高中数学选修2-2疑难规律方法2：第二章 推理与证明

1合情推理的妙用

合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．

一、归纳推理的考查

1．数字规律周期性归纳

例1观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

[解析]∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，

58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，

由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，

∴52 013＝54×502＋5末四位数字为3125.

[答案]A

点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．

2．代数式形式归纳

例2设函数f(x)＝x

x＋2

(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝

x

x＋2，

f2(x)＝f(f1(x))＝

x

3x＋4，

f3(x)＝f(f2(x))＝

x

7x＋8，

f4(x)＝f(f3(x))＝

x

15x＋16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.

[解析]依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n.

所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x

(2n－1)x＋2n

.

[答案]

x

(2n－1)x＋2n

点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．3．图表信息归纳

例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：

图(1)

图(2)

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．

下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

A ．289

B ．1 024

C ．1 225

D ．1 378

分析 将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项．

[解析] 设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为a n ，

其解法如下：a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n . 故a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝n (n ＋1)2

.

而图(2)中数列的通项公式为b n ＝n 2，因此所给的选项中只有1 225满足a 49＝49×50

2＝b 35＝

352＝1 225. [答案] C

点评 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n 项和等．

二、类比推理的考查

1．类比定义

在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．

例1 等和数列的定义是：若数列{a n }从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{a n }是等和数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的一个通项公式是________． [解析] 由定义，知公和为4，且a n ＋a n －1＝4，那么 a n －2＝－(a n －1－2)，于是a n －2＝(－1)n －1(a 1－2)． 因为a 1＝1，得a n ＝2＋(－1)n 即为数列的一个通项公式． [答案] a n ＝2＋(－1)n

点评 解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解． 2．类比性质

从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．

例2 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，

写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①_______________________________________________________； 充要条件②____________________________________________________.

[解析] 类比平行四边形的两组对边分别平行可得，两组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．

类比平行四边形的两组对边分别相等可得，两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．

类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．

类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分 是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．

类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．

点评 由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性． 3．类比方法

有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

例3 已知数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝3n ＋1，则其通项公式a n ＝________.

[解析] 类比数列前n 项和S n 与通项a n 的关系a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到数列前n (n ≥2)项的乘积T n 与通项a n 的关系．注意对n ＝1的情况单独研究．

当n ＝1时，a 1＝T 1＝31＋1＝4.当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝3n ＋13n －1＋1，a 1不适合上式，

所以通项公式a n

＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

4，n ＝13n ＋1

3n －1

＋1，n ≥2

.

[答案] ⎩⎪⎨⎪

⎧

4，n ＝13n ＋13n －

1＋1，n ≥2.

2 各有特长的综合法与分析法

做任何事情都要讲究方法，方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半．解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的[答案]．证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法．综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件．综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们的应用十分广泛．

要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果”，即“由原因去推导结果”．

要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”． 例1 已知a >b >c ，求证：

1a －b ＋1b －c ＋4

c －a

≥0. 分析 首先使用分析法寻找证明思路． 证法一 (分析法)要证原不等式成立， 只需证1a －b ＋1b －c ≥4

a －c

.

通分，得(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )≥4a －c ，即证a －c (a －b )(b －c )≥4

a －c .

因为a >b >c ，

所以a －b >0，b －c >0，a －c >0. 只需证(a －c )2≥4(a －b )(b －c )成立． 由上面思路可得如下证题过程． 证法二 (综合法)∵a >b >c ，

∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.

∴4(a －b )(b －c )≤[(a －b )＋(b －c )]2＝(a －c )2. ∴a －c (a －b )(b －c )≥4a －c ，即(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )－4a －c ≥0. ∴

1a －b ＋1b －c ＋4

c －a

≥0.

从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．

最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．

例2 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．求证：f (x ＋12)

为偶函数．

证明 方法一 要证f (x ＋12)为偶函数，只需证f (x ＋1

2)的对称轴为x ＝0，

只需证－b 2a －1

2

＝0，只需证a ＝－b .

因为函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，即x ＝－b 2a －1与x ＝－b

2a

关于y 轴对称， 所以－b

2a －1＝－－b 2a ，所以a ＝－b ，

所以f (x ＋1

2)为偶函数．

方法二 要证f (x ＋1

2)是偶函数，

只需证f (－x ＋12)＝f (x ＋1

2

)．

因为f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 而f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称， 所以f (－x )＝f (x ＋1)，

f (－x ＋12)＝f (－(x －12))＝f ((x －1

2)＋1)

＝f (x ＋1

2

)，

所以f (x ＋1

2

)是偶函数．

点评 本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种处理方法在推理证明中是常用的.

