电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方65422

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一章习题解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ；

（7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。

解 （1

）23A x y z

+-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e

e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11

（4）由 c o s AB θ

=

8==A B A B ，得 1c o s AB θ-

=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ

=

=A B B （6）?=A C 1

235

02x

y z

-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04

15

02x y

z

-=-e e e 8520x y z ++e e e

所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e

（8）()??=A B C 10145

02

x y

z

---=-e e e 2405x y z -+e e e

1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123

PP P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ， 由此可见

故123

PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积

1223

1221117.1322S =?=?=R R R R

1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，

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则 53P P

P P x y z ''=-=--R r r e e e

且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在

B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为

11cos (

)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 3.53277

B A ===-B A

B 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在x y z

=-+C e e e 上的分量。

解 ?=A B 234641

x y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e

所以?A B 在C 上的分量为

()?=

C A B ()14.43?==-A B C C 1.6 证明：如果A B =A C 和?=A B ?A C ，则=B C ； 解 由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即 由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解 由=?P A X ，有 故得 p -?=

A A P X A A

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；

（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 4c o s (

2

3)2x π==-、4sin(23)

y π==3z =

故该点的直角坐标为(2,

-。

（2）在球坐标系中 5r ==、1tan (43)53.1θ-==、2120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9 用球坐标表示的场2

25r r

=E e ，

（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；

（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故 （2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以

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故E 与B 构成的夹角为

11cos (

)cos (153.63θ--===EB E B E B 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2

R 间夹角的余弦为

解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e 得到 12

12

cos γ=

=R R R R

1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算：

(3sin )d r S

θ?e S 的值。

解

(3sin )d (3sin )d r

r

r

S

S

S θθ==??e S e e 22

20

d 3sin 5

sin d 75π

π

φθθθπ?=??

1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理。

解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z

??

?=

+=+??A 所以 4

250

d d d (32)d 1200z r r r π

τ

τφπ?=+=????A 又 2d (2)(d d d )r z r r z z S

S

r z S S S φφ=+++=?

?A S e e e e e

故有

d 1200τ

τπ?=?A d S

=?A S 1.13 求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求?A 对中心在原点的

一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解 （1）222223

2222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z

????=++=++???A （2）?A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）A 对此立方体表面的积分

故有 1d 24τ

τ?=?A d S

=?A S

1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求?r 对球体积的积

分。

解

223

d d d sin d 4r S

S

S aa a ππ

φθθπ=

=

=????r S r e 又在球坐标系中，2

2

1()3r r r r

??==?r ，所以 1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托

克斯定理。