高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义09年版
函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域）
x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log
a
2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、
开口方向、判别式
考点1：单调函数的考查
2：函数的最值
3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲)
4：个数问题（结合函数图象）
3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍
4单调函数的证明(注意一般解法）
简易逻辑(较容易)
1.
2.
3.
4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系）
问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考)
一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0)
练习：对于满足0
2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解
练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围
2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解
练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。
4利用图象
练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2 x恒成立,求a的取值范围. a ５利用函数性质 练习：若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数,求α的值. （最值）已知t 为常数，函数2 2y x x t =--在区间[03]， 上的最大值为2，则t = 函数部分2（三角函数） 学习目标：1熟悉函数命题知识点 2 每种题目能找出突破点（课后总结归纳） 3三角函数主要考点（平移、函数大小及比较（2007）、最值（两大类）、二次函数综合、恒成立问题（湖北2007）、图像） 三角函数考点 1考查化简 2考查图像变换（与一般函数联系起来） 平移：a 普通平移 b 向量平移 引出知识点：1函数周期性 y=sinx 2 参数范围求解 若方程3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数解,求a 的取值范围. 3.函数解析式 如图是函数y=Asin(ωx+φ)的半个周期 的图象,求其解析式. 3 考查函数性质 4考查解三角形 5考查综合运用 数列 1.数列问题（常见几类数列的解法）特殊的（裂项法、构造法等）三类数列 你知道吗？ 2.函数知识的复习 函数在数列中应用（复习函数的有关解法） 1(2000年上海卷)在xOy平面上有一点列P1 ( a1 , b1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 、?、Pn ( an , bn ) 、?,对每个自然数n,点Pn 位于函数y = 2000 ( a/10) x (0 < a < 10)的 图像上,且点Pn、点( n, 0)与点( n + 1, 0)构成一个以Pn 为顶点的等腰三角形. ( Ⅰ)求点Pn 的纵坐标bn 的表达式; ( Ⅱ)若对每个自然数n,以b n 、b n + 1、b n + 2为边长 能构成一个三角形,求a的取值范围; ( Ⅲ)设c n = lg( b n ) ( n∈N) . 若a取( Ⅱ)中确定的范围内的最小整数, 问数列{ cn }前多少项的和最大? 试说明理由. 2在等差数列{ a n }中,若a1 < 0,且S5 = S13,试问这数列的前几项之和最小? （变化类型） 3 (2004年重庆卷)若{ an }是等差数列, 首项a1 > 0, a2003 + a200 4 > 0, a2003 a2004 < 0,则使前n项和Sn > 0成立的最大自然数n是( ) . (A) 4005 (B) 4006 (C) 4007 (D) 4008. 4 (2004年福州卷) y = f ( x)的定义域为R,且f ( 0 ) ≠ 0. , 对任意实数m、n 有f (m + n ) =f (m ) f ( n) ,当x∈R时, f ( x)是单调函数. 数列{ an }满足a1 = f (0) , f ( an + 1 ) =1/f ( - 2 - a n )( n∈N+ ) . (1)求f (0)的值; (2)求数列{ an }的通项公式; 5 ( 2004年湖南卷)已知数列{ an }满足a1= 0, an + 1 =an – 3/3an + 1 ( n∈N) ,则a20 = ( ) . (A) 0 (B) - 3 (C) 3 (D) 3 补充常考三类数列问题:1 化为等比数列如a n =2a n-1 +5 构造法 在1的基础上多一项,解法类似 2 等差数列+等比数列 3 含有分式用裂项(06年湖北已考) 向量命题知识点 1.有关“定比分点”主要考查概念、定比分点坐标、中点坐标、两点间距离公式,试题难度不大与课本中的例题、习题相当;(以课本为主) 2.向量的加法,主要考查运算法则,几何意义; 平行四边形法则 3.平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容,主要考查运算能力和灵活运用知识的能力; 4.平面向量与三角、平面几何结合的方式题经常出现; 5.正弦定理和余弦定理的应用,如解斜三角形.(主要在三角函数中讲解) 考试主要考三类数列：1 a n=2a n-1+5 （非等差、非等比） 2 a n =q 2n （求和） 3 裂项 数列类问题的解题方法：常数列 构造法 奇偶讨论 函数思想（Sn 是二次函数） 题型练习： 一、选择题 1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是 （ ） A 、等比数列 B 、既是等差又是等比数列 C 、等差数列 D 、既不是等差又不是等比数列 2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（ ） A 、765 B 、653 C 、658 D 、660 3、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 A 、(a+b)/(a-b) B 、(b-a)/ab C 、ab/(a+b) D 、(a+b)/ab 4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= A 、1 B 、-1 C 、-3 D 、3 5、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 6、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为 