3 体验反证法的独到之处

反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型： 1．证明否定性问题

例1 平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

分析 假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．

证明 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A ，B ，C ，D . 考虑△ABC ，则点D 有两种情况：在△ABC 内部和外部．

(1)如果点D 在△ABC 内部(如图(1))，根据假设知围绕点D 的三个角∠ADB ，∠ADC ，∠BDC 都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．

(2)如果点D在△ABC外部(如图(2))，根据假设知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四边形ABCD的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾．

综上所述，可知假设错误，题中结论成立．

点评结论本身是否定形式、唯一性或存在性命题时，常用反证法．

2．证明“至多”“至少”“唯一”“仅仅”等问题

例2A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：

①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；

②存在常数L(0

设φ(x)∈A，试证：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么这样的x0是唯一的．

证明假设存在两个x0，x′0∈(1,2)，x0≠x′0，

使得x0＝φ(2x0)，x′0＝φ(2x′0)，

则由|φ(2x0)－φ(2x′0)|

得|x0－x′0|

所以L>1.这与题设中0

所以原假设不成立．故得证．

点评若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证．3．证明较复杂的问题

例3如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则() A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

[解析]因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1＝sin A2，则cos A1＝cos(90°－A2)．所以A1＝90°－A2.

同理设cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，则有B1＝90°－B2，C1＝90°－C2.

又A1＋B1＋C1＝180°，

∴(90°－A2)＋(90°－B2)＋(90°－C2)＝180°，即A2＋B2＋C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立，故选D.

[答案]D

例4已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.

分析若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明．

证明假设a<0，由abc>0，知bc<0.

由a＋b＋c>0，知b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0.这与已知矛盾．又若a＝0，则abc＝0，与abc>0矛盾．故a>0.

同理可证b>0，c>0.

小结至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法．一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．

运用反证法证题时，还应注意以下三点：

1．必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；

2．推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；

3．在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊．

另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式.

至少有n 个 至多有n －1个 至多有n 个

至少有n ＋1个

任意 存在 存在

任意

4 数学归纳法中如何用假设

数学归纳法是高中数学重要的证明方法之一，它对证明与正整数有关的命题十分有效，解决这类问题的基础是第一步，关键是第二步．不管何类题目，只要利用数学归纳法证明，其假设条件必须用上，下面我们结合实例说明数学归纳法的假设条件如何运用． 1．直接运用

例1 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1

2

＋n (n 是正整数)．

证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12＝32，中间＝1＋12＝32，右边＝12＋1＝3

2，所以不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1

2＋k .

那么，当n ＝k ＋1时，

1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1<12＋k ＋2k ·12k ＝1

2＋(k ＋1)． 这就是说，当n ＝k ＋1时不等式成立．

根据(1)和(2)，知对任意正整数n ，不等式均成立． 2．配凑后运用

例2 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：n ＋f (1)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ≥2，且n 是正整数)．

证明 (1)当n ＝2时，

左边＝2＋f (1)＝2＋1＝3，

右边＝2f (2)＝2×⎝⎛⎭

⎫1＋12＝3，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，

即k ＋f (1)＋…＋f (k －1)＝kf (k )．

那么，当n ＝k ＋1时，

(k ＋1)＋f (1)＋…＋f (k －1)＋f (k )

＝1＋f (k )＋kf (k )

＝(k ＋1)f (k )＋1＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f (k )＋1k ＋1 ＝(k ＋1)f (k ＋1)．

这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．

根据(1)和(2)，知等式对从2开始的所有正整数n 都成立．

点评 解决此题的关键是盯住结论(k ＋1)f (k ＋1)，凑出系数k ＋1.

3．增减项后运用

例3 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(2n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n 是正整数)．

证明 (1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －

1)．

那么，当n ＝k ＋1时，

左边＝(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)，

设法凑出假设：乘以(k ＋1)，再除以(k ＋1)，即左边＝(k ＋1)·(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋

2)·1k ＋1

＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1)，这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，知等式对任意正整数n 都成立．

点评 对n ＝k ＋1时，等式的左边乘一项，除一项(或加一项，减一项)，设法凑出假设条件的形式，从而证明n ＝k ＋1时等式成立，这说明解题时要有目标意识.

