抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82
本科生毕业论文（设计）
题目：一类抛物型方程的计算方法
作者单位数学与信息科学学院
作者姓名
专业班级2011级数学与应用数学创新2班
指导教师
论文完成时间二〇一五年四月
一类抛物型方程的数值计算方法
(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)
指导教师
摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性
Numerical computation methods for a parabolic equation
Yan qian
(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Nie hua
Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.
Key words: differential method, finite element method, convergence, stability
1 绪 论
1.1 引 言
自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.
抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.
有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].
本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识
抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：
)()(x f u L t
u
=-?? （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即
f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij
=???
? ??+??+??±≡∑?∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件
Ω
∈?∈=?>≥∑∑==x x i
x x a
R n
n n
i j i n
j i ij
,}0{).....(,0)()()(11
2
1
,ξξξααξξξ
（1.1.2）
当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方
程为非线性的.
下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则
Ω∈?=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：
0,),,(),(>?Ω?∈?=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：
0,),,(),(>?Ω?∈?=??t x t x g t x v
u
（1.1.5） 第三类边值条件：
0,),,(),)((
>?Ω?∈?=+??t x t x g t x u t
u
α （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界
的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω?.
2，有限差分法
本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。我们以一维热传导
方程为例，给出其差分格式并讨论其收敛性，稳定性等基本问题.本章内容主要引用文献[1].
用差分法计算抛物型方程的初边值问题时，可以先考虑在区域Ω上引入空间网格，例如在直角坐标系中采用平行于坐标轴的等距离直线族形成的矩形网格，其次，将定义在+?ΩR 上的函数),(t x u 替换成定义在空间网格节点集上的离散函数)(t U ;然后，用适当的差分格式将微分算子L 替换成差分算子h L ，这一过程称为半离散化.对由半离散化得到的常微分方程初值问题，再进一步对时间离散化，选用适当的求解常微分方程初值问题的数值方法，就得到求解抛物型方程的初边值问题的全离散化格式.接下来，将按照这一处理思路对热传导方程的差分计算格式进行探讨. 2.1 差分格式
考虑一维热传导方程：
)(22x f x
u
a t u +??=??，0 第一，初值问题：求可微函数),(t x u ，满足（1.1.1）和初始条件： ∞<<-∞=x x x u ),()0,(φ （2.1.2） 第二，初边值问题：求可微函数满足方程),,(t x u （1.1.1）和初始条件： l x x x u <<=0),()0,(φ （2.1.3） 以及边值条件 T t t l u t u ≤≤==0,0),(),0( （2.1.4） 现在考虑边值问题（1.2.1），（1.2.3），（1.2.4）的差分格式.取步长空间J l h =和时间步长N T =τ，其中N J ,都是自然数.用两族平行直线 )....1,0(J j jh x x j ===和)....1,0(N n n t t n ===τ将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(n j t x .以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合. 其次，用n j u 表示定义在网点),(n j t x 上的函数N n J j ≤≤≤≤0,0，用适当的差商代替方程（1.2.1）中相应的偏微商，便得到以下几种最简单的差分格式. 2.1.1 向前差分格式 考虑 ,22 1 11j n j n j n j n j n j f h u u u a u u ++-=--++τ （2.1.5） 其中 0 ),(), (00=====n J n j j j j j u u x u x f f φφ 1 ...1,0,1...2,1-=-=N n J j 以2 h a r τ =表示网比，将（2.2.5）整理成易于计算的形式，使得第n 层值，即 上标为n 在等式右边，第1+n 层值在等式左边，则可得到 j n j n j n j n j f ru u r ru u τ++-+=-++111)21( （2.1.6） 这样的话，又（2.1.6）取0=n ，利用初值条件j j u ?