文科《解三角形》高考常考题型专题训练

文科《解三角形》高考常考题型专题训练

1．已知在ABC ?的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin B A A =

，1

cos 3

B =.

（1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长.

1．【解析】（1）由题得sin 3

B =

， 所以22sin 3cos A A =，所以(

)

2

21cos 3cos A A -=， 解得1cos 2

A =

，(0,)A π∈，∴3

A π

=

.

（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+11323=

+?=

由正弦定理

sin sin AB AC C B =得sin 1sin AC AB C B =?=+. 2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=，

cos 2cos C a c

B b

-=． （1）求b 的最小值；

（2）若a b <，2b =，求cos 6A π?

?

+ ??

?

的值． 2．【解析】（1）在ABC 中，满足

cos 2cos C a c

B b

-=，即()cos 2cos b C a c B =-， 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，

整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=， 又因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1

cos 2

B =， 因为0B π<<，所以3

B π

=

．

又由()2

2

22293939324a c b a c ac a c ac ac +??=+-=+-=-≥-=

???

．

当且仅当32

a c ==

时，等号成立，故b 的最小值为3

2．

（2）由（1

）可得2sin b R B =

=

sin sin sin a b c A B C ===

，

所以a A =

，c C =， 因为3a c +=

，可得

2sin sin 333A A π??

??+-= ???????

， 整理可得3sin 64A π?

?+= ??

?．

又a b <，3

B π

=

，所以3

A π

<

，故

6

6

2

A π

π

π

<+

<

，

所以cos 6A π??+== ???． 3．在ABC ?中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、

，且

)

(

)2cos cos b A C π--=.

(Ⅰ)求A 的值； (Ⅱ)若角,6

B B

C π

=

边上的中线AM =ABC ?的面积.

3．【解析】 (Ⅰ

)

)

(

)2cos cos b A C π--=，∴

由正弦定理得：

)

(

)2sin cos cos C B A C -?-=

，即(

)2sin cos B A A C B =+=，

又∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，

∴cos A =

又()0,A π∈,所以，6A π=.

(Ⅱ)由66

，B A ππ==，知a b =，在ACM ?中，由余弦定理得2

2

2

7

214cos 32b b b π+-==-，解得2b =，

∴1

222ABC S ?=??=4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

sin sin sin cos cos cos A B C

A B C

+=+ （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面

积S = （2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 4．【解析】因为

sin sin sin cos cos cos A B C

A B C

+=+

所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=- 因为A ，B ，()0,C π∈，

所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3

A π

=

（1）ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：

若ABC 同时满足条件①②

则由正弦定理得sin sin 1b B a A =

=>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④

所以ABC 的面积11822sin 2

A b S bc ==??=?所以5b =与②矛盾

所以ABC 还同时满足条件①③④

（2）在ABC 中，由正弦定理得：

sin sin sin b c a

B C A

===

因为23C B π=-，所以b B =，23c B π??

=-

???

所以2s sin 3in 3a b B L c B π?

??=++=+-+

?????

co 1

32s 62B B ??=++ ? ???

6sin 36B π?

?=++ ??

?

因为20,

3

B π??

∈ ?

?

?，所以5,666B πππ??

+∈ ?

??

，1sin ,162B π????+∈ ? ????? 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.

5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin

2

B C

a B

b +=；

sin A A +=cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；

（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围 5．【解析】（1）选择①sin sin

2

B C a B b +=作为依据，由正弦定理得πsin sin sin sin 22A A B B ??

=- ???，

由sin 0B ≠，得sin cos 2

A A

=，所以π2sin cos cos 022222A A A A ??=<< ???，

因为sin 02

A ≠所以1πsin 02222A A ??=<< ???，所以π

26A =，

即π

3

A =

. 选择②或③均可确定π

3

A =

，并且难度更低；④与⑤都涉及边长，不能唯一确定角A .

（2）选择添加条件⑤ABC 的面积等于

则1sin 2△=?==ABC S bc A 16bc =.

由余弦定理和基本不等式：ABC 周长()=++=+L a b c b c

12=， 当且仅当4b c ==时取等号， 所以ABC 的周长L 的最小值等于12.