A 、1或-1/2 B 、-1 或1/2 C 、-1/2 D 、1/2或-1/2 7、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为 （ ） A 、12 B 、10 C 、8 D 、以上都不对 8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是 A 、20 B 、15 C 、10 D 、5 9、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 A 、S 1 B 、S 2 C 、S 3 D 、S 4 10、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于 A 、3·(5/3)n-1 B 、3·(3/5)n-1 C 、3·(5/8)n-1 D 、3·(2/3)n-1 二、填空题 11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q = 12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q= 13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0 14、已知a n =a n －2+a n － 1(n≥3), a 1=1,a 2=2, b n = 1 +n n a a ,则数列{ b n }的前四项依次是 ______________. 15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为 三、解答题（12分×4+13分+14=75分） 16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。 怎样设四个数？ 17、已知数列{a n }的前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5bn ，其中bn>0，求数列{bn}的前n 项和。 18．已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a 19、在数列{}n a 中，2,841==a a 且0212=+-++n n n a a a ，n * ∈N . 错误！未找到引用源。求数列{}n a 的通项公式。 错误！未找到引用源。设n n n S a a a S 求.||||||21+++= 20、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ，2 11= a ， 错误！未找到引用源。求证：数列? ?? ???n S 1是等差数列；错误！未找到引用源。求数列{}n a 的通项公式。 21、在等差数列}{n a 中，21=a ，12321=++a a a 。 (1) 求数列}{n a 的通项公式； (2) 令n n n a b 3?=，求数列}{n b 的前n 项和n S 高一数学阶段复习――向量（定点分比、共线） 一、选择题： 1．已知P 点分有向线段AB 所成的比为 3 1 ，则点B 分有向线段AP 所成的比为 （ C ） A ． 4 3 B ． 3 4 C ．－ 34 D ．－4 3 2．.已知两点1(1 ,6)P --,3(3,0)P ，点7 (,)3 P y -分有向线段21P P 所成的比为 λ，则 λ，y 的值分别为 （ C ） A ．－ 4 1 ，8 B ． 41，－8 C ．－41，－8 D ．4，8 1 3，已知a=(2,3) ,b=(－4,7) ,则a 在b 上的投影值为 （ B ） A ． 13 B ． 565 C ．5 13 D ．65 4．已知a =(2,1) , b =(3,x), 若(2a －b )⊥b ，则x 的值为 （ D ） A ．3 B ．－1 C ．－3或1 D ．－1或3 5．若|a|=|b|=|a －b|,则b 与a+b 的夹角为 （ A ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．若2 0AB BC AB ?+= ，则ΔABC 为 （ A A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 7．己知|a |=1,|b |=2, a 与b 的夹角为60?,c =3a+b , d =λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为（C ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8．把一个函数的图像按(,2)4a π= ,平移后得到的图像的函数解析式为sin()24 y x π =++， 那么 原 来 函数 的 解 析 式 为 ( B ) A ．y=sinx B ．y=cosx C ．y=sinx+2 D ．y=cosx+4 9．将函数y=f(x)图象F 上的点P(1,0)平移变为P'(2,0),平移后得到新图象'F 的函数解析式 为 （A ） A ．(1)y f x =- B ．()1y f x =- C ．(1)y f x =+ D ．()1y f x =+ 10．为了得到y=f(-2x)的图像，可以把函数y=f(1-2x)的图像按向量a 进行平移，则a 等于( D ) A.(1，0) B. (1,0)- C. 1 (,0)2 D.1(,0)2 - 11．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|=2|AC|, 则C 点的坐标为 D ） A ．(－1,1) B ．(－1,1)或(5,－1) C ．(－1,1)或(1,3) D ．无数多个 12．设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则①(a b )c －(ca )b =0；②|a | －|b |< |a －b | ③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直；④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2 其中真命题是 （C ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 二 填空题 13．已知△ABC 的顶点(2,3)A ，(4,2)B --和重心(2,5)G -，则C 点坐标为 (－4,14) . 14．已知||10a =，(8,2)()a t t N =-+∈，(4,3)b =-，则与a b -垂直单位向量的坐标 为_______34 (,)55 ±__. 15．已知过(3,4)A ，(1,5)B 的直线与直线22y x =--交于点P ，则P 分AB 的比为_43 -. 16．已知点P(2,－3)按向量a = (t 2+3t －12,t 2+2t －5)平移，得到P'(0,0)，则t=___2_. 17（08年）已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = 三、解答题： 18．已知三角形的三个顶点坐标为A(0，8)、B(－4，0)、C(5，－3)。