高中数学_高中数学2.1.2向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.2 《向量的加法》教学设计

一、教学目标确立依据

1.课程标准要求及解读

（1）课程标准要求

通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义。

（2）课程标准解读

课程标准对向量加法的要求分两个层次，一是经历向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构建过程和向量加法运算律的推导验证过程；二是能熟练运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合图形作出几个向量的和向量，能熟练运用向量加法的运算律对向量式进行化简。要达到第一个层次，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，构造出位移合成的三角形法则和力合成的平行四边形法则这两个物理模型，启发学生的思维；其次通过问题探究让学生步步深入，剥离它们的物理属性，迁移形成向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构图特点；最后通过实际操作演示，借助多媒体动画的直观性，顺利完成对向量加法的三角形法则和平行四边形法则推导。从第二个层次看，主要是应用层面的问题，因此要通过适当的例子和练习引导学生对这两个法则和两个运算律进行深化拓展，熟练应用。

2.教材分析

本节是高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。向量是数学的重要概念之一，它不仅沟通了代数与几何，还在物理中有着广泛的应用，是重要的数学模型。本节课是在学习了向量的基本概念之后比较重要的一节课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是是数学研究的基本问题。向量的加法运算是向量线性运算的起始课，是向量线性运算中最基本的、最重要的运算，向量的减法、数乘向量都可以归结为向量的加法运算，因此本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也为以后学习向量减法，数乘向量及其几何意义奠定了基础，在本章中起着承上启下的重要作用。其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用，所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。本节的重点是向量加法的两大法则及其应用。难点是对向量加法定义的理解，具体有两方面：一是数与式的加法对向量加法的负迁移，造成对向量加法意义理解的困难；二是对共线向量不构成三角形仍沿用三角形法则的理解困难。

3．学情分析

（1）从知识方面看：本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。更重要的是学生在物理中学习过一些矢量的正交分解（如力的正交分解），从生活

中的一些实际例子对向量加法有了一定的感性认识，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。（2）从能力方面看：直观上能体会向量的加法与数量的加法之间有明显的不同，能分辨出二者具有很大差异性，但是如何处理大小相加和方向相加，仍是学生学习本节的一个难点。因此通过创设情境，使学生能够将物理中学习过一些矢量的合成分解和本节课的内容联系起来，就完全能够实现物理中的矢量和数学中的向量之间的迁移，再通过实际操作和自主探究突破这一难点。

二、教学目标

学习目标1：学生通过经历情景1和情景2，建立位移合成的三角形模型和力合成的平行四边形法则模型，为向量加法的三角形法则和平行四边形法则的推导做好铺垫。

学习目标2：学生通过类比情景1自主完成探究1，把位移模型抽象为向量模型；通过同桌合作完成探究2抽象概括出向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其几何意义，体会类比思想，提高迁移与化归的能力。

学习目标3：学生通过同桌合作探究3，学会做共线向量的和，明确三角形法则和平行四边形法则的适用范围；通过练习训练，能应用两个法则作出和向量，规范作图行为。

学习目标4：学生通过对例题及变式训练的学习，能发现向量加法的交换律和结合律，并能正确运用运算律进行化简；通过应用举例的学习，提高解决问题的能力。

三、评价设计

目标1评价：学生观察情景1和情景2，思考教师提出问题，共同回答，至少50人达成目标1。

目标2评价：学生动手做图独立完成探究1，由学生代表回答提问；同桌合作实际操作完成探究2，由学生代表交流展示结果。要求得出向量加法的三角形法则和平行四边形法则及作图关键点，至少50人达成目标2。

目标3评价：同桌合作完成探究3，由学生代表交流展示结果，要求会用三角形法则做出两个共线向量和，师生互动，得出适用范围；学生动手做练习，教师投影学生作品，规范做图要求，至少50人达成目标3。

目标4评价：学生通过抢答例题1，两名同学板演例题2，总结归纳出向量加法的交换律和结合律；小组讨论完成例题3，小组代表讲台前展讲，至少45人达成目标4。

四、教学方法

本节内容有三个法则两个运算律，知识点较多，与物理和实际生活联系紧密，根据这些特点，本节主要运用情景教学法、问题探究教学法和启发式教学法，通过创设问题情景，展现知识

的物理背景，通过不断设问的形式引导学生思考，坚持以具有启发性的问题贯穿整节课的始终，并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境。充分利用类比、迁移、化归等数学思想，通过联系生活实际，同时采用师生互动、独立思考、同桌交流、操作演示、小组讨论、抢答、板演等教学活动，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识。 五、教学过程

（一） 设问激疑，创设情境

我们知道，两个实数可以进行运算，才使得“数”更加生动有活力．上一节我们学习了“向量”，它既有大小又有方向，只要大小和方向都相同，我们就认为是同一个向量．与数相类比，向量是否也可以进行运算呢？ 带着这个疑问我们来回顾两个物理问题． 情境1 位移的合成

某人从点A 到点B,再从点B 改变方向到点C

问题1： 这两次位移的合位移是什么？

如何作出合位移？

情境2 力的合成

图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下沿MC 方向伸长至O 图2表示橡皮条在力F 的作用下沿相同方向伸长了相同的长度

