奥数二年级讲义小二教案第讲整数的分拆

第十讲 年龄问题

年龄是经常遇到的一个量。几个人之间的年龄两两之差是确定不变的，而和的变化每人每年都要增加1岁。用这样的基本关系，可以来讨论各种关于年龄的问题。注意，年龄问题经常与前面学的和差倍问题一起出现。

妈妈今年36岁，女儿8岁，问7年后妈妈比女儿大几岁？

解答：28岁

小杰今年4岁，爸爸32岁，当两人年龄和为50岁的时候，各多

少岁？

解答：32+4=36 50-36=14 14/2=7 7年后和50 爸爸39 小杰11

妈妈今年29岁，小宝2岁，20年后，妈妈和小宝和多少岁？妈妈

比小宝大多少岁？

解答：20年后妈妈49 小宝22 妈妈比小宝大27岁

弟弟今年5岁，哥哥13岁，当弟弟13岁的时候，哥哥多少岁？

解答：21

马叔叔今年38岁，小明14岁，8年后，他们2人的年龄和是多少？

解答：38+14=52 52+8*2=68

小红今年12岁，比张阿姨小20岁 ，5年后，张阿姨多少岁？

解答：12+20=32 32+5=37岁

妹妹今年9岁，13年后妹妹和姐姐的年龄和是50岁，问姐姐今

年多大？

解答：9+13=22 50-22=28 28-13=15

妈妈今年41岁，女儿今年17岁，几年以后母女两人的年龄之和是70岁？

解答：41+17=58 70-58=12 12/2=6岁

1 今年姐姐

13岁，弟弟今年

10岁，当姐弟年龄之和达101

岁时，姐弟各是多少岁？ 解答：13+10=23 101-13=88 88/2=44

2 今年母亲的年龄是儿子的4倍，10年前母子年龄和为25岁。求今年儿子各自的岁数。 解答：25+10*2=45

3 兄弟二人今年相差9岁，14年前兄的年龄为弟的4倍。求今年兄弟各自的年龄。 解答：9/3=3 14年前弟弟3岁 今年弟弟14+3=17岁。哥哥17+9=26岁

4 当叔叔的年龄与他侄子今年的年龄相等时，侄子的年龄为10岁；当侄子的年龄与他叔叔今年的年龄相等时，叔叔已经37岁。求今年叔侄各自的岁数。

解答：37-10=27 27/3=9

侄子19岁叔叔28岁

5 父母子一家三人今年全家年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁。父比母大4岁。求今年每人的年龄。

解答：70-46=24岁24/3=8<10 故10年前孩子没出生。父母年龄和为46岁，46-4=42 42/2=21岁21+4=25岁（父母10年前）

父今年:25+10=35岁母：21+10=31岁孩子：70-31-35=4岁

小学奥数教程之裂项综合

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思 维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 学科培优数学 “裂项综合” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、 利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式 不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明 了。 知识梳理 一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111 ()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） 11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项

整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法 讲解

整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解 在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法 则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律， 把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。 先看一道整数裂项的经典例题： 【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100 分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。 能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵 消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？ 1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3; 2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3; 3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3; ……

99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3; 规律是不是找着了？ 原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5- 2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷３ =99x100x101÷３ =333300 整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也 不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。 比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。 整数裂项法应用： 式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位， 再除以后延与前伸的差。 【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11 b a a b b a --=? (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： ???? ?? +?+-+?=+?+?)2()1(1)1(1 21)2()1(1 n n n n n n n ???? ?? +?+?+-+?+?=+?+?+?)3()2()1(1 )2()1(1 31)3()2()1(1n n n n n n n n n n 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a b b a b b a a b a b a 1 1+=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 22 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n

(2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--= ?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1( (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?= n n n n S n 证：1 2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-= n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++?+?+?= n n n n S n 证：)1 31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜ b ，那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a b b a b b a a b a b a 1 1 +=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1)1(1 (541) 431 321 211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：111 1)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 、分数“裂差”型运算 1 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 —形式的，这里我们把较小的数写在前面, a b 即a v b ,那么有： 1 111、 ( ) a b baa b (2) 对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有： 1 1 1 1 n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1) (n 2) 1 1 1 1 n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3) 、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 裂和型运算与裂差型运算的对比： (1) a b a b ] 1 abababba (2) b 2 a 2 b 2 a b a b a b b a

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎，掐头去尾”

分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式 1 (n 1) n (n 1)n(n 1) 3 ⑵ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 (n 2) (n 1) n 1 -(n 2)( n 1)n(n 1 ) 4 ⑶n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) Bn 3 1)n(n 1) n(n 1) r 2 n ⑷n(n 1)( n 2) 1 n(n 4 1)(n 2)(n 3) ^(n 4 1)n(n 1)( n 2) ⑸n n! (n 1)! n! 裂项求和部分基本公式 1.求和：S n 1 1 1 1 1 n 1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1 证 ：S n 1 (1 2) 1 1 1 1 1 1 (2 1)(3 2 (1 1) 1 1 1 n ( )1 ' n n 1 n 1 n 1 2.求和：S n 1 3 3 5 5 7 7 9 (2n 1)( 2 n 1) 2n 1

