高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案
§2.1.1 离散型随机变量
【学习要求】
1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．
2．了解随机变量与函数的区别与联系．
【学法指导】
引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广.
【知识要点】
1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行；
（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．
2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量．
3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量.
【问题探究】
探究点一随机变量的概念
问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
问题2随机变量和函数有类似的地方吗？
例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
（1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；
（2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；
（3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；
（4）体积为1 000 cm3的球的半径长．
小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．
跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
（1）某人射击一次命中的环数；
（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；
（4）某个人的属相．
探究点二离散型随机变量的判定
问题1什么是离散型随机变量？
问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？
例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；
③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()
A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．
跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
（1）白炽灯的寿命ξ；
（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；
（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．
探究点三离散型随机变量的应用
例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
（2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？
小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．
（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.
（2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.
（3）离开天安门的距离η.
（4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.
【当堂检测】
1．下列变量中，不是随机变量的是()
A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()
A．取到产品的件数B．取到正品的概率
C．取到次品的件数D．取到次品的概率
3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()
A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点
C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．
【课堂小结】
1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：
（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.
【课后作业】
一、基础过关
1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A．取到的球的个数B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率
2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是()
A．①②B．①③
C．①④D．①②④
3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()
A．5 B．9
C．10 D．25
4．某人射击的命中率为p(0 () A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，… C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，… 5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是() A．第5次击中目标B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标 6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种． 二、能力提升 7．如果X是一个离散型随机变量且η＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么η() A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．一定是连续型随机变量 D．一定是离散型随机变量 8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ＝3表示的试验结果是__________________ 9．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________． 10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3 个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个． 11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果． 12．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值． 三、探究与拓展 13．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果 §2.1.2离散型随机变量的分布列(一) 【学习要求】 1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 【学法指导】 离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率. 【知识要点】 1．定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i (i＝1,2，…，n)的概率 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的． 2．离散型随机变量的分布列的性质： （1）p i 0，i ＝1,2,3，…，n ；（2）∑n i ＝1 p i ＝ . 【问题探究】 探究点一 离散型随机变量的分布列的性质 问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率．请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？ 问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？ 例1 设随机变量X 的分布列P ????X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． （1）求常数a 的值； （2）求P ????X ≥3 5； （3）求P ????110 概率． 跟踪训练1 （1 试说明该同学的计算结果是否正确． （2 ）设ξ①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)． 探究点二 求离散型随机变量的分布列 例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 小结 （1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列． （2）求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式． 跟踪训练2 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列． （1）两次掷出的最小点数Y ； （2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ. 【当堂检测】 1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是 ( ) A B C D 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ????13i ，i ＝1,2,3，则a 的值为 ( ) A ．1 B ．9 13 C ．2713 D ．1113 3．将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0 4．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列． 【课堂小结】 1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况． 2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 【课后作业】 一、基础过关 1．若随机变量X ( ) A ．1 B ．12 C ．13 D ．16 2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ????23k ，k ＝1,2,3，则m 的值为 ( ) A ．1718 B ．2738 C ．1719 D ．2719 3．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于 ( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需 要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为 ( ) A ．1,2,3，…，6 B ．1,2,3，…，7 C ．0,1,2，…，5 D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10 D ．