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2022年山东新高考数学专项练习试题(含解析)——基本初等函数

一、单选题

1.函数在上的图象可能是（）

A. B.

C. D.

2.已知方程的实数解为，且，，则（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3.已知正数满足，则的最小值为（）

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

4.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）

A. 2x＜3y＜5z

B. 5z＜2x＜3y

C. 3y＜5z＜2x

D. 3y＜2x＜5z

5.己知a=log20.2，b= ，c= ,则（）

A. a

B. a

C. c

D. b

6.已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）

A. （﹣∞，4]

B. （﹣∞，2]

C. （﹣4，4]

D. （﹣4，2]

7.已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是( )

A. B. C. D.

8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）

A. B. C. D.

9.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增. 若实数满足

, 则的取值范围是( )

A. B. C. D.

10.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）

A. [3，+∞）

B. （3，+∞）

C. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）

D. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

11.已知，则的大小关系为（）

A. B. C. D.

12.若a>0，且a≠1，则函数y=a x-1+1的图像一定过定点（）

A. （0，1）

B. （1，1）

C. （1，2）

D. （0，-1）

13.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数②f(x)在区间单调递增

③f(x)在[-π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（）

A. ①②④

B. ②④

C. ①④

D. ①③

14.函数的定义域为（）

A. B. C. D.

15.设函数,则满足f(x+1)

A. (-∞,-1]

B. (0,+∞)

C. (-1,0)

D. (-∞,0)

16.已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）

A. a＜b＜c

B. b＜a＜c

C. c＜b＜a

D. c＜a＜b

17.已知a=In 0.5，b=50.1，c=0.60.2，则a，b，c的大小关系是( )

A. b>c>>a

B. a>b>c

C. b>a>c

D. c>b>a

18.已知函数（），对，均，使得

成立，则a的最小值为（）

A.2

D.4

19.已知，方程有三个实根

，若，则实数（）

20.函数在区间（0,1）内的零点个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

21.关于函数，，下列说法错误的是（）

A.在处的切线方程为

B.有两个零点

C.存在唯一极小值点，且

D.有两个极值点

22.已知，，，则（）

二、多选题

23.已知函数记关于a的方程的解的个数为，以下判断正确

的是（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若或，则

24.关于函数（），下列说法正确的有（）

A.，至少有两个零点

B.，只有两个零点

C.，只有一个零点

D.，有三个零点

25.设，，，，则在a，b，c，d这4个数中（）

A.最大数为a

B.最小数为b

C.最大数为c

D.最小数为d

三、填空题

26.若，则________．

27.已知在上是减函数，且对任意的，都成立，写出一个满足以上特征的函数________.

28.若.则________.

29.已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.

30.已知函数，，则________。

31.若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．

①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．

32.函数的定义域为________.

33.定义在上的函数单调递增，且对，有，则________.

34.已知，则________；若函数在上单调递增，则的取值

范围为________．

35.设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数

的图象一定过点________.

36.设函数，则________.

四、解答题

37.已知函数，关于x的方程恰有两个不相同的实根，

．

（1）求a的取值范围；

（2）是否存在a使得成立，若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

38.为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机

肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求函数的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

39.已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的解析式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

40.已知函数

（1）求函数在点处的切线方程

（2）证明:当时，

41.已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

42.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数

（1）求a值；

（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；

（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．

43.某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x（千件）A产

品，需另投入生产成本（千元），且

（1）求该企业生产一件A产品的平均成本p（元）关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；（总成本=研发成本+生产成本）

（2）该企业欲使生产一件A产品的平均成本元，求其年生产址x（千件）的取值区间？

44.已知函数（）有两个极值点，，且.

（1）求a的取值范围；

（2）若，求a的取值范围.

45.已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切，求a的取值范围.

46.已知函数，其中.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）解关于x的不等式：；

（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.

47.已知函数.

（1）若是定义在上的偶函数，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若，求函数的零点.

