基本初等函数、函数与方程 专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 基本初等函数、函数与方程
（原卷+答案）
1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧ax 2－x －14，x ≤1
log a x －1，x >1
，是R 上的单调函数，则
实数a 的取值范围为( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 3．若不等式x 2
－log a x <0在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．116 ≤a <1
B ．1
16 16 4．若函数f (x )＝x ＋a x －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14 B ．⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－2，14 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 D ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，14 5．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名 的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最 大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0， －x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有 四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0 1 kt ，t ≥1 2， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时 对人体无害． (1)k ＝________； (2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间． 9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0 x －3＋e x ，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1 log 2x ，x >1 ，若1 值范围为________． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2 ，则不等式f (x )＋f (x － 1)<0的解集为________． 12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1， b ，a －b >1. 设函 数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________． 13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( ) A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(0，1) D ．(－∞，－1)∪(0，1) 14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0， 2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，0≤x ≤1 2sin π 2x －1，1 ，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛ ⎦⎥⎤0，1ln 5 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－1ln 6，1ln 5 参考答案 1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间， 只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <3 2 . 所以－1 2 . 所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－1，32 .故选C. 答案：C 2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1 是R 上的单调递减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0 12a ≥1a －54≥－1 ，解得14 ≤a ≤ 1 2 ， 因为a >0且a ≠1， 所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数， 所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14，12 ，故选B. 答案：B 3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0， 又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意； 当0 ⎭⎪⎫0，12 上单调递减， 此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 上单调递增， 又由y ＝x 2 在⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，12 上单调递增， 要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A. 答案：A 4．解析：函数f （x ）＝x ＋a x －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋a x －1＝0在（0，2）上有两个不同的解， 即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解． 此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0 故选D. 答案：D 5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3W lg 2 ≈10W ， 提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250S N ＝2W log 250 000＝ 2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ， 所以信息传递速度C 大约增加了C ′－C C ＝94 3W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D. 答案：D 6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点． 画出f （x ）的大致图象，如图所示． 由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1 所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0 因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －1 3 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1， 所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A 7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称， 由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2）， 所以f （x ）的周期为4, 求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解， 即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题， 根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象， 由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B 8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0 2， 12t ，t ≥1 2， 当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过2 3 小时， 即40分钟人方可进入房间． 答案：（1）2 （2）40 9．解析：当x ≤0时，令x 3 ＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3 －2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增， 又f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12 ＝－52 ＋e 1 2 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个 零点；综上共有2个零点． 答案：2 10．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得1 2 2 若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1 2 ⎥⎤ 12，log 43 ∪（2，4] 11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增， ∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1） ②当2 ③当3 ∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立； ④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5， ∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4 2 ； 综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－∞，92 . 