平时是8点上车，准时到，今天比准时早到了30分钟，说明提前上车了30分钟，所以是7点30上车。

6．甲、乙两车分别从相距900千米的A，B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：

(1)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?

(2)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?

(3)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?

答案：相对出发迎面相遇N次，共同行驶2N-1个全程，

（1）第二次相遇共行驶2×2－1=3个全程，900×3÷（25+20）=60小时

（2）相邻两次相遇间差两个全程的距离即路程和，900×2÷（25+20）=40小时

（3）180小时

7．甲、乙两车同时从A地出发，在相距900千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：

(1)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?

(2)甲车在第一次从后面追上乙车之后又经过多长时间第二次从后面追上乙车?

(3)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?

答案：（1）180小时（2）180小时（3）80小时

详解：同地点出发，后面追上走的快的比走的慢的要多走一个全程，

（1）路程差÷速度差900÷5=180

（2）同第一900÷5=180

（3）第二次迎面相遇合走4个全程路程和÷速度和900×4÷45=80

8．A、B两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，并在两地间不断往返行驶．两车在距离甲地40公里处第一次迎面相遇，在距离甲地10公里处第二次迎面相遇．求甲、乙两地之问的距离．

答案：65公里或者55公里

详解：第一次相遇两人合走一个全程，每合走一个全程A走40公里，第二次相遇合走了2×2-1=3个全程，A走3×40=120公里，这时距离甲地还有10公里，

第一种情况：A走了不到两个全程，即两个全程是120+10=130公里，一个全程是130÷2=65公里。

第二种情况：A走了两个多全程，即120公里比两个全程多10公里，(120-10）÷2=55公里。

9．甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行走．当甲走了3个来回的时候，乙恰好走了5个来回．在甲、乙两人行进的过程中，两人一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)

答案：10次

详解：相对出发，两个人共走了8个来回，共16个全程，迎面相遇了（16+1）÷2=8次，相对出发，甲比乙多走了4个全程，第一次追上甲比乙多走一个全程，第二次甲追上乙多走两个全程，所以共追上2次。共10次

10．小明和小刚的速度分别为每分钟90米和每分钟70米．早上8：00他们分别从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇后两人继续前进，分别到达B、A后返回并在途中第二次相遇．第二次相遇地点距离A、B两站的中点450米．从两人同时出发到第二次相遇总共经历了多少分钟?A、B两站的距离为多少米?他们第一次相遇是几点几分?

答案：AB两站相距2400米第一次相遇是8：15分

详解：第二次相遇地点距离中点450米，即小明比小刚多走了450×2=900米，他们速度差是90－70=20米，要形成900米的路程差要900÷20=45分，共走了45×（90+70）=7200米，第二次相遇共走了3个全程，一个全程7200÷3=2400米

第一次相遇用时：2400÷（90+70）=15分所以第一次相遇是8点15分。

11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到达同一地点即称为相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米．请问：两地之间的距离是多少千米?

答案：250千米

详解：甲乙两车速度分别是15和35 可以看成是3分份和7份，即每和走一个全程甲走3份，乙走7份，全程共10份

取甲为研究对象，第三次相遇合走3×2－1=5个全程，甲走3×5=15份，15÷10 (5)

第四次相遇合走4×2－1=7个全程，甲走3×7=21份，21÷10 (1)

两次相遇地点差4份，差100千米，5－1=4 每份100÷4=25 25×10=250

12．某人从甲地走往乙地．甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔都相等．他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车．问：公共汽车每隔多少分钟从各自的始发站发车?

答案：8分

详解：相邻两辆车的间距是相等的，设人的速度为a. 电车速度为b. 根据题意得6(a+b）=12(b_a)整理得b=3a.

设相邻两趟车的时间间隔为t分由题意得12(b-a)=b×t即24b=b×t. 所以t=8

超越篇

1．每天早上7：30王经理都从家出发，由司机开车前往公司，8：00准时到达．然后司机开车原速返回王经理家．一天早上，王经理想要锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果9：00才到．而司机8：10就已经回到王经理家中．请问：车速是王经理步行速度的多少倍?如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，结果8：30就赶到了公司．司机回到王经理家应该是几点几分?