=0和边值条件00==n J n u u 可 计算出1j u .再将1=n 的值带入计算，从而就可逐次迭代计算出所以的n j u ，并且视其为精确解),(n j t x u 的近似，由于第（1+n ）层的值通过第n 层值明显表示，无需求解线性代数方程组，如此差分格式称为显示格式. 下来给出这种计算格式的误差分析： 记 22x u a t u Lu ??-??= 2 1 11)1(2h u u u a u u u L n j n j n j n j n j n j h -+++---= τ 显然截断误差 ) ()()~](21121[][),()(22222)1(h O h O t u r Lu t x u L u R n j n j n j h u j +=++??--=-=τττ （2.1.7） 2.1.2向后差分格式 考虑 , 0),(, 2002 1 1 1111====++-=-+-++++n J n j j j j n j n j n j n j n j u u x u f h u u u a u u ??τ (2.1.8） 1....1,0,1....2,1-=-=N N J J 将上式改写为 .)21(11111j n j n j n j n j f u ru u r ru τ+=-++-+-+++ (2.1.9) 显然，第（1+n ）层的值不能用第n 层值明显表示，而是由线性代数方程组（2.1.9）确定，这样的差分格式称为隐格式. 令 ,22 1 1 1111) 2(h u u u a u u u L n j n j n j n j n j n j h +-+++++---=τ 则截断误差为 ). ()()~](21121[][),()(22222)2(h O h O t u r Lu t x u L u R n j n j n j h n j +=++??+-=-=τττ （2.1.10） 此外，还有六点差分格式以及Richardson 格式，具体可以参见文献[1]，都是简单的抛物型方程差分格式. 2.2 差分格式的稳定性与收敛性 差分格式的稳定性概念见文献[1]，此处本文只给出相关的稳定性定理及实例 分析. 2.2.1判别稳定性的直接估计法（矩阵法） 命题1[1]（必要条件）以）（C ρ表示矩阵）（τC 的谱半径，则差分格式稳定性的必要条件是存在与τ无关的常数M 使 ））（）（（）（τρτρO C M C +≤+≤11 （2.2.1） 命题2[1]（充分条件）若）（τC 是正规矩阵，及C 和它的共轭转置*C 成绩可交换： C C CC **=，则（2.2.1）也是差分格式稳定的充分条件. 推论1 若S 是对称矩阵，）（τC 是矩阵S 的实系数有理函数：)()(S R C =τ,则差分格式稳定的充要条件是τλM R +≤1)(max s j j ，其中s j λ是S 的特征值。（只需注意 )(S R 是实数和矩阵S 的四则运算） 下面引出两个例子，来具体分析有限差分计算的稳定性判定： 例1[1] 对向前差分格式（以下设（2.2.4）中的1=l ），则rS I r C +-=)21(， 2 sin 41cos 2212h j r h j r r C j ππλ-=+-=， 为使 Mr C j +≤1λ或Mr h j r Mr C j +≤-=≤-12 sin 4112 πλ当且仅当1,...,2,1,22sin 42-=+≤J j M h j r τπ，从而2 1 ,24≤≤r r .所以向前差分格式当21≤ r 时稳定，当2 1 ≥r 时不稳定. 2.2.2收敛性与敛速估计 如最简差分格式，考虑热传导方程的初边值问题： ?????===≤<<<=??-??= .0),(),0(),()0,(,0,0),(22t l u t u x x u T t l x x f x u a t u Lu ? (2.2.2） 相应的差分格式为 ?????===-=-==. 0),(, 1,...,1,0,1,...,2,1,00n J n j j n j h u u x u N n J j f u L ? （2.2.3） 其向量形式如F A CU U n 11n -++=τ，其中C 为增长矩阵. 那么差分逼近的截断误差 n j n j h n j Lu t x u L u R ][),()(-= (2.2.4) ),(t x u 是T t l x ≤≤≤≤0,0上的任一充分光滑函数,称差分算子h L 是边值问题（2. 2.2）的相容逼近，如果相容条件 ))1((0lim 0 οτ==→n n R R （2.2.5） 成立，其中n R 是分量为)(u R n j 的向量，?是1 -J R 中的范数. 先对差分解作出某种估计: 将（2.2.3）的解分解为 n j n j n j w v u += 其中n j v 满足零初值和非齐右端方程： )0()(011=+=-+V F A V C V n n ττ 而n j w 满足非零初值和齐右端方程： )()(001U W W C W n n ==+τ 其中n V ，n W 依次为以n j v ，n j w 为分量的向量。若差分格式按初值稳定，则亦按 右端稳定，于是有常数1K ，2K ，使 02021,U K W K W F K V n n =≤≤ 从而 ),max(),(210K K K F U K U n =+≤ （2.2.6） 现在估计差分解的误差: 设),(t x u 是热传导方程（2.2.2）的解，n j u 是差分方程（2.2.3）的解，误差 n j n j n j n j n j u u u t x u e -=-=][),( 那么 n j h n j h n j h j n j h n j h n j e L u L u L f u L Lu u L u R =-=-=-=][][][][)(， 即误差n j e 满足差分方程： 1,...,2,1 ,0),(0-===J j e u R e L j n j n j h ， 其向量形式为 n n n R A E C E 11)(-++=ττ ， 这里n n R E ,依次为以n j n j R e ,为分量的向量. 由估计式（2.2.5）得 n n n R K E sup ≤ （2.2.7） 若相容条件（2.2.4）成立，则 0lim lim 0 =-=→→n n n U u E ττ， 其中n u 表示以),(n j t x u 为分量的向量. 