小学奥数整数裂项

小学奥数--整数裂项 对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。 下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。 后延减前伸差数除以N 例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100 分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。 1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3） 2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3） 3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3） 4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3） …… 98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3） 99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3） 将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。 解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100 =（99×100×101-0×1×2）÷3 =333300 例2、计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101 分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。 3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3） 5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）

高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高

第十七讲 整数型计算综合提高 一、多位数计算 1． 凑整、凑9的思想； 2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ． 二、等差数列 1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式： （1） ； （2） ． 3． 项数公式：． 4． 第n 项：． 三、等比数列： 等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ； （2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果； 四、基本公式 1． 平方差公式 ． 2． 平方求和 ． 3． 立方求和 ． 五、整数裂项 1． ； 2． ． ()()()()() 123123234345124 n n n n n n n ?+?+?+??+??+??++?+?+= L ()()() 1212233413 n n n n n ?+?+?+?+?++?+= L ()2 333312312n n ++++=+++L L ()() 22221211236 n n n n ?+?+++++= L ()()22a b a b a b -=-+ ()1n +-?首项公差 ()1÷+末项-首项公差 ?中间项项数 ()2+?÷首项末项项数 9 9999n 个L 14243

一、 整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项： （1） 基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、 计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想； 4． 数论思想在计算中的应用； 例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？ （2）308 303 88883333?个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？ 「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和． 练习1、999999999999999999?的计算结果的数字和是多少？ 例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其 中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了． 练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29， L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？ 经典题型

小学数学分数裂项

小学数学分数裂项 考试要求 （1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。 （4） 4、通项归纳 知识结构 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111 []()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111 []()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+ 3、 对于分子不是1的情况我们有： ?? ? ??+-=+k n n k n n k 11 )( ()11h h n n k k n n k ?? =- ?++?? ()()()()() 211 22k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 311 23223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()( )()()11 222h h n n k n k k n n k n k n k ??= -??+++++??

小学奥数-整数裂项之欧阳光明创编

小学奥数--整数裂项 欧阳光明（2021.03.07） 对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。 下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。 后延减前伸差数除以N 例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100 分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。 1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3） 2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）

4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3） …… 98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3） 99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3） 将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。 解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100 =（99×100×101-0×1×2）÷3 =333300 例2、计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101 分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。 3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3） 5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）

奥数公式大全

（一） 时钟问题 一．追及距离（格数）÷速度差（1－ 121）= 时间 1．两针重合公式：格数÷（1－12 1） 2．两针垂直公式：（格数±15）÷（1－ 12 1） 3．两针成直线公司：（格数±30）÷（1－121） 推广：两针成30°公式：（格数±5）÷（1－ 12 1） 两针成60°公式：（格数±10）÷（1－12 1） 两针成120°公式：（格数±20）÷（1－121） 4．两针与某时刻距离相等（假设为相遇问题）公式：格数÷（1＋12 1） 5．镜子中的时刻：镜子中与实际时针只需将分针与时针互换。例：镜子中6点20分即现实中的5点40分。 6．时针与分针成多少度公式：时针点数×5×6°－ 分针点数×5.5° 7．从0点到12点时针与分针共重合11次。 （二） 整数的计算公式： 1．求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 2．项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 3．末项公式：末项=首项＋（项数－1）×公差 另有：奇数个数的和除以项数等于中间数 4．从1开始的连续自然数的平方求和公式：21+22+23+ (2) n = 6 )12()1(+?+?n n n 从1开始的连续奇数的求平方和公式：21+23+25+……(2n －1)2 = 6 1×n ×(n+1)×(n+2) 从2开始的连续偶数的平方求和公式：22+24+26+……+2n 2 = 61×n ×(n+1)×(n+2) 5．连续自然数的立方求和公式：13+23+33+……+n 3 = （1+2+3+……+n ）2 6．平方差公式：a 2－b 2=（a ＋b ）×（a －b ） a －1=（a ＋1）×（a －1） 7．公比是2的等比数列求和公式：S=2＋22＋23＋24……＋2n = 2 1+n －2 8．等差数列的平均数公式：（首项＋末项）÷2 9．裂项公式：①)1(1+?n n =n 1－1 1+n 211?＋321?＋431?=1－21＋21－31＋31－41 ②) (1k n n +?=（n 1－k n +1）×k 1 有公差的分母，分拆成首项与末项的差乘以公差的倒数。 ③ b a b a ?+=1a ＋b 1 → 分子是分母两数之和时，可拆成两单位分数之和。

(完整word版)小学六年级奥数裂项第一讲

小学六年级奥数裂项第一讲 一、教学目标：1. 掌握分数裂项的基本原理。 2．掌握裂差和裂和的联系与区别 二、重点难点：裂项的技巧去分数运算 三、教学内容：知识梳理 1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。 2、分数裂项的技巧 分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。 第一类：“裂差”型运算。 当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。 两项的裂差非常重要，一定要掌握。 第二类：“裂和”型运算。 当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。