详解：（1）从早上7：30到8：00共30分钟；第二天从早上7：30到9：00共90分钟，而王经理坐车时间是20分钟，所以坐车10分钟相当于步行70分钟，所以车速

是步行的7倍。

（2）因为车速是步行的7倍，车速与步行的差为：30÷（7－1）=5分钟，所以车的时间为：（20+5）×2=50分钟，从早上7：30开始经过50分钟为：8：20.

2．一辆大轿车与一辆小轿车从甲地驶往乙地．大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停留了5分钟，然后继续驶往乙地；小轿车出发后中途没有停留，直接驶往乙地．最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地．已知大轿车是上午10点从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间．

详解： 16÷（5－4）=16分，16×5=80分钟；80×5=400份，（200－17×4）÷4=33分，200÷5=40分钟，2×4=8分钟，总时间为：17+40+8=65分钟，

所以时间为：11：05.

3．A、B两地间相距950米．甲、乙两人同时由A地出发，并在A、B两地间往返行进．共行讲了40分钟．甲步行速度是每分钟40米，乙跑步速度是每分钟150米．那么甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近，距离是多少米?

详解：一次相遇时间为：2×950÷（150+40）=10分钟，

第一次相遇甲走的路程为：10×40=400米，

第二次相遇甲走的路程为：20×40=800米，

第三次相遇甲走的路程为：30×40=1200米，

第四次相遇甲走的路程为：40×40=1600米，

所以第二次相遇点距B地最近，距离为：950－800=150米。

4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶．甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米．已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米．问：A、B间的路程是多少千米?

详解：把全程分为7份，第一次相遇甲走2份，乙走5份。10次相遇共走19个全程，18

次相遇共走35个全程。10次相遇甲的路程为：2×19=38份，共走全程38÷

7=5……3，共走5个全程零靠B地3份；18次相遇甲的路程为、：2×35=70份，

共走全程70÷7=10，共走10个全程，在A地。所以10次与18次相遇距4份，

所以每份为：60÷4=15千米，AB间的路程为：15×7=105千米。

5．小明家在颐和园．如果他骑车到人大附中，每隔3分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果他步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍．请问：如果小明坐332路汽车到人大附中，每隔多少分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来?

详解：设全程为24份，图略，骑车与公共汽车的速度和每分钟为：24÷3=8份，步行与公共汽车的速度和每分钟为：24÷4=6份；所以2倍=2份/分，走路：1倍=1份/分，所以公共汽车的速度为：6－1=5份/分，所以坐车看到公共汽车迎面开来的时间为： 24÷（5+5）=2.4分钟。

6．甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行进．当甲第3次到达B地的时候，乙恰好第5次回到了B地．请问：在甲、乙两人在行进的过程中，一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)

详解：甲共走5个全程，乙共走10全程，所以乙的速度是甲的2倍，所以每次在B地都相遇一次，共5次；路程差为：10-5=5个全程，所以3次相遇；共相遇为：5+3=8次。

7．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行．甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车．问：电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?

详解： 10分15秒=10.25分；鸡兔同笼：（82×10-60×10.25）÷0.25=820米/分，时间为：（820+82）×10÷820=11分钟。

8．A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A地出发，向B地匀速前进；当游行队伍队尾离开A地时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A地步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，……，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时．甲恰好第一次到达B地，求此时乙离A地的距离．