问题2： 从力学的观点分析，力F 与F1、F2之间的关系如何？如何在图中作出力F1、F2的合力？

通过上面两个问题可知，位移和力都是可以合成的。物理中，力、位移都是矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）， 这就是我们本节课要研究的课题（板书课题）．受到位移合成与力合成的启发，我们能否找到求解向量之和的方法呢？ 【设计意图】一方面从学生已有的生活经验和物理知识出发，以位移、力的合成作为向量加

M

E O 图2

M

E

F 1

F 2

O

图1

F 2

F

O

A

B

C

法的原型，感受向量的合成，形成对向量加法的感性认识，为突破重点和难点奠定基础。另一方面，情境1蕴含三角形法则，情境2蕴含平行四边形法则，都是学生熟知的内容，以此为依托，探索向量这一新的数学对象的加法的含义，符合“根据学生已有的知识状况进行教学”这一最基本的教育心理学理论。本环节是对学习目标1的落实与检测。 （二）步步探究、建构新知

探究1 大屏幕上给定了三组向量，根据情景1怎么作出它们的和？并用代数式表示

,,的关系

问题3：此时图中的两个向量的位置有什么特点？

【学生活动】学生独立完成，做出和向量，并回答老师提问。

【教师活动】出示问题，巡视学生探究情况，提问学生代表，并对回答进行点评。 【设计意图】物理中，学生通过位移已经了解了三角形法则，本环节意在剥离情景1中位移的物理属性，抽象为数学模型，构造出三角形法则的雏形，揭示三角形法则的作图关键点，为总结三角形法则做铺垫，符合学生从特殊到一般的认知规律，让知识真正从学生的心里长出来。通过写代数式培养学生将实例抽象为数学语言的能力。本环节是对学习目标2的落实与检测。

探究2 那么这组向量怎么作和？在作图过程中有哪些关键点？

问题4：你还有其它方法作它们的和吗？在作图过程中有哪些关键点？ 问题5：两种方法做出的结果一样吗?为什么？

【学生活动】同桌合作，用笔实际操作探究，学生代表展讲探究的结果。并思考回答问题4和问题5

【教师活动】出示问题，组织小组讨论，巡视学生探究讨论情况，提问学生代表，并对回答进行点评，追问问题4和问题5.

【设计意图】通过前面的层层铺垫，在学生的心中播下三角形法则的“种子”，由特殊到一般，循序渐进，使向量和的定义三和角形法则水到渠成。通过环环相扣的问题做引导，将知

O

A

C

B

O A

B

O

B

A

O

A

B

识步步深化，导出平行四边形法则，明确出三角形法则和平行四边形法则本质相同，殊途同归的关系。同时将两种法则形成了对比，利于学生掌握两种作图规则。本环节是对学习目标2的落实与检测。

探究3 如果给出的向量是这样的，由定义如何作出它们的和？

问题6：能用平行四边形法则作它们的和吗？平行四边形法则的适用范围是什么？ 问题7：对于特殊向量零向量，它与任意向量的和向量是什么？

【学生活动】同桌合作，用笔实际操作探究，学生代表展讲探究的结果。并思考回答问题6、问题7。

【教师活动】出示问题，巡视学生探究讨论情况，提问学生代表，并对回答进行点评。追问问题6、问题7.

【设计意图】作共线向量的和是本节课的一个难点，本例给学生指明用向量加法的定义，降低了难度，节省了不必要的费时。通过问题6和问题7，将知识拓展，明确三角形法则和平行四边形法则的适用范围，将学生的知识系统化。本环节是对学习目标3的落实与检测。 练习：如图，已知,，作出b +a

【学生活动】学生独立完成作图

【教师活动】出示练习，巡视学生作图情况，选取代表作品，用实物投影仪展示并点评。 【设计意图】此环节目的是强化巩固探究成果，实践作图掌握二个作图法则，帮助学生找出易错点，规范学生的作图行为，突出教学重点。本环节是对学习目标2和学习目标3的落实与检测。

（三）学以致用，深化认识 例1. 根据图形填空

（1）=+b a ________

D

E

a b

a

b

a

b

（2）=+________

（3）=++________

（4）++=________ （5）a b d e +++=________ 问题8：如何作三个、四个、…n 个向量的和？

【学生活动】学生独立完成，然后抢答，并思考回答教师提问

【教师活动】出示例题，提问学生，引导学生得出向量加法的多边形法则

【设计意图】拓展了向量加法的三角形法则，得到向量加法的多边形法则，巩固前面所学知识。本环节是对学习目标4的落实与检测。

例2. 如图，把图(1)平行四边形中和图(2)中写成其它向量的和（至少写出三个） （1）

问题9：观察黑板上同学的回答，类比数的运算律，你能得到什么结论？ 变式练习：化简(1)____________AB CD BC ++= (2)()()MA BN AC CB +++= (3)+++)( = 【学生活动】学生独立完成，两名学生板演。

【教师活动】出示例题，组织学生板演，引导学生得出向量加法的两个运算律。

【设计意图】这是一个多解的半开放性问题，意在进一步巩固三大法则的应用，突出重点，同时推出运算律，提升学生对向量加法运算的认识。特别注意利用类比的思想，驱动学生的好奇心与求知欲，在掌握相关知识的同时，培养学生发现问题、解决问题的能力。通过变式训练练习交换律和结合律的运用，且强调了无图化简。本环节是对学习目标4的落实与检测。 （四）能力提升，应用举例