π

3

A =

，16bc =，可以让16+0b c b →∞=→，，此时周长+L →∞.

ABC 的周长L 的取值范围是[12+)∞，.

若选择添加“④4a =”作为条件，用余弦定理和基本不等式，

2

2

2

2

2

2

2

1162cos ()3()3=()24

≥+??==+-?=+-+-?+ ???b c a b c bc A b c bc b c b c ，

则8b c +≤，4b c ==时取等号. 又4b c a +>=，则812a b c <++≤.

所以ABC 的周长L 的取值范围是(812]，

.（与选择⑤结果不同） 6．如图，在ABC 中，sin sin ABC DBC ∠=∠，且D 为AC 上靠近A 的三等分点.

（1）求

BD

AB

的值； （2）若3BC =，9AC =，ACB ∠的角平分线CE 交BD 于E ，求cos DCB ∠及CED 的面积. 6．【解析】（1）∵D 为AC 上靠近A 的三等分点，∴3

2

ABC BCD S S =

△△. ∵1sin 2ABC S AB BC ABC =

??∠△，1

sin 2

BCD S BD BC DBC =??∠△， ∴131

sin sin 222

AB BC ABC BD BC DBC ??∠=???∠， 又∵sin sin ABC DBC ∠=∠，∴

2

3

BD AB =. （2）设2BD x =，则3AB x =，

∵在ABC 中，22222

819910cos 22936AC BC AB x x ACB AC BC +-+--∠===

???； 在BCD 中，22222

3694454cos 226336DC BC BD x x DCB DC BC +-+--∠===

???， ∴2210454636

x x --=

，∴2

152x =，∴5cos 12DCB ∠=. ∵ACB ∠的角平分线为CE ，∴E 到DC ，BC 的距离相等，则

1

2

BCE DCE S BC S DC ==△△， ∴2

3

DCE BCD S S =△△， ∴2

1153119sin 3612212BCD

S BC DC DCB ??=??∠=??-= ???△， ∴23119119

3CED S =

=

△. 7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量2sin

2cos 22,?

?=- ???

A A m ，3cos cos 22,?

?= ??A A n ，m n ⊥．

（1）求角A ；

（2）若a =ABC 周长的最大值．

7．【解析】（1）因为m n ⊥，所以0m n ?=．

所以2π23sin

cos 2cos cos 12sin 102226A A A A A m n A ?

?=?-=--=-= ?

?-??． 所以π1sin 62A ?

?-= ??

?，

因为0πA <<，所以ππ5π

666

A -<-<， 所以ππ66

A -

=，所以π

3A =．

（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，

即()()()2

2

2

2

2233324b c b c b c bc b c bc b c ++??=+-=+-≥+-?=

???

，当且仅当

b c =时，等号成立.

所以()2

12b c +≤，即b c +≤，a b c ++≤

所以△ABC 的周长的最大值为此时b c ==

8．已知ABC 的内角A ，B ，C 满足()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，ABC 的面

积为（1）求sin 2A ；

（2）sin sin B C +=

ABC 的周长. 8．【解析】（1）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

∵()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=- 可得()()()a b a b c b c +-=-， 化简可得，222b c bc a +-=，

由余弦定理可得，2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，

∵0A π<<，∴3

A π

=

，∴sin 2A =

（2）因为sin sin B C +=所以13

27

b c R a +==.

由1

sin 2

bc A =

，∴40bc =，. 因为222b c bc a +-=，∴()2

2

3b c bc a +-=，∴2

2

131207a a ??-= ???

，∴7a =，

所以ABC 的周长为71320+=.

9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos B C -=2sin sin A A B .

（1）求角C ；

（2）若6

A π

∠=

，ABC 的面积为M 为AB 的中点，求CM 的长.

9．【解析】（1）由正弦定理，222sin sin sin sin C B A A B -=可化为

222

22222c b a a b R R R R R ??????-=-? ? ? ?

??????

，整理得到222c b a -=，

即222c a b =+.

又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-==

. 因为0C π<< ，所以6

C π

=.

（2）因为6

A C π

==

，

所以ABC 为等腰三角形，且顶角23

B π

=

.