详解

A C D E F G H B

乙

据题意知GB=5.6所以BH=HG=GF=FE=ED=CD=5.6/2=2.8千米

所以BC=2.8*6=16.8千米

AC=AB-BC=22.4-16.8=5.6千米

所以追击排头时行驶5.6千米，回到排尾时行驶5.6-2.8=2.8千米

当甲乙在G点相遇的时候，甲行驶5.6+2.8+5.6+2.8+5.6+2.8+5.6+2.8+5.6=39.2千米乙行驶2.8+2.5=5.6千米

所以甲乙的速度比为39.2:5.6=7:1

当甲行驶到终点时甲行驶39.2+2.8+5.6+2.8+5.6=56千米

此时乙行驶56/7=8千米

乙距A地22.4-8=14.4千米

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第18讲行程问题三 内容概述 运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律. 典型问题 兴趣篇 1．莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校．如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米? 答案：159 详解：视从家到学校的路程为一个全程，由题意知道莎莎到校，再返回家，再到学校，一共走了三个全程，在同样时间内莉莉走了一个全程，即莎莎速度是莉莉的三倍 53×3=159 2．小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟．求小燕往返都骑车所需的时间． 答案：30分钟 详解：视从家到学校的路程为一个全程，往返情况：骑车+步行=50 步行+步行=70得知 一个全程骑车比步行多用20分钟 70－2×20=30分钟 3．一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了? 答案：差4分钟 详解：表哥从自己家到小悦家的时间是4000/260=200/13分，在这段时间小悦行走了4000/260×60=12000/13米同时这个距离也是表哥要返回去追小悦时两个人之间的路程差，路程差÷速度差=追及时间，所以追及时间是4000/260×60/（260-60）=60/13分；追上小悦时距离小悦家的路程为60/13×260=1200米，这时距离表哥家还有4000－1200=2800米，走这2800米的速度为175米/分所以用的时间是2800÷175=16分， 因此本题所用总时间分三部分从表哥家到小悦家的时间200/13，追及时间60/13，回去时间16，共200/13+60/13+16=36分钟20+36=56分。所以距离8点还有4分钟。 4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳

高思导引--四年级第二十一讲-排列组合教师版

第２1讲?排列组合 内容概述 了解排列、组合公式的来由及含义,掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用. 典型问题 兴趣篇 1. 计算：24(1)A ?4 10(2)A ??33 36(3)3A A ?+ 【答案】(1)12 (2)50４0 (3）138 【解析】根据排列公式 )1()1(+-?-?=n m m m A n m 计算 2433 41036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =?==???=?+= ２.费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24 【解析】这种排列是有序的2412344 4=???=A ３．体育课上,老师从１0名男生中挑出４人站成一排,—共有多少种不同的排列方法? 【答案】504０ 【解析】先从１0人中选出4人，再让4人全排列5040210244 4410=?=?A C 4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位,他们一共有多少种不同的坐法？ 【答案】168０ 【解析】先让4人选座位,再让4人全排列168024704 448=?=?A C 5．用1至7这７个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个？ 【答案】（１）210；(2)第6１人 【解析】第一个位置有７中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择 个 是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=??A A A 6.计算:2 5(1)C 47(2)C ?33 66(2)A C ? 【答案】(１)１0 （2）35 (3)2400 【解析】根据组合公式

高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版

第19讲??格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米 【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L 2 -1)×单位正方形 面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米) 有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米） 有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米) 2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L 2 －1）×单位正方 形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数. 有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米) 3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?

答案:19平方厘米 【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式: （N+L 2 -１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数. 有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米) 4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米). 有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）. 有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)． 有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）． ６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)

高思导引 四年级第十二讲 复杂竖式教师版

第12讲复杂竖式 内容概述 需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法． 典型问题 兴趣篇 1．图12-1是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字表示出来． 2．在图12-2中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的5个数字从上向下看，恰好是图12-3中顺时针次序的连续5个数字，十位上的5个数字也有这样的性质．请问：竖式中计算的结果是多少? 3. 请把1至9这9个数字填在图12-4的方框中（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成立. 4. 图12-5是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立.

5.如图12-6，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？ 6. 如图12-7，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的 乘积应该是多少？ 7. 在图12-8的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式. 已知这样的填法有两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？ 8. 在图12-9的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案. 9. 请把图12-10中的除法竖式补充完整.

10. 请把图12-11中的除法竖式补充完整. 这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？ 拓展篇 1. 在图12-12中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A、B、C、D分别代表什么数字？ 2. 在图12-13中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请给出两种使竖式成立的填法. 3. 在图12-14所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：A、B、C、D各代表什么数字？ 4. 在图12-15所示的乘法竖式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字. 请问：这个乘法算式最后的乘积是多少？

高思导引-四年级-竖式问题教师版汇编

学习-----好资料 第5讲竖式问题 内容概述 以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。 典型问题 兴趣篇 1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？ 分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以 ，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3. 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2) 同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车

，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2 以炮5240+5210=10450 =2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221 的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？ 更多精品文档． 学习-----好资料

