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中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文

题目: 中心极限定理与大数定理的关系

系别: 渤海大学

专业: 数学系

班级: 2002级1班

姓名：于丹

指导教师：金铁英

完成日期：2006年5月19日

中心极限定理与大数定理的关系

于丹

（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）

摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。

本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。

关键词：大数定理中心极限定理收敛性

The relation of the central limit theorem and large

numbers law

Yu Dan

(Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability.

This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem .

Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence.

引言

中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论随机变量序列的极限问题。它们是概率论中比较深入的理论结果。中心极限定理表明，在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布，这一事实阐明了正态分布的重要性。中心极限定理也揭示了为什么实际应用中会经常遇到正态分布，也就是揭示了产生正态分布变量的源泉。

本文讨论的主题是大数定理和中心极限定理，通过列举一些例子让我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清楚了大数定理和中心极限定理之间的关系。

一随机变量的收敛性

随机变量收敛性的定义：设有一列随机变量12

,,ηηη，如果对于任意的0ε>，

有lim ()1n x P ηεη→∞-<=则称随机变量序列{}n

η依概率收敛于η，并记作lim P

n x ηη→∞

??→或()P n n ηη??→→∞。

下面给出随机变量收敛的几个性质： 1.设12(),(),()

F x x x F F 是一列分布函数，如果对于()F x 的每个连续点x ,都有

lim ()()n x x F x F →∞

=成立，则称分布函数列{}()n x F 弱收敛于分布函数()F x ，并记作()()n x F x F ω

??→。

2.若随机变量序列12

,ηη以概率收敛于随机变量η，即()P

n n ηη??

→→∞则相应的分布函数列12(),()

F x F x 弱收敛于分布函数()F x ，即()()()n x F x n F ω

→→∞ 3.随机变量序列C P

n ηη??

→≡（C 为常数）的充要条件是 ()()n F x F x ω

??→基数 4. 设{}{}{}12,n n kn ξξξ是k 个随机变量序列，并且,(1,2,,)P

in i a n i k ξ??

→→∞=又12(,,)k R x x x 是k 元变量的有理函数，并且12(,,

)k k a a a ≠±∞，则有

12(,,

n n kn R ξξξ??→

12(,,

),k R a a a n →∞成立。

二大数定理

大数定理主要说明大数次重复试下所呈现的客观规律，若12,,

ξξξ∞是随机变量

序列，如果存在常数列12,,n

b b b ，使得对任意的0ε>，有1

i m {}1n

i n x P

b n

ε=→∞

-<=

∑成立，则称随机变量序列{}1ξ服从大数定理。（一）大数定理的引入

在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时“平均值”也具有稳定性，大数定理正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性。同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”再依据概率收敛的意义下逼近某一常数。

此外我们所说的靠近并不是高等数学中的收敛，在高等数学中序列{}n x 收敛于a （即n n lim x a →+∞

=）指对任意给定的0ε>，可找到N 0>

，使得对所有的n N >，恒有n x a ε-<。而且不会有例外。

而在概率论中，序列{}n x 是非确定性变量（随机变量），{}n x 以概率收敛于a ，是指对任意给定的0ε>，当n 充分大时，事件{}n x a ε-<发生的概率很大，接近于1（即

{}n n lim x a 1ε→∞

-<=），但并不排除事件{}n x a ε-≥的发生可能性。

（二）常见的几种大数定理

在介绍大数定理之前，先介绍契贝晓夫不等式：

契贝晓夫不等式：设x 为随机变量，且有有限方差，则对任意0ε>，有

D(x )

P (X E(x))

εε-≥≤或者D(x)

P(X E(x))12

εε-<≤-

1、贝努里大数定理：设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为P (0P 1)<<，则对任意的0ε>有n n lim P P 1n με→∞

-<=?

???

或者

n n lim P P 0n με→∞

-≥=????

证明：令i 1,i A 1i n 0,i A ξ?=≤≤?