故221sin 24

△=

==ABC S a B ，所以4a =. 在MBC △中，由余弦定理，得

2222cos CM MB BC MB BC B =+-?

21

416224282

CM =++???

=，解得CM =. 10．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222(2)()2cos b c b a c abc C --+=.

（1）求角A 的大小.

（2）若3

B π

=

，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 2+，求a .

10．【解析】（1）因为()(

)2

2

2

22cos b c b a c

abc C --+=，

所以

()()2222cos 2b c b c a a C bc

-+-=，

由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，

由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=， 因为A B C π++=，

所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1

cos 2

A = 因为()0,A π∈，所以3

A π

=

.

（2）如图，结合题意绘出图像：

在BCD 中，2BD =，1CD =，

由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-??=-， 因为3

A B π

==

，所以3

C π

=

，ABC 为等边三角形，

所以2153sin 3234

ABC S BC D △π=

??=， 因为1sin sin 2

BDC S =BD DC D D ????=， 所以5353sin 32sin 4453324ABDC S D D D 四边形π?

?=+=+-= ??+?

， 所以sin()13

D π

-

=，

因为(0,)D π∈，所以56

D π

=， 故2

554cos 54cos 36

BC D π=-=-=523BC =+ 即523a =+11．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=．

（1）求sin B 的值； （2）若3b =

，求c a +的取值范围．

11．【解析】（1）在ABC 中，因为22cos a c b C -=，可得2sin sin 2sin cos A C B C -=，

则()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，整理得sin 2cos sin C B C =， 因为(0,)C π∈，则sin 0C >，所以1

cos 2

B =， 又因为0B π<<，所以3sin 2

B =

． （2）由（1）知3

sin B =

，由正弦定理知

2sin b B =，所以2sin a A =，2sin c C = 所以22sin 2sin 2sin 2sin 3cos 3sin 23sin 36c a C A A A A A A ππ???

?+=+=-+=+=+ ? ????

?，

又由1cos 2

B =，因为0B π<<，所以3B π=，则23A

C π

+=，

所以203A π<<

，可得5666A πππ<+<，所以1sin 126A π?

?<+≤ ??

?，

可得323sin 236A π?

?<+≤ ??

?，所以c a +的范围为

3,23．

12．【福建省2020届高三数学（文）考前冲刺适应性模拟卷（二）试题】已知函数

()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2。

（1）求函数()f x 在[]

0,π上的单调递减区间。

（2）ABC ?中，若角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且满足60C ο∠=， 边3c =，及

()()46sin sin 44

f A f B A B ππ

-+-=,求ABC ?的面积。

12．【解析】（1）f （x ）=msinx+

cosx=

sin （x+θ）（其中sinθ=

，cosθ=

），

∴f （x ）的最大值为，

∴

=2，

又m ＞0，∴m=， ∴f （x ）=2sin （x+

），

令2kπ+≤x+≤2kπ+（k ∈Z ），解得：2kπ+

≤x≤2kπ+（k ∈Z ），

则f （x ）在[0，π]上的单调递减区间为[

，π]；

（2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意C=60°，c=3，得====2，

化简f （A ﹣

）+f （B ﹣

）=4sinAsinB ，得sinA+sinB=2

sinAsinB ，

由正弦定理得：+

=2

×

，即a+b=

ab ①，

由余弦定理得：a 2+b 2﹣ab=9，即（a+b ）2﹣3ab ﹣9=0②， 将①式代入②，得2（ab ）2﹣3ab ﹣9=0， 解得：ab=3或ab=﹣（舍去）， 则S △ABC =absinC=

．

13．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足2

2cos

1cos cos 22cos 2

C

A B A B =-+． （1）求cos B 的值；

（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围． 13．【解析】（1）因为2

2cos

1cos cos 22cos 2

C

A B A B =-+，所以cos cos cos 22cos C A B A B +=，即cos()cos cos 22cos A B A B A B -++=，

所以sin sin 22cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 220B B => 又因为22sin cos 1B B +=，解得：1cos 3

B =

. （2）因为()sin +sin 1R A C =，由正弦定理得2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：

2222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-222284

(2)(2)(1)333

a a a a a =+---==-+，

∵02a <<，∴

23

23

b ≤<， 所以b 的取值范围为232?