D 点内分AB 的比λ=3 1， E 在BC 上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求E 点坐标. E 分BC 的比λ=2，E(2，－2) 19．.三角形三边中点为(2，1)，(3，4)，(－1，7)，求三个顶点的坐标. (0,10)，(2,4)- (6,2)- 20．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 当∠A=90°时k=32- ，当∠B=90°时，311=k ，当∠C=90°时 2 13 3±， ∴ k=32- 或311或2 13 3± 20． 已知向量(4,4)OA =- ,(5,1)OB = ，OB 在OA 上的投影为||OM ，求MB 的坐标及 点M 的坐标。 (3,3)MB = ，(2,2)M - 等比数列复习内容 一.选择填空题 1.等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ B ） A ． 81 B ． 120 C ．168 D ． 192 2在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 3.设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ C ） A ．1:2 B ．2:3 C ．3:4 D ．1:3 4. 已知S n 是等比数列685,16,2,}{S a a n a n 等项和的前=-=等于 （ A ） A ． 8 21 B ．－ 8 21 C ． 8 17 D ．－ 8 17 5. 在 8 3 和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 _______216 __． 二. 已知各项均为正数的等差数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n ＝a n 2＋5a n ＋6；等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 15,求数列{b n }的通项公式； 解∵10S n ＝a n 2＋5a n ＋6， ① ∴10a 1＝a 12＋5a 1＋6． 解之，得a 1＝2，或a 1＝3．……………………………………………………………2分 又10S n －1＝a n －12＋5a n －1＋6（n ≥2）， ② 由①－②，得 10a n ＝（a n 2－a n －12）＋6（a n －a n －1），即（a n ＋a n －1）（a n －a n －1－5）＝0． ∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝5（n ≥2）．…………………………………………………5分 当a 1＝3时，a 3＝13，a 15＝73．a 1， a 3，a 15不成等比数列，∴a 1≠3． 当a 1＝2时，a 3＝12，a 15＝72，有 a 32＝a 1a 15．…………………………………………7分 ∴数列{b n }是以6为公比，2为首项的等比数列，b n ＝2×6n － 1． ………………………9分 三.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112,a b ==454b =, 12323a a a b b ++=+, (I) 求数列{}n b 的通项公式； (II) 求数列{}n a 的通项公式. 解（I ）{}n b 是等比数列，且54,241==b b ， 271 4 3 == b b q ……………………………………3分 ,3=q 11 132--?=?=∴n n n q b b ……………………6分 （II ） 数列{}n a 是等差数列，12323a a a b b ++=+， 又 ,2418632=+=+b b 2432321==++∴a a a a ∴82=a ……………………………………10分 21826 d a a ∴=-=-= ∴2(2)86(1)62n a a n d n n =+-=+-=+………………12分 题23.已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，满足关系 22-=n n a S . （Ⅰ）证明：{a n }是等比数列； 六、已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明 .11 1112312<-++-+-+n n a a a a a a （I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1. 所以,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为 n n n n n a a a 2 1 21111=-=-++， 所以 n n n a a a a a a 2 121212111132112312++++=-++-+-+ .12112 1121212 1<-=-? -=n n 题25. 设{a n }是公差d ≠0的等差数列，S n 是其前n 项的和. (1)若a 1=4，且 354345 S S S 和的等比中项是，求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在*22,,,p q p q p q p q S S S +∈≠N 且使得是和的等差中项？证明你的结论. (1)由2 355344345534S S S S S S ?? =? ??? 和的等比中项是，得, 即21113(2)()()2a d a d a d +=++, 将a 1=4代入上式并整理得d (12+5d )=0, 因为d ≠0，解得125d =-. 所以数列{a n }的通项公式为11232(1).55n a a n d n =+-=-+ (2)不存在p ，q ∈N *，且p ≠q ，使得22p q p q S S S +是和的等差中项. 证明：因为1(1) ,2 n n n S na d -=+ 所以222p q p q S S S ++- 111()(1) [2(21)][2(21)]2[()]2 p q p q pa p p d qa q q d p q a d ++-=+-++--++ 222(2)()d p q pq d p q =+-=-. 因为d ≠0，且p ≠q , 所以2220,p q p q S S S ++-≠ 即不存在p ，q ∈N *，且p ≠q ，使得22p q p q S S S +是和的等差中项. 武昌区高一年级三月段考数学试题 2008-3-20 一．选择题 （每小题５分，共50分） 1. 函数y=cos 2x －sin 2x+2sinxcosx 的最小值是： A.2 B.-2 C.-2 D.2 2. 函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(?-=的最小正周期为 A.π B.2π C.π2 D.4 π 3. 若π 02 x << ，则下列命题正确的是 Ａ.2sin πx x < Ｂ.2sin πx x > Ｃ.3 sin π x x < Ｄ.3sin π x x > 4. 若θ θ θθ2sin 12cos ,11cot 21cot +=+-则= A.3 B.