?在第次试验中出现在第次试验中不出现

则12n ,,ξξξ是n 个相互独立的随机变量，且

i i E p,D p(1p)pq(q=1-p,i=1,2,

n)ξξ==-=而n 1n

i i μξ==∑于是由契贝晓夫不等式有

122

D()p(

p p(E()n )n

n n

i n n

i i i i i ξμξξεε

===-=-≥≤

∑∑∑又由独立性知道有

i 1

D()D npq n n

i i i i ξξξ=====∑∑，从而有

n 222npq 1pq p(

p )0,n n n q n q με-≥≤=→→∞所以n n lim p{p }1n

με→∞-<=成立。 2、契贝晓夫大数定理：设12n

,,ξξξ是一列两两不相关的随机变量，又设它

们的方差有界，即存在常数

C 0

>，使得i D C,i 1,2

ξ≤=则对任意的0ε>有

n 11

11lim p{E }1n n n n

i i i i ξξε→∞==-<=∑∑ 证明：仍利用契贝晓夫不等式，有

因为{}i ξ两两不相关，且由它们的方差有界即可得到从而有2

11C

p[E ]0,n n

n n

i i

i i ξξεε

==-≥≤

→→∞∑∑ 所以有n 11

11lim p[E ]1n n n n

i i i i ξξε→∞==-<=∑∑ 得证

3、辛钦大数定理：设12n

,,ξξξ是一列独立的同分布的随机变量，且数学期望

存在，i E a (i 1,2,)ξ==则对任意的0ε>有n 1

1lim p(a )1n

i i ξε→∞

=-<=∑成立

（三）大数定律的应用

1、设随机变量X 的数学期望E(x)μ=，方差2D(x)σ=，则根据契贝晓夫不等式估计{}p x 4μσ-≥≤

。

[解]：由题意设4εσ=，由契贝晓夫不等式()2

D(x)

p X E(x)εε

-≥≤

得{}22

p X 4(4)16σμσσ-≥≤=，故结果为116

2、设12n x ,x ,

,x 相互独立同分布随机变量序列，且

n E(X )0=则

n 1lim p(n)n

i i X →∞

=<=

∑？

[解]：由于{}i x (i 1,2,)=是相互独立同分布，所以由辛饮大数定理有取

n 11(1)lim p(01)1n n i i X ε→∞==-<=∑，即n 11lim p(1)1n n

i i X →∞=<=∑又显然有11

1(1)(n)n n

i i i i X X ==

1lim p(n)lim p(1)1n

n n

i i

i i X X →∞

→∞

==<≥<=∑∑

三中心极限定理

（一）中心极限定理的引入

我们在研究许多随机变量时，都认为它们会遵循正态分布。那么什么会这样呢？仅仅是一些人的经验猜测还是有理论依据。高斯在研究误差理论时已经用到了正态分布。现在不妨来考察一下“误差”是怎样一个随机变量，以炮弹射击误差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结果，炮弹的着地点的坐标为(),ξη，它是一个二维随机变量，一般认为它服从二维正态分布，我们知道ξ和η分别表示弹着点与靶心之间的横向与纵向误差，即使炮手瞄准后不再改变，那么在每次射击以后，它也会因为震动而造成微小的误差，每发炮弹外型上的细小差别而引起空气阻力的不同而出现的误差等等诸多原因。这些误差有正的有负的，都是随机的而弹着点的总误差ξ()η是这样多的随机误差的总合即i i

ξξ=∑而这些小误差{}i ξ是彼此间相互独立的，要研究

这些独立的随机变量的和的分布问题，就需要利用前面所讲的大数定理。前面的贝努里大数定理告诉我们：11

0,n

i i

i i E n n

ηη==-??→→∞

∑

∑这是因为事先进行了“中心化”并且在分母

中有一个因子n ，它比分子的取值增长得快，所以整个分式以概率收敛于0，显然，如果把分母换成1(0)n ηη+>，则上述结论仍然成立。因为这时分母增长得更快，讨论这种情形也就没有什么意义了。由此得到启示，在讨论独立随机变量和得分布当

n →∞时得极限行为时，为了使问题有意义，可以先进行“中心化”，然后在分母中

放上一个增长得不快不慢的因子。这个因子如何选取呢？让我们回忆一下前面的标准化方法，仍以1n

i i n μη==∑

为例，既考虑：n n n

n E np

S ηηη

--=

∑∑∑这时对任意的n ，都

有0,1n n S DS ==。因而当n →∞时，n S 不至于发生趋向于∞或0这种情况，这时讨论它的分布函数的极限才有意义。如果{}(1,2,)i i η=是服从参数为P 的二点分布的独立随机变量序列，有下述历史上颇为有名的德莫佛—拉普拉斯极限定理。这种“中心化”的思想就是中心极限定理的理想。