????

. 14．C ?AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()

,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若a =2b =求C ?AB 的面积．

14．【解析】（1）因为向量()

,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行，

所以0asinB ＝，

由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝，

又sin 0B ≠，从而tanA 0

3

π

.

（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3

π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.

故△ABC 的面积为

12bcsinA . 15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．

()1求B 的值；

()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =

，7

cos 25

A =-，求b 的值. 15．【解析】()1cos sin a b C c

B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B

C C B -=，

()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，

sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，

又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4

B π

=

；

（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,

2x π?

?

∈ ??

?

,

27cos cos 22cos 125A x x ==-=-，3cos 5

x =，则4sin 5x ==，

24

sin 25A ==

，又4

B π=，

则333172sin sin sin cos cos sin 444C A A A πππ??

=---=

???

()72sin sin sin sin cos cos sin 44410ADC B x x x x πππ??∠=+=+=+=

??

? 在ACD 中，由正弦定理：

sin sin b AD ADC C =∠，sin sin AD ADC

b C

∠=

. 16．在ABC 中，a ，b ，c 是A ∠，B ，C ∠所对的边，7a =

，1c =，3sin cos 0A A +=.

（Ⅰ）求b ；

（Ⅱ）若D 为BC 边上一点，且AD AB ⊥，求ACD 的面积. 16．【解析】（Ⅰ）由3sin cos 0A A +=，得3

tan A =-

，∴150A =?， 又∵7a =

，1c =，

又2222cos a b c bc A =+-，即2360b b +-=，解得3b =，(负值舍去)；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin sin a b

A B =，∴13si 21sin 14n 27

B a b A ?===， ∴21si 57co 1n s 4

B B ==

-，∴3

tan B =，

∵AD AB ⊥，∴3

tan AD c B ==

60=?∠DAC ， ∴ACD 的面积133

sin 602ACD S AD AC ?=

??=

△ 17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，

3(cos cos )tan b a C c A A =?+?. （1）求角A 的大小；

（2）若ABC 3，且6a =

b ，

c .

17．【解析】（1）由正弦定理可知：

sin sin sin a b c

A B C

==，

(cos cos )tan (sin cos sin cos )tan a C c A A B A C C A A =?+??=?+?，

sin()tan B A C A =+，根据三角形内角和可化简得：

sin()tan sin tan B B A B B A π=-?=，

因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，

因此有tan A =(0,)A π∈，所以3

A π

=；

（2）因为ABC

，

所以

111sin sin 422322

bc A bc bc bc π?=??=?=?=， 由余弦定理可知：2

2

2

22221

2cos

6241032

a b c bc b c b c π

=+-??=+-???+=，

所以有；22

410bc b b c c ?==?????+==???

或b c ?=??=??

因此b c =

=

或b c ==.

18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=bcosC+csinB ．

（1）求B ； （2）求

y=sinA-

2

sinC 的取值范围． 18．【解析】（1）由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB ，

即sin （B+C ）=sinBcosC+sinCsinB ，故cosBsinC=sinCsinB ， 因为sinC≠0，所以cosB=sinB ， 因为0＜B ＜π，所以B=π

4

； （2）因为B=

π4

， 所以

y=sinA-

2sinC=sin （3π4-C ）

-2sinC=sin 3π4cosC-cos 3π4

sinC-2

sinC =2cosC ，

又因为0＜C ＜

3π4，且

cosC 在（0，3π4）上单调递减，

所以sinC 的取值范围是（-12）．

19．

ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：

2cos cos cos b B C A

ac c a

=+. （1）求B ；

（2）若ABC 面积为S =4，求ABC 的周长. 19．【解析】（1）

2cos cos cos 2cos cos cos b B C A

b B a C

c A ac c a

=+?=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，

1

sin 0cos 2

B B ≠∴=

()0,B π∈ ∴3

B π

=

.

（2）ABC 的面积1

sin 82

S ac B ac =

==，

由正弦定理可知

4sin b

b B

=?=， 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-?+-=2

()12336a c ac ?+=+=，

则6a c +=，

∴ABC 的周长为6+20．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边，且ABC 同时满足下列四个条件中的三个：

①222a c b +=；②21cos 22sin

2A A +=；③a =2b =. （1）满足ABC 有解的序号组合有哪些？ （2）在（1）的组合中任选一组，求ABC 的面积.