例3．已知平面内有三个非零向量OA 、OB 、OC ， 它们的模都相等，并且两两的

A

B

C

D

O

A

C

夹角都是120°，求证：0OA OB OC ++=；

问题10：在平面内能否构造三个非零向量a 、b 、c ，使0a b c ++=？能否说出它的几何模型？

【学生活动】学生思考并作图，学生代表展讲，小组讨论问题10、问题11，小组代表展示结论。

【教师活动】引导学生展讲例题，组织学生小组讨论，提问小组代表回答问题。

【设计意图】本题是基本的作图题，进一步夯实基础；问题10和问题11对例题3拓展提升，体现数学来源于实际又应用于实际的思想，使学生在这一过程中掌握方法，提升思维能力。本环节是对学习目标4的落实与检测。 （五）回顾反思，交流收获

1.课时小结：（1）本节课你有那些收获呢？你学到了那些数学思想和数学方法？ 向量加法

三 角 形 法 则 平 行 四 边 形 法 则 多 边 形 法 则

画法规则 适用条件

（2）留给你印象最深的是什么？课后你还想做些什么探究？ （3）对照学习目标，本节课你还有那些没有解决的问题或困惑？

【设计意图】新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以设置一个开放性的问题，以使学生体验学习数学的快乐，增强学生学习数学的信心。 (六)课堂小测, 巩固反馈 1.如图，填空：

(1)=+AD AB (2)OC AD DO ++= (3)=++CD AD AB (4)=++DA BA AC 2.已知O 是ABC ∆的重心，求证： 0=++OC OB OA

3.拓展探究：向量和的模与模的和之间有什么关系？（b ,a 是任意两个向量，则b

a ,与

,a b +b +a 之间有什么关系？ 并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．

六、板书设计

A B

C

D

O

C A

B O

2.1.2《向量的加法》学情分析

从知识方面看：

（1）学生已经具备的：①本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。②学生普遍掌握了对平行四边形的性质和判定。③学生在物理中学习过一些矢量的正交分解（如力的正交分解），从生活中的一些实际例子对向量加法有了一定的感性认识。这些都为学习向量的加法作了最好的铺垫。

（2）学生还欠缺的：①学生的分类讨论的能力还不够②学生的化归能力有待提高③学习数学的严谨性有待加强。

针对上面分析，在教学中我要从物理模型出发，充分利用已有的学习资源，逐步揭示向量的加法运算，并在教学中要注重培养学生“不重不漏”的分类能力，拨开表面看本质的化归方法，实事求是客观科学的严谨意识。

从能力方面看：理解力上，学生能够从生活中的一些实际例子对向量加法有一定的感性认识，直观上能体会向量的加法与数量的加法之间有明显的不同，能分辨出二者具有很大差异性，但是这种差异在学习本课之前是学生难以表述清楚。另外，如何处理大小相加和方向相加，仍是学生学习本节的一个难点。

因此在教学中，我将通过创设情境，使学生能够将物理中学习过一些矢量的合成分解和本节课的内容联系起来，就完全能够实现物理中的矢量和数学中的向量之间的正迁移，再通过实际操作和作图练习体会向量的和的几何意义。

2.1.2《向量的加法》效果分析

《向量的加法》授课效果，我们可以从以下四个方面去分析：

（1）从目标达成上看：学生在课堂上学习气氛热烈，兴趣浓厚，回答老师提问积极主动且正确率高，在课堂动手演示、板演、还是上台展讲等环节，表现的也都很优秀，教师在课堂巡视时，发现除学案例题3外，其它课堂练习完成情况很好。根据上面检测，前3个目标至少50人达成，第四个目标45人达成，很好的完成了预设目标。

（2）从重、难点突破上看：“向量的加法”这部分的教学，对学生而言，难点有三个：一是向量的运算虽然能类比实数的运算引入，但它的实质和数的运算又是截然不同的，必然会对学生原有的认知结构产生很大的冲突，使得学生在理解、掌握上产生困惑；二是共线向量不构成三角形仍沿用三角形法则，学生理解起来也有困难；三是向量结合律和多边形法则的证明，作图难度较大。抓住这些障碍点，我在教学时，有针对突破，响应课程标准要求，注重从实例入手，充分利用位移的合成和力的合成两个物理模型，在课堂上学生动手演示、动手作图验证、积极动脑思考，通过把数的运算和向量的运算对比，突破难点一；通过把向量的加法和物理中矢量的合成进行类比，突破难点二；通过把向量结合律和多边形法则的证明改为给图化简，突破难点三。

（3）从课堂观察量表上看：观课中老师使用了课程观察量（附件1），共有20名数学教师进行观课，有1名教师给打了100分，6名教师给打了99分，8名教师给打了98分，3名教师给打了97分，2名教师给打了96分，平均得分为98.05。平均得分比较高，说明总体效果较好。从课程观察量表各项得分上看，教师的课堂设计和课堂处理都达到了很好的评价，学生的参与度较高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。

（4）从课堂检测批改情况来看：课堂小测批改情况是：全对的有47个同学，有2个同学第1题错，有3个同学第二题没有做完（可能时间不够）。从这个结果可以看出，本节课学生基本掌握了所学内容，完成了学习任务。

从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一致，评略得当，重点突出，难点突破。在两个加法法则的引入、讲解及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好，能够引导学生积极主动地探索三角形法则和平四边形法则，使学生对两个加法法则形成了正确认识，留下了深刻印象。根据课堂检测和课后反馈练习的批改情况，可以看出学生对两个法则的御用中我的比较好，比较完整地实现了教学目标。