（二）常见的中心极限定理

在介绍中心极限定理之前我们先了解林德贝尔格条件：设12,,n

ξξξ是一列独

立的随机变量，又密度函数为

221

,(1,2,

),n

k k k k

k k E a D k B ξξσσ=====∑，这时：

（1）若{}k ξ是连续随机变量，密度函数为{}()n p x ，如果对任意的0τ>，有

221

1lim ()()0n

n k k n k n

x a

B x a p x dx B τ→∞=->-=∑?。

（2）若{}k ξ是离散型随机变量，n ξ的分布列为(),n nj nj p X p ξ==

1,2,

j =如果对任意的0τ

>，有k j k

n 22k 1x a B 1lim ()0n

kj k kj n n X a p B τ→∞=->-=∑∑则称{}k ξ满足林德贝尔格条件。以下我们主要介绍三个中心极限定理，①独立同分布的中心极限定理；②李雅普诺夫定理；③德莫佛—拉普拉斯定理。

1、独立同分布的中心极限定理（林德贝尔格—勒维定理）若12,,n ξξξ是一列独立同分布随机变量，并且22,(0),k k E a D ξξσσ==>

1,2,

k =则随机变量之和1

k k ξ=∑的标准化变量：

()

n n

k k k

n E nu

Y ξξξ

--=

∑∑∑的分布函数

()

n F x 对任意X 满

足

22l i (

)

x t n nu

P x dt x ξ

--∞→∞-≤==Φ∑? 证明：设k a ξ-的特征函数为()q t

k na

=-=∑

[n q 又因为()()20,k k E a D a ξξσ-=-=，所以2'(0)0,''(0)q q σ==-于是特征函数()q t 有展开式从而对任意固定的t 有

222[10()]2t

t t e n n n -=-+→→∞，而2

t e

-是N （0，1）分布的特征函数，所以原命题

得证。

2、林德贝尔格定理：设独立随机变量序列12,,n

ξξξ满足林德贝尔格条件，则当n →∞

时，有22

11lim (())n x y k k n k n P a x e

dy B ξ--∞

→∞=-<∑

与林德贝尔格—勒维定理相比，林德贝尔格定理不要求各个加项“同分布”，因而它比林德贝尔格定理更强，事实上林德贝尔格—勒维可以由它推出来，为此只要验证林德贝尔格条件成立即可。

3、德莫佛—拉普拉斯极限定理：设n Y 是n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，即(,),()n

Y B n p P P A =则对任意实数X

，有22

lim )x t n p p x e

dt --∞

→≤=

证明：设12,,n

ξξξ是一列独立的同分布的随机变量，他们都服从统一的

(,)B n p 分布，1

n k k Y ξ==∑因为(1,2,

)k k

ξ=服从(,)B n p 分布，所以

{}()

11,0,1,

i k p i p p i ξ-==-

由于()(),(1)(1,2,,)k k E p D p p k n ξξ==-= 所以：

22lim ))()n

x t n p

n p

p x x e

dt x ξ

--∞

→→-==Φ∑故原命题成立。

这个定理是林德贝尔格—勒维定理的一个特列。 4、李雅普诺夫定理：若12,,n

ξξξ是一列独立随机变量序列，又

2,(1,2,)k k k k E a D k ξξσ===，记22n k

k 1

B n σ==∑若存在0σ>

使有

221

10n

k k

k n E a B σ

ξ++=-→∑，

则随机变量之和1

k k n ξ=∑

的标准化变量：1

()

n n

k k k

k k n

E a

B ξ

ξξ==--=

∑∑∑∑的分布函数()n F x 对任意的X ，满足

n lim ()lim {

}()n n

k k

t x

k k n n n

F x p x dt t B ξ-==-∞

→∞

-=≤==Φ∑∑?

