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静电场的环路定理

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理

关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式

或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场，还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日

第五节静电场的环路定理电势能

7-5 静电场的环路定理电势能一、静电场力所作的功如图所示，有一正点电荷q 固定于原点O ，试验电荷0q 在q 的电场中由点A 沿任意路径ACB 到达点B 。在路径上点C 处位移元l d ，从原点O 到点C 的径矢为r 。电场力对 0q 作的元功为 l E d d 0?=q W 已知点电荷的电场强度为 r r q e E 20π41ε= r r qq W d π41d 200ε= 于是，在试验电荷0q 从点A 移至点B 的过程中，电场力所作的总功为 ??-===B A r r B A r r qq r r qq dW W 00200)11(π4d π4εε 式中A r 和B r 分别为试验电荷移动时的起点和终点距点电荷q 的距离。上式表明，在点电荷q 的非匀强电场中，电场力对试验电荷 0q 所作的功，只与其移动时的起始和终了位置有关，与所经历的路径无关。由此推广到任意静电场，可得出如下结论：一试验电荷 0q 在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷 0q 及路径的起点和终点的位置有关，而与该路径的形状无关。二、静电场的环路定理在静电场中，若将试验电荷0q 沿闭合路径移动一周，电场力作的功可表示为 ???=?=l l q q W 00d d l E l E

?=?l d q 00l E 由于0q 不为零，故 ?=?l 0d l E （7-13）上式表明，在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为零。 E 沿任意闭合路径的线积分又叫做E 的环流，这叫做静电场的环路定理。至此，我们明了静电场力是保守力; 静电场是保守场。三、电势能与物体在重力场中具有重力势能一样，电荷在静电场中的一定位置上具有一定的电势能，这个电势能是属于电荷—电场系统的，而静电场力对电荷所作的功等于电荷电势能的改变量。如果以A E p 和A E p 分别表示试验电荷0q 在电场中点A 点B 处的电势能，则试验电荷从A 移动到B ，静电场力对它作的功为 )(p p pB p A B A AB E E E E W --=-= 或 )(d p p p p 0A B B A AB E E E E q --=-=??l E （7-14）在国际单位制中，电势能的单位是焦耳，符号为J 。电势能也和重力势能一样，是一个相对的量。要决定电荷在电场中某一点电势的值，也必须先选择一个电势能参考点，并设该点的电势能为零。在式（7-14）中，若选 0q 在点B 处的电势能为零，即0p =B E ，则有 ??=AB A q E l E d 0p )0(P =B E （7-15）这表明，试验电荷 0q 在电场中某点处的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。四、思考题 1、为什么说静电力是保守力？ 2、电场强度E 的环流定理如何表示？由电场力作功与路径无关，可以证明：将试验电荷沿闭合路径移动一周，电场力作的功为零。即

GP静电场环路定理电势能电势和电势差

单元3 静电场环路定理电势能电势和电势差一．选择、填空题 1. 静电场中某点电势的数值等于【 C 】 (A) 试验电荷0q 置于该点时具有的电势能； (B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能； (C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能； (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功 2. 如图XT_0088所示，CDEF 是一矩形，边长分别为l 和2l 。在DC 延长线上l CA =处的A 点有点电荷+q ，在CF 的中点B 点有点电荷－q ，若使单位正电荷从C 点沿CDEF 路径运动到F 点，则电场力所作的功等于：【 B 】 (A) l l q o --? 5154πε； (B) 5514-?l q o πε； (C) 3134-?l q o πε； (D) 5 1 54-? l q o πε 3. 如图XT_0089所示，边长为a 的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q 、2q 、3q 。若将另一正点电荷Q 从无穷远处移到三角形的中心O 处，外力所作的功为: 【 C 】 (A) 04a πε； (B) 04a πε； (C) 04a πε； (D) 04a πε 4. 一电量为Q 的点电荷固定在空间某点上，将另一电量为q 的点电荷放在与Q 相距r 处。若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能r qQ W e 1 40πε= 。 5. 如图XT_0090所示，在带电量为q 的点电荷的静电场中，将一带电量为q o 的试验电荷从a 点经任意路径移动到b 点，外力所做的功)1 1(4001a b r r qq A -= πε；电场力所做的功)11(4002b a r r qq A -= πε。 6. 真空中电量分别为q 1和q 2的两个点电荷，当它们相距为r 时，该电荷系统的相互作用电势能 r q q W 1 4021πε= 。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。