附件1：

课堂教学质量评价量表

2.1.2《向量的加法》教材分析

本节是高中数学人教B版教材必修4第二章《平面向量》第二节的第一课。本节通过具体实例研究了向量求和的三个法则和运算律，体现了向量既具有像实数一样进行运算的“代数”特征，又可以作图表示的“几何”形态，是数学中数形结合的典型课例。

一、地位与作用

向量是近代数学中重要的、基本的数学概念。它既是代数对象，可以像数一样进行运算。又是几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决长度，面积，体积等几何度量问题。因此，向量是集数形于一体的数学概念，是沟通代数与几何的一个基本工具，同时也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述，在近现代数学和高中数学中有着极其广泛的应用。

本节课是在学习了向量的基本概念之后较重要的一节课，是向量线性运算的起始课。向量的加法是向量线性运算中最基本的、最重要的运算，向量的减法、数乘向量都可以归结为向量的加法运算，因此本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也为以后学习向量减法，数乘向量及其几何意义奠定了基础，在本章中起着承上启下的重要作用。其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用，所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

二、内容结构

（1）通过物理模型揭示本节课的主要内容。从物理模型位移合成出发，引入本节课我们将要学习的重点内容三角形法则，所有内容都是围绕这个法则展开，它是本节的核心。

（2）应用验证。通过动手实践验证和作图验证，从而对三角形法则进行简单应用，得到共线向量的和及向量加法的交换律，是学以致用的一个开始和尝试，同时培养了知识迁移运用能力。

（3）探究深化。通过向量加法交换律的探究，得到平行四边形法则，通过对进向量加法结合律的探究，进一步深化三角形法则应用，培养学生的动手动脑能力。

（4）适时拓展。作图验证了向量求和的多边形法则，完成了多三角形法则的拓展，化繁为简，把知识融会贯通，形成一个整体。

三、教学目标

（1）知识与技能目标：掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行运算。

（2）过程与方法目标：让学生了解向量丰富的实际背景，经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生类比、迁移、数形结合及化归的能力。

（3）情感态度与价值观目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情，增强数学应用意识，培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．四、教学重难点

（1）教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则及其应用。

（2）教学难点：是对向量加法定义的理解。

具体有三个方面：①是数与式的加法对向量加法的负迁移，造成对向量加法意义理解的困难；

②是对共线向量不构成三角形仍沿用三角形法则的理解困难。

③是向量结合律和多边形法则的证明，作图难度较大。

突破难点的关键是抓住实例，借助作图验证和多媒体动画演示，不断渗透数形结合思想，使学生从感性认识升华到理性认识。

五、教学方式

本节内容有三个法则两个运算律，知识点较多，与物理和实际生活联系紧密，根据这些特点，本节主要运用情景教学法、问题探究教学法和启发式教学法，多媒体动画辅助。通过创设问题情景，展现知识的物理背景，通过不断设问的形式引导学生思考，坚持以具有启发性的问题贯穿整节课的始终，并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境。充分利用类比、迁移、化归等数学思想，通过联系生活实际，同时采用师生互动、独立思考、同桌交流、操作演示、小组讨论、抢答、板演等教学活动，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识。

六、教学建议

（1）在向量教学中，要注重突出数学思想和方法的讲解。在向量学习中大量涉及“看图说话”，并由“看图说话”逐步上升为“读文画图，这就体现了数形结合的学习方法。教师要有意识地加强文字语言、图形语言、符号语言的互相转化的训练，培养、提高学生数形结合的能力。同时，在这一节的教学过程中多次出现类比的数学思想。如将向量0与数0

类比、将向量的加法法则与数的加法则类比等。教师在教学时要注重类比思想的传授，一方面通过类比实现知识的迁移，另一方面通过类比提高学生主动学习的兴趣。

（2）在向量教学中，要充分利用图形、尤其是平行四边形进行学习。向量加法的交换律、向量的减法可转换为向量的加法、向量加法的平行四边形法则等内容都与平行四边形有

密切关系。大量的问题，如向量的表示、向量的运算都以平行四边形为图形展开探究。而学生对平行四边形的性质和判定普遍掌握的较好，这就为教师利用平行四边形进行向量的教学提供了基础。事实也证明，借助平行四边形确实有效帮助学生学习。

2.1.2《向量的加法》评测练习

学习目标 1、学生通过经历情景1和情景2，建立位移合成的三角形模型和力合成的平行四 边形法则，为向量加法的三角形法则和平行四边形法则的推导做好铺垫。

2、学生通过类比情景1自主探究问题1，把位移模型抽象为向量模型；通过自主探究问题2抽象概括出向量加法的三角形法则和平行四边形法则及几何意义，体会类比思想，提升迁移与化归的能力。

3、学生通过合作探究问题3，学会做共线向量的和，明确三角形法则和平行四边形法则的适用范围；通过练习训练，能应用两个法则作出和向量，规范作图行为。

4、学生通过对例题及变式训练的学习，能发现向量加法的交换律和结合律，并能正确运用运算律进行化简；通过应用举例的学习，提高学生解决问题的能力。

课前预习案

（一）温故知新：

①向量的概念：②向量的表示方法：③零向量和单位向量：

④平行向量：⑤相等向量： （二）新课指南：

（1）向量加法的定义：已知向量、(如图所示)，

在平面上任取一点A ，作AB a =，BC b =，再作向量AC ，则

向量AC 叫做向量a 与b 的和（或和向量），即a b AB BC →

→

+=+=____________. 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法.（注：两个向量的和仍然是向量。） （2）向量求和的三角形法则：