－3 C.－2 D.2 1- 5. 的值是则是三角形的内角且已知ααααtan ,,2 3 1cos sin -= + 3 3 -D. 33C. 3-B. 3.A 6. 设)2tan(,2 1 )tan(),2(53sin βαβππαπα-=-<<=则的值等于 A ．－ 7 24 B ．－247 C ．724 D ．24 7 7. 等于则且设θθθ03tan 3,360000=+<≤ A.150o ,210o B.150o ,330o C.210o ,330o D.30o ,330o 8. 设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-,则 A.0x π≤≤ B. 74 4x π π≤≤ C.544 x ππ ≤≤ D. 32 2 x π π ≤≤ 9. 已知 1) 2 cos(2cos cos )2cos(2cos cos =-?+-?α βα ββαβ α，则cos α＋cos β的值等于 A.1 B.12 C. 2 D.2 2 10. 的值是则已知 )1)(sin 3(cos ,21 cos 4 sin 2++=++θθθθ A .6. B. 4. C.2. D.0 第Ⅱ卷（非选择题 共5道填空题6道解答题） 二.简答题 （每小题5分，共25分） 11. 已知角α的终边经过点()3,-m P ，且5 4 cos -=α，则=m 。 12. 已知 sin(2) 3sin a a β+=，且1,,(,)22k a n n k Z πβπβπ≠+≠+∈，则t a n ()t a n a ββ +的值是 ____________________． 13. 如果αcos ＝ 51，且α是第四象限的角，那么)2 cos(π α+＝ __________ 14. 若定义运算b a *为：? ??>≤=*)() (b a b b a a b a ，则函数x x x f c o s s i n )(*=的值域为 ___________ 15. 函数x x y cos 2si n 2+=在区间],32[απ-上的最小值为4 1 -，则α的取值范围是___________________ 三.解答题 （共75分） 16. 若函数)2 cos(2sin )2 sin(42cos 1)(x x a x x x f --++= ππ 的最大值为2，试确定常数a 的值. 17. 已知函数?? ? ???∈-??? ?? +=πππ,2, cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若5 4 sin = x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 18. 若锐角α、β满足13tan tan 7 αβ=，且5 sin()3αβ-=，求值： （Ⅰ）cos()αβ-； （Ⅱ）cos()αβ+。 19. ααπ αππααcos sin ,24 ,)4 sin(2cos -<<=-表示用已知 k k 20. βαβαβαβα, ,09)tan 6sin 8(3tan 9sin 822求为锐角且已知=++-+ 21. .3)2 (cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++ =θ θθ x x x x f 已知 (1)化简f (x )的解析式； (2)若0≤θ≤π，求θ，使函数f (x )为偶函数； (3)在(2)成立的条件下，求满足f (x )=1,x ∈［-π，π］的x 的集合. 2008年武昌区高一四月段考题 2008-4-14 一．选择题 （每小题５分，共50分） 1. 的取值范围是则角且的一个内角是角A A ABC A 2 1 cos ,> ? )2 ,3D.( )2,6C.( )3B.(0, )6,0.(π πππππA 2. 若f (cosx )=cos2x -3cosx ,则f (siny )的值域为 以上都不对D. ]8 31C.[-2, B.[-2,4] ]4,817.[- A 3. 下列函数中，周期为1的奇函数是 x x x x x y A πππ πππcos sin D.y 2 tan C.y )3sin(2B.y sin 21.2==+=-= 4. 函数y =A sin (ωx+?)(ω>0，2 ||π ?<，x ∈R)的部分 图象如图所示，则函数表达式为 A.)4 8 sin(4π π +-=x y B.)4 8 sin( 4π π - =x y C.)4 8 sin( 4π π - -=x y D.)4 8 sin( 4π π + =x y 5. 锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - A 2sin 1 = tan B,则有 A. sin 2A –cos B = 0 B. sin 2A + cos B = 0 C. sin 2A – sin B = 0 D. sin 2A+ sin B = 0 6. 若非零向量，a b 满足+=a b b ，则 Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ. 22<+b a b 7. 已知向量)sin ,(cos ),2,2(θθ=-=b a ，若θ则,//b a 的大小为 A. 4π B.4 π - C.)(4 Z k k ∈+= ππ θ D. )(4 3Z k k ∈+= ππ θ 8. 设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为 A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 9. 已知sin x －sin y = －32，cos x －cos y = 3 2 ，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )的值是 A. 5142 B.－5142 C.±5142 D.28 14 5± 10. 若,(0,)2 παβ∈，3 cos()22 βα- = ,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于 A.32- B.12- C.12 D.3 2 第Ⅱ卷（非选择题 共5道填空题6道解答题） 请将你认为正确的答案代号填在下表中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二.简答题 （每小题5分，共25分） 11. ?-??+??40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝___________ -4 46 -2o y x 12. 已知αα tan ,22 tan 则=的值为 ，)4 tan(π α+ 的值为 . 13. .______)6 32cos(32sin 轴的距离是的图象中相邻两条对称函数π ++=x x y 14. .__________ )26 sin( 3的单调增区间是函数x y -=π 15. 方程2cos 14x π?? - = ?? ? 在区间(0,)π内的解是_________. 三.解答题 （共75分） 16. .)4 sin(,4322,312cos 2 的值求已知παπαπα +<<= 17. 