5 用数学归纳法解题的常见误区

数学归纳法一般用于证明与正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可．本文举例剖析用数学归纳法解题的几类常见误区．

误区一、未注意初始值

例1 判断2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1对大于1的自然数n 是否都成立，若成立，请给出证明．

错证 假设n ＝k (k >1，k ∈N *)时，结论成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.

所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

因此，对大于1的自然数n,2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1都成立．

剖析 错解中忽略了当n ＝2时，左边是6，右边是7.左右两边不相等，即2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1对大于1的自然数n 不是都成立的．这种第一步简单可省略是错误的，数学归纳法的两个步骤缺一不可．

误区二、未用归纳假设

例2 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n －1＝2(2n －

1－1)(n >2，n ∈N *)．

错证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；

(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，那么由等比数列的前n 项和公式，得2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(1－2k )1－2＝2(2k －1)． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任意n >2，n ∈N *都成立．

剖析 错证中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．

正证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；

(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立，

即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，

那么n ＝k ＋1时，2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(2k －1－1)＋2k ＝2·2k －2＝2(2k －1)．

所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任意n >2，n ∈N *都成立．

误区三、未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项

例3 求证：1＋2＋4＋…＋2n －1＝12

(4n －1＋2n －1)(n ∈N *)． 错证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12

(41－1＋21－1)＝1，等式成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即1＋2＋4＋…＋2k －1＝12

(4k －1＋2k －1)， 那么1＋2＋4＋…＋2k －1＋2k ＝12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12

(4k ＋2k )． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)，知等式对任意n ∈N *都成立．

剖析 错证中有两个问题：第一未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项，实际上，并非仅增

加了2k 一项，而是增加了2k －1项；第二“12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12

(4k ＋2k )”是错误的，这是通过结论直接写出，实际上，这是使用数学归纳法的大忌．

正证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12

(41－1＋21－1)＝1，等式成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即1＋2＋3＋…＋2k －1＝12

(4k －1＋2k －1)， 那么1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋…＋2k ＝1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋

(2k －1＋2)＋…＋(2k －1＋2k －1)＝(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝(4k －1＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝2×4k －1＋2k －1＝12

(4k ＋2k )． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)，知等式对任意n ∈N *都成立．

高中数学选修2-2疑难规律方法2：第二章 推理与证明

1合情推理的妙用 合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助． 一、归纳推理的考查 1．数字规律周期性归纳 例1观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 [解析]∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…， 由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 013＝54×502＋5末四位数字为3125. [答案]A 点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性． 2．代数式形式归纳

例2设函数f(x)＝x x＋2 (x>0)，观察： f1(x)＝f(x)＝ x x＋2， f2(x)＝f(f1(x))＝ x 3x＋4， f3(x)＝f(f2(x))＝ x 7x＋8， f4(x)＝f(f3(x))＝ x 15x＋16， …… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________. [解析]依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n. 所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x (2n－1)x＋2n . [答案] x (2n－1)x＋2n 点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．3．图表信息归纳 例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如： 图(1) 图(2) 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数． 下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

高二数学选修2-2第二章 推理与证明

§2.1.1 合情推理 学习目标 1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义； 2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处） 在日常生活中我们常常遇到这样的现象： （1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 探究任务一：考察下列示例中的推理 问题：因为三角形的内角和是180(32)??-，四边形的内角和是180(42)??-，五边形的内角和是180(52)??-……所以n 边形的内角和是 新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。 探究任务二： 问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？ 新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想： 观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： . 归纳推理的一般步骤 1 。 2 。 ※ 典型例题 例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n 项和S n 的归纳过程。 例2设2 ()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。 练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？ 三、总结提升※ 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2. 已知2() (1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21f x x =+ 3.111()1()23f n n N n +=+++???+∈，经计算得357 (2),(4)2,(8),(16)3,(32)222 f f f f f =>>>> 猜测当2n ≥时，有__________________________. 4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n= (1) 2 n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。 变式1 观察下列等式： 1+3=4=2 2， 1+3+5=9=2 3， 1+3+5+7=16=2 4， 1+3+5+7+9=25=25， …… 结论 变式2 观察下列等式：1=1 1+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， …… 结论