不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运 分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运 ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？ 相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图 表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三 位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△

高思奥数导引小学四年级含详解答案第15讲 加法原理与乘法原理,

第15讲加法原理与乘法原理 兴趣篇 1、铮铮去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。他准备找 一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？ 2、铮铮进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种。他打算主食和热菜各买1种， 一共有多少种不同的买法？ 3、老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位 数，冬冬共有多少种不同的写法？ 4、传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会 有神龙出现。邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙？ 5、用红、黄、蓝三种颜色给图的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两 个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法？ 6、在图中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”。那么一

共有多少种不同的读法？ 7、运动会种有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛 者只能参加其中的一项。甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问： （1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？ （2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？ 8、冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书。请问：（1）如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？ （2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？ 9、如图，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路， 那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？ 10、图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A到B，可以选择的最短路线一共有多 少条？

(完整版)高思导引四年级第十九讲格点与割补教师版

第19讲格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 答案：4平方厘米2平方厘米8平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位正方形 面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（0+10÷2-1)×1=4(平方厘米) 有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（1+4÷2-1)×1=2(平方厘米) 有N=5，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（5+8÷2-1)×1=8(平方厘米) 2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.5平方厘米 【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位正方形 面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米) 有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米) 有N=0，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（0+3÷2-1)×1=0.5(平方厘米) 3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 答案：19平方厘米 【分析】方法：交点组成了正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L 2 -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=7，L=17，则用粗线围成图形的面积为：（7+7÷2-1)×2=19(平方厘米) 4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 答案：6平方厘米6平方厘米14平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(0×2+8-2)×1=6(平方厘米)．有N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1=6(平方厘米)．有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+7-2)×1=14(平方厘米)． 5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米? 答案：20平方厘米10平方厘米 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)． 有N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+4-2)×1=10(平方厘米)． 6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米) 答案：32平方厘米

高思导引-四年级第十四讲-行程问题二教师版知识讲解

第14讲行程问题二 内容概述 参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题．涉及多个对象的行程问题，一般需要从其中两个对象入手进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来． 1．(1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车．从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒．求火车的速度． (2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米．这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒．已知火车速度是每秒17米，求火车的长度． 答案：14米/秒270米 解析：（1）相遇问题，60米/分=1米/秒300?20=15 15-1=14 （2）追击问题，（17-2）?18=270米 2．(1)一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间? (2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米? 答案：25秒220米 解析：（1）火车过桥（320+180）?20=25秒 （2）20?21-200=220米 3．一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米．两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间? 答案：10秒 解析：火车相遇，路程为两车路程之和（180+200）÷（20+18）=10秒 4. 甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？ 答案：120秒 解析：火车追击，路程为两车路程之和（370+350）÷（21-15）=120秒 5．许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?然后从队头返回队尾，又需要多长时间? 答案：300秒100秒 解析：队尾到对头是追击问题450÷（3-1.5）=300秒 对头到队尾是相遇问题450÷（3+1.5）=100秒 6．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米．坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒, 问：乙车全长多少米? 答案：390米 解析：相遇问题，从相遇到离开单位不统一60+48=108千米每时=30千米每秒30?13=390米