四、归纳总结 1、裂差型基本形式： 2、裂项和基本形式： 3、裂项的实质和意义 裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系； 裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。

五、课堂检测 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ 例1仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？

分析:先通分（把分母都变成各分母之积），分母相同后，再相加或者相减，把两项整理成一项，注意步骤的完整 例2 仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？ 在此处键入公式。 在此处键入公式。

分母拆分为两个数字的乘积，分子拆分为两个数字的差或和，分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。 把一个分数拆分成两个分数的和或差，最后再把这两各数分别约分化简。 例3 阅读下列巧算方法， 解决问题：

五年级奥数整数裂项教师版

五年级奥数整数裂项教师版 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3n n n =-??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 【例 1】 1223344950?+?+?++?=_________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后,相互抵消。 设S ＝1223344950?+?+?++? 1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650 【答案】41650 【巩固】 1223344556677889910?+?+?+?+?+?+?+?+?=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较 多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形： ()()()()()()()()()12111111211333 n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+, 所以原式1111112323412391011891033333????=???+???-???++???-??? ? ????? 1910113303 =???= 另解：由于()21n n n n +=+,所以 原式()()()222112299=++++++ ()()222129129=++++++ +119101991062 =???+??330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ?+?++?+=++这一结论． 例题精讲 知识点拨 整数裂项

小学奥数-整数裂项

小学奥数-- 整数裂项 对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。 通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。 下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。 后延减前伸差数除以N 例1、计算1 x 2 + 2X 3 + 3X 4 + 4X 5 +???+ 98X 99 + 99X 100 分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分 别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1 ，因数个数为2。 1X2= (1X2X3-0X1X2)-(1X3) 2X3= ( 2X3X4-1 X2X3)-(1X3) 3X4= (3X4X5-2X3X4)-(1X3) 4X5= ( 4X5X6-3 X4X5)-(1X3) 98 X99= (98 X99 X100-97 X98 X99) - (1X3) 99X100= (99X100X101-98 X99X100 ) - (1X3) 将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化 为(99X100X101-0 X1X2) 弓。 解：1 X 2+2X 3+3X 4+4X 5+……+98X 99+99X 100 =(99X100X101-0 X1 X2) 弓 =333300 例2、计算3 X 5 + 5X 7 + 7 X 9 +……+ 97X 99+ 99 X 101 分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别 相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。 3X5= ( 3X5X7-1 X3X5) - (2X3)

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总 Prepared on 24 November 2020

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜ b ，那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a b b a b b a a b a b a 1 1+=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1)1(1 (541) 431 321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

小学奥数整数裂项[1].题库版

整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n =-??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 【例 1】 1223344950?+?+?++?L =_________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。 设S ＝1223344950?+?+?++?L 1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650 【答案】41650 【巩固】 1223344556677889910?+?+?+?+?+?+?+?+?=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形： ()()()()()()()()()12111111211333 n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333????=???+???-???++???-??? ? ????? L 1910113303 =???= 另解：由于()21n n n n +=+，所以 原式()()() 222112299=++++++L ()()222129129=+++++++L L 119101991062 =???+??330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123 n n n n n ?+?++?+=++L 这一结论． 【答案】330 【例 2】 14477104952?+?+?++?L =_________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952?+?+?++?L 1×4×9＝1×4×7＋1×4×2 例题精讲 知识点拨 整数裂项

小学奥数：分数裂项.专项练习

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 知识点拨 教学目标 分数裂项计算

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜ b ，那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2222 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(3 1)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

小学奥数-整数裂项

小学奥数--整数裂项 对于较长得复杂算式,单单靠一般得运算顺序与计算方法就是很难求出结果得。如果算式中每一项得排列都就是有规律得，那么我们就要利用这个规律进行巧算与简算。而裂项法就就是一种行之有效得巧算与简算方法。通常得做法就是:把算式中得每一项裂变成两项得差，而且就是每个裂变得后项(或前项)恰好与上个裂变得前项(或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”得目得。 下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法得运用,并为整数裂项法编制一个易用易记得口诀。 后延减前伸差数除以N 例1、计算1×2+2×3+３×４+4×5+…＋9８×９9＋99×100 分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列１、2、3、4、5……98、９9、１０0，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。算式得特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。 1×2＝(1×2×３-0×1×2)÷(1×3) 2×３=(２×3×４-1×２×3)÷(1×３) 3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(１×３) 4×5=（4×５×６－3×４×5)÷(1×3) …… 98×99＝(98×99×100-97×9８×99)÷(1×3) 99×1０0=(９９×100×101-98×99×100）÷(1×3) 将以上算式得等号左边与右边分别累加,左边即为所求得算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×10０×１０１-0×1×2)÷3。 解:１×２+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100 ＝(99×100×1０1-0×1×2)÷3 =333300 例2、计算3×５＋５×7＋7×9+……＋９7×99＋99×10１ 分析:这个算式实际上也可以瞧作就是:等差数列３、５、7、9……97、99、101,先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。算式得特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。 3×5=（3×５×7-１×3×5）÷（2×3) ５×7＝（５×7×9－3×5×7)÷(2×3)