不能确定 6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( ) A ．1112 B ．3136 C ．536 D ．112 7．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5 二、能力提升 8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是 ( ) A ．??? ?0，1 3 B ．??? ?－13，1 3 C ．[－3,3] D ．[0,1] 9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( ) A ．1220 B ．2755 C ．27220 D ．2125 10．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于 5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列． 11．已知随机变量ξ （1）求η1＝1 2ξ的分布列； （2）求η2＝ξ2 的分布列． 12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列． 三、探究与拓展 13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的． （1）求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列． §2.1.2 离散型随机变量的分布列(二) 【学习要求】 1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用. 2．理解两点分布和超几何分布． 【学法指导】 两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布，如某队员在比赛中能否胜出，某项科学试验是否成功，都可用两点分布来研究．在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为k 的概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替． 【知识要点】 1则称离散型随机变量X 服从 2．一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中 *为 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从 【问题探究】 探究点一 两点分布 问题1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？ 问题2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？ 例1 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X ，才能使X 满足两点分布，并求分布列． 小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决． 跟踪训练1 设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于 ( ) A ．0 B ．1 2 C ．13 D ．23 探究点二 超几何分布 问题 超几何分布适合解决什么样的概率问题？ 例2 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3 件，求取得次品数为ξ的分布列． 跟踪训练2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数． （1）求X 的分布列； （2）求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 探究点三 实际应用 例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率； （2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 小结 此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键． 跟踪训练3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列． 【当堂检测】 1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 ( ) A ．C 35 C 350 B ． C 15＋C 25＋C 3 5C 3 50 C ．1－C 345C 350 D ．C 15C 25＋C 25C 1 45C 350 2．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( ) A ．13 B ．12 C ．1 6 D ．5 6 3．在掷一枚图钉的随机试验中，令X ＝? ???? 1，针尖向上 0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X 的 分布列为___________ 4．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________ 【课堂小结】 1．两点分布 两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪 一个量． 2．超几何分布 超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝ C k M C n － k N －M C n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义． 【课后作业】 一、基础过关 1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( ) A ．150 B ．125 C ．1825 D ．14 950 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( ) A ．C 34C 248C 552 B ． C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 4 4 C 552 D ．C 34C 248＋C 44C 148C 552 3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ， 则下列概率等于C 122C 14＋C 22 C 226 的是 ( ) A ．P (0 B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2) 4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为 ( ) A ．15 B ．16 C ．115 D ．1 3 5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以7 10为概率的事件是( ) A ．都不是一等品 B ．恰有一件一等品 C ．至少有一件一等品 D ．至多有一件一等品 6．若离散型随机变量X 的分布列为： 则c ＝________. 二、能力提升 7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于 ( ) A ．310 B ．710 C ．2140 D ．740 8．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____. 9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示) 10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中 的6篇，试求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率． 11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列． 三、探究与拓展 12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量X的分布列； （3）计算介于20分到40分之间的概率． §2.2.1条件概率 【学习要求】 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 【学法指导】 理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率 可利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A) ，也可以利用缩小样本空间的观点计算. 【知识要点】 1．条件概率的概念 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率． 2．条件概率的性质 （1）P(B|A)∈． （2）如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝. 【问题探究】 探究点一条件概率 问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？ 问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？ 问题3怎样计算条件概率？ 问题4若事件A、B互斥，则P(B|A)是多少？例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率； （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； （3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 小结利用P(B|A)＝ n AB n A 解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数． 跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． 探究点二条件概率的性质及应用 问题条件概率满足哪些性质？ 例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立． 跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 【当堂检测】 1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于() A． 1 8B． 1 4C． 2 5D． 1 2 2．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________ 3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是_______ 4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能) 【课堂小结】 1．条件概率：P(B|A)＝ P(AB) P(A) ＝ n(AB) n(A) . 2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝ AB中样本点数 ΩA中样本点数 ，P(AB)＝ AB中样本点数 Ω中样本点数 .【课后作业】 一、基础过关 1．若P (A )＝34，P (B |A )＝1 2，则P (AB )等于 ( ) A ．23 B ．38 C ．1 3 D ．58 2．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( ) A ．