20．【解析】（1）由条件①得2221cos 2323

a c

b B a

c ac ac +-==-?=-

， 由条件②得212cos 11cos A A +-=-，即22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2

A =

或cos 1A =-（舍），因为(0,π)A ∈，所以π

3A =.

因为12πcos cos

23

B =<-=，(0,π)

B ∈， 而cos y x =在(0,π)单减，所以

2π

π3

B <<.

于是π2ππ33

A B +>

+=，与πA B +<矛盾. 所以ABC 不能同时满足①②. 当①③④作为条件时：

有2222cos b a c ac B =+-，即221c c +=，

解得1c =. 所以ABC 有解. 当②③④作为条件时：

有sin sin a b A B

=2

sin B =.解得sin 1B =. 因为(0,π)B ∈， 所以π

2

B =

，ABC 为直角三角形， 所以ABC 有解.

综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④. （2）若选择组合①③④： 因为(0,π)B ∈，

所以sin B ===

所以ABC 的面积11sin 1)22S ac B ===

若选择组合②③④： 因为π

2

B =，

所以1c =

=

所以ABC 的面积112S =

?=

. 21．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列.

（1）若1a =，b =

sin C ；

（2）若a ，b ，c 成等差数列，试判断ABC ?的形状.

21．【解析】（1）由A B C π++=，2B A C =+，得3

B π

=

.

由sin sin a b A B

=，得1

3

sin 3A =，得1sin 2

A =. 又0A

B <<，∴6

A π

=

，∴3

6

2

C π

π

π

π=-

-

=

，∴sin 1C =.

（2）由2b a c =+，得22242b a ac c =++，又222b a c ac =+-. 得22224442a c ac a ac c +-=++，得()2

30a c -=，∴a c =. ∴A C =，又23A C π+=

，∴3

A C

B π===. 所以AB

C ?是等边三角形. 22．在①

，②

，③

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角

形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在

，它的内角

的对边分别为

，且

，

，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 22．【解析】解法一：由

可得：，

不妨设，

则：

，即.

选择条件①的解析： 据此可得：

，，此时.

选择条件②的解析： 据此可得：，

则：

，此时：

，则：

.

选择条件③的解析： 可得，，

与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

解法二：∵,

∴

,

，

∴,∴,∴,∴,

若选①，,∵,∴,∴c=1;

若选②，,则

,;

若选③,与条件

矛盾.

23．已知ABC ?是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知

．

（I ）求角C ；

（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-=求ABC ?的面积. 23．【解析】（I ）根据正弦定理

a c

sinA sinC

=，可得 csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得

3sinC tanC cosC =

=,03

C C π

π∈∴=（，），； （II ）

sin sin(B A)5sin 2A,C 3

C π

+-==

sin sin()C A B ∴=+

sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=?

为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，

由正弦定理可知5b a =……（1） 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-22

1

2122

a b ab

…..（2） 由（1）（2）解得1,5a b ==11353

sin 152224

ABC

S

ab C ∴=

=???=

24．在四边形ABCD 中，1

120,60,cos ,27

BAD BCD D AD DC ?

?

∠=∠==-==.

（1）求cos DAC ∠及AC 的长； （2）求BC 的长.

24．【解析】（1）在ACD ?中，由余弦定理可得：

222221642cos 22222()77AC AD CD AD CD D =+-?=+-???-=，解得87

7

AC =，

所以

2

2

2

64

44

277cos 2787

22

7

AD AC DC DAC AD AC +-

+-∠===???. （2）由（1）知27cos 7DAC ∠=

，所以21

sin 7

DAC ∠=， 所以327121321

sin sin(120)272714

BAC DAC ∠=-∠=

?+?=

， 又由243sin sin 1cos 7

B D D ==-=

， 由正弦定理，可得sin sin BC AC BAC B =∠，则87321

714343

7

BC ?

=

=.