48.已知函数的最小正周期为.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若先将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求方程在上根的个数.

49.已知函数.

（1）求过点与曲线相切的切线方程.

（2）若，函数有且只有一个零点，证明：.

50.已知函数.

（1）当时，求不等式的解集

（2）当时，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C

【解析】【解答】，是奇函数，排除AB，

在时，由复合函数单调性知是增函数，且，又增函数，且，

所以是增函数，而是增函数，所以是增函数，排除D．

故答案为：C．

【分析】利用函数奇偶性排除选项A，B，然后利用符合函数的单调性结合对数函数和二次函数的单调性即可判断选项C正确，选项D错误.，由此得出答案。

2.【答案】 D

【解析】【解答】解：，令，在同一坐标系画出图象可得

由图可知，令，

，

故答案为：D．

【分析】先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可.

3.【答案】 A

【解析】【解答】正数满足，即，，

所以，，即，所以，

故，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为2.

故答案为：A.

【分析】先利用对数运算得到x=4y , 再利用基本不等式求最值即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：x、y、z为正数，

令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．

则x= ，y= ，z= ．

∴3y= ，2x= ，5z= ．

∵= = ，＞= ．

∴＞lg ＞＞0．

∴3y＜2x＜5z．

故选：D．

【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据= = ，＞= ．即可得出大小关

系．

5.【答案】B

【解析】【解答】因为函数中底数为2，又利用增函数的性质，

因为函数中底数为2，又利用增函数的性质，

因为函数中底数为0.2，又利用减函数的性质，

故答案为：B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a,b,c与特殊值的大小关系式，判断出a,b,c的大小关系。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，

则当x∈[2，+∞）时，

x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数

即，f（2）=4+a＞0

解得﹣4＜a≤4

故选C

【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．

7.【答案】C

【解析】【解答】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：

当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，

故实数a的取值范围是[-1，+∞），

故答案为：C

【分析】作出分段函数的图象,函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形得到a的范围.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：

则a，b，c的大小关系为：c>a>b

故答案为：D

【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a,c化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c的大小.

9.【答案】D

【解析】【解答】因为函数是定义在R上的偶函数，又因为

.所以由可得.区间单调递增且为偶函数.所以.故选D.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，

B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}，

C B A=[3，+∞）．

故选A．

【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得C B A．

11.【答案】A

【解析】【解答】，，且

故

故答案为：A

【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定的大小关系即可。

12.【答案】C

【解析】【解答】解：∵x=1时，y=a0+1=2，

∴函数y=a x-1+1 （a＞0且a≠1）的图象经过点（1，2）.

故选C.

【分析】根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象与性质，即可得出结论．

13.【答案】C

【解析】【解答】函数f(x)=sin|x|+|sinx|，

所以函数为偶函数，①对，

根据分段函数的图象可知②③错，④对。

【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项。

14.【答案】C

【解析】【解答】由函数的表达式可知，函数的定义或应满足条件：

，解之得≠,JI既函数的定义或为，故应选C.

【分析】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.

15.【答案】D

【解析】【解答】函数图象如图：

满足f（x+1）﹤f（2x）

可得：或

解得：(-∞,0)

故答案为：D

【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f(),得到关于x的不等式,解不等式求出x的范围.

16.【答案】C

【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，

∴a=﹣f（）=f（log25），

b=f（log24.1），

c=f（20.8），

又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，

∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），

即c＜b＜a．

故选：C．

【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．

17.【答案】 A

【解析】【解答】a=ln0.5<0，b=50.1> 1，0<0.60.2<1，0

【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再利用与特殊值对应的指数与对数大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。

18.【答案】C

【解析】【解答】令，显然函数是上的偶函数，

，

则，而，有，即，在单调递增，

显然函数图象是函数图象右移一个单位而得，于是得图象关于直线对称，且在单调递增，如图，

“ ，使得成立”等价于，，

当时，，而在单调递增，时，取最小值，

当时，，显然有，

，

而在上递增，则时，取最小值，

因，因此，当，变化时，的最小值是，

当时，由图象及对称性同理可得变化时，的最小值是，

从而得，变化时，的最小值是，

又“对，均，使得成立”，即长度为2的任意区间上都存在两个自变量值，

使得成立，等价于当变化时，的最小值不小于1，

于是得，而，解得，

所以a的最小值为.

