2019版高考数学不等式选讲3第3讲柯西不等式与排序不等式教案理
第3讲 柯西不等式与排序不等式
1．二维形式的柯西不等式 (1)定理1(二维形式的柯西不等式)
若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)(二维变式)a 2
＋b 2
·c 2
＋d 2
≥|ac ＋bd |，a 2
＋b 2
·c 2
＋d 2
≥|ac |＋|bd |． (3)定理2(柯西不等式的向量形式)
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．
(4)定理3(二维形式的三角不等式)
设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 2
1＋y 2
1＋x 2
2＋y 2
2 (5)(三角变式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2
＋
（x 2－x 3）2
＋（y 2－y 3）2
2．柯西不等式的一般形式
设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
n )(b 2
1＋b 2
2＋…＋
b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2
，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝
kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．
3．排序不等式
设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有：a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和． 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值． 解：因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2
＋y 2
＋z 2
·1＋4＋9， 所以x 2＋y 2＋z 2
≥187
，
当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2
有最小值187
.
设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 2
1＋a 2
2＋b 2
1＋b 2
2≥（a 1－b 1）2
＋（a 2－b 2）2
. 证明：(a 2
1＋a 2
2＋b 2
1＋b 22)2
＝a 2
1＋a 2
2＋2a 2
1＋a 2
2b 2
1＋b 2
2＋b 2
1＋b 2
2
≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 2
2 ≥a 2
1＋a 2
2－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 2
1＋b 2
2 ＝(a 2
1－2a 1b 1＋b 2
1)＋(a 2
2－2a 2b 2＋b 2
2) ＝(a 1－b 1)2
＋(a 2－b 2)2
，
所以a 2
1＋a 2
2＋b 2
1＋b 2
2≥ （a 1－b 1）2
＋（a 2－b 2）2
.
已知a ，b ，c ∈R ，a 2
＋b 2
＋c 2
＝1.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2
对一切实数a ，
b ，
c 恒成立，求实数x 的取值范围．
解：由柯西不等式得(a －b ＋c )2
≤[12
＋(－1)2
＋12
](a 2
＋b 2
＋c 2
)＝3. 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2
对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则|x －1|＋|x ＋1|≥3.
即实数x 的取值范围为? ????－∞，－32∪??????32，＋∞.
已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9
a ＋
b .
证明：因为a >0，b >0， 所以由柯西不等式，
得(a ＋b )? ??
??1a ＋4b
＝[(a )2
＋(b )2
]·???
?
??
?
????1a 2＋?
????4b 2
≥?
?
?
??a ·1
a
＋b ·
4b 2
＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b .
柯西不等式的证明
[典例引领]
若a ，b ，c ，d 都是实数，求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2
，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．
【证明】 因为(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)－(ac ＋bd )2
＝a 2c 2
＋a 2d 2
＋b 2c 2
＋b 2d 2
－a 2c 2
－b 2d 2
－2acbd ＝a 2d 2
＋b 2c 2
－2adbc ＝(ad －bc )2
≥0， 当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． 即(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)－(ac ＋bd )2
≥0， 所以(a 2
＋b 2
)(c 2
＋d 2
)≥(ac ＋bd )2
， 当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．
设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．
证明：如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α＝(a ，b )，β＝(c ，d )，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.
根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ， 所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.
因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.
如果向量α和β中有零向量，则ad －bc ＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．
柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．
如下：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则
（x 1－x 3）2
＋（y 1－y 3）2
＋（x 2－x 3）2
＋（y 2－y 3）2
≥ （x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．
由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2
＋
（x 2－x 3）2
＋（y 2－y 3）2
≥（x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
. 当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．
若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋1
3c
＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
证明：因1a ＋12b ＋1
3c ＝1，
又a ，b ，c ∈R ＋，
故由柯西不等式得
a ＋2
b ＋3
c ＝(a ＋2b ＋3c )·? ??
??
1
a ＋1
2b ＋13c ≥
?
????a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.
利用柯西不等式求最值
[典例引领]
已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2
＝8，求u 49＋v 416＋w 4
25的最小值．
【解】 因为u 2
＋v 2
＋w 2
＝8.