证明了如下： 定理1[1]：若差分方程满足相容条件，且按初值稳定，则差分解收敛到热传导方程的解，且有误差估计式（2.2.7）. 推论1[1]：当网比2 1≤r 时，向前差分格式的解有收敛阶)(2h O +τ。对任何网比 0>r ，向后差分格式的解有收敛阶)(2h O +τ，六点对称格式的解有收敛阶 )(22h O +τ. 3，有限元计算 有限元计算方法产生于椭圆型方程的计算[8]，其优越的计算性能使得很多学 者开始探索将其用于发展方程的计算之中，文献3给出了这方面的具体研究.本章给出热传导方程的有限元计算格式,首先给出有限元计算的基本理论，之后建立热传导方程的变分形式，从而在此基础上给出有限元计算格式. 3.1 基本理论 本节先给出有限元计算的基本数学理论，包括索伯列夫空间初步和初边值条 件下解的存在性与正则性[1,6,7,9]. 3.1.1 Sobolev 空间 构造如下 Sobolev 空间： )}(,:)({)(,Ω∈≤?Ω∈=Ωp p loc p m L v D m L v W ββ 赋范数 ∞≤≤=ΩΩ ≤∑p v D v p p p m W p m 1,)()(1 ,,ββ （3.1.1） ∞=∑≤Ω p v D ess m m ,sup β (3.1.2) 定理3.1[7] 上述赋范数的Sobolev 空间是Banach 空间. 特别的，当)(,22,Ω=m W p 记为)(Ωm H ，引入下述内积 ∑≤Ω= m m v D u D v u α αα),(),(, （3.1.3） 定理3.2[7] )(Ωm H 是Hilbert 空间. 另外，用记号);,0(X T C 表示映射族},),0(:)({X T t v →其中任一)(t v 关于 ),0(T t ∈按空间X 的度量是连续的.类似的记号还有);,0(),;,0(2X T L X T L ∞. 3.1.2 解的存在性，正则性 先给出如下定理[9]，假定 0),;,0(,210≥∈∈+s H T L f H u s s 为整数， 则初边值问题（2.2.1)-(2.2.4)存在唯一的解),,(t x u 满足 ),;,0(22+∈s H T L u );,0(2s t H T L u ∈ 和估计式 )) ,((),(20 20020 2 1 ττττα α d f u C d u D s s s H t H H t ?? ∑?+≤?+=. （3.1.4 ） 3.2 有限元计算格式 本节讨论初边值问题（1.1.1)-(1.1.4)的有限元近似.首先，给出其变分形式. 记 }.0:{11 0Γ∈=∈=x v H v H 当设 ),;,0(H T C f ∈用函数1 0)(H x v ∈与（1.1.1)-(1.1.4)的两端做内积，有),(),(),(v f v Au v t u =+??利用格林公式， , )()(),(11 11vdx x u n a dx cuv x v x u a v Au j d i d j i ij i d i d j j ij ?∑∑?∑∑Γ==Ω==??-+????= 因Γ∈=x v 当0，故上式右端第二项为零，引进双线性泛函 ,)(),(11dx cuv x v x u a v u a i j d i d j ij ?∑∑Ω ==+????= 那么可得 ),(),(),( v f v u a v t u =+??，1 H v ∈? )()0,(0?=?u u （3.1.5） 则称（3.1.5）为问题（1.1.1)-(1.1.4)的变分形式. 有限元方法的第一步，就是将求解区域Ω刨分成有限个互不重叠的子区域，称其为单元.用max h 表示刨分中单元的最大直径，记相应的刨分为 }0,{max h h h h <<=Γγ ，其代表了一个刨分族.以)(K ρ和)(K σ表示h Γ中单元的 外接圆和内切圆的直径.如果存在不依赖于h 的常数C ，使得 C K K ≤)()(σρ， 则称刨分族}0,{max h h h h <<=Γγ是正则的. 第二步是构造1 0H 的一族有限维子空间}0,{0h h S h <<，要求它具有如下逼近 性质：对于某一整数2≥r ，有 ,1,}{inf 1r s v Ch v v h v v s s h h S v h h ≤≤≤-+-∈ 对任意10H H v s ?∈. (3.1.6) 一般，h S 是通过在刨分h Γ上作分片多项式差值的方法去构造的.由索伯列夫空间插值理论[7]，当刨分族}0,{max h h h h <<=Γγ为正则时，由h Γ上所有属于)(ΩC 的， 次数1-≤r 的分片多项式组成的子空间h S 满足条件. 对于给定有限元空间1 0H S h ?后，初边值问题（1.1.1)-(1.1.4)的有限元近 似定义为：求映射,],0[:)(h h S T I t u →=它满足 )0(),,(),(),( h h h h h h h h h u u S v v f v u a v t u =∈?=+?? （3.1.7） 其中h h S u ∈0 是函数)(0x u 的某个近似.这里，可以看出（3.1.7）是变分问题（3.1.5） 的一个近似. 设h N j j x 1)}({=φ是空间h S 的一个基底，则近似问题（3.1.5）又可以表示为：求解 函数表达式 )()(),(1 x t t x u j N j j h h φα∑== 即确定其中系数h N j j t 1)}({=α，使得 ),(),()(),)((1 1 i i j N j j i j N j j f a t t h h φφφαφφα =+∑∑== h N i ...2,1=， （3.1.8 ） h j j N j r ...2,1,)0(==α， 其中)()(,1 x r x u r dt d h N j j j h j j j ∑===φαα 为 的系数. 所以，（3.1.8 ）是以h N j j t 1)}({=α为未知函数的一个一阶常微分方程组.由于此 处时间t 仍然是一个连续变量，所以说（3.1.8 ）是问题（（1.1.1)-(1.1.4)的一个半离散格式. 引入一些记号： , )....(),,(,),....())(),...(()(), ,(,)(),,(,)(111T N i i T N T N j i ij N N ij j i ij N N ij h h h h h h h r r r f f f f F t t t a a b b B m m M ========??