已知)32sin(],,2[ ,0cos 2cos sin sin 62 2 π αππ ααααα+∈=-+求的值. 18. 点P （2sin θ，2cos θ）在直线y = -2x 上.的值求 ) 4 cos(22sin 212π θθ +- 19. 已知5tan cot 2αα+= ，ππ42α?? ∈ ??? ，.求cos 2α和πsin(2)4α+的值. 20. 已知10 2 7)4sin(= - π α，2572cos =α，求sin α及)3tan(πα+ 21. 设a 为常数f (x ) = 2 13cos 2(3)cos 22 x a a x -+--, 如果对任意x ∈R ，不等式f (x )+ 4 ≥0恒成立，求实数a 的取值范围. 2008年武昌区高一数学五月段考题 2008-5-26 姓名__________ 学号_________ 分数___________ 一．选择题 （每小题５分，共50分） 1. 的取值范围是则已知θθθθθ,0sin 1cos cos 1sin 12 2 =-+-+ A.第三象限角。 B .第四象限角。 Z)(k 222 3 D.2k Z),(k 222.∈+≤≤+∈+≤≤+ππθππππθππk k k C 2. 下列函数中，周期为π的奇函数是 A.)3 2sin(π + =x y B. )22 cos( x y -=π C. y =|sinx | D. y =tan 2x 3. 函数)2 52sin(π +=x y 的图象的一条对称轴方程是 A.4 π - =x B.2 π - =x C.8 π = x D.4 5π= x 4. 设集合]}11[arcsin |{]}4 4[tan |{，，，，，-∈==-∈==x x y y N x x y y M π π，则 A. M N y y =- ≤≤ {|}π π 2 2 B. M N y y =-≤≤{|}11 C. M N y y =-≤≤{|}12 π D. M N y y =- ≤≤{|}π2 1 5. 有下面四个命题： ①“x =2k π+ 3 π （k ∈Z ）”是“tanx =3”的充分不必要条件； ②函数f (x )=|2cosx -1|的最小正周期是π； ③函数f (x )=sin (x + 4π)在[2π-，2 π ]上是增函数； ④若函数f (x )=asinx -bcosx 的图象的一条对称轴的方程为x = 4 π ，则a+b =0． 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 6. 若非零向量，a b 满足+=a b b ，则 Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ. 22<+b a b 7. 已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=?a c ，4=?b c 。则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是 A.5 B.7 C.12 D.13 8. 设F(x )= f (x )+ f (-x ),x ∈R,［-π,- 2 π ］是函数F(x )的单调递增区间，将F(x )的图象按向量a =(π,0)平移得到一个新的函数G(x )的图象，则G(x )的单调递减区间必是 A.［- 2π,0］ B.［2π ,π］ C.［π,23π］ D.［2 3π,2π］ 9. 若|a →|＝2，|b →|＝2，且(a →－b →)⊥a →，则a →与b → 的夹角是 A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 10. 将函数sin 24y x π? ?=- ?? ?的图象按向量a 平移后得到函数sin 2y x =的图象，则向量a 可以是 A.,04π?? ??? B.,08π?? ??? C.,04π??- ??? D.,08π?? - ??? 第Ⅱ卷（非选择题 共5道填空题6道解答题） 请将你认为正确的答案代号填在下表中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二.简答题 （每小题5分，共25分） 11. 已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是边OA 、BC 的中点， __________ MN c , b , a , c OC , b OB , a OA 应是表示向量用=== 12. 函数)(cos sin 2sin cos 22R x x x x x y ∈?+-=的最小正周期为__________，此函数的值域为__________ 13. 函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是________。 14. 函数x x y cos sin 1-=的最大值是________ 15. 在ABC ?中，已知03,33,30b c B ===，则ABC ?的面积ABC S ?=___________. 三.解答题 （共75分） 16. 已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，向量)0,2()cos 1,(sin =-=n B B m 与向量 夹角的余弦角为.2 1 (1)求角B 的大小； (2)求C A sin sin +的取值范围. 17. 已知△ABC 内接于单位圆，且2)tan 1)(tan 1(=++B A ， (1) 求证内角C 为定值； (2)求△ABC 面积的最大值. 18. ,2 2 )0,0( 21cos sin cos )(2的最大值为 已知函数>>-?+=a x x x a x f ωωωω 其最小正周期为π. (1)求实数a 与ω的值. (2)写出曲线y=f(x)的对称轴方程及其对称中心的坐标. 19. 在?ABC 中，2 2 cos sin =+A A ，AC =2，AB =3，求A tan 的值和?ABC 的面积. 20. 已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈ (1)求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； (2)函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 21. 已知函数()sin(),(0,0,,)2 f x A x A x R π ω?ω?=+>>< ∈的图象的一部分如下 图所示. (1)求函数)(x f 的解析式； (2)求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值. y 2008年武昌区高一数学五月段考题参考答案（仅供参考） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B B C C D B D 集合的概念及表示 含答案 知识梳理 1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。 2、集合的3个性质：?? ???的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 3、元素与集合的表示：我们通常用 来表示集合，用 来表示元素。 