高思导引--四年级第二十四-逻辑推理教师版

教师版 第24讲逻辑推理一 兴趣篇 1．甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍．牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话．甲说：“我是牧师．”乙说：“我是骗子．”丙说：“我是赌棍．”请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师?谁是骗子?谁是赌棍? 答；甲是牧师，乙是赌棍，丙是骗子。 分析；因为牧师不说谎，所有甲是牧师，同理骗子总说谎所有丙是骗子，赌棍有时说真话有时说谎话 所以乙是赌棍。 2．有三只盒子一只盒子里装有两个黑球，另一只盒子装有两个白球，还有一只盒子里装有黑球和白球各一个．现在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从其中一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球? 答；先那贴有一黑一白的盒子。 分析；因为三只盒子上的标签全贴错了，所以贴有一黑一白的盒子里一定是两黑或两白，如果从盒子里拿出黑的球，那么盒子里就是两个黑球，贴有两黑的就两白，贴有两白的就是一黑一白，如果从盒子里拿出白球同理如上。 3．费叔叔手里握有两个硬币，他让小悦、冬冬和阿奇猜哪只手握有硬币．小悦说：“左手没有，右手有．”冬冬说：“右手没有，左手有．”阿奇说：“不会两手都没有，我猜左手没有．”结果三个人的话都说对一句，说错一句．请问：费叔叔是怎么握住硬币的? 答；两个手都有， 分析：小悦说左手没有是对的，那么，冬冬说左手有就是错误的，那么，冬冬说右手没有也就是对了，这样两个手都没有，不符合题意，所以小悦说的右手有是对，冬冬说的左手有为对，阿奇说的不会两手都没有为对，所以费叔叔两个手都有。 4. 甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印上了不同的号码：赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．请问：丙的号码是几号? 答：丙是4号。 分析；我们知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．假如赵说甲是2号为对，那么钱说丙是四号就是对的，孙说的3号也为对啦，那么孙说的就和钱说的就互相矛盾啦，所以说的乙为3号为对，那么丙就是四号。 5．A、B、C、D四人在争论今天是星期几．A说：“明天是星期五．”B说：“昨天是星期日．”C说：“你们俩说的都不对．”D说：“今天不是星期六．”实际上这四人中只有一人说对了．请问：今天是星期几? 答；星期六 分析；如果a说的对的话，d说的也应该是对的。如果b说的对的话，d说的也是对的，因为四人中只有一人说对了所以以上推论都不正确，所以c说的是正确的，所以今天星期六。 6．爱丽丝梦游仙境时，误入一片魔法森林——健忘森林．在森林中徘徊了很久以后，爱丽丝很想知道今天是星期几．这时她刚巧碰到了老山羊．爱丽丝赶忙问它：“请问您知道今天是星期几吗?” 老山羊回答说：“真糟糕，我也不记得了!不过，你可以去问问狮子和独角兽．狮钢在星期一、二、三是说谎的；独角兽在星期四、五、六是说谎的；其余的日子，它们利会说真话．” 于是，爱丽丝就去找狮子和独角兽，并问它们今天是星期几．

高思导引--四年级第三讲-还原问题与年龄问题教师版

第3讲还原问题与年龄问题 内容概述 学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。 典型问题 兴趣篇 1. 某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？ 答案：这个数是 详解：+6 x6 -6 +6 6 2. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？ 答案：7两酒。 详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该先加8，再除以2.那么到酒店C之前葫芦里应该有（0+8）÷2=4两酒，他在到酒店B的时候应该有（4+8）÷2=6两酒，所以他原来的酒葫芦应该有（6+8）÷2=7两酒。 0+8=8，8÷2=4，4+8=12，12÷2=6，6+8=14，14÷2=7 3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？ 答案：原来这个人身上有43元，箱子里有85元。 详解： 4. 三棵树上共有48只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？ 答案：第一棵树上有12，第二棵23，第三棵13

高思导引--四年级第二十一讲-排列组合教师版

第21讲 排列组合 内容概述 了解排列、组合公式的来由及含义，掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联系，并能够合理应用． 典型问题 兴趣篇 1. 计算：2 4(1)A 410(2)A 3336(3)3A A ?+ 【答案】(1)12 (2)5040 (3)138 【解析】根据排列公式 )1()1(+-?-?=n m m m A n m Λ计算 2433 41036(1)4312(2)109875040(3)3138A A A A =?==???=?+= 2．费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排列方法? 【答案】24 【解析】这种排列是有序的2412344 4=???=A 3．体育课上，老师从10名男生中挑出4人站成一排，—共有多少种不同的排列方法? 【答案】5040 【解析】先从10人中选出4人，再让4人全排列5040210244 4410=?=?A C 4．费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有8个空座位，他们一共有多少种不同的坐法? 【答案】1680 【解析】先让4人选座位，再让4人全排列168024704 448=?=?A C 5．用1至7这7个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到大排起来，312是其中第几个? 【答案】（1）210；（2）第61人 【解析】第一个位置有7中选择第二个位置有6个选择第三个位置有5个选择 个 是第个，开头的有个，百位是开头的有百位是61312302301)2(210)1(151617=??A A A 6.计算：2 5(1)C 47(2)C 3366(2)A C ? 【答案】（1）10 （2）35 （3）2400 【解析】根据组合公式