59 B ．110 C ．35 D ．25 3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为1 10，则在下雨天 里，刮风的概率为 ( ) A ．8225 B ．1 2 C ．38 D ．34 4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( ) A ．110 B ．210 C ．810 D ．910 5．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 ( ) A ．0.02 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.72 6．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是 ( ) A ．1 5 B ．12 C ．34 D ．310 7．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为 ( ) A ．119 B ．1738 C ．419 D ．217 二、能力提升 8．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________． 9．以集合A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________． 10．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于 8”． （1）求P (A )，P (B )，P (AB )； （2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？ 11．把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ； 第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标 有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率． 三、探究与拓展 12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题 及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率． §2.2.2 事件的相互独立性 【学习要求】 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念． 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 【学法指导】 相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解，事件独立可以简化概率计算，学习中要结合实例理解. 【知识要点】 1．相互独立的概念 设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝ ，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质 如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 ， 与B ， 与 也都相互独立． 【问题探究】 探究点一 相互独立事件的概念 问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？ 问题2 在问题1中求P (A )、P (B )及P (AB )，观察它们有何关系？总结相互独立事件的定义． 问题3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？ 问题4 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立，如何证明？ 例1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( ) A ．相互独立但不互斥 B ．互斥但不相互独立 C ．相互独立且互斥 D ．既不相互独立也不互斥 （2）掷一颗骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是 ( ) A ．互斥但不相互独立 B ．相互独立但不互斥 C ．互斥且相互独立 D ．既不相互独立也不互斥 小结 有三种方法判断两事件是否具有独立性 （1）定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立． （3）条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断． 跟踪训练1 已知下列各对事件： （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”． （2）一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”． （2）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”． 其中为相互独立事件的有 ( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2) D ．(2)(3) 探究点二 相互独立事件同时发生的概率 例2 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： （1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码． 小结 求P (AB )时注意事件A 、B 是否相互独立，求P (A ＋B )时同样应注意事件A 、B 是否互斥，对于“至多”，“至少”型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利用P (A )＝1－P (A )来运算． 跟踪训练2 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、1 4 .求： （1）两个人都译出密码的概率； （2）两个人都译不出密码的概率； （3）恰有一人译出密码的概率； （4）至多一人译出密码的概率； （5）至少一人译出密码的概率． 探究点三 综合应用——系统可靠性问题 例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率． 小结 （1）解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答． （2）有的事件正面情况较繁，可以从其对立事件入手解决． 跟踪训练3 （1）如图(1)添加第四个开关J D 与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率． （2）如图(2)两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率． (1) (2) 【当堂检测】 1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是 ( ) A ．互斥的事件 B ．相互独立的事件 C ．对立的事件 D ．不相互独立的事件 2．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A ．p 1p 2 B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C ．1－p 1p 2 D ．1－(1－p 1)(1－p 2) 3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，1 4，则此密码能译出的概率是 ( ) A ．160 B ．25 C ．35 D ．5960 4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是1 3，2人试图独立地在半小时内解 决它，则两人都未解决的概率为______，问题得到解决的概率为________ 【课堂小结】 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们 能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较) 【课后作业】 一、基础过关 1．有以下3个问题： (1)掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； (2)袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到红球”，事件N ：“第2次摸到红球”； (3)分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这3个问题中，M ，N 是相互独立事件的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 ( ) A ．512 B ．12 C ．712 D ．34 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则 所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A ．116 B ．18 C ．316 D ．14 4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4，两个零件是否加工为一等品相互独立， 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A ．12 B ．512 C ．14 D ．1 6 5．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为3 5，且他们的选择互不影响， 则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为 ( ) A ．36125 B ．44125 C ．54125 D ．98 125 二、能力提升 6．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1 9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则 事件A 发生的概率P (A )是 ( ) A ．29 B ．118 C ．13 D ．23 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25，则该队员每次 罚球的命中率为________． 8．在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________． 9．在一条马路上的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______． 10．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为4 5 ，每位男同 学通过测验的概率均为3 5 ，求： （1）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率； （2）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 11．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件 的概率 （1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话． 三、探究与拓展 12．