φααφφφφ 其中M 是一个Gram 矩阵，它是非退化的，从而可以将（3.1.8）改写为矩阵形式，即 .)0(,0,)()(11r T t F M t B M t =≤<=+--ααα （3.1.9） 由常微分方程基本理论可知，初值问题（3.1.9）对于任意F 和r 存在唯一的解 )(t α，从而近似问题存在唯一解),(t x u h . 3.3 收敛性分析和误差估计 本节介绍抛物问题有限元的理论分析，将通过能量估计证明有限元法的收敛 性和近似解的误差估计. 首先给出方程 . ,0,)())((1 1Γ∈=Ω ∈=+????-∑∑ ==x w x f w x c x w x a x j ij d i d j i （3.1.10） 利用上一节的有限元空间1 0H S h ?，可以得到（3.1.10）的一个有限 元近似:求h h S w ∈，使得 h h h h h S v v f v w a ∈?=),,(),( （3.1.11） 其中),(??a 是上节中所定义的的双线性泛函.因为),(??a 正定，通过Lax-Milgram 定理[6]可以得到，有限元方程（3.1.10）存在唯一的解h h S w ∈. 下面，本文将不加证明的给出关于抛物型方程有限元计算方法的收敛性分析和误差估计，具体证明过程可以参考文献[3,4]. 定理 1 假定空间h S 具有逼近性质(3.1.6)，边值问题（3.1.10）的解 1 H H w s ?∈，则由（3.1.11）所定义的近似解h w 是收敛的，并且满足 .1,1r s w Ch w w h w w s s h h ≤≤≤-+- （3.1.12） 定理2 （Gronwall 不等式)设)(t y 于),0[T 连续且满足 ,)()()(00τττλd y y t y t ?+≤ （3.1.13） 其中，且)T ,0()(0)(1L ∈≥τλτλ则 ))(exp()(0 0ττλd y t y t ?≤ （3.1.14） 对于半离散非齐次方程（3.1.7），此处将给出其解所满足的一个先验估计式. 定理3 半离散方程（3.1.7）的解T t t u h ≤≤0),(满足 .)()0()()(0 1 ττττγd f u d u t u t h t h h ??+≤+ （3.1.15） 估计式（3.1.15）给出了半离散问题（3.1.7）的适定性.特别的，当0=f 时，由上面定理可知：,0,)0()(>?≤t u t u h h 即半离散齐次方程的解在)(2ΩL 范数意义下是稳定的. 下面给出非齐次半离散问题（3.1.7）解的误差估计： 定理4 假定空间}0,{0h h S h <<具有逼近性质(3.1.6)，并且近似初值0h u 满足 ,000 r r h u Ch u u ≤- （3.1.16） 则半离散问题（3.1.7）的解)(t u h 满足 })({)()(0 0ττd u u Ch t u t u r t t r r h ?+≤- （3.1.17） 至此，本节就给出了抛物型问题有限元法的收敛性和误差估计，也就意味着本论文的目标，抛物型方程（热传导）的有限元计算方法完整的给出. 4，总 结 将有限元方法推广到抛物型方程，可以丰富这类方程的计算手段，同时也 可以有效的解决传统的差分格式存在的缺陷.近年来，自适应有限元计算方法成为这一领域的研究前沿[9-12],它在传统的有限元方法的基础上增加了“智能”的因素，使得该方法可以更好的刻画客观世界. 本文详细的给出了抛物型方程的简单差分计算格式和有限元计算格式.通过构造计算格式，得出数值计算的矩阵方程，以及给出了收敛性，稳定性，误差估计等一些基本的理论，比较全面的介绍了抛物型方程的一些基本计算方法.更为详尽的资料可以参考文献4. 当然，本文只给出了抛物型方程计算的半离散格式，并没有对时间变量t 进行离散化，如何给出抛物型方程的全离散格式，以及探讨抛物型方程的其他计算方法，包括偏微分方程的应用，例如现在有学者通过凸几何的相关内容如Brunn-Minkowski 不等式来研究偏微分方程的凸性等[12,14]，这些都是自己今后学习的方向. 参考文献 [1] 李荣华.微分方程数值解法[M].北京：高等教育出版社,2002 [2] 李志平.偏微分方程数值解讲义[M].北京：北京大学出版社,2009 [3] 黄明游.发展方程的数值解法[M].北京:科学出版社,2004 [4] 黄明游等译.抛物问题的Galerkin有限元法[M].吉林大学出版社，1986. [5] 黄明游.发展方程的有限元方法[M].上海:上海科学技术出版社，1988. [6] 张恭庆.泛函分析讲义{M].北京：北京大学出版社，2006. [7] 王明新.索伯列夫空间[M].北京：高等教育出版社，2010. [8] P.G.Ciarlet.The Finite Element Method for Elliptic Problems[M].Amsterdam:North-Holland Public Company,1978. [9] Peano A G , Pasini A. Adaptive approximation infinite element structural analysis[J] .Computers and Structures , 1979 ,10 (2) : 332 ～342 [10] 郭书祥.自适应有限元方法及其工程应用[J].力学进展，1997,27（4）,232-242. [11] 魏红宁,周本宽.自适应有限元分析的网络自动生成方法的选择［Ｊ］．西南交通大学学报，1997(10),477-482. [12] 待述军一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用[D] 中国科学技术大学 2012. [13] J.H.Bramble,P.H.Sammon.Effect higher order single step methods for parabolic problems:Part [M]https://www.wendangku.net/doc/0f18488134.html,p.1980(35):655-667. [14] Andrei Okounkov Brunn-Minkowski Inequality For Multiplicities. Invent.Math.1996(125),405-411. 致谢 在论文完成之际，首先要感谢对本篇论文的指导.聂老师在论文的选题，参考资料的查询与搜集，以及论文内容的安排，写作格式和方法上都给予了我莫大的帮助.正因为聂老师的悉心指导，这篇论文才能在最短的时间里顺利完成.