高思导引-四年级第七讲-直线形计算教师版

第7讲?直线形计算一 内容概述 掌握正方形,长方形，平行四边形，三角形以及梯形的面积计算公式，并能够熟练应用;计算平行四边形和三角形的面积时,学会选择适当的底和高. 典型问题 兴趣篇 1． 如图7-1，由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字，如果这个图形的周长是１0２厘米，那么它的面积是多少平方厘米？ 分析:简单的图形知道周长求解面积，图是由相同的小正方形组成 即每一边长相等。周长是由34个边长组成，算出边长的长度 就可以算出面积。 ） （面积：） （2cm 1441633cm 334102=??=÷ 2. 如图７－2,用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片,其中小正方形纸片面积是49平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为28平方厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米？ 分析:分别由小正方形的面积知道边长，从而知道另外长方形的宽，求解大正方形的边长。 解: ） （） （）（2cm 1211111cm 1174cm 47287 749=?=+=÷?= 3. 如图7-3，小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是3、7、9， 图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？ 分析:阴影部分的面积是由两个平行四边形组成。根据边长相差求解底,而高为正方形的高 解：399273=?+? ４. 如图7－4，从梯形ABC Ｄ中分出两个平行四边形ABEF 和CD ＦG,其中A ＢE Ｆ的面积等于６0平方米，且ＡF 的长度为10米,FD 的长度为4米，平行四边形ＣD ＦG 的面积等于多少平方米? 分析：利用平行四边形的面积=底*高，知道面积求解出高就能算出面积了。 解:（平方米）（平方米）24466 1060=?=÷ 5. 如图7-５，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是8厘米和6厘米,那么左图和右图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？

高思导引-四年级第五讲-竖式问题教师版

第5讲竖式问题 内容概述 以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式,便于直观地解决问题。 典型问题 兴趣篇 1．如图５-1所示，每个英文字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“５”，“A”代表“9”,“D”代表“0”,“H”代表“6”.问:“I”代表的数字是多少？ 分析: A+Ｄ=D，所以,它们的和一定有进位，所以C=4,A＋E＝H也一定有 进位，所以E=７,现在还剩１、2、3、8没有用，所以B、F分别是1、2， I=3. 2. (１）在图5-2的加法竖式中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字? (2）在图５-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？ 分析： （1)观察可得：车=1，卒= ０,兵＋兵＝卒，所以兵=５,马＋ 1=５，所以马=4,炮+炮＝马，所 以炮=2 5240+５210=1045０ (2)观察可得:炮=1,兵—兵＝马,一定有借位,所以马=9,炮—兵=马，所以：兵＝2, 122１—2９2＝929 3. 在图５-4的竖式中，相同的汉字代表相同的 数字,不同的汉字代表不同的数字,如果２3+解+ 数＋字＋谜=30，那么“”所代表 数字谜 的三位数是多少?

4. 图5－5所示的竖式中,每个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字, 那么“ ”代表的四位数是多少? 分析: 观察可得：北＝1,北+京＋奥=0，所以可得要进位,所以；京=８，北＋京+奥+运＝8,所以要进2位，所以:奥=0，运=9 北京奥运=18０９ 5. 已知图５－6所示的乘法竖式成立，那么ABCDE是多少? 6. (1）在图5-７的竖式中,相同的符号 代表相同的数字，不同的符号代表不同的 数字，那么☆、△、○分别代表什么数字? (2）在图５-8的竖式中，相同的符号代 表相同的数字，不同的符号代表不同的数 字,那么☆、△、○分别代表什么数字？ 分析： （1）△×△=△,所以△=1、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位数等于四位数,所以1排除，经分析：△=５,☆=２,○=１ (2)△=１、５、6三种可能,排除1，当△=5时,☆＝4，○=２ 当△=6时，☆＝北京奥运

高思导引-四年级第四讲-数阵图初步教师版

第4讲数阵图初步 内容概述 各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。 典型问题 兴趣篇 1．在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11. 【答案】： 【分析与解】：先如下图将空白处标上字母: 根据题意：a=11－2－5=4;b=11-4－１＝６；c＝11－2-６＝3. ２. 请分别将１,2,4,６这四个数填在图4-２中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于1５.