故答案为：C

【分析】首先由函数的奇偶性判断出函数为偶函数，结合偶函数的性质找出函数的图象，然后由结合指数函数的单调性求出函数的最值，要使函数f(x)在任意长度为2的闭区间上总存在两点X1，X2，使成立，只需要，的最小值不小于1，由此得出关于a的不等式求解出a 的取值范围，从而可求出a的最小值。

19.【答案】B

【解析】【解答】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，

当x＜0时，由f（x）＝2 ，即﹣2x＝2 ．

得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x ，

①当﹣1≤x 时，有f（x）≥2 ，

原方程可化为f（x）+2 f（x）﹣2 2ax﹣4＝0，

即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x ，由﹣1

解得：0≤a≤2 2．

②当x≤1时，f（x）＜2 ，原方程可化为4 2ax﹣4＝0，

化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x ，

又0≤a≤2 2，∴0．

∴x1，x2，x3＝0．

由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得2（），

解得a （舍）或a ．

因此，所求实数a ．

故答案为：B．

【分析】根据题意即可判断出f（x）≥2 ，由此化简方程求出x1，x2，x3＝0，从而整理即可得到a的值。

20.【答案】B

【解析】【解答】,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又因为函数为单调函数，故零点只有一个。故答案为：B

【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而结合函数的单调性，进而求出函数

在区间（0,1）内的零点个数。

21.【答案】D

【解析】【解答】对A，对函数求导，得，则，

，所以在处的切线方程为，A正确，不符合题意；

，当时，，

当时，，，∴，

∴时，，∴单调递增，

，，

在内，存在唯一的零点,且，

且在内，，单调递减；，，单调递增，∴

为极值点，且为极小值点；由，∴，∵，∴，

∴，

∴有唯一的极值点，且为极小值点，且，D错误，符合题意，C正确，不符合题意；

又∵,

结合函数的单调性可知，∴有两个零点，B正确，不符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出函数在切点处的切线方程；利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，从而推出函数有两个零点；利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用函数有唯一的极值点，且为极小值点，且，进而找出说法错误的选项。

22.【答案】C

【解析】【解答】因为，，，所以。

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的知识与对数大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。

二、多选题

23.【答案】A,C

【解析】【解答】解：由如图所示，画出该函数的图像，

对于A，若，即，

此时，或，

当时，，或，

当时，或或，

所以，A符合题意；

对于B，当时，即，

则或，或，

①当时，有一解，

②当时，有三个解，

③当时，分两种情况讨论，（Ⅰ）当，有三个解，

（Ⅱ）当时，有两个解，

所以或6，B不符合题意；

对于C，当时，即，

则或或，

当时，，

当时，或或，

当时，或，

所以，C符合题意；

对于D，当或时，即或，

则或或，

当时，有三个解，

当时，有一个解，

当时，有两个解，

所以，D不符合题意.

故答案为：AC.