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核， 否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、1 3 ，且各轮问题能 否正确回答互不影响 （1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率； （3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列． §2.2.3 独立重复试验与二项分布 【学习要求】 1．理解n 次独立重复试验的模型． 2．理解二项分布． 3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题． 【学法指导】 独立重复试验是研究随机现象的重要途径，二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，学习中要把握它们的联系，掌握二项分布的特点. 【知识要点】 1．n 次独立重复实验 在 条件下 的n 次试验称为n 次独立重复试验. 2．二项分布 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ， , k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～ ，并称p 为 【问题探究】 探究点一 n 次独立重复试验的概率求法 问题1 投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为q ＝1－p ，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 问题2 问题1中若连续掷一枚图钉n 次，恰好出现k 次(k ≤n )针尖向上的概率又是多少？它与二项式定理有 何联系？ 问题3 独立重复试验有哪些特点？ 例1 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中， （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率．(结果保留两个有效数字) 小结 解决此类问题的关键是正确设出独立重复试验中的事件A ，接着分析随机变量是否满足独立重复试验 概型的条件，若是，利用公式P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 计算便可． 跟踪训练1 已知一个射手每次击中目标的概率为p ＝3 5，求他在4次射击中下列事件发生的概率． （1）命中一次； （2）恰在第三次命中目标； （3）命中两次； （4）刚好在第二次、第三次两次击中目标． 探究点二 二项分布的应用 问题 二项分布和两点分布有何联系？ `例2 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，1 2，且各人答对正确与否相互之 间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列； （2）设C 表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P (C )． 小结 解决二项分布问题的两个关注点 （1）对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． （2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次． 跟踪训练2 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是2 min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列． 探究点三 综合应用 例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）求按比赛规则甲获胜的概率． 小结 二项分布在生产实际中的应用十分广泛，求解此类问题的关键是把实际问题概率知识化，在此基础上，借助相关的概率知识求解，需特别注意，由于此类问题与实际问题结合密切，处理时应结合实际问题求解． 跟踪训练3 甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？ 【当堂检测】 1．每次试验的成功率为p (0 A ．C 310p 3(1－p )7 B ． C 310p 3(1－p )3 C ．p 3(1－p )7 D ．p 7(1－p )3 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为 ( ) A ．C 310×0.72×0.3 B ． C 13×0.72 ×0.3 C ．310 D ．3A 27·A 13A 310 3．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于 ( ) A ．0.665 B ．0.008 56 C ．0.918 54 D ．0.991 44 4．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________ 【课堂小结】 1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k ) ＝C k n p k (1－p ) n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式. 【课后作业】 一、基础过关 1．已知随机变量ξ～B ????6，1 3，则P (ξ＝2)等于 ( ) A ．3 16 B ．4243 C ．13243 D ．80243 2．种植某种树苗，成活率为0.9.若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为( ) A ．0.33 B ．0.66 C ．0.5 D ．0.45 3．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且 向上、向右移动的概率都是1 2 ，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A ．????125 B ． C 25 ×??? ?12 5 C ．C 35×????123 D ．C 25×C 35×????125 4．某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，某书业公司新进了四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有2台需要工人照看的概率为 ( ) A ．0.153 6 B ．0.180 8 C ．0.563 2 D ．0.972 8 5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( ) A ．[0.4,1) B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1) 二、能力提升 6．某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为 ( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37 D ．0.48 7．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝ ? ???? －1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57×????132×??? ?235 B ．C 27×????232×??? ?135 C ．C 57 ×????132×????135 D ．C 27 ×????132×????232 8．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为65 81，则事件A 在1次 试验中发生的概率为________． 9．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14. 其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号) 10．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2 3 ，求： （1）甲恰好击中目标2次的概率； （2）乙至少击中目标2次的概率； （3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 11．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考 生选做这两题的可能性均为1 2 . （1）求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率； （2）设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列． 三、探究与拓展 12．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3 4 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ §2.3.1 离散型随机变量的均值(一) 【学习要求】 1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质． 3．掌握两点分布、二项分布的均值． 4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题． 【学法指导】 离散型随机变量的均值是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得均 值．利用随机变量的均值可以帮助我们对实际问题做出决策. 【知识要点】 1．离散型随机变量的均值或数学期望 则称E (X )＝ 为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 2．离散型随机变量的性质 如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是(离散型)随机变量，且P (X ＝x i )＝ ,i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝ ＝ . 3．两点分布与二项分布的均值 （1）如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝ (p 为成功概率)． （2）如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝ . 【问题探究】 探究点一 离散型随机变量的均值公式及性质 问题1 某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 问题2 离散型随机变量的均值有什么作用？ 问题3 若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的平均数为a x ＋ b .那么离散型随机变量Y ＝aX ＋b 是否也具有类似性质？如何证明？ 例1 （1）求m 的值； （2）求E (X )； （3）若Y ＝2X －3，求E (Y )． 小结 对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便． 跟踪训练1 已知随机变量X 的分布列为 且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2，求a 的值． 探究点二 超几何分布的均值 例2 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望． 小结 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算． 跟踪训练2 在本例中，求取出的3件产品中二等品件数ξ的均值． 