25．如图，在平面五边形ABCDE 中，120ABC BCD ?∠=∠=，60AED ?∠=，2AB BC ==，6CD =

（1）求AD 的长度;

（2）求平面五边形ABCDE 面积的最大值

25．【解析】（1）连接AC ，AD ，根据余弦定理得222cos 23AC AB BC AB BC ABC =

+-?∠=，

又由AB BC =，120ABC ∠=?可得30BCA BAC ∠=∠=?， 所以1203090ACD BCD BCA ∠=∠-∠=?-?=?， 所以22123643AD AC CD =

++=．

（2）11

sin 22sin120322ABC S AB BC ABC ?=

??∠=???=，11

2366322

ACD

S AC CD ?=?=?=，

11sin sin6022AED S AE ED AED AE ED AE ED ?=

??∠=???=?，

所以平面五边形ABCDE 的面积ABCDE ABC ACD AED S S S S AE ED ???=++=?， 在三角形AED 中，2222cos60AD AE ED AE ED =+-??，即2248AE ED AE ED =+-?， 又222AE ED AE ED AE ED AE ED AE ED +-?≥?-?=?， 所以48AE ED ?≤，（当且仅当AE ED =时等号成立），

所以平面五边形ABCDE 的面积4844

ABCDE S AE ED =?≤?=

即平面五边形ABCDE 的面积最大值是26．已知函数()()2

2cos

2sin cos 10f x x x x ωωωω=-->的周期为π．

（1）求函数()f x 的单调减区间；

（2）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且满足a =712

ABC π

∠=

，()1f A =-，求ABC 的面积．

26．【解析】（1）()1cos 2sin 2124f x x x x πωωω?

?=+--=

+ ??

?，

因为周期T π=，所以

22π

πω

=，即1ω=，

故()24f x x π?

?=+ ??

?．

令2224

k x k π

πππ≤+

≤+，k z ∈，38

8

k x k π

π

ππ-

≤≤+

，k z ∈， 故减区间为3,8

8k k π

πππ??

-

+

???

?

，k z ∈．

（2）()1f A =-，得cos 242

A π??

+

=- ?

?

?， 因为0,2A π??

∈ ??

?，52,444

A π

ππ??

+

∈ ???

， 所以3244A π

π+

=

，即4A π=.又因为712ABC π∠=，所以6

C π=.

由sin sin c a C A

=，得

12sin

21

sin 2

a C c A ?===，

7321262sin

sin 12342

2224πππ+??

=+=?+?=

???， 116231

sin 2122S ac B ++=

=???=

． 27．如图：在ABC ?中，10a =，4c =，5

cos C =-

.

（1）求角A ；

（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长. 27．【解析】（1）∵5

cos C =，∴2125sin 1cos 15C C =-=-=

由正弦定理sin sin a c A C

=10255

=

. 得2

sin 2A =，∵5cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4

A π

=

.

（2）∵()B A C π=-+，

∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2522510

22?=

+= ??由正弦定理得sin sin b a B A

=10

102=

得2b =在ACD ?中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-??2

2422222

=+-?

=，

高考文科数学解答题专项训练(含解析)

20XX届高考文科数学---解答题专项训练 中档题满分练(一) 1．(2015·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c.已知cos B＝ 3 3，sin (A＋B)＝ 6 9，ac＝23，求sin A和c的值． 2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形． (1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； (2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式； (2) 当d>1时，记c n＝a n b n，求数列{ c n}的前n项和T n.

中档题满分练(二) 1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π. (1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程； (2)若f (α)＝4 3，求sin ? ????4α＋π6的值． 2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”． (1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值； (2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A. B ．11+ i 2 - C ． D ． 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1 1+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为 13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) C 的渐近线方程 为( )． A ． B ． C ．1 2 y x =± D ． 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵2e = 2c a =，即2254 c a =.