证明：我们验证这时林德贝尔格条件满足。仍设k ξ是连续随机变量，密度函数为()(1,2)n p x k =，则有同理可以证明离散型的情形，所以定理成立。

（三）中心极限定理的应用

我们下面将过列举一些例子来说明中心极限定理在概率与数理统计中的应用。应用1：近似计算有关随机事件的概率

例1：从良种率为20%的一大批种子中任选10000粒，求在这10000粒种子中良种所占的比率与良种率之差的绝对值小于0.5%的概率。

解：设表示10000粒种分子中的良种粒数，本题所求为

例2：报名听数学课的学生人数是均值为100的泊松随机变量，讲授这门课程的教授决定，如果报名人数不少于120人，就分成两班；如果少于120人，就集中在一个班讲授，问该教授两个班的概率多大？

解：设X 表示听课人数，又因为报名听数学课的人数服从均值为100的泊松随

机变变量，则所求概率为100120

(100)(120)!k

k e P x k -∞

=≥=∑

由于100λ=较大，不能查表求得上述

概率，考虑到泊松分布具有可加性，可把均值100λ=的泊松变量X 看成是相互独立的100个均值1(1,2,

,100)i i λ==的泊松变量之和，即

因为i x 相互独立，是数学期望为1i μλ==，方差21σ=，则则大数定理可知

该教授讲授两个班的概率为0.0227

应用2：已知随机变量在其范围内取值的概率，估计该范围

例3：某车间有200台机床，它们工作独立，开工率各为0.6，开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电才能以99.9%的概率保证这个车间会因供电不足而影响生产。

解：用X 表示工作的机床台数，则X 服从参数为(,)n p 的二项分布，其中n=200，p=0.6，设要向车间供电a 千瓦，才能以99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影响生产，即

有德莫佛—拉普拉斯中心极限定理得

3.1≥

，得120 3.1141a ≥+=

例4：抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？

解：设n 为至少抽取的产品数量，x 为其中的次品数

1,k 0,k k X ?=??

第次检查为次品第次检查为正品则

由德莫佛—拉普拉斯极限定理，有

由题意有：10.90.1-Φ=?Φ=

1.28n 147=-?=

应用3：与用频率估计概率有关的二项分布的近似计算

例5：检察员逐个地检查某产品，每次花十秒钟检察一个，但也有可能有的产品需要再花10秒钟重复检查一次，假设每个产品需要重复检查的概率为0.5，求在8小时内检察员检查的产品个数多于1900个的概率是多少？

分析：在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率等于检察员检查1900个产品的时间小于8小时概率，检查员检查每个产品花费的时间可以认为是相互独立的。

由林德贝格—列维中心极限定理计算

解：设i x 表示“检查第i 个产品花费的时间”（单位：秒）即则12n x ,x ,

x 相互独立同分布，19001

X i

i X ==∑为检查1900个产品花费的时间，且

i E(x )100.5200.515=?+?=

由独立同分布的（林德贝格—列维）中心极限定理知：

所以在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率为0.91559。

四大数定律理与中心极限定理的关系

大数定理是研究随机变量序列{}n X 依概率收敛的极限问题，而中心极限定理是研究随机变量序列{}n

X 依分布收敛的极限定理，它们都是讨论大量的随机变量之和的极

限行为。下面就通过例子来说明大数定理与中心极限定理的关系。

1、若{}k ξ服从大数定理，它不一定服从中心极限定理。

（1）对于{}k ξ不是同分布的情形，大数定理与中心极限定理的关系是不确定的，例如，设12

,ξξξ是相互独立的随机变量序列，λ为常数，ξ的分布为

2k k ,k 1,2,112

2??

- ?= ???