探究点三 二项分布的均值 问题1 若随机变量X ～B (n ，p )，怎样证明E (X )＝np? 问题2 若随机变量X 服从两点分布，怎样计算E (X )? 例3 某运动员投篮命中率为p ＝0.6. （1）求投篮1次时命中次数ξ的期望； （2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望． 小结 (1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)． (2)如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． 跟踪训练3 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2 3.记甲击中 目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ和η的数学期望． 【当堂检测】 1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为 ( ) A ．0.6 B ．1 C ．3.5 D ．2 2．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64 3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·???13k ·???23300－k (k ＝0,1,2，…，300)，则E (X )＝________ 4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． （1）求ξ的分布列，均值； （2）若η＝aξ＋4，E (η)＝1，求a 的值． 【课堂小结】 1．求离散型随机变量均值的步骤： （1）确定离散型随机变量X 的取值； （2）写出分布列，并检查分布列的正确与否； （3）根据公式写出均值，如例1. 2．若X 、Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值. 【课后作业】 一、基础过关 1．若随机变量X ( ) A ．0.2 B ．0.1 C ．－0.2 D ．－0.4 2．已知ξ～B ????n ，12，η～B ????n ，1 3，且E (ξ)＝15，则E (η)等于 ( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是 ( ) A ．0.7 B ．6 C ．4.2 D ．0.42 4．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为 ( ) A ．1 3 B ．2 3 C ．2 D ．83 5．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为 ( ) A ．15 B ．10 C ．20 D ．5 6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )等于 ( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.22 二、能力提升 7．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则 放弃试验．若此人每次试验成功的概率为2 3 ，则此人试验次数ξ的期望是 ( ) A ．43 B ．139 C ．53 D ．137 8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 ( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 9．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到________等奖． 10．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为1 3 ， 用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： （1）随机变量ξ的分布列； （2）随机变量ξ的均值． 11．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进 行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率． 三、探究与拓展 12．甲、乙两人进行围棋比赛，每盘比赛甲胜的概率为13，乙胜的概率为2 3 ，规定若一人胜3盘则比赛结束． （1）求4盘结束比赛且甲获胜的概率； （2）求比赛盘数的均值． §2.3.1 离散型随机变量的均值(二) 【学习要求】 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 【学法指导】 上一课时，我们学习了离散型随机变量的均值，初步掌握了它的应用，在实际生活中，常利用随机变量均值的大小决定某些方案的优劣，解决一些决策问题．通过本节的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识. 【双基自测】 1．分布列为 的期望值为 ( A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【题型解法】 题型一 二项分布的均值 例1 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 小结 对于常见的两点分布、二项分布类型，借助各类分布的期望计算公式可以简化求解过程，因此在实际问题求解时，要注意通过审题将实际问题转化为常见的分布类型，这是解题的关键． 跟踪训练1 英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二 超几何分布的均值 例2 一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 小结 本题是随机变量期望的应用问题，解题的关键是正确地设出随机变量，然后求出该随机变量的所有可能的取值，在实际问题中应综合考虑问题的各种情形，如本题中既要考虑到这个人的收入，又要考虑到其支出，因此就一次摸球而言，这个人的收入情况是不确定的，有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能． 跟踪训练2 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率； （2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E (ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率． 题型三 综合应用问题 例3 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施． 试比较哪一种方案好． 小结 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：如果问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的． 跟踪训练3 在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A ，B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1 000元，答对问题B 可获奖金2 000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A ，B 的概率分别为12，14 . （1）记先回答问题A 的奖金为随机变量X ，则X 的取值分别是多少？ （2）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明 理由． 【当堂检测】 1．某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是 ( ) A ．np (1－p )n B ．np C ．n D ．np (1－p ) 2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( ) A ．20 B ．25 C ．30 D ．40 3．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是________元． 4．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求： （1）抽取次数X 的分布列； （2）平均抽取多少次可取到好电池． 【课堂小结】 （1）实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． （2）概率模型的解答步骤 ①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 【课后作业】 一、基础过关 1．某班有1 4 的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～ B ????5，1 4，则E (－X )的值为 ( ) A ．1 4 B ．－14 C ．54 D ．－5 4 2．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000 据此判定 ( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量一样 D ．无法判定 3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．则E (ξ)等于 ( ) A ．1.48 B ．0.76 C ．0.24 D ．1 4．同时抛掷两颗骰子，至少有一个3点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中，成功次数ξ的数学期望是________． 5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试 的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕 业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1 12，则随机变量X 的数学期望 E (X )＝________ 二、能力提升 6请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________. 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________ 8．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是______． 9．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，5 2 ，3，22，用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 10．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根 据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是多少元？ 11．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客 户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，俱乐部至少应该准备多少礼品？ 12．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖 概率为1 2 ，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券 4张．