利用向量加法的定义，求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则。在运用此法则时，要注意_________,即求两个向量的和是以第一个向量的中点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的_______指向第二个向量的_____的向量。

注意：

①在该法则中：“向量平移”要使前一个向量的终点为后一个向量的起点；和向量的方

向是由前一个向量的起点指向后一个向量的终点. ② =+=+

（3）向量求和的平行四边形法则：

已知两个不共线的向量a 、b ，作

AB a =,AD b =，则A,B,D 三点不共线，以____

_____________,____________________为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量

b

a

b a b a

a b

__________=a b →

→

+，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则。要注意两个向量是从同一个始点出发的不共线向量。 （4）向量加法的运算律

①交换律：_________________ ②结合律：____________________ （三）预习自测：

1.在平行四边形中，AB CA BD ++等于（ ）

A. AB

B. BC

C. DC

D. C D

2.已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =,AD b =，则

a b

→

→

+的值为（ ）

C. 2

D. 3. 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则作图： （1）如图，已知a ，b ，用向量加法的三角形法则作出a +b .

（2）如图，已知，，用向量加法的平行四边形法则作出+.

课中导学案 （一） 创设情景，直观感知

情境1 位移的合成：某人从点A 到点B,再从点B 改变方向到点C ， 问题1：这两次位移的合位移是什么？如何作出合位移？

情境2 力的合成

图1表示橡皮条在两个力F 1和F 2的作用下沿MC 方向伸长至O 图2表示橡皮条在力F 的作用下沿相同方向伸长了相同的长度。

问题2：从力学的观点分析，力F 与F 1、F 2之间的关系如何？如何在图中作出力F 1、F 2的合

力？ M E F 1

O

A B

C a b

a

b a

a b

a

b

（二） 步步探究、建构新知

探究1 大屏幕上给定了三组向量，根据情景1怎么作出它们的和？并用代数式表示

,,的关系

问题3：此时图中的两个向量的位置有什么特点？

探究2 那么这组向量怎么作和？在作图过程中有哪些关键点？

问题4：你还有其它方法作它们的和吗？在作图过程中有哪些关键点？

问题5：两种方法做出的结果一样吗?为什么？

探究3 如果给出的向量是这样的，由定义如何作出它们的和？

问题6：能用平行四边形法则作它们的和吗？平行四边形法则的适用范围是什么？

问题7：对于特殊向量零向量，它与任意向量的和向量是什么？

练习：如图，已知,，作出+

例1. 根据图形填空

（1）=+________

M E O 图2 O A

C

B D

E e

O A

B O B

A O A

B a

b b

a b a

（2）=+________

（3）=++________

（4）++=________ （5）a b d e +++=________ 问题8：如何作三个、四个、…n 个向量的和？

例2. 如图，把图(1)平行四边形中和图(2)中写成其它向量的和（至少写出三个）

（1）

问题9：观察黑板上同学的回答，类比数的运算律，你能得到什么结论？

变式练习：化简(1)____________AB CD BC ++=

(2)()()MA BN AC CB +++=______________ (3)+++)(=_______________ （四）能力提升，应用举例

例3．已知平面内有三个非零向量OA 、OB 、OC ， 它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：0OA OB OC ++=；

问题10：在平面内能否构造三个非零向量a 、b 、c ，使0a b c ++=？能否说出它的几何模型？

（五）回顾反思，交流收获 （3）对照学习目标，本节课你还有那些没有解决的问题或困惑？ (六)课堂小测, 巩固反馈

A

B

C

D

O

A

C

1.如图，填空：

(1)=+AD AB (2)=++DO AD AC (3)=++CD AD AB (4)=++DA BA AC 2.已知O 是ABC ∆的重心，求证： 0=++OC OB OA

3.拓展探究：向量和的模与模的和之间有什么关系？（b ,a 是任意两个向量，则b

a ,与,a

b +b +a 之间有什么关系？ 并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．

课后练习

A 组

1. 已知A 、B 、C 是直线ｌ上的顺次三点，指出向量AB 、、BA 、中，下列说法正确的是（ ）

A. AB 与方向相同，BA 与方向相同.

B.只有AB 与方向相同

C.只有与方向相同

D.与CB 方向相同，与方向相同

2.△ABC 的三边长是3、4、5，则+BC +CA 等于（ ） A.12 B. C. D.9

3.在矩形ABCD 中，|AB |＝12，||＝5，则||是 （ ） A.14 B.17 C.16 D.13

4.对于向量、，若||＝||且∥，则 （ ）

A.＝

B.＝-

C.＝±

D.以上结论都不对

5. 已知正方形ABCD 的边长等于1，＝，＝，＝，则++的模为（ ）

A.0

B.3

C.2

D.22

6. 21A A +32A A +43A A +…+n n A A 1-+1A A n ＝ ___________.