安培环路定理在恒定电流的磁场中,磁感强度沿任何闭合路径的线积分

安培环路定理在恒定电流的磁场中，磁感强度沿任何闭合路径的线积分等于此路径所环绕的电流的代数和的μ0倍。安培载流导线在磁场中所受的作用力。毕奥-萨伐尔定律实验指出，一个电流元Idl 产生的磁场为场强叠加原理电场中某点的电场强度等于各个电荷单独在该点产生的电场强度的叠加(矢量和)。磁场叠加原理空间某一点的磁场(以磁感强度示)是各个磁场源(电流或运动电荷)各自在该点产生的磁场的叠加(矢量和)。磁场能量密度单位磁场体积的能量。磁场强度是讨论有磁介质时的磁场问题引入的辅助物理量，其定义是磁场强度的环路定理沿磁场中任一闭合路径的磁场强度的环量(线积分)等于此闭合路径所环绕的传导电流的代数和。磁畴铁磁质中存在的自发磁化的小区域。一个磁畴中的所有原子的磁矩(铁磁质中起主要作用的是电子的自旋磁矩)可以不靠外磁场而通过一种量子力学效应(交换耦合作用)取得一致方向。磁化在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象。返回页首磁化电流(束缚电流) 磁介质磁化后，在磁介质体内和表面上出现的电流，它们分别称作体磁化电流和面磁化电流。磁化强度单位体积内分子磁矩的矢量和。磁链穿过一个线圈的各匝线圈的磁通量之和称作穿过整个线圈的磁链，又称"全磁通"。磁屏蔽闭合的铁磁质壳体可有效地减弱外界磁场对壳内空间的影响的作用称作磁屏蔽。磁通连续原理(磁场的高斯定理) 在任何磁场中，通过任意封闭曲面的磁通量总为零。

磁通量通过某一面积的磁通量的概念由下式定义磁滞伸缩铁磁质中磁化方向的改变会引起介质晶格间距的改变，从而使得铁磁质的长度和体积发生改变的现象。磁滞损耗铁磁质在交变磁场作用下反复磁化时的发热损耗。它是磁畴反复变向时，由磁畴壁的摩擦引起的。磁滞现象铁磁质工作在反复磁化时，B 的变化落后于H 的变化的现象。 D 的高斯定理通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。其表示式是带电体在外电场中的电势能即该带电体和产生外电场的电荷间的相互作用能。电场能量密度电场中单位体积的能量电场强度电场中某点的电场强度 ( 简称场强)的大小等于位于该点的单位正电荷(检验电荷)所受的电场力的大小，方向为该正电荷所受电场力的方向。电场线数密度通过垂直于电场强度的单位面积的电场线的条数。返回页首电磁波的动量密度单位体积的电磁波具有的动量，表示式为: 电磁波的能量密度电磁波的单位体积的能量，其大小为电磁波的能流密度(坡印廷矢量) 单位时间内通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的电磁波的能量，其表示式为，电磁场方程组麦克斯韦综合了电磁场的所有规律提出表述电磁场普遍规律的方程组。其积分形式是， (1)电场的高斯定理 (2)磁场的高斯定理 (3)电场的环路定理

环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理

环路定理电场强度的线积分
静电场的环流为零
电势
环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.

§17-4 环路定理电势
一.试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中运动时电场力的功
试探电荷q0 移动 dl 时,电场力的元功为
dA
=
F
?
dl
=
q0E
?
dl
=
q0Qer
4πε0r 2
?
dl
=
q0Qdr
4πε0r 2
er
er
P1
q0
dl dr
r1
r2
dl
θ
q0
dr
P2 dl → 0 虚线与 er 趋于平行, 所以
Q
lim dr
dl →0
=
dl
cosθ
=
dl ?er

所以从 P1 点运动到 P2 点时电场力的功为
er
q0 dl
P1 r1
dr P2
r2
Q
A=
∫PP12 F ? dl
=
∫rr12
q0Qdr
4πε0r 2
= q0Q
4πε0
(1 r1
?
1) r2
由上式可见, 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关．