【分析】根据题意作出函数的图像，若t=-1，即f(f(a))=-1，则f(a)=-1或f(a)=1，求出a，即可判断A；当时，即，则或，或，

分别家出解的个数，由此即可判断判断B；当时，即f(f(a))=1，则f(a)=-2或f(a)=0或f(a)=2，，求出a，即可判断C；当或：时，即f(f(a))<-1或f(f(a))>1，则02，分别求出解得个数，即可判断D，从而得出答案。

24.【答案】C,D

【解析】【解答】函数（）有零点有解，

有解，

令，方程有解，

对C，当，即时，与没有交点，

根据绝对值函数的图象可得：方程有1个解，C符合题意；

对D，当，即时，与有两个交点，，

根据绝对值函数的图象可得：方程有3个解，D符合题意；

根据简易逻辑知识可知A,B不符合题意；

故答案为：CD

【分析】根据题意即可得出函数（）有零点有解，由特殊值代入法，结合指、对数函数的图象和性质由零点的定义，对选项逐一判断即可得出答案。

25.【答案】A,D

【解析】【解答】因为，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

故答案为：AD

【分析】由指数函数的单调性即可求出a的范围；再由对数函数的单调性即可求出b和c的取值范围，从而比较出结果即可。

三、填空题

26.【答案】 2

【解析】【解答】若，则.

故答案为：2.

【分析】由指数幂以及对数的运算公式整理化简计算出结果即可。

27.【答案】（答案不唯一）

【解析】【解答】，满足在上是减函数，

且.

故答案为：

【分析】结合对数函数的单调性及对数的运算性质可求。

28.【答案】-1

【解析】【解答】由题意，

故答案为：-1

【分析】根据，即可求出，然后得到a的值.

29.【答案】-7

【解析】【解答】解：∵，又。【分析】由f(3)=1得到关于a的方程,求出a的值.

30.【答案】-2

【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（-x）

满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）

所以g（x）是奇函数

函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4

可得：f（a）=4=+1,可得：ln（）=3

f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2

故答案为：-2

【分析】利用ln（-x）与ln（+x）是相反的

31.【答案】①④

【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）= 为实数集上的增函数；

对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）= 为实数集上的减函数；

对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，

g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，

∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；

对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），

g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，

∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．

∴具有M性质的函数的序号为①④．

故答案为：①④．

【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．

32.【答案】或

【解析】【解答】解：∵

方程的解为：

∴一元二次不等式的解为：x<1或x>3

∴函数的定义域为：

故答案为：

【分析】根据对数函数的定义可知，然后解一元二次不等式即可求出函数的定义域。33.【答案】

【解析】【解答】根据题意，对，有

又是定义在R上的单调增函数R上存在常数a使得

，，解得

故答案为：.

【分析】首先由函数的单调性结合已知条件即可得出函数的解析式，再由对数的运算性质代入数值计算出结果即可。

34.【答案】18；

【解析】【解答】因为，所以，

所以，

若函数在上单调递增，

则解得：，

所以的取值范围为，

故答案为：18；.

【分析】根据题意选择合适的函数解析式，代入数值计算出函数的值；然后由一次函数和指数函数的单调性求出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。

35.【答案】

【解析】【解答】解：函数存在反函数，且函数的图象过点，，，当时，

函数的图象一定过点

故答案为：．

【分析】根据函数y=f(x)存在反函数，且函数y=2x-f(x)的图象过点(2，3)可得f(2)=1，再根据反函数与原函数的关系可求出f1(1)=2，从而求出函数的图象一定经过的定点.

36.【答案】

【解析】【解答】由题意得，.

故答案为：.

【分析】利用分段函数的解析式结合代入法，从而求出函数值，进而求出函数值的和。

四、解答题

37.【答案】（1）恰有两个不相同的实根，恰有两个

不相同的实根，

①当即时，，

则有两个不相同的实根，故

解得；

②当即时，当时原方程等价

，恒成立，

故在有一根，

当时，原方程等价于，恒成立，故在上有一根，故满足题意；

综上所述，．

（2）当时，，，此时，不合题意；

当时，，，，符合题意；

当时，由（1）可知，，故

，

所以不存在a使得成立.

当时，由（1）可知，

故，

，

故，则成立，

故

基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案） 1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨ ⎧ax 2－x －14，x ≤1 log a x －1，x >1 ，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1 3．若不等式x 2 －log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．116 ≤a <1 B ．1 16

的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.