A B C

D

O

C

A

B

O

7.设表示“向西走2km ”，表示“向北走2km ”，则+表示向______________行进________km ？

8.在矩形ABCD

中，AD =设a AB =，,b BC c BD ==,向量a b c ++的大小是

_____________,方向__________________。 9.在正六边形ABCDEF 中，若,,OA a OE b == 试用向量，将,,OB OC OF 表示出来. B 组

10.如图所示，,P Q 是ABC ∆边BC 上的两点，且BP QP =， 求证：AB AC AP AQ +=+

参考答案

1.A ．本题考查向量的概念

2.B 本题考查向量加法三角形法则

3.D 本题考查向量加法的平行四边形法则

4.C 本题考查相反向量的定义

5.D 本题考查向量加法的三角形法则以及向量模长的求法

6.0 本题考查向量加法的多边形法则

7.西北，22 本题考查向量加法的平行四边形法则和模长的求法 8.38，与同向 本题考查向量加法的三角形法则和平行四边形法则 9.b a OF b a OC b OB 2),(2,a 2+=+=+= 本题本题考查向量加法的两个法则。 10.证明：取BC 得中点D ，连结AD ，则

AD AC AB 2=+,

O

B

P Q

C

QC BP =

∴D 也是PQ 的中点， ∴2=+, ∴+=+.

本题考查向量加法的三角形法则的应用

2.1.2《向量的加法》课后反思

本课主要采用“问题探究式”教学法， 遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识。从学生积极主动的课堂表现和练习反馈结果来看，达成了预期的教学目标，收到了很好的效果。

反思总结后觉得本节课我在以下几个方面做得比较成功：

（1）讲背景、重过程、强调本质 本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”。

（2）讲方法、重能力、渗透思想 向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想。

（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展 教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力． 总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观． 通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简

和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题。

不足之处:

(1)学生对共线向量的和向量作法掌握不好，部分学生还有些糊涂，认为三角形法则要构成三角形，没有理解其实质，需关注。

(2)一部分学生书写规范，书写向量不加箭头，需反复强调。

（3）课堂节奏有些快，语言不够精炼，有时抢了学生的话头。

2.1.2《向量的加法》课标分析

一、课程标准要求

通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义。

二、课程标准解读

课程标准对向量加法的要求分两个层次，一是经历向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构建过程和向量加法运算律的推导验证过程；二是能熟练运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合图形作出几个向量的和向量，能熟练运用向量加法的运算律对向量式进行化简。要达到第一个层次，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，通过具体实例，构造出位移合成的三角形法则和力合成的平行四边形法则这两个物理模型，启发学生的思维；其次通过问题探究让学生步步深入，剥离它们的物理属性，迁移形成向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构图特点；最后通过实际操作演示，借助多媒体动画的直观性，顺利完成对向量加法的三角形法则和平行四边形法则推导。从第二个层次看，主要是应用层面的问题，因此要通过适当的例子和练习引导学生对这两个法则和两个运算律进行深化拓展，熟练应用。

三、课程价值

向量即具有“代数”的特征，又具有“几何”的形态，为我们在日后的数学教学中实施几何问题代数化提供了一种重要的数学工具。而引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究的基本问题。如果只有向量的概念没有向量的运算，向量的作用将会变得微乎其微，因此向量的运算及其运算律是向量应用的核心。因此本节课教学内容是每个高中学生必备的数学基础知识之一。

另一方面，向量加法法则的特征图形是三角形和平行四边形，因此向量运算在处理与三角形和平行四边形有关的问题时有着广泛的应用。

高中数学 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义课后反思 新人教A版必修4

2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学反思 向量的加法运算是向量的基本运算.为了正确认识理解向量加法的运算,案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成.在此基础上,使学生认识到:物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算,进而总结出向量加法的三角形法则,平行四边形法则,这样设计自然,流畅,全面.向量加法的运算律的教学,是引导学生通过类比方法发现的,并让学生自主探索,构造图形验证,这样不仅体现了学生的主体地位,同时还能培养学生学科的探究能力.例题与练习、"拓展延伸"的设计,有层次,有力度,深入浅出,能较好地培养学生的创新能力。 一节课究竟应该给学生留下什么？这是我们一直在思考的问题。如果，我们一味地、一相情愿地“灌输”，学生能学好了吗？辩证唯物主义认为：任何事物的发展变化，都是内外因相互作用的结果，外因是条件，内因是根据，外因通过内因而起作用。学生对教师所施与的影响，并不只是消极被动地接受，而是以能动的姿态去思考和抉择，主动积极地做出反应；他们可能采取完全肯定和接受的态度，也可能采取批判和扬弃的态度，还可以采取完全否定和鄙弃的态度。因此，一节课重要的是激发学生学习的兴趣。爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，如果在课堂中激起了学生的学习兴趣，那么教学就算成功了一半。这就需要我们在教学过程中多设计学生活动的时空，结合生活实际，挖掘课程资源，根据学生的具体情况，对教材进行加工，有创造地设计教学过程，这节课我以问题作为教学的出发点，让教学贴近学生。 本节课固然收获颇多，但我也看到了几个表情漠然的学生，这种不和谐让我感到心痛，新课程要求教学面向全体学生，但对于这些学生如何能使他们一起进步，值得我们思考，也是我面临的一个新课题。我想，随着学习方式的改变，有很多方法等待我们去探索。 总之，数学课堂教学应该是一个“以知识教学为基点，以能力培养为核心，以个情素养为肯綮”的三维结构。通过这节课教学我认识到理解和把握教材的重要性，同时我也真切体会到在教学过程中教师是组织者、合作者、引导者的含义。 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知