当1<2λ-时，显然k E 0ξ=，且()

()2

22k 111D k

k k 122k

λλλξ=-+=<≤ 所以{}k ξ满足契贝晓夫大数定理，但此时2k k 1

k 1

1D K ()2

n λξλ===<+∞<-∑∑所以{}k ξ不服从中心极限

定理。

从上面的例子可以看出，不同分布的随机变量序列，显然服从大数定理，但是不一定服从中心极限定理。

（2）对于{}k ξ是独立分布（比如上面例中取0λ=）的情况，只要k D ξ<+∞（比如

0λ=时，E 1,k 1,2,

ξ=<+∞=），若中心极限定理成立，则大数定理一定成立。自然，

对于{}k ξ不是同分布的情形，也可能服从大数定理也服从中心极限定理。例如上面的例子中，当1122

λ-≤<时，易证明{}k ξ服从大数定理也服从中心极限定理。

2、若{}k ξ服从中心极限定理，它不一定服从大数定理。

前面的研究我们已知道，若{}k ξ是独立的同分布k D ξ有限时，中心极限定理比大数定理强：这时中心极限定理成立，大数定理也成立。但是也存在大数定理比中心极限定理更强的情况，下面通过例子来说明这个问题。

（1）例如：独立随机变量序列{}k ξ中，k ξ的分布列为

2k k (k 1,2,)112

2??

- ?= ???

其中12λ≥，因为2k D K (k 1,2,)

λξ==，所以

k k 1

n B D (n )21n

λξλ+==≈→∞→∞+∑

令k k n

k k n

U 0,B ξξεξε?≤?=?>??当当

注意到22k k n (k 1,2,n)ξ=≤=于是当2n (21)λε->+时，k k U ξ≡因此2

2k 1

1E(U

)1B n

=→∑，这表明

林德贝格条件的满足。所以{}k ξ服从中心极限定理。但是由于

2k 1D K (),k 1,2,

K λξλ=≥≥=不会小于某个常数C 。所以{}k ξ不服从契贝晓夫大数定

理。

（2）又如，设独立随机变量序列{}k k ,ξξ的分布列为：

111222k

111k 1k k 22

2----??

?--??

显然32k k E 0,D k ξξ== 所以352

n k 1

k 1

D k

n 5n

ξ====≈∑∑，令k k

n k k n

,B U 0,B ξξεξε?≤?=?>??当当

因为5

4n B ε≈，而当看k 1,2,

=时，k k n ξ=≤ 所以当4

25n 4ε>

时，k k U ξ≡，这时2k 2k 1

n 1E(U )1B n ==∑ 即林德贝格条件成立。从而{}k ξ服从中心极限定理。但是因为522

2B n 5

=，不满足

k 1

1D 0(n )n n

=→→∞∑，所以不服从大数定理。从上面的这些例子可以看出，若{}k ξ是独

立随机变量序列，且对它成立中心极限定理，则{}k ξ满足大数定理的充分必要条件是

k 1

1D (n )n n

=→→∞∑。

3、{}k ξ不一定服从中心极限定理或大数定理的一个。

前面所列举的例子中，{}k ξ至少服从中心极限定理或大数定理的一个，但是并非所有的随机变量序列{}k ξ都是如此。以下面的例子来进行说明。

设随机变量序列12n

,ξξξ相互独立，且具有同一的柯西分布：求

k E a (k 1,2,)ξ=<∞=，所以{}k ξ不服从大数定理。

又因为柯西分布的各阶距都不存在，显然{}k ξ也不服从中心极限定理。 4、大数定律和中心极限定理同时成立当12

,ξξξ相互独立同分布，并且有大于0的有限方差时，大数定理和中心极

限定理同时成立。

设2i i EX ,DX 0μσ==>，则由切比雪夫大数定律知，对任意给定的0ε>，有

i n 1

1lim P{(x )}1n n

i με→+∞=-<=∑ 而由独立同分布的中心极限定理有

由此可见，在所假设的条件下，中心极限定理比大数定理更为精确。

五结论

在这篇毕业论文中，我们讨论了大数定理、中心极限定理，通过对中心极限定理的一些反例的研究，不但使我们更深入地了解了大数定理、中心极限定理，它们的实际应用以及它们之间存在的一些关系，而且使我们明白了几个中心极限定理的相互关系。

通过对阅读本篇论文，我们不难得出这样一个结论：若独立随机变量序列具有有限方差，它不一定服从中心极限定理；若随机变量序列不满足林德贝格条件，它不一定不服从中心极限定理；若随机变量序列不满足费勒条件，它不一定不服从中心极限定理；若随机变量序列服从大数定理，它不一定服从中心极限定理；若随机变量序列服从中心极限定理，它不一定服从大数定理。六参考文献

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[10][俄] 季米多维奇. 数学分析习题集，北京：人民教育出版社，1959,256-261.