在这个过程中，聂老师让我明白了对待科研工作要一丝不苟，孜孜不倦，认真程度决定着论文高度.在此，我对聂老师您表示深深的谢意！ 同时，还要感谢在论文的编辑和排版上给予我的帮助，谢谢你在我遇到困难时给我支持和帮助. 本人学识浅薄，论文中还有许多不足和漏洞之处，还望各位老师和同仁批评指正. 2015年4月 抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式 偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族 平行直线jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =和k t t k τ ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域 G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(())k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 1000 121011000 232121000 3432310001121(12)(12)(12)(12)N N N N N u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f ττττ----?=+-++?=+-++??=+-++? ???=+-++? (1.2.5) 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 10 ,0,1,,1 k k k M φ +?=+=-?=? u Au f u (1.2.6) 其中 分类号：O241.82 本科生毕业论文（设计） 题目：一类抛物型方程的计算方法 作者单位数学与信息科学学院 作者姓名 专业班级2011级数学与应用数学创新2班 指导教师 论文完成时间二〇一五年四月 一类抛物型方程的数值计算方法 (数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班) 指导教师 摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析. 关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性 Numerical computation methods for a parabolic equation Yan qian (Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Nie hua Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established. Key words: differential method, finite element method, convergence, stability 此文档下载后即可编辑 偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是自然 数，用两族平行直线 jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=和 k t t k τ ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格 节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解， N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(()) k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) () j j j x u ??==0， k u 0 = k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 22 10,01,01(,0),01(0,),(1,),01 (,)x t t x t u u x t t x u x e x u t e u t e t u x t e ++??-=<<<≤??=≤≤==<≤= 运行：前向euler 法 [xx,tt,uh]=equationepaowu2('myfun','myfun1','myfun1','myfun2',1,[0,1],[0,1],[1/10,1/200]); function [xx,tt,uh]=equationepaowu2(myfun,myfun1,myfun2,myfun3,a,xxx,ttt,step) %利用差分方法求抛物型方程数值解； %myfun--方程右端f(x,t); %myfun1--u(x,0); %myfun2--u(t1,t); %myfun3--u(t2,t); %[x1,x2]--x 的取值范围； %[t1,t2]--t 的取值范围； %a-正常数 %h,tao-分别是x,t 方向的步长。 %—————————————————————— %激活函数 f=fcnchk(myfun); f1=fcnchk(myfun1); f2=fcnchk(myfun2); f3=fcnchk(myfun3); x1=xxx(1);x2=xxx(2); t1=ttt(1);t2=ttt(2); h=step(1);tao=step(2); %__________________________________ %划分网格,x1-nt+1行，nx+1列。 x=linspace(x1,x2,round((x2-x1)/h)+1); t=linspace(t1,t2,round((t2-t1)/tao)+1); nx=size(x,2); nt=size(t,2); [xx,tt]=meshgrid(x,t); %________________________________________ %赋初值及边值 size(x1) size(x) U0=zeros(size(xx)); 有限差分法求解抛物型方程 偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例. §1 差分方法的基本思想 有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组. 