(完整版)高三文科数学数列专题.doc

高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；

1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式

高考文科数学二轮专题复习：11 复数

专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式． 【知识要点】 1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现． 2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题． 3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算． 【复习要求】 1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决． 解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数； (2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到． 例2 判断下列命题的对错： ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高考文科数学练习题高考常考的6大题型

第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型 题型一 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴 的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标． [解] (1)由题意得，c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋ c 2， ∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立，得? ???? y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4 4k 2＋1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→ ＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2 ＝0， ∴(k 2＋1) 4m 2－44k 2 ＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1 ＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－3 5 或m ＝1(舍去)．

高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选含答案

函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程精选

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程 (1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴． (2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ， ． 极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一 点的极坐标却不是唯一的． (3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程． 如下图所示． ，0 φ－π＝θ和0 φ＝θ角的直线方程是0 φ过极点且与极轴成(1)

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示． (3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所 示． 3．圆的极坐标方程． 所示． 1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示． 2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所 3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π 2 圆心在过极点且与极轴成3)(示． 4．极坐标与直角坐标的互化．

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式．

1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题高考仿真模拟二2

2020高考仿真模拟(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则i ＋i 2 ＋i 3 ＋…＋i 2019 等于( ) A ．i B ．1 C ．－i D ．－1 答案 D 解析 由于i ＋i 2 ＋i 3 ＋i 4 ＝i －1－i ＋1＝0，且i n (n ∈N * )的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i ＋i 2 ＋i 3 ＝i －1－i ＝－1.故选D. 2．集合A ＝{y |y ＝2cos 2 x ＋1}，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,3] B ．(0,2] C ．[1,2) D ．(2,3] 答案 C 解析 因为A ＝{y |y ＝2cos 2x ＋1}＝{y |y ＝cos2x ＋2}＝[1,3]，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}＝{x |0＜x ＋2＜4}＝(－2，2)，所以A ∩B ＝[1,2)，故选C. 3．“不等式x 2 －x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞0 D ．m ＞1 答案 C 解析 若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2 －x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，推不出m >14，即推不出不等式x 2 －x ＋m >0在R 上 恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0. 4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是( ) A.23 B.12 C.14 D.16 答案 B

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3

例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E

2020高考文科数学各类大题专题汇总

2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=.

高考文科数学一轮复习专题 集合(学生版)

专题1：集合 【考试要求】 1、集合的含义与表示 （1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。 （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体集合。 2、集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。 3、集合的基本运算 （1）理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集。 （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算。 【知识要点】 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：、、。 （2）集合中元素与集合的关系： 2、集合间的基本关系： 思考：a {}a ；?{0}；?{}? 感悟：正确理解集合的含义，正确使用集合的基本符号。 3、集合的基本运算 是任何非空集A ??，?B(B ≠?)

4、常用的结论 （1）)()()(B C A C B A C U U ?=?B)(C )()(U ?=?A C B A C U （2）A B A B ??= ；A B A B ??= 【考点精练】 考点一：集合的有关概念 1、已知集合2{2013,10122013,2012}A a a a =+-+，且2013A ∈，求实数a 的取值集合。 变式：已知集合{,,1}b a a 与集合2{,,0}a a b +相等，求20132013a b +的值。 2、用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则由：17A ；5-A ；17B 。 3、设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，则{3}A B = 时，实数a 的值为。 考点二：集合间的基本关系 1、设全集为R ，集合{|21}M x y x ==+，2 {|}N y y x ==-，则（ ） A 、M N ? B 、N M ? C 、M N = D 、{(1,1)}M N =-- 2、设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ? 的集合C 的个数是（ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、若x A ∈，则 1A x ∈，就称A 是伙伴关系的集合，集合11 {1,0,,,1,2,3}32 M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合各数是。 4、设2 {|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-= （1）若1 5 a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ?，求实数a 组成的集合C 。

高考文科数学专题训练 专题二 第2讲

第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－7 9. 答案 A 2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34π B.π 3 C.π4 D.π6 解析 因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ） 2b 2 ，则cos A ＝sin A . 在△ABC 中，A ＝π 4. 答案 C 3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋ sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )

A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ? ? ???A ＋π4＝0， 因为sin C ≠0，所以sin ? ? ? ??A ＋π4＝0， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π 4. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4 ＝2 sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π 6. 答案 B 4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈? ????0，π2，tan α＝2，则cos ? ? ???α－π4＝________. 解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1 5. 因为α∈? ? ? ??0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ? ? ???α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝55×22＋255×22＝31010. 答案 31010 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“k π 2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(完整版)2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页，满分150分。 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B ．A I B =? C ．A U B 3|2x x ? ?=