高中数学_高中数学2.1.2向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.2 《向量的加法》教学设计 一、教学目标确立依据 1.课程标准要求及解读 （1）课程标准要求 通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义。 （2）课程标准解读 课程标准对向量加法的要求分两个层次，一是经历向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构建过程和向量加法运算律的推导验证过程；二是能熟练运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合图形作出几个向量的和向量，能熟练运用向量加法的运算律对向量式进行化简。要达到第一个层次，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，构造出位移合成的三角形法则和力合成的平行四边形法则这两个物理模型，启发学生的思维；其次通过问题探究让学生步步深入，剥离它们的物理属性，迁移形成向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构图特点；最后通过实际操作演示，借助多媒体动画的直观性，顺利完成对向量加法的三角形法则和平行四边形法则推导。从第二个层次看，主要是应用层面的问题，因此要通过适当的例子和练习引导学生对这两个法则和两个运算律进行深化拓展，熟练应用。 2.教材分析 本节是高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。向量是数学的重要概念之一，它不仅沟通了代数与几何，还在物理中有着广泛的应用，是重要的数学模型。本节课是在学习了向量的基本概念之后比较重要的一节课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是是数学研究的基本问题。向量的加法运算是向量线性运算的起始课，是向量线性运算中最基本的、最重要的运算，向量的减法、数乘向量都可以归结为向量的加法运算，因此本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也为以后学习向量减法，数乘向量及其几何意义奠定了基础，在本章中起着承上启下的重要作用。其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用，所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。本节的重点是向量加法的两大法则及其应用。难点是对向量加法定义的理解，具体有两方面：一是数与式的加法对向量加法的负迁移，造成对向量加法意义理解的困难；二是对共线向量不构成三角形仍沿用三角形法则的理解困难。 3．学情分析 （1）从知识方面看：本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。更重要的是学生在物理中学习过一些矢量的正交分解（如力的正交分解），从生活

高中数学_向量的加法运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.1 向量加法运算及其几何意义 一、教材分析 向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定了基础；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践。 二、三维教学目标: 1、教学知识目标: ⑴掌握向量加法的定义及几何意义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量和 ⑶理解向量加法的运算律 2、教学能力目标： 让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力,发展运算能力和解决实际问题的能力。 3、情感态度： 理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。 4、教学重点、难点 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量和. 教学难点：理解向量加法的几何意义 授课类型：新授课 三、教法学法：采用讲授法与学生主动探讨为主，运用多媒体技术展示，加深学生的印象。 四、教学过程 （一）复习回顾： 1、向量的定义？向量的表示？向量的模？

2、什么叫相等向量？ 3、什么叫平行向量？ 4、什么叫单位向量与零向量？ （二）新课引入： 情境1. 某对象从A 点走到B 点，然后从B 点走到C ，两次位移AC AB ,的结果 与从A 点到C 点位移AC 的结果有什么关系？ 由物理知识可以知道:：从A 点到B 点然后到C 点的合位移,就是从A 点到C 点 的位移，可以表示为： 情境2.橡皮条在力1F 与2F 的作用下,从E 点伸长到了O 点.同时橡皮条在力F 的作用下也从E 点 伸长到了O 点.力F 对橡皮条产生的效果，与力1F 和力2F 共同作用产生的效果有什么关系？ 物理学中把力F 叫做F1和F2的合力.可以表示为 新知： 向量的加法的定义 叫做向量的加法 三角形法则 如图，已知非零向量a b .在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量 叫做a 与b 的和，记作 ，即a ＋b = 平行四边形法则 以同一点O 为起点的向量a 、b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线 就是a 与b 的和. 对于零向量与任一向量a ，我们规定a +0=___________=_______. A B C b a a b + B C A O

高中数学_向量的加法运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计 教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4 教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时 一、教学目标 知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算． 能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质． 二、重点与难点 重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量． 难点：理解向量的加法法则及其几何意义． 三、教法学法 教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式． 四、教学过程 新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节 一、复习回顾 1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？ 2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？ 二、合作探究 【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向 到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什 么结论？ 学生活动：学生讨论，集体回答

点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。 2、向量加法的定义 如图，已知非零向量a 、b ，在平面内 取一点A ，作AB a =，BC b =，则AC 叫作a 与b 的和。 两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征． 3、向量加法的运算法则 【问题2】上面整个计算过程中我们作了一个什么图形？你能不能结合图形给这种运算法则起个名字？ 学生活动：学生讨论，集体回答 （1）三角形法则：定义中求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 位移的合成可以看成向量加法三角形法则的物理模型。 （2）平行四边形法则 【问题3】图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿GE 方向伸长了EO ；图2表示橡皮条在一个力F 的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F 与F1、F2之间的关系如何？ 学生活动：集体回答 【问题4】通过刚才这个过程你发现对向量进行加法运算还可以怎样进行？ 学生活动：学生讨论，集体回答 点评：以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OC 就是a 与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 a b A B C

高中数学_第一节 向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

《2.1.2向量的加法》的教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（B版）)。第二章2．1平面向量的线性运算的第二节“向量的加法”（80--83页）。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的长度、相等的向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学情分析 学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标

高中数学_平面向量的正交分解及坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、导 1.轴上向量坐标及其运算 2.平面向量基本定理 3.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解。我们通常放在直角坐标系 中研究向量的正交分解。 4.以O 为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ 二、思 （按照下面的导学提纲阅读教材，自学深思，完成下列问题。） 1.在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示? 2.如何判断两个向量是互相垂直？ 3.什么叫做正交基底？ 4.什么叫做正交分解？ 5.向量的直角坐标运算),a ,a (21=)b ,b (21=，=+_______；=-_______； =λ -------------- 1122a e e λλ= +