中心极限定理的创立与发展

中心极限定理的创立与发展 -----杨静邓明立概率论极限理论是概率论的重要组成部分，是概率论的其他分支和数理统计的重要基础。的概率现象是由于无数的随机因素共同作用的结果---这些因素每一个都起到一点作用，但都没有起到很大的甚至决定性的作用。而极限定理告诉我们，这类多随机因素作用的现象必然会收敛于某个正态分布的概率模型。因此，该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。现实中有许多随机变量都具有上述特点，比如，大炮的射程受到多种因素影响：炮身结构，炮弹外形，炮弹几炮弹内炸药质量，瞄准的误差，风速，风向的干扰，大炮的使用年限等等，其中每种因素的微小差异对总的影响作用都不大，并且可以看作是互相独立的、互相不影响的。每种因素都会引起一个微小的误差，而炮弹落点的误差就是这许多随机误差的总和所影响的。由此看出，研究随机变量和的极限对于搞清楚随机现象的本质有着极其的重要价值。在生产和生活中，有许多随机变量的取值呈现出“中间多，两头少，左右对称”的特点。例如，一般来说我国北方男性身高在170厘米左右的居多，而高于180厘米和低于160厘米的较少。或者在生产条件不变的情况下产品的抗压强度、长度、等许多随机变量指标也都存在这样类似的情况。这样的随机变量所服从的分布就是所谓的“正态分布”。许多随机变量服从正态分布。极限理论中的中心极限定理曾是概率论的中心课题。中心极限定理有很多形式。凡是关于随机变量的数目无限增多时，其和的分布函数在一定的条件下收敛于正态分布函数的任何论断，都称为中心极限定理。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。创立阶段：1733-----1853年人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理”。

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文题目：中心极限定理及其应用姓名：学院：专业：班级：学号：指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书论文题目中心极限定理及其应用要求完成时间 2012年 07 月 02 日论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用信息与计算科学专业（学生姓名）指导教师（老师姓名）摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理

中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。中心极限定理案例分析案例一：中心极限定理在商业管理中的应用水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【学时分配】2学时【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划（弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ，则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律）设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。一、两个常用的中心极限定理根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量的分布函数Fn（x）对于任意x满足（5.7）从定理1的结论可知，当n充分大时，有或者说，当n充分大时，有如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理）设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

中心极限定理

中心极限定理从总体中抽取容量为n的一个样本时，当样本容量足够大时，样本均值x的抽样分布近似服从于正态分布。 eg:用R从0-10的均匀分布中产生100个样本量为n=2的随机样本，对每个样本计算，并画出100个的频数分布，对于n=5,10,30,50,重复这一个过程。 a=matrix(rep(0,200),nrow=100,byrow=T) set.seed(200) for(i in 1:100) a[i,]=runif(2,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100 个样本量n=2的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,1000),nrow=100,byrow=T) set.seed(1000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(10,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=10的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,3000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(30,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=30的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,5000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(50,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=50的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2)

中心极限定理的发展

中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。创立阶段：1733-----1853年人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领

中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文题目: 中心极限定理与大数定理的关系系别: 渤海大学专业: 数学系班级: 2002级1班姓名：于丹指导教师：金铁英完成日期：2006年5月19日中心极限定理与大数定理的关系于丹（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言

中心极限定理及其意义

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题目：中心极限定理及意义课程名称：概率论与数理统计专业班级：成员组成：联系方式： 2012年5月25日摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理引言：在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

中心极限定理证明

中心极限定理证明目录第一篇：中心极限定理证明第二篇：大数定理中心极限定理证明第三篇：中心极限定理第四篇：中心极限定理应用第五篇：中心极限定理更多相关范文正文第一篇：中心极限定理证明中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史

上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1）证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其意义

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计）题目大数定律与中心极限定理的关系及应用姓名学号院系数学科学学院专业数学与应用数学指导教师职称 2013年4 月16 日曲阜师范大学教务处制

目录摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的关系及应用摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