【答案】： 【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母 根据题意:上面圆内四个数之和等于15,可得a＋d＝15-５－７=３＝1+2; 同理,b＋ｄ＝15-５－3＝7=1+6；c＋d＝15-７－3=5=１+4。由于d属于三个圆的公共部分,经对比发现可得:d＝1；a＝2;ｂ=6；c=4. 3. 如图4-3所示,请在三个空白圆圈内填入三个数,使得每条直线上三个数之和都相等。 【答案】: 【分析与解】:如下图： 因为8+9+a=b+ａ+7可得b＝１０；那么每条线的和＝8＋３＋１０=21;那么a＝21-８－9=4；ｃ=21-8－７=6. 4. 把1至８分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之

【答案】： 1 7 ６ 4 8 2 3 ５ 【分析与解】:因为1＋２+３+……+8=36;所以每行的和等于36÷2=18；每列的和＝３6÷4＝9;从列入手,可将1～8这八个数分为和等于9的四组:1＋８＝2＋７=３+6＝4＋5。再调整使行和等于1８：我们发现1+4=2+3；８+5＝6＋7．经过调整可得答案。 5．把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。 【答案】： 【分析与解】：经过观察发现,此图是个具有对称性的图案;若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。因此可将１~12对称性地分为六组如下:1＋12＝2＋1１=3＋10＝4＋9＝5＋8=6+７. ６．在如图4-６所示的３×3方格表内填入１、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。

高思导引 四年级十六讲 统筹与对策教师版

第16 讲统筹与对策 整理人：张肖 内容概述 生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推. 典型问题 1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟? 答案：16分钟 解析：在试题中，烧开水之前一定要洗开水壶，但是在烧开水的同时，可以把洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事都做完。所以根据先洗水壶，然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共需要1+15=16分钟。 2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少? 答案：A先理发，然后B，最后C；81分钟 解析：因为理发时间固定，为使所花时间总和最短，则只需三人等待时间最短，因此按照理发时间从短到长的顺序理发，这样A只理板寸，花费7分钟，B等待A并理光头，共花费7+10=17分钟，C等待A、B并烫卷发，共花费7+10+40=57分钟，三人共花费7+17+57=81分钟。 3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?

答案：76元 解析：5个一袋的面包单价为8÷5=1.6元，3个一袋的面包单价为5÷3=1.67元，1.6<1.67，所以要尽量多购买5个一袋的面包，同时不要让面包有剩余。47÷5=9……2，2不能被3整除，将两袋5个的与剩余的两个凑成12个，可正好换成4袋3个的，因此需购买7袋5个的和4袋3个的，共花8×7+5×4=76元。 4．如图16-1的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左 下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远? 请画出路线. 答案：8厘米 解析：路线如右图红线所示 5．如图16-2所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐 40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放 数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨盐运l千米需要运 费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图16-2中公路 旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米) 答案：700元 解析：每个仓库各存盐20吨，则A仓库需运出20吨，B仓库需运入15吨，C仓库需运出15吨，D仓库需运入20吨，为使运费最少，则我们只选择相邻仓库进行转运。方案可为A 仓库向D仓库运20吨，C仓库向B仓库运15吨，这样运费为2×10×20+2×10×15=700元。 6．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格