4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作： 注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。 5、集合的分类： （集合含有有限个元素）； 无限集（集合含有 个元素）； 空集（不含任何元素的集合，用记号 表示）。 6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ； 正整数集记作()+N N *； 整数集记作Z ； 有理数集记作Q ； 实数集记作R 。 注意：（这些特定集合外面不用加{}） 7、集合的表示：（1） ：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。 注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝． （2） ：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 （3） ：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 知识典例 题型一 基本概念 例1 下列各组对象中能构成集合的是（ ） A ．充分接近3的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品 【答案】C 巩固练习 1、判断下面例子能否组成集合？ （1）大于3小于12的所有偶数； （2）我国的小河流。 2、判断下面例子能否组成集合？ 中国的直辖市； （2）身材较高的人 3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值 4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是 三角形． 题型二 元素与集合的关系 例 2 用符号“∈”或“?”填空：（1）2_____N ；（2）3Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（69Q . 【答案】∈ ? ? ∈ ? ∈ 巩固练习 1、用符号“∈”或“?”填空 （1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q ______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（ ） A ．??{}0 高一数学必修一（集合、函数）知识点归纳 1、集合三要素（三大特性） 确定性 无异性 无序性 2、元素与集合之间的关系 属于∈与不属于? 例如：N ∈0 ， *0N ?。 3、集合与集合之间的关系 包含? 真包含?≠ 例如：{}{}10范围A ，A 为B 的真子集。 4、集合的运算 交集 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合 例如：B A 并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合 例如：B A 补集 设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合 例如：S= {}1 函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域 （1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、 )0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 7．映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的； 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1集合的含义与表示 （一）集合的有关概念: ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑶大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生；⑸血压很高的人； 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A. 8.空集：是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。 用符号?或者{ }表示。 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义 知识点总结及例题讲解 一、集合的含义 1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A. 3.常见的数集及表示符号 【例1】 ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④B．②③④ C．②③D．②④ B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.] 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． [解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合． (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素． 【例2】 ①π∈R；②2?Q；③0∈N*；④|－5|?N*. A．1B．2 C．3D．4 (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 专题21 期中复习 知识梳理 一、集合与命题 1．区分集合中元素的形式： 2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ??． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ? ． 注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况． 集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()( )( )U U U A B A B =、 ()( )( )U U U A B A B =． ①U U U A B A A B B A B B A A B =?=??? ? ?=?． ①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n 2、12-n 、12-n 、22-n ． 4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α； ① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题． ① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式： 6．