最新人教版高中数学选修2-2第二章《推理与证明》本章小结

知识建构 1.合情推理与演绎推理 (1)归纳和类比都是__________,归纳是由__________到__________、__________到__________的推理,类比是由__________到__________的推理. (2)从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为__________,它是由__________到__________的推理. 答案：(1)合情推理特殊一般部分整体特殊 特殊 (2)演绎推理一般特殊 2.直接证明与间接证明 (1)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法是__________. (2)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明方法是__________. (3)假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法为__________. 答案：(1)综合法(2)分析法(3)反证法 3.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,常用数学归纳法,其步骤为: (1); (2). 答案：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立 (2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立结论成立则n=k+1时结论也成立 上述过程用框图表示为: 实践探究

1.下图中的三角形称为希尔宾斯基(S ierpi n s k i)三角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式__________. 思路分析:如题图,这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.猜想这个数列的一个通项公式是a n =3n -1. 答案:a n =3n -1 温馨提示:(1)上面数列的递推关系为a n +1=3a n . (2)通项公式可用数学归纳法证明 . 2.若数列{a n }是一个等差数列,则{n a a a n 21+++ }是一个等差数列.类比这条性质,若数列{ b n }是一个等比数列,则有__________是一个等比数列. 思路分析:在等差数列{a n }与等比数列{b n } 中,有 {a n } {b n } 和 a 1+a 2+…+a n 积 b 1b 2…b n 算术平均数{n a a a n 21+++ }等差几何平均数{n n 21b b b }等比 证明:设数列{b n }的首项为b 1,公比为q, 则n 1)-(n 2111n n 211n 1n n 211 n 1 n 21q b q b b b b b b b ++++++++++= = 2 121 n 12n 1n 21)n(n n 11 n 21)n (n 1n 1q q b q b q b q b --+++=(常数), ∴数列{n n 21b b b }为等比数列. 答案:{ n n 21b b b } 3.已知O 是△A B C 内任意一点,连结A O 、BO 、C O 并延长交对边于A′、B ′、C′,则 1C C C O B B B O A A A O =''+''+''. 这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”: C C C O B B B O A A A O ' '+''+''

2019-2020学年人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明 Word版含

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习题课二错误! 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B. 2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．不能确定 解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。 3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－错误!≤0 C.错误!－1－a2b2≤0 D．(a2－1)（b2－1）≥0 解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D. 4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（） A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语

最新高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章 推理与证明 2.2.2 Word版含解析

2.2.2间接证明 明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 1．间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明． 2．反证法 从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．3．反证法步骤 反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真． 4．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． [情境导学] 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法． 探究点一反证法 思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？ 答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法． 思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？ 答(1)与原题中的条件矛盾；

(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾； (3)与假设矛盾． 思考3反证法主要适用于什么情形？ 答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． 例1已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α. 证明因为a∥b， 所以经过直线a，b确定一个平面β. 因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面． 因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b. 下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点． 假设直线a与平面α有公共点P，如图所示， 则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点， 这与a∥b矛盾．所以a∥α. 反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法． 跟踪训练1如图，已知a∥b，a∩平面α＝A. 求证：直线b与平面α必相交． 证明假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α. ①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，所以a∥α， 这与a∩α＝A相矛盾；

高二数学选修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0）” D.“ n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中0123 2004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2 ＋…＋a n ＋1 =a a n --+112， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 8、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-????=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ． 11 2++k k D ． 1 2 2++k k 9、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明