所以82
＝(u 2
＋v 2
＋w 2)2
＝? ??
??u 23·3＋v 24·4＋w 2
5·52
≤? ??
??u 49＋v 416＋w 4
25(9＋16＋25)，
所以u 49＋v 416＋w 4
25≥6450＝32
25
.
当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 2
5÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝8
5，w
＝2时u 49＋v 416＋w 4
25的最小值为32
25
.
利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )? ??
??1a 21＋1a 22＋...＋1a 2n ≥(1＋1＋ (1)
2
＝n 2
.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
[通关练习]
1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值． 解：考虑以下两组向量
u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，
根据柯西不等式(u ·v )2
≤|u |2
·|v |2
，
得[2x ＋(－1)y ＋(－2)z ]2
≤[22
＋(－1)2
＋(－2)2
](x 2
＋y 2
＋z 2
)， 即(2x －y －2z )2
≤9(x 2
＋y 2
＋z 2
)，
将2x －y －2z ＝6代入其中，得36≤9(x 2
＋y 2
＋z 2
)， 即x 2
＋y 2
＋z 2
≥4， 故x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值为4.
2．设x ，y ，z ∈R ，x 2
＋y 2
＋z 2
＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 解：根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2
≤[12
＋(－2)2
＋22
](x 2
＋y 2
＋z 2
)， 即(x －2y ＋2z )2
≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，
故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.
函数与柯西不等式的综合问题
[典例引领]
(2018·贵州省适应性考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －5|，g (x )＝1＋x 2
.
(1)求f (x )的最小值；
(2)记f (x )的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2
＋b 2
＝6，求证：g (a )＋g (b )≤m . 【解】 (1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －5|， 所以f (x )＝|x －1|＋|x －5|＝????
?2x －6（x ≥5）4（1 所以f (x )min ＝4. (2)证明：由(1)知m ＝4.由柯西不等式得 [1×g (a )＋1×g (b )]2 ≤(12 ＋12 )[g 2 (a )＋g 2 (b )]， 即[g (a )＋g (b )]2 ≤2(a 2 ＋b 2 ＋2)， 又g (x )＝x 2 ＋1>0，a 2 ＋b 2 ＝6， 所以g (a )＋g (b )≤4(当且仅当a ＝b ＝3时取等号)． 即g (a )＋g (b )≤m . 求解函数与柯西不等式综合问题的步骤 (1)利用求函数最值的方法求出其最值M (或m )． (2)根据M (或m )构造的条件，将要求的不等式转化成柯西不等式的特点，利用柯西不等式求其解． (2018·湖南省湘中名校高三联考)已知关于x 的不等式|x ＋a | {x |2 (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋3bt 的最大值． 解：(1)由|x ＋a | (2)利用柯西不等式，可得 －3t ＋12＋ 3t ＝ 3( 4－t ＋ t )≤3 （1＋1）（4－t ＋t ）＝64－t ＋t ＝26，当且仅当t ＝4－t ，即t ＝2时等号成立． 利用柯西不等式解决问题的关键是构造柯西不等式的结构形式． 二维形式的柯西不等式(a 2 ＋b 2 )(c 2 ＋d 2 )≥(ac ＋bd )2 反映4个实数之间的特定关系．利用其求最值时，注意构造常量a 2 ＋b 2 (或c 2 ＋d 2 )． 用柯西不等式求最值或证明不等式时，注意等号成立的条件． 1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， 求证：? ????a ＋1a 2＋? ????b ＋1b 2 ≥252. 证明：因为(12 ＋12 )[? ????a ＋1a 2＋? ?? ??b ＋1b 2 ] ≥??????? ????a ＋1a ＋? ????b ＋1b 2 ＝???? ??1＋? ????1a ＋1b 2 ＝? ????1＋1ab 2 ≥25? ????因为ab ≤14. 所以? ????a ＋1a 2＋? ?? ??b ＋1b 2 ≥25 2. 2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2 c 的最小值． 解：因为(a ＋b ＋c )? ?? ??2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2 ＋(b )2 ＋(c )2 ]·??? ? ????2a 2＋? ?? ??2b 2＋ ? ??? ????2c 2 ≥? ? ? ??a ·2 a ＋b · 2 b ＋c · 2c 2 ＝18. 所以2a ＋2b ＋2 c ≥2. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2 c 的最小值为2. 3．已知x ，y ，z 均为实数．若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2 ≤(12 ＋12 ＋12 )(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝1 3 ，z ＝0时取等号． 4．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ； (2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2 c ≥3. 解：(1)当x <－1时， f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)； 当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3，6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值m ＝3. (2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3， 因为b 2a ＋c 2b ＋a 2 c ＋(a ＋b ＋c ) ＝? ????b 2a ＋a ＋? ????c 2b ＋b ＋? ????a 2 c ＋c ≥2? ?? ?? b 2 a ·a ＋ c 2 b ·b ＋ a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )． (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”) 所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2 c ≥3. 5．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋ 2 x 1x 2 的最小值； (2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. 解：(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3· 3 2 ? ????a ＋b 22＝3×3 8＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝ 2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2 x 1x 2 有最小值6. (2)证明：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋ bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2 ＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2 ＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2 bx 1 ，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)·(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. 1．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N * )的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤ a 1a 2＋a 2 a 3＋…＋ a n －1 a n . 证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1 －1 是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1 则1c 1>1c 2>…>1c n －1 ， 且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥ b 1 c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n . 故原不等式成立． 2．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19 b 2＋ c 2 的最小值． 