每次抽奖互不影响． （1）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列； （2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望． 三、探究与拓展 13．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时 间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、 乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1 2 ； 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，1 4；两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． §2.3.2 离散型随机变量的方差 【学习要求】 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． 【学法指导】 1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用． 2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识. 【知识要点】 1．离散型随机变量的方差、标准差 则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．我们称D (X )为随机变量X 的 ，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的 2．离散型随机变量方差的性质 （1）设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝ ， （2）D (c )＝0(其中c 为常数)． 3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 （1）若X 服从两点分布，则D (X )＝ (其中p 为成功概率)； （2）若X ～B (n ，p )，则D (X )＝ 【问题探究】 探究点一 方差、标准差的概念及性质 问题1 某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下： 甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5； 乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 问题2 类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？ 问题3 随机变量的方差与样本的方差有何不同？ 问题4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？ 问题5 我们知道若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差为s 2，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的方差为a 2s 2 .离散型随机变量X 的方差是否也有类似性质？ 例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差． 小结 充分应用离散型随机变量的均值和方差的定义及性质来解题．在应用方差定义求解时，特别要注意，在(x i －E (X ))2p i 中，极易把(x i －E (X ))2的平方漏掉，产生错误． 跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列为 若E (ξ)＝2 3. （1）求D (ξ)的值； （2）若η＝3ξ－2，求D (η)的值． 探究点二 两点分布与二项分布的方差 问题 若随机变量X ～B (n ，p )，怎样计算D (X )？两点分布呢？ 例2 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差． 小结 解决本题的关键是建立二项分布模型，搞清随机变量的含义，利用公式简化解题过程． 跟踪训练2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是1 3 . (1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差； (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差． 探究点三 均值、方差的综合应用 问题 实际问题中，均值和方差对我们的一些决策有何作用？ 例3 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 小结 实际问题中，决策方案的最佳选择是将数学期望最大的方案作为最佳方案加以实施；如果各种方案的数学期望相同时，则应根据它们的方差来选择决策方案，至于选择哪一方案由实际情况而定． 跟踪训练3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个 试评定这两个保护区的管理水平． 【当堂检测】 1．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于 ( ) A ．158 B ．154 C ．52 D ．5 2．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1， p 2，p 3分别为________，________，________. 4．已知X （1）求E (X )，D (X )； （2）设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )． 【课堂小结】 1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D (X )或标准差越小，则随机变量X 偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X 的取值越分散． 2．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤 （1）理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； （2）求X 取每一个值的概率； （3）写出随机变量X 的分布列； （4）由均值、方差的定义求E (X )，D (X )． 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E (X )和D (X ). 【课后作业】 一、基础过关 1．下列说法中，正确的是 ( ) A ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值 B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平 C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平 D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 2．若X 的分布列为 其中p ∈(0,1)，则 ( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ． D (X )＝p －p 2 D ．D (X )＝pq 2 3．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是 ( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1 3，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于 ( ) A ．6 B ．9 C ．3 D ．4 5．已知随机变量ξ ( ) A ．3.56 B ． 3.2 C ．3.2 D ． 3.56 6．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计 ( ) A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 二、能力提升 7．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 8．随机变量ξ的分布列如下： 其中a 、b 、c 成等差数列，若E (ξ)＝1 3 ，则D (ξ)＝________. 9．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0 方差D (X )的最大值为________；2D (X )－1 E (X )的最大值为________． 10．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． （1）若抛掷一次，求E (X )和D (X )； （2）若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为 ξ，求E (ξ)和D (ξ)． 12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率 分布大致如下表所示： 甲： 乙： 试分析两名学生的成绩水平． 三、探究与拓展 13．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格 后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与方差． §2.4正态分布 【学习要求】 1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小． 3．会用正态分布去解决实际问题． 【学法指导】 正态分布在自然界中最常见，可以结合正态密度曲线理解正态分布的性质，利用3σ原则求一些事件的概率. 【知识要点】 1．正态曲线 函数φμ，σ(x)＝1 2πσ e ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ (σ>0)为参数， φμ，σ(x)的图象为，简称正态曲线． 2．正态分布
- 人教版高中数学高二数学《离散型随机变量》导学案
- 北师大版选修2-3离散型随机变量及分布列导学案
- 2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修2-3.doc
- 离散型随机变量学案
- 最新《2.1.1离散型随机变量》导学案
- 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1
- 《2.3.2 离散型随机变量的方差》导学案(新部编)1
- 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1
- 2[1].1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1
- 最新《2.1.1离散型随机变量》导学案
- 离散型随机变量及其分布列导学案
- 2.1.1离散型随机变量及其分布列导学案1
- 52.3.2离散型随机变量的方差导学案(选修2-3)
- 4离散型随机变量的均值导学案 (1)
- 离散型随机变量的均值导学案(已修改)
- 高中数学 2.5随机变量的均值和方差 精品导学案 苏教版选修2-3
- 2019-2020学年高中数学 第2章 概率 第8课时 离散型随机变量的均值导学案苏教版选修2-3.doc
- 《2.1.1离散型随机变量》导学案
- 高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案
- 2.3.1离散型随机变量的均值(导学案)