有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式. 泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式. 首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记 0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+= 图1 单变量函数离散化 函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++ ++ （1） 或 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+ -+ （2） 式(1)和(2)重新整理可得 2()()()()()2!3! i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'= --- （3） 前言 抛物型方程解的估计及其应用 1前言 数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用． 微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用． 在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的 一类二维抛物型方程的ADI格式 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的ADI格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；ADI格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]： 其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即ADI格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数L和N，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（Ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（Ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 下面采用von Newmann方法[3]对上述D格式进行稳定性分析. 一般地，低阶项不影响差分格式的稳定性，所以不妨略去项，并对（3）、（5）式消去中间变量得： 利用Taylor展开式求误差，可知此处建立的D格式的截断误差阶为. 参考文献： 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式； 实验二（习题2.2） 1、 题目 用Crank-Nicolson 差分格式计算抛物型方程 22u u t x ??=?? 01x << 满足初始条件 0|sin t u x π== 01x ≤≤ 和边界条件 01||0x x u u ==== 0t > 在 0.1,0.2t =处的解，0.1,0.1t k x h ?==?==。 2、 程序 #include 抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ???? ≡ ?????） ： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式 ()24.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h a r τ = 为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到 1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0 1-j ru +j f τ 于是，利用初值() j j j x u ??==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1 j u ， 1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k N u =0算出2j u ， 1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ， 1,,1,0-=M k ） 。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并 视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1' 可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +??? ? ??????? ??--)~,~(2112122=()2 h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-< 170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人 抛物型方程有限差分方法的应用 摘要 抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。 关键字：抛物型方程，差分格式，应用 Abstract Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation. Keywords: parabolic equation, difference scheme, application 0 前言 抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。 1 抛物型方程有限差分法 1.1 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()()x x u ?