解：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ? ?? ??14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ (a 2×2＋b 3×3＋c ×1)2＝(a ＋b ＋c )2 ＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝1 3b 3＝c 1 ， 即a ＝87，b ＝187，c ＝2 7时等号成立． 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87 . 3．(2018·成都市第二次诊断性检测)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|. (1)求不等式f ? ?? ??x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且 13p ＋12q ＋1 r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解：(1)由f ? ????x ＋32＝4－??????x ＋32－??????x －32≥0， 得??????x ＋32＋???? ??x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得x ≥－2，所以－2≤x <－3 2； 当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋3 2≤4恒成立， 所以－32≤x ≤32 ； 当x >32时，x ＋32＋x －3 2≤4， 解得x ≤2，所以3 2 综上，??????x ＋32＋??????x －32≤4，即f ? ?? ??x ＋32≥0的解集为[－2，2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r . 由柯西不定式，得???? ??? ????1a 12＋? ????1a 22＋? ????1a 32· (a 2 1 ＋a 22 ＋a 23 )≥? ?? ??1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 ＝9， 即? ?? ? ?13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9. 因为13p ＋12q ＋1r ＝4，所以3p ＋2q ＋r ≥94 ， 当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝3 4时，取等号． 所以3p ＋2q ＋r 的最小值为9 4 . 16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式： （2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数 ． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数 ． （1）画出()y f x =的图象； （2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值． 【解析】（1）()y f x =的图象如图所示． 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥ 柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴ 高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 （1）, >>?>； a b b c a c （2）,c >>?+>+； a b d a c b d （3）0,c0 >>>>?>. a b d ac bd （合成后为必要条件） 2.同解变形 >?+>+； （1）a b a c b c （2）0,0, >?>>?<<； a b c ac bc c ac bc （3）11 000a b b a >>? >>?>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或 （2）22||||a b a b >?> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 （1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =） （2）0,0, 2 a b a b +>>≥a b =） ； 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广：22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立. 打印版 打印版 第01课时 不等式的基本性质 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1.实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程： 六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)． 课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法： 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 专题16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1） a b a b . （2）a b a c c b . （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明 . （1）柯西不等式的向量形式： ||||||.（2） 22222()(+)()a b c d ac bd . （3）222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7．会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等 . 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 （2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数 2–4()x ax f x ，11()x x g x ||||. （1）当a =1时，求不等式 ()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法， 也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. [核心必知] 1．二维形式的柯西不等式 (1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )． (2)推论： （x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥ (x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )． [问题思考] 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d 吗？ 提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d 不成立． 2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2 (x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？ 提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c， 设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b， 同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)． 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋. 1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)． 证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)， 二维形式的柯西不等式（全部） 1、已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（） A． B． C． D． 2、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．2 3、已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则的最小值为( ) A．1 B．3 C．6 D．9 4、若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( ) A．3 B．1 C． D． 5、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为( ) A．1 B．6 C．11 D． 6、n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A．1 B．n C．n2 D． 7、设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( ) A．1 B． C．3 D．9 8、函数的最大值是( ) A． B． C． D． 9、设实数满足关系：，，则实数的最大值为（） A．2 B． C．3 D． 10、函数的最小值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 11、已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=， +=，则的值为（） A．2 B．1 C． D． 12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A． B． C． D． 13、设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（） A．