答案：⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1， b ，a －b >1. ， 所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩ ⎨⎧ x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ， 由图可知，当－2 ∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2， 因为f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （－x ）＝f （x ）， 则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ）， 所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ， 因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0， 所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0， 所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增， 不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2， 由f （1）＝3，得g （1）＝2， 所以g （x ）>g （1）， 所以||x >1，解得x >1或x <－1， 所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B 14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数， 所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4）， 所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数， 作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图， 因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解， 所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点， 根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点， 由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0 1 ln 5， 当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－ 1 ln 6≤m<0， 当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－ 1 ln 6≤m≤ 1 ln 5.故选B. 答案：B 冲刺2023年高考二轮 基本初等函数、函数与方程 （原卷+答案） 1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨ ⎧ax 2－x －14，x ≤1 log a x －1，x >1 ，是R 上的单调函数，则 实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1 3．若不等式x 2 －log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．116 ≤a <1 B ．1 16 的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最 大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0， －x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有 四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8. 2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》 一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）关于x 的不等式1 x + 4x a ⩾4在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,4 3] B. (1,4 3] C. [1,43] D. [167,43] 2.（5分）若函数f(x)=x 2+2x +m ，x ∈R 的最小值为0，则实数m 的值是() A. 9 B. 5 C. 3 D. 1 3.（5分）函数y=x2-2x ，x ∈[0，3]的值域为（ ） A. [0，3] B. [1，3] C. [-1，0] D. [-1，3] 4.（5分）函数y =x 2−8x +2的增区间是() A. (−∞,−4] B. [−4,+∞) C. (−∞,4] D. [4,+∞) 5.（5分）二次函数y =x 2−2x −3在x ∈[−1,2]上的最小值为( ) A. 0 B. −3 C. −4 D. −5 6.（5分）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70.x% 1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于万元，则x 的最大值是( ) A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10 7.（5分）函数y =−x 2+2x −3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为() A. 0，−2 B. −2，−6 C. −2，−3 D. −3，−6 8.（5分） 函数f(x)=|x 2−3x +2|的单调递增区间是( ) A. [1,3 2]和[2,+∞) B. [3 2 ,+∞) C. (−∞,1]和[3 2,2] D. (−∞,3 2]和[2,+∞) 9.（5分）下列命题正确的是( ) A. 命题“∃x ∈R ，使得2x 第1讲函数、基本初等函数的图象与性质 考情解读 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大． 1．函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性． (3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|. 3．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图． 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况. 热点一 函数的性质及应用 例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． (2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈????0，1 2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ??? ?－3 2的值等于________． 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，1 2]时的 解析式探求f (3)和f (－3 2)的值． 答案 (1)(－1,3) (2)－1 4 解析 (1)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称． 又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示， 由f (x －1)>0，得－2 高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用 一、单项选择题 1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=x x 2-1−1 2的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2021·福建泉州一模)已知a=3 2,b=√3√ 2,c=ln3 ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+a x (a>1)的图象大致是( ) 4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,5 2) B.(5 2,4) C.(5 2,+∞) D.(4,+∞) 5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论: 甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=5 2有两个根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1, -ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根 之和为() A.2 B.3 C.4 D.1 7.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0 2.2 基本初等函数、函数与方程 【课时作业】 A 级 1．(2018·某某市第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ x 2 －2x ，x ≤0，1＋1 x ，x >0，则函 数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析： 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ≤0，x 2 －2x ＋3x ＝0 或⎩⎪⎨⎪ ⎧ x >0，1＋1 x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C. 答案： C 2．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1 x ，则f (2)等于( ) A.12 B ．e C.1e D ．－1 解析： 法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ， 于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1 e 1－x ，故f (2)＝e. 法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝1 1 e ＝e ，即 f (2)＝e. 答案： B 3．(2018·某某市第二次调研)若a ＝20.5 ，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c 解析： 依题意，得a >1,01，得c <0， 故a >b >c ，故选D. 答案： D 4．(2018·某某某某一模)函数f (x )＝ln 2x －1的零点所在区间为( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析： 由f (x )＝ln 2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln 2－1<0， f (2)＝ln 4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故 选D. 