概率论大数定律与中心极限定理

‘、第五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律在第一章中我们已经指出，人们经过长期实践认识到，虽然个别随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率在某一固定值附近摆动.这就是所谓的频率具有稳定性.同时，人们通过实践发现大量测量值的算术平均值也具有稳定性.而这些稳定性如何从理论上给以证明就是本节介绍的大数定律所要回答的问题. 在引入大数定律之前，我们先证一个重要的不等式——契比雪夫（Chebyshev ）不等式. 设随机变量X 存在有限方差D （X ），则有对任意ε＞0， P {｜X -E （X ）｜≥ε}≤2) (εX D .(5.1) 证如果X 是连续型随机变量，设X 的概率密度为f (x ),则有 P {|X -E （X ）|≥ε}= ??≥-≥--≤ εεε)(22)()()()(X E x X E x x x f X E x x x f d d ≤[].)()()(1 222?+∞∞-=-ε εX D x x f X E x d 请读者自己证明X 是离散型随机变量的情况. 契比雪夫不等式也可表示成 P {｜X -E （X ）｜＜ε}≥1-2) (εX D . 5.2）这个不等式给出了在随机变量X 的分布未知的情况下事件{｜X -E （X ）｜＜ε}的概率的下限估计，例如，在契比雪夫不等式中，令ε=3)(X D ，4)(X D 分别可得到 P {｜X -E （X ）｜＜3)(X D }≥0.8889, P {｜X -E (X )｜＜4)(X D }≥0.9375. 例5.1 设X 是掷一颗骰子所出现的点数，若给定ε=1,2，实际计算P {|X -E （X ）|≥ε}，并验证契比雪夫不等式成立. 解因为X 的概率函数是P {X =k }=1/6（k =1，2，…，6），所以 E （X ）=7/2, D （X ）=35/12, P {|X -7/2|≥1=P {X =1}+P {X =2}+P {X =5}+P {X =6}=2/3; P {|X -7/2|}≥2}=P {X =1}+P {X =6}=1/3. ε=1： 2)(εX D =35/12>2/3, ε=2：2) (εX D =1/4×35/12=35/48>1/3.

大数定律及中心极限定理应用题

大数定律与中心极限定理应用题 1．设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？解设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？解设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3．一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率（2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

第四章大数定律和中心极限定理

第四章大数定律和中心极限定理教学内容：本章主要讲述契比雪夫不等式，契比雪夫大数定律，贝努里大数定律和中心极限定理等内容．教学重点：讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。教学难点：随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。在本课程一开始引入概率这个概念时，我们曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次数n 的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾经指出，当n 很大时，频率会概率是会非常“靠近”的，某些读者可能早就有了疑问：这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟是什么意思？与数学分析中的极限概念有关系吗？这个问题提得非常好，前面提到的“逐渐稳定”和非常“靠近”都只是一种直观的说法，它的严格的数学家意义确实需要我们进一步阐明，本章就是要讨论这一类问题。第一节切比雪夫不等式一、契比雪夫不等式（Chebyshev inequality ）设随机变量X 的均值()E X 及方差()D X 存在，则对于任意正数ε，有不等式 22 }|)X (E X {|P εσ≤ε≥- 或22 1}|)X (E X {|P ε σ-≥ε<- 成立。我们称该不等式为契比雪夫（Chebyshev ）不等式。证明：（我们仅对连续性的随机变量进行证明）设()f x 为X 的密度函数，记μ=)X (E ， 2)(σ=X D 则 ??≥-≥ --≤= ≥-ε μ εμεμεx x dx x f x dx x f X E X P )()()(}|)({|2 2 2 22 22 ) (1 )()(1 εσεμεX D dx x f x = ?≤ -≤ ? ∞ +∞ - 从定理中看出，如果()D X 越小，那么随机变量X 取值于开区间((),())E X E X εε-+中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(distribution center)()E X 的集中程度的数量指标。利用契比雪夫不等式，我们可以在随机变量X 的分布未知的情况下估算事件 {}()X E X ε-<的概率。

中心极限定理与大数定理的关系

中心极限定理的创立与发展

中心极限定理的内涵和应用

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中心极限定理

(完整版)大数定律及中心极限定理

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