人教B版2019届高中数学选修2-2习题：第二章_推理与证明2.3数学归纳法_含答案

2.3 数学归纳法 课后训练 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121 n -＜n (n ∈N ＋，n ＞1)时，第一步应验证不等式( )． A ．11+ <22 B ．11 1+<223+ C ．111+<323+ D ．1111+<3234 ++ 2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋1 21 n -＜f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中， 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )项． A ．1 B ．k C ．2k －1 D ．2 k 3．观察下列式子：2131+22<，221151+233+<，2 221117 1+2344 ++<，…，则可归纳出1＋ 21 2＋2 13＋…＋211n (+)小于( )． A ． 1n n + B ．21 1 n n -+ C ．21 1 n n ++ D ．21n n + 4．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N ＋，都能使m 整除f (n )， 则最大的m 的值为( )． A ．30 B ．26 C ．36 D ．6 5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足“当f (k )≥k 2 成立时总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2 成立．”那么下列命题总成立的是( )． A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2 成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2 成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2 成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2 成立 6．观察下列不等式：1 1> 2 ，111+>123+,11131+2372+++>， 1111>22315?＋＋＋＋,11151>23312 ?＋＋＋＋，…，由此猜测第n 个不等式为________． 7．用数学归纳法证明“当n ∈N ＋时，求证：1＋2＋22 ＋23 ＋…＋25n －1 是31的倍数”，当n ＝1时，原式为________________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是________________． 8．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋5 2(k

2019-2020学年高中数学选修2-2第二章推理科与证明章末复习讲义

第二章推理与证明 知识系统整合

规律方法收藏 1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律. 2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n 项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法. 3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难．为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路. 4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识．另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种： (1)换元法．换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式．常见的有代数换元与三角换元．在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性. 换元法步骤： ①设元(或构造元)――→ 转化②求解――→ 等量③回代――→ 等价原则 ④检验 (2)放缩法．放缩法常用于证明不等式．欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个

高中数学选修2-2第二章课后习题解答

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答 第二章 推理与证明 2．1合情推理与演绎推理 练习（P77） 1、由12341a a a a ====，猜想1n a =. 2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和. 3、设111 O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则 111222 111 222 O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --= ⋅⋅ . 练习（P81） 1、略. 2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若 1 n n a p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则1 1n n n n a cq q a cq ++==； ……………………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 习题2.1 A 组（P83） 1、2 1 n a n = +()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时， 122(1)n n ->+()n N *∈. 4、2 12 111(2)n n A A A n π ++ ≥ -（2n >，且n N *∈）. 5、12 12 17n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈） .

高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)

广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2的全部内容。

综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三)情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点: 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程： (一）导入新课: 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法:直接证明与间接证明。（二）推进新课： 1。综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a，b>0,求证2222 +++≥ ()()4 a b c b c a abc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最

第二章：推理与证明教材分析与教学建

1-2，2-2第二章：“推理与证明”教材分析与教学建议 房山教师进修学校中学数学教研室张吉 一、地位与作用 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，演绎推理和逻辑证明能力的培养是高中数学课程的重要目标。本章学习，有利于发展学生思给能力，提高学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。 二、内容说明 “推理与证明”是新课标新增内容(选修1-2第二章，选修2-2第二章)，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）．“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用． 三、课标要求 1．合情推理与演绎推理 （1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用． （2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． （3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 2．直接证明与间接证明 （1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． （2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 3．数学归纳法（文科不做要求） 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 四、本章重点与难点 1．重点：（1）合情推理、演绎推理；（2）直接证明与间接证明。 2．难点：（1）演绎推理和反证法；（2）对数学归纳法的理解（只限理科）。 五、教学内容及课时安排 1．理科课时安排（合情推理与演绎推理3课时，直接证明与间接证明2课时，数学归纳法2课时，小结1 2．文课时安排（合情推理与演绎推理4课时，直接证明与间接证明4课时，小结2课时，共计10课时）

高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明用反证法解题的几种类型素材新人教A版选修22

用反证法解题的几种类型 在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。 1“至多、至少”型命题[2] 通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。 例6、设1111x y z x y z ++=++=，求证：x ,y ,z 中至少有一个等于１。 证明：假设x ,y ,z 中没有一个等于１，则1x -≠0，10y -≠, 10z -≠。 因而 (1)(1)(1)0x y z ---≠， 即 ()()10xyz xy yz xz x y z -+++++-≠ (*) 因为 1111x y z ++=， 所以 xy yz xz xyz ++=, 代入(*)式，有 10x y z ++-≠。 这和已知1x y z ++=相矛盾，故,,x y z 中至少有一个等于１。 2唯一型命题 以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论。 例7、求证：两条直线相交只有一个交点。 证明：假设两条直线l 1,l 2相交有两个交点（设为A 、B 两点），则过A 、B 两点有两条不同