答案： D 5．已知函数f (x )＝log 3x ＋2 x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1) D ．(1，log 34) 解析： ∵单调函数f (x )＝log 3 x ＋2 x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32 考点三 ：导数及其应用——五年（2018-2022）高考数学真题专 项汇编卷 全国卷版 1.【2021年 全国乙卷(理)】设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A.a b < B.a b > C.2ab a < D.2ab a > 2.【2022年 全国乙卷(理)】已知1x x =，和2x x =分别是函数2 ()2e x f x a x =-（0a >且 1a ≠）的极小值点和极大值点.若12x x <，则a 的取值范围是_________. 3.【2018年 全国Ⅱ卷理科】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________. 4.【2022年 全国乙卷(文)】已知函数1()(1)ln f x ax a x x =--+. （1）当0a =时，求()f x 的最大值； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围. 5.【2021年 全国甲卷(文)】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 6.【2020年 全国Ⅰ卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()31 12 f x x ≥+，求a 的取值范围. 7.【2020年 全国Ⅱ卷文科】已知函数()2ln 1f x x =+. （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()() ()f x f a g x x a -= -的单调性. 8.【2019年 全国Ⅰ卷理科】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： (1).()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； (2).()f x 有且仅有2个零点． 9.【2019年 全国Ⅱ卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： 三 函数、导数 【必记结论】 1.函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域 ①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R . ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为[ 4ac−b 24a ，＋∞)，当a <0时，值域为(－∞，4ac−b 24a ]； ③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔ f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)−f (x 2) x 1−x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性． 4．指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0，1)点； y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1，0)点． (2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当00的解集确定函数f (x )的单调增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立(注意：等号不恒成立)； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集； ③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集． 2023高考数学二轮复习专项训练《函数模型及其应用》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P =P 0⋅e −kt (k 为常数，P 0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为( )(参考数据：取log 52=0.43) A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 2.（5分）已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x +1)关于直线x =−1对称．当x ⩾0时， f(x)={2−14 x 2 +1 ,0⩽x <22−lo g 2x,x ⩾2 ，若对任意的x ∈[m,m +1]，不等式f(2−2x )⩾f(x +m)恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. [−1 4,0) B. [1 2,1] C. [1,+∞) D. [1 2,+∞) 3.（5分）设f(x)={x −2,x ⩾10 f(x +6),x <10 ，则f(9)=( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4.（5分）设f(x)={x 2+1(x ⩾0) 4xcosπx −1(x <0)，g(x)=kx −1(x ∈R)，若函数y =f(x)− g(x)在x ∈[−2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. (2√2,11 3) B. (2√2,113 ] C. (2√3,4) D. (2√3,4] 5.（5分）函数f(x)={x +1,x ⩽0 lg x,x >0 的零点是( ) A. (−1,0)，(1,0) B. −1，1 C. (−1,0) D. −1 6.（5分）设函数f(x)={−3x 2,x <1 2x ,x ⩾1 ，则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( ) A. (−∞,1] B. [0,1] C. [0,+∞) D. [1,+∞) 7.（5分）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( ) 2023届高三数学二轮复习多选题训练 1. (2022·济南质检)为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研．根据统计数据制成折线图如下： 下列说法正确的是( ) A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30 B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72 C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 2. (2022·长沙十六校联考)下列不等式成立的是( ) A ．log 2(sin 1)>2sin 1 B.⎝⎛⎭⎫1π2<1 2π C.7－5<6－2 D ．log 43 第2讲基本初等函数、函数与方程 1.[指数、对数的运算] (2020·全国Ⅰ卷,T8)设alog34=2,则4-a=( B ) A.1 16B.1 9 C.1 8 D.1 6 解析:因为alog34=2,则log34a=2,则4a=32=9,则4-a=1 4a =1 9 .故选B. 2.[函数的应用] (2021·全国甲卷,T4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足 L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(√10 10≈1.259)( C ) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析:在L=5+lg V中,L=4.9,所以4.9=5+lg V,即lg V=-0.1, 解得V=10-0.1=1 100.1= √10 10 =1 1.259 ≈0.8,所以其视力的小数记录法的数据 约为0.8.故选C. 3.[函数的性质] (2021·新高考Ⅱ卷,T7)已知a=log52,b=log83,c=1 2 ,则下列判断正确的是( C ) A.c 4.[函数的零点] (2020·天津卷,T9)已知函数f(x)={x 3,x ≥0, -x ,x <0.若函 数g(x)=f(x)-|kx 2-2x|(k ∈R)恰有4个零点,则k 的取值范围是( D ) A.(-∞,-1 2)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2) C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞) 解析:由题意知函数g(x)=f(x)-|kx 2-2x|恰有4个零点等价于方程f(x)-|kx 2-2x|=0, 即f(x)=|kx 2-2x|有4个不同的根, 即函数y=f(x)与y=|kx 2-2x|的图象有4个不同的公共点. 当k=0时,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|2x|的图象如图1所示,由图1知两函数的图象只有2个不同的公共点,不满足题意. 当k<0时,y=|kx 2-2x|=|k(x-1 k )2-1 k |,其图象的对称轴为直线x=1 k <0,直 线x=1k 与y=|kx 2-2x|的图象的交点为(1k ,-1k ),点(1k ,-1 k )在直线y=-x 上, 在同一平面直角坐标系中, 专题强化训练(二) 一、单项选择题 1.(2022·山东济南二模)已知ln 2=a,ln 3=b,那么log 32用含a,b 的代数式表示为( B ) A.a-b B.a b C.b a D.a+b 解析:由换底公式,得log 32= ln2ln3=a b .故选B. 2.(2021·江苏金陵中学高三模拟)函数f(x)=2x +ln x-1的零点所在的区间为( D ) A.(1,3 2 ) B.(3 2 ,2) C.(0,1 2 ) D.(1 2 ,1) 解析:函数f(x)=2x +ln x-1在(0,+∞)上单调递增,由f(1)=1>0, f(1 2)=√2-ln 2-1<3 2-ln 2-1=1 2-ln 2<1 2-ln √e =12-1 2=0, 可得函数f(x)的零点所在的区间为(1 2,1).故选D. 3.