高中数学必修3海伦公式的证明方法.doc
高中数学必修3海伦公式的证明方法
海伦公式的证明⑴
与海伦在他的著作Metrica (《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1]
cosC = (a +b -c )/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab* (1-cos C)
=1/2*ab* [1-(a +b -c ) /4a *b ]
=1/4* [4a *b -(a +b -c ) ]
=1/4* [(2ab+a +b -c )(2ab-a -b +c )]
=1/4* [(a+b) -c ][c -(a-b) ]
=1/4* [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式= [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
= [p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S= [p(p-a)(p-b)(p-c)]
海伦公式的证明⑵
中国宋代的数学家秦九韶也提出了三斜求积术。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式底乘高的一半，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条
边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了三斜求积术。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。术即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为实，作1作为隅，开平方后即得面积。
所谓实、隅指的是，在方程px 2=q,p为隅，q为实。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a *c -[(a +c -b )/2 ] }
当P=1时，△2=q,
△= 1/4{a *c -[(a +c -b )/2 ] }
因式分解得
△=1/4[4a c -(a +c -b ) ]
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为海伦-秦九韶公式。
S= 1/4{a *c -[(a +c -b )/2 ] } .其中c b a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边)
代入解得s=8 3
海伦公式的证明⑶
在△ABC中A、B、C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
p r tanA/2tanB/2tanC/2=pr
S =p r =(pr )/(tanA/2tanB/2tanC/2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
S= p(p-a)(p-b)(p-c)
海伦公式的证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)