直线l 1, l 2，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。 3无限型命题 待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的反面事项是 有限的、肯定的，这时宜用反证法。 例8、证明方程510x x +=的正根是无理数。 证明：当0x >时，函数510y x x =+-单调上升；又当 1.5x =时，510y x x =+-0<；当 1.6x =时，510y x x =+-0>。所以方程510x x +=的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数q p (,p q 是互质的自然数),则(q p )5+q p =10，即54510p pq q +=，445()10p p q q +=，由于,p q 是自然数，所以44p q +为整数，则5 10q p 是整数。又因为,p q 互质，所以,p q 只有公因数１，上式说明p 只能是10的因数，但是p 取1，2，5，10的既约分数时，q p 都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。 4肯定型命题[3] 以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。 例9、已知,,a b c 均为正整数，且满足222a b c +=,又a 为质数，求证：b 与c 两数必为一 奇一偶。 证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得2()()c b c b a +-=,根据奇偶数 性质知c b +和c b -同为偶数，则2 a 必为偶数，a 也为偶数，但a 是质数，所以a =2，即有()()4c b c b +-=,所以 ⎩⎨⎧=-=+22b c b c 或⎩ ⎨⎧=-=+14b c b c ， 可得 ⎩⎨⎧==20c b 或⎪⎩ ⎪⎨⎧== 2523c b ，

高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明

推理与证明 对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力． 一．推理部分 1．知识结构： 2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理． ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理． ②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理． ③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明． 例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f => (3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明． 例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的． ④推理过程： 从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．

3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）． ①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； ②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式； 推理模式：“三段论”： ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）； ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）； ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）； 集合简述： ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ； ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ； ⅲ结论： y 也具有性质P ； 例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,, n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++ ++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数； 现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ． 解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++ ++++≤（大前提） 因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提） 得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论） 即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤= 因此，sin sin sin A B C ++的最大值是 2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型 4.和情推理与演绎推理的关系： ①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理； ②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；

数学选修二杠二第二章知识点总结

数学选修二杠二第二章知识点总结 推理与证明知识点 1.归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．． 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．． 的推理。 2.归纳推理的思维过程 大致如图： 3.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 4.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊．．到特殊．． 的推理。 5.类比推理的思维过程

6.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般 ．．到特殊 的推理。 ．． 7．演绎推理的主要形式：三段论 8.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 9.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 10.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 11.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 12.反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 13.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确 ，即 ．．． 所求证命题正确。 14.常见的“结论词”与“反义词”

高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 反证法互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学

高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 反证法互动课堂 苏教版选修 2-2 疏导引导 1.间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反命题为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.反证法是间接证明的一种基本方法. 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，即从原题的反命题“既p 又⌝q”入手，由p 与⌝q 合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定反命题“既p 又⌝q”为假;从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真.由此肯定命题“若p 则q”为真.可以看出，反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路. 反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论. 2.用反证法证明命题“若p 则q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下. 否定结论q −−−−→−推理 肯定条件,p 导致逻辑矛盾−−→−矛盾律 “既p 又⌝q”为假−−→−排中律 “若p 则q”为真. 应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论; 第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定⌝q ； 第三步：由p 和⌝q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果; 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定⌝q 不真，于是原结论q 成立， 从而间接地证明了命题p →q 为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况. 3.使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，现将常见的“结论词与反设词”列表如下： 案例 用反证法证明：已知a 、b 均为有理数，且a 和b 都是无理数，求证：b a +是无理数. 【探究】可设b a +为有理数，利用实数运算法则得出矛盾.

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法(第一课时)教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)

广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法（第一课时）教案理新人教A版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法（第一课时）教案理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法（第一课时）教案理新人教A 版选修2-2的全部内容。

§2。3 数学归纳法（第一课时） 一、教学目标 1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力． 2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 二、教学重点与难点 重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数 n （n 取无限多个值）有关的数学命题。 难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根 据归纳假设作出证明； 2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 教学过程： 学生探究过程： 我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-， 自然数平方和公式2222(1)(21)1236 n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证． 怎样证明一个与自然数有关的命题呢？ 讨论以下两个问题的解决方案: (1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完,这样总可以得到一个肯定的结论．因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？ （2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起)，假定这排砖有无

高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法说课稿新人教A版选修2_2

2.2.2 反证法 一、教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 二、教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 三、课时安排：一课时 四、教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在B C的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾) ∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： ①练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么b a> ②提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： ①出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？→如何从假设出发进行推理？→得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结O P， 则由垂径定理：O P⊥AB，O P⊥CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.