高思导引-四年级第十三讲-横式问题教师版

第13讲横式问题 内容概述 横式中的填空格和字母破译问题，熟练应用尾数分析、首位估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目，一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题求解. 典型问题 兴趣篇 1. 请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称. (1) 12×23□=□32×21；（2）□8×891=198×8□. 答案：（1）12×231=132×21 （2）18×891=198×81 分析：（1）等式的右边乘积的个位数一定是2，那么左边的方框内只能填1或者是6，再估算一下方框中只能填2。 （2）等式的左边乘积的个位数一定是8，那么左边的方框内只能填1或者是6，再估算一下方框中只能填1。 2. 在算式□17×2□=3□□3的方框中填入适当的数字，使得等式成立. 答案：117×29=3393 分析：等式右边的个位数是3，那么左边的第二个方框中只能填9，第一个方框中只能1，那么等式为117×29=3393。 3.在“□，□8，□97”的三个方框内分别填入恰当的数字，可以使这3个数的平均数是150，那么填入的3个数字的和是多少？ 答案：12 分析：要使三个数的平均数是150，三个数的和为450，则一位数只能是5，三位数的百位上只能填3，可得两位数的十位上填4，可知5+4+3=12。 4.在算式3×□□=□□□的5个方框中，分别填入0、1、2、3、4这5个数字，使等式成立. 请问：得到的乘积是多少？ 答案：102 分析：等式左边的两位数的个位数只能为1或者4，枚举可知3×41=123不符合，只能为3×34=102。 5. 在下面这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把算式用数字表示出来. += USA USSR PEACE 答案：932+9338=10270 分析：等式为一个三位数加一个四位数得到一个五位数，那么U等于9，P等于1，列加法竖式计算可知E等于0，枚举S可知只能等于3，等式为932+9338=10270。

高思导引 四年级第十一讲 几何图形剪拼教师版

第11讲几何图形剪拼教师版 内容概述 与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法. 典型问题 兴趣篇 1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的） 2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？ 3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？ 4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.

5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”. 6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来. 7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形. 8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形. （1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？ （2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？

高思导引四年级第七讲直线形计算教师版

第7讲 直线形计算一 内容概述 掌握正方形，长方形，平行四边形，三角形以及梯形的面积计算公式，并能够熟练应用；计算平行四边形和三角形的面积时，学会选择适当的底和高. 典型问题 兴趣篇 1. 如图7-1，由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字，如果这个图形的周长是102厘米，那么它的面积是多少平方厘米？ 分析：简单的图形知道周长求解面积，图是由相同的小正方形组成 即每一边长相等。周长是由34个边长组成，算出边长的长度 就可以算出面积。 ） （面积：） （2cm 1441633cm 334102=??=÷ 2. 如图7-2，用两块长方形纸片和一块小正方形纸片拼成了一个大正方形纸片，其中小正方形纸片面积是49平方厘米，其中一个长方形纸片的面积为28平方厘米，那么最后拼成的大正方形纸片面积是多少平方厘米？ 分析：分别由小正方形的面积知道边长，从而知道另外长方形的宽，求解大正方形的边长。 解： ） （） （）（2cm 1211111cm 1174cm 47287 749=?=+=÷?= 3. 如图7-3，小、中、大三个正方形从左到右依次紧挨着摆放，边长分别是3、7、9, 图中两个阴影平行四边形的面积分别是多少？ 分析：阴影部分的面积是由两个平行四边形组成。根据边长相差求解底，而高为正方形的高 解：399273=?+? 4. 如图7-4，从梯形ABCD 中分出两个平行四边形ABEF 和CDFG ，其中ABEF 的面积等于60平方米，且AF 的长度为10米，FD 的长度为4米，平行四边形CDFG 的面积等于多少平方米？ 分析：利用平行四边形的面积=底*高，知道面积求解出高就能算出面积了。 解：（平方米）（平方米）24466 1060=?=÷ 5. 如图7-5，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是8厘米和6厘米，那么左图和右图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？

(完整版)高思导引四年级第二十三讲最值问题一教师版

第23讲最值问题一 内容概述 求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小． 典型问题 兴趣篇 1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少? 答案：3 分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。个位数字可能是：1、3、5、7、9。通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3. 2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少? 答案：9 分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。满足条件的是412和421.差是421-412=9. 3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢? 答案：36平方厘米；30平方厘米。 分析：（1）矩形的周长是24厘米。长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。和是12

的两数差为0是积最大。这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。 （2）周长是22厘米。长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。差是1时两数分别为6和5.积是30. 4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少? 答案：252 分析：和一定差越小积越大。19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、7时积最大。最大是6×6×7=252. 5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填? (2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填? 答案：（1）41×32 （2）542×631 分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位，1、2在个位。有两种情况A：41×32=1×2+2×40+1×30+40×30=1312 B：42×31=1×2+1×40+2×30+40×30=1302比较发现区别在划横线部分，当一个数十位上的数字与另一个数个位上的数字较大的与较大的相乘，较小与较小的数字相乘时积最大。最大是41×32