=0,，∞<<∞-x （1.2） 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的adi格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；adi格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]：其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即adi格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数l和n，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 利用taylor展开式求误差，可知此处建立的d格式的截断误差阶为. 参考文献： [1]管秋琴.一类二维抛物型方程的有限差分格式[j]. 赤峰学院学报（自然科学版）. 2010，26（1）：7. [3]戴嘉尊，邱建贤. 微分方程数值解法[m]. 南京：东南大学出版社 .2002. 作者简介： 舒阿秀（1977―），女，安徽旌德人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，主要从事偏微分方程数值解的研究。 一 热传导方程 如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。 1初值问题 一维热传导方程的初值问题是 2 22 (,),,0,(,0)(),.u u a f x t x t t x u x x x ????-=-∞<<∞>?????=-∞<<∞? 应用Fourier 变换解初值问题，可得到 (,)(,)()(,)(,)t u x t K x t d d K x t f d ξ?ξξτξτξτξ∞∞-∞ -∞ = -+ --? ? ? 其中 (,)K x t =22/(4),0,0,0.x a t t t ->?≤? 若()(,)x C ?∈-∞∞且有界，(,)0f x t ≡时，(,)u x t 确定的函数确实是初值问题的有界解。 对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier 变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有 3 3 (,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)R t R u x y z t K x y z t d d d d K x y z t f d d ξηζ?ξηζξηζ τξηζτξηζτξηζ = ---+ ----??????? 其中 2222()/(4)23/2 1,0(4) (,,,)0,0.x y z a t e t a t K x y z t t π-++?>?=??≤? 2混合问题 混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。 有界杆的热传导问题 第十章偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1差分方法的基本概念 1.1几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 Poisson 方程的第一边值问题为 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 其中 n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 初边值问题 其中 )(x ?，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件 边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条 件。 第二类和第三类边界条件为 其中0)(1≥t λ，0 )(2≥t λ。当0)()(21≡=t t λλ时，为第二 类边界条件， 否则称为第三类边界条件。 双曲型方程: 最简单形式为一阶双曲型方程 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为 边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为 1.2差分方法的基本概念 差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。 它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格； （2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式； （4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。 设有一阶双曲型方程初值问题。 （1） 选取网格： －2h-h0h2h3h 首先对定解区域 }0,),{(≥+∞<<∞-=t x t x D 作网格剖 分，最简单 常用一种网格是用两族分别平行于 x 轴与 t 轴的等距直线 kh x x k ==， (0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将D 分成许 多小矩形 区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点， h 和τ 分别称作 x 方向和t 方向的步长。这种网格称为矩形网格。 （2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即 其中 1,021<<θθ。(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例
抛物型方程的计算方法
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例(完整资料).doc
抛物型方程求解
有限差分法求解抛物型方程说明
抛物型方程
一类二维抛物型方程的ADI格式
第九章-偏微分方程差分方法汇总
抛物型方程差分方法
用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程
抛物型方程有限差分法
第九章 偏微分方程差分方法汇总
抛物型方程有限差分方法的应用-报告概论
一类二维抛物型方程的ADI格式
抛物型方程
偏微分方程数值解法