2+ B．2 C．3 D． 14、用柯西不等式求函数y=的最大值为（） A． B．3 C．4 D．5 15、对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（） A．1 B．2 C．3 D．4 16、已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（） A．1 B．4 C．8 D．9 17、已知a+b=1，则以下成立的是（） A．a2+b2＞1 B．a2+b2=1 C．a2+b2＜1 D．a2b2=1 18、二维形式的柯西不等式可用（）表示． A．a2+b2≥2ab（a，b∈R） B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R） C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R） D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R） 19、已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（） A．3a+2b≤4 B．3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定 20、（2014?湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（） A． B． C． D． 21、（2014?孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（） A．2 B．2 C．2 D．3 22、（2014?湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（） A．3 B．2 C． D．1 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计 一、设计思想： 本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希 望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学 结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具 体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学 结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。 二、教材分析： 二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生 继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作 用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的 三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊 到一般的研究过程。本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它 的简单应用。 三、学情分析： 学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推 理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最 近发展区”。另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。 四、教学目标 1、知识与技能目标 （1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。 （2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。 2、过程与方法目标 通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生 独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。 3、情感态度与价值观 简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。 五、教学重难点 （1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式 （2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值 六、教学过程 （一）定理探究 设α ，β 为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α =（b a ,） β =（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→?=+而22||a b α→=+，22||c d β=+ ||||cos αβαβθ?=?? ，cos 1θ≤ ||||||αβαβ∴ ?≤? ，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。 定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则 ||||||αβαβ?≤? ，当且仅当β 是零向量或存在实数k ，使k αβ= 时等号成立。 用向量坐标表示不等式||||||αβαβ?≤? ，得2222||d c b a bd ac +?+≤+ 高中数学一二维形式的柯西不等式试题2019.09 1,某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(0C) 18 13 10 -1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程a bx y ?+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为________. 2,设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为________ 3,对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据. 观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据i a 40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是________ 4,设P 为曲线 2 :1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是________ 5,已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则 1223341 n n a a a a a a a a ++++???+=________ 6,在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一 点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则P M P N ?必为定值k ”. 类比于此，对于双曲线22 2 21x y a b -=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命 题为:________. 7,现有下列命题:①命题“ 2 ,10x R x x ?∈++=”的否定是“ 2 ,10x R x x ?∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R e=A ；③不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲
一般形式的柯西不等式 教案
柯西不等式的应用(整理篇)
高考数学《不等式选讲》专项复习
人教版数学高二(人教A版选修4-5)1.1.1不等式的基本性质 素材
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
高考数学复习+不等式选讲大题-(文)
拉格朗日中值定理教学设计
二维形式的柯西不等式知识点梳理
高考数学百大经典例题——不等式解法
2018年高考数学考试大纲解读专题16不等式选讲理版含答案
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第1节二维形式的柯西不等式
高中数学选修4-5同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)
柯西不等式教学设计
高中数学一二维形式的柯西不等式试题
高三数学第二轮复习 不等式选讲
- 2018年高考数学总复习 不等式选讲
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- 2018年高考数学分类汇编：专题十四不等式选讲
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- 2020年全国高考数学第二轮复习 选修4—5 不等式选讲 理
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- 2020年高考数学(文) 不等式选讲(解析版)
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- 高考数学复习+不等式选讲大题-(文)
- 2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题
- 最新人教A版高中数学选修4-5-《不等式选讲》全册教案
- 2020年高考数学复习：不等式选讲
- 高考数学试题汇编不等式选讲
- 高三数学第二轮复习 不等式选讲
- 北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
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- 理科数学2010-2019高考真题分类训练不等式选讲答案
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