充要条件： 在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性： 首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式 集合间得基本关系 一、子集、空集等概念得教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间得关系: (1),; (2),; (3), 1.子集得定义: 对于两个集合A,B,如果集合A得任何一个元素都就是集合B得元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A就是集合B得子集(subset)。记作: 读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A 当集合A不包含于集合B时,记作 用Venn图表示两个集合间得“包含”关系: 2.集合相等定义: 如果A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,则集合A与集合B中得元素就是一样得,因此集合A与集合B相等,即若,则。 如(3)中得两集合。 3.真子集定义: 若集合,但存在元素,则称集合A就是集合B得真子集(proper subset)。记作: A B(或 B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A) 4.空集定义: 不含有任何元素得集合称为空集(empty set),记作:。 用适当得符号填空: ; 0 ; ; 重要结论: （1）空集就是任何集合得子集; （2）空集就是任何非空集合得真子集; （3）任何一个集合就是它本身得子集; （4）对于集合A,B,C,如果,且,那么。 说明: 1．注意集合与元素就是“属于”“不属于”得关系,集合与集合就是“包含于”“不包含于”得关系; 2．在分析有关集合问题时,要注意空集得地位。 三、例题讲解: 例1.若集合B A,求m得值。 (m=0或) 例2.已知集合且, 求实数m得取值范围。() 集合得基本运算㈠ 教学目标: (1)理解交集与并集得概念; (2)掌握交集与并集得区别与联系; (3)会求两个已知集合得交集与并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 一、复习回顾: 1.已知A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则A S;{x|x∈S且xA}= 。 2.用适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x＋1＝0,x∈R} {0} {x|x<3且x>5}; {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ; {x|x>－3} {x>2} 二、交集、并集概念及性质得教学: 思考1:考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间得关系: (1),; （2）,; 1.并集得定义: 高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。 本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集 子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集 高中数学专题讲义:如何破解集合间的关系类问题 考纲要求: 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 基础知识回顾:集合与集合之间的关系 1．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间 的 基本关 系 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至 少有一个元素不是A中的元素 A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 2.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x ∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x ∈B} ?U A＝{x|x∈U，且x?A} 3. 并集的性质:A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． 交集的性质:A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． 补集的性质:A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A． 应用举例: 招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解． 【例1】【青海省西宁市高三下学期复习检测二】已知全集，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（） A. B. C. D. 【答案】A 【例2】【安徽省安庆市第一中学高三热身考试】已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出． 详解:由题意得， ． ∴． 图中阴影部分所表示的集合为， ∴． 故选B． 点睛:本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义． 【例3】【宁夏石嘴山市第三中学高三下学期第三次模拟考试】设全集U＝R，集合 弹性学制数学讲义 集合（4课时） ★知识梳理 一：集合的含义与表示 1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，… 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，… 2.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 即：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a ∈A ， a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a A 3.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母构成的集合 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+N Z Q R C 5、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少 ①有限集 含有限个元素，如A={-2，3} ②无限集 含无限个元素，如自然数集N ，有理数 ③空 集 不含任何元素，如方程x 2 +1=0实数解集。专用标记：Φ 注：?与{}?不同，?∈{}? 6.