(2022·湖北武汉二模)已知a=e ln 2,b=log 34,c=21.1,则( B ) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 解析:因为a=e ln 2=2,b=log 34 标排放,那么该污染物排放前至少过滤(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477)( C ) A.5次 B.7次 C.8次 D.9次 解析:设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *),由题意得 1.2×0.8n ≤0.2,即(5 4)n ≥6, 两边同时取以10为底的对数可得lg (54)n ≥lg 6, 即nlg( 5×28 )≥lg 2+lg 3, 所以n ≥lg2+lg31-3lg2 ,因为lg 2≈0.3,lg 3≈0.477, 所以 lg2+lg31-3lg2 ≈ 0.3+0.4771-3×0.3 =7.77, 所以n ≥7.77,又n ∈N *,所以n min =8,即该污染物排放前至少过滤8次.故选C. 5.(2022·河北石家庄模拟预测)若e -x 1·x 3=-ln x 2·x 3=-1,则下列不等关系一定不成立的是( D ) A.x 1 考点突破练17 基本初等函数、函数的应用 一、选择题 1.(2022·浙江·7)已知2a =5,log 83=b ,则4a-3b =( ) A.25 B.5 C.25 9 D.53 2.(2022·北京西城二模)下列函数中,与函数y=x 3的奇偶性相同,且在(0,+∞)上有相同单调性的是( ) A.y=(12 )x B.y=ln x C.y=sin x D.y=x|x| 3.(2022·河南洛阳一模)若a=(√3)23,b=e 1 3,c=log 3e,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 4.(2020·全国Ⅲ·理4)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )= K 1+e -0.23(t -53) ,其中K 为 最大确诊病例数.当I (t *)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 5.(2022·江西上饶六校联考)函数f (x )= x 2x +2-x 的大致图象为( ) 6.(2022·山东淄博一模)若4x =5y =20,z=log x y ,则x ,y ,z 的大小关系为( ) A.x 专题检测（八）基本初等函数、函数与方程 A级——常考点落实练 1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 解析：选D 设幂函数f(x)＝x a，则f(3)＝3a＝3，解得a＝1 2 ，则f(x)＝x 1 2 ＝x，是非奇非偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数． 2．(2021·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞)D．(4，＋∞) 解析：选D 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．留意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝a x，其中a>0且a≠1，假如以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x1)·f(x2)＝( ) A．1 B．a C．2 D．a2 解析：选A ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0，又f(x)＝a x，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1. 4．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910 日均销售量/件400360320280240200160 请依据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( ) A．4 B．5.5 C．8.5 D．10 解析：选C 由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x －42)，故当x＝8.5时，y有最大值． 5．已知函数f(x)＝6 x －log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 解析：选C 由于f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝ 3 2 －log24＝－ 1 2 <0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)． 6．若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 －x，则f(2)＋g(4)＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D 法一：∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f(x)＝⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 －x＝2x，∴g(x)＝log 2x，∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6. 法二：∵f(x)＝⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 －x，∴f(2)＝4，即函数f(x)的图象经过点(2,4)，∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，∴函数g(x)的图象经过点(4,2)，∴f(2)＋g(4)＝4＋2＝6. 7．(2021·云南第一次统一检测)设a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为( ) A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b 解析：选D 由于a＝60.7>1，b＝log70.6<0,0 点点练5 基本初等函数 一 基础小题练透篇 1.[2022·丰台区模拟]已知函数f (x )＝2x ，下列说法正确的是( ) A ．f (mn )＝f (m )f (n ) B ．f (mn )＝f (m )＋f (n ) C ．f (m ＋n )＝f (m )＋f (n ) D ．f (m )f (n )＝f (m ＋n ) 2．若函数f (x )＝2×a x ＋ m －n (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m ＋n ＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－2 3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天原有的加上新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( ) A ．10天 B ．15天 C ．19天 D ．2天 4．[2022·广东模拟]如图，直线x ＝t 与函数f (x )＝log 3x 和g (x )＝log 3x －1的图象分别交于点A ，B ，若函数y ＝f (x )的图象上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则t 的值为( ) A ．3＋22 B ．33＋32 C ．33＋34 D ．33 ＋3 5．[2021·浦东新区校级三模]若f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，则y ＝f － 1(x )的定义域是( ) A ．R B ．(5，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝⎛⎭⎫ 12 ＝2，则不等式f (log 4x )＞2的解集为( ) A ．(0，1 2 )∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(0，2 2 )∪(2 ，＋∞) D ．(0，2 2 ) 7．[2022·北京昌平区月考]已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝________． 8．[2022·四川成都棠湖中学检测]如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上的最大值是14，那么a 的值为________． 二 能力小题提升篇 1.[2021·沈阳三模]已知x ∈(1，2)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b 课时作业17 基本初等函数、函数与方程 ［A·基础达标］ 1．函数y＝a x－1（a〉0，且a≠1）的图象恒过点A,则下列函数中图象不经过点A的是（） A．y＝错误!B．y＝|x－2｜ C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 2．设f(x）是区间[－1,1]上的增函数，且f错误!·f错误!<0，则方程f（x）＝0在区间［－1,1]内（） A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根 C．有唯一的实数根D．没有实数根 3．如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t,则函数h＝f(t）的图象大致是(） 4．若函数y＝错误!（a〉0，且a≠1）的定义域和值域都是[0，1］，则log a错误!＋log a错误!＝（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数y＝x a，y＝x b，y＝c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（） A．c〈b C．c 第2讲 基本初等函数、函数与方程 考情分析 1．基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型． 2．函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现． 自主先热身 真题定乾坤 ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN 真题热身 1．(2021·全国新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( C ) A ．c －log 20.5＝1， 0基本初等函数、函数与方程 专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
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