集合的3 种表示方法：列举法、描述法、图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆} 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例:不等式12 x+<-的解集可以表示为：{|12} x R x ∈+<-或{|3,} x x x R <-∈图示法： 韦恩图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 数轴法：{x∈R|3 高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围． 第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N * ；整数集记 作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些 简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确 职高高一数学课件 下面是小编整理的职高高一数学课件，欢迎大家阅读参考，希望帮助到你。 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一 些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等 ; 在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握 和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义， 也是本章学习的基础。 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性 质，就离不开集合与逻辑。 2.1.1 节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集 合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表 示集合的例子。 3. 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是 引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。 4.在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义 的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开 始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。 教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。 教学过程： 一、复习引入： 1. 简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数; 2.教材中的章头引言 ; 3.集合论的创始人——康托尔 ( 德国数学家 )( 见附录 ); 4.“物以类聚”，“人以群分”; 5.教材中例子 (P4) 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： (1)有那些概念 ?是关于如何定义的 ? (2)有那些符号 ?是关于如何表示的 ? (3)集合中元素的特性是什么 ? ( 一) 集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人 第一章集合与函数概念 §1．1集合（第一课时） 教学过程： 读一读课本第2页 问：下面8个问题的研究对象是什么？对象的全体又称为什么? 1、1--20以内的所有素数(质数) 2、我国从1991--2003年的13年内所发射的所有人造卫星 3、金星汽车厂2003年生产的所有汽车 4、2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家 5、所有正方形 6、到直线l的距离等于定长d的所有点 7、方程x2+3x-2=0的所有实数根 8、兴华中学2004年9月入学的所有高一学生 总结： ⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…，或数字、式子等表示。 例如A={1,3,a,c,a+b} 3.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 4.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N；（0、1 、2······） 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的数集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 做一做 1、A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合是则有3 A，4 A， 7 A，9 A，13 A，15 A 填（∈或?） 2、A={2，4，8，16}，则4 A，8 A，32 A. 填（∈或?） 3．用“∈”或“?”符号填空： ⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；⑷2Q；（5）-14 R高一寒假讲义1 集合的概念及表示
高一数学必修一集合 函数知识点归纳
讲义高一数学必修一函数复习
高一数学必修1第一章集合全章教案
高一数学讲义完整版
2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题21 期中复习(学生版)
高一数学讲义_集合间的基本关系
最新高中数学必修一集合知识点总结
高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义
高中数学竞赛讲义
人教版高中数学必修1集合教案
高一数学必修一讲义1.1集合
高中数学专题讲义：如何破解集合间的关系类问题
(推荐)高一数学集合知识整理
高一数学必修一《集合》专题复习
高一数学基础知识讲义全套
(完整版)职高高一数学课件.doc
高一数学必修1--集合教案
- 高一数学集合专题讲义
- 高一数学必修一函数讲义
- 高一数学基础知识讲义全套
- 高一数学必修一函数讲义
- 人教版高中数学必修一基础精品讲义
- 高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)
- 2020年上海新高一新教材数学讲义-专题21 期中复习(学生版)
- 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导
- 高一数学必修一讲义之1.1集合
- 最新高一数学必修一讲义1.1集合
- 2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)
- 高一数学必修一讲义1.1集合
- 高一数学-集合(讲义)
- 高一数学集合讲义
- 2020新人教版高中数学 同步培优讲义 必修一 知识讲解 _集合及集合的表示_提高--
- 高中数学竞赛讲义
- 高一数学培优班讲义_集合
- 高一数学基础知识讲义集合
- 高中数学必修一培优精品讲义
- 高一数学集合函 数1-10讲讲义