6. 已知),y ,x (B ),y ,x (A 2211求向量的坐标。 7. 在直角坐标系中xOy 中，已知点),y ,x (B ),y ,x (A 2211求线段AB 中点的坐标。 8. 在直角坐标系xOy 中，已知点)4,2-(B ),2,3(A ，求向量+的坐标和长度。 9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,4,3C ,3,1-B ,12-A ）（）（）， （求顶点D 的坐标。 三、议 讨论“思”中的问题。 四、展 我展示！ 我补充！ 我质疑！ 五、评 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。 2.若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。 4.若)a ,a (A 21，)b ,b (B 21，则)a -b ,a -b (2211=，AB 中点坐标为)2 b b ,2a a (2121++ 六．检 课本103页练习A 第2题、第4题 七、练 1、《同步练习册》 第52页基础巩固、第53页能力提升 2、整理笔记

向量的加法(课后反思)

向量的加法(课后反思) 数学组何丽 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(北师大版)。第二章2．1向量的加法，《平面向量》这一章中向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。 五、教学重点与难点 1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。 2、教学难点：向量加法的运算律。 六、教学过程设计 1、问题引入 [设计说明] 引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题,以现有的知识为出发培养学生的知识类比、迁移能力。 [学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。 2、概念形成 问题1：如何求两个平行向量的和向量？

高中数学_向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

教材分析 一、教学内容 通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题. 本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终．学生在老师的启发下发现问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力、掌握方法和发展基本数学能力. 二、教学目标 1.知识与技能目标 (1).掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； (2).会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； (3). 理解向量加法的运算律. 2.过程与方法目标 (1).培养数形结合解决问题的能力； (2).通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； (3).让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力. 3.情感、态度与价值观目标 (1).通过以学生为主体的教学方法，让学生发展体验获取知识的感受； (2).学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图过程，不仅深刻理解了物理中的位移、力的合成分解的作图方法，体现出数学的实用性，还感受到了数学和物理的合作，迁移到同学们的学习和生活中，就能体会出团结协作尤为重要； (3).通过观察、分析，培养学生自主学习，勇于创新. 三、教学重点、难点 重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 难点：理解向量加法的定义.

高中数学_ 向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

向量的加法教学设计 教学目标： 1．知识目标 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。 2．能力目标 使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。 3．情感目标 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 教学重点、难点： 重点：向量加法的两个法则及其应用； 难点：对向量加法定义的理解。 突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。 教学方法： 结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。 采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。 教学过程

2

4 用举例及练习1、化简 2、根据图示填空 例 跟踪练习： (1)向量a表示“向东走2km”，向量b表 示“向南走43km”，则b a+表示 ____________。 (2)如图，一艘船从A点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河 水的流速为2km/h。求船实际航行速度的 大小与方向（用与水流方向的夹角表示）。 加强对学生的个别指 导。 强调向量加法的三角 形法则：首尾相连， 首尾连。 学生独立思考后，教 师强调要点，并用多 媒体演示。 学生口答，教师板书， 强调解题步骤的规范 性。 学生练习，在整个练习 过程中，教师做好课堂 巡视，加强对学生的个 别指导。。 对自己的学习进行自我评 价。 让教师及时了解学生的学 习情况，以便进一步调整 自己的教学。 使学生进一步加深对知识 的掌握，并体验数学在解 决实际问题中的作用，增 强应用意识。 体验数形结合、转化等思 想的渗透。 ________ )1(= + +BC CD AB ()()___ )2(= + + +CB AC BN MA ()____ )3(= + + +DC CA BD AB a b c d e f g A B D E = + + = + + = + = + e d c d b a d c b a )4( )3( )2( )1( A B C DC

高中数学_向量的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.1 向量的概念 设计： 审核： 时间： 一、【自主探究准备】 阅读课本及查阅相关资料自主预习，并完成学案. 二、【自主探究任务】 三、【自主探究过程】 知识点：向量的概念 【问题导思】 1.在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ . 2.对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 1.向量的定义 具有 和 的量称为向量. 2.向量的表示方法 (1)用有向线段表示， 的有向线段表示同一向量，或相等向 量. (2)用小写字母a ，b ，c 表示向量. 3.向量的模 如果AB →＝a ，那么AB → 的 表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)记作|a |. 4.三种重要的向量 (1)长度等于 的向量叫做零向量，记作 ，零向量的方 向 . (2) 的有向线段表示同一向量，或相等的向量. 若两个向 量a 和b ，则a 和b 相等，记作 . (3)通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB → 的 .

如果向量的基线 ，则称这些向量共线或平行. 这就是说，共线向量的方向 .向量a 平行于b ，记作 . 5.位置向量 任给一定点O 和向量a ，过点O 作有向线段OA → ＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量 a ，这时向量OA → 叫做点A 相对于点O 的位置向量. 四、【自主探究应用】 类型1.向量的有关概念的判断 例1.下列说法正确的有________. (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)向量AB →与CD → 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； (3)向量AB →与BA → 是平行向量； (4)方向相反的向量可能相等. 【规律方法】 变式训练1. 判断下列说法是否正确，并简要说明理由： (1)零向量只有大小没有方向； (2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量； (3)若向量a 与向量b 同向，|a |＞|b |，则a ＞b ； (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . 类型2. 向量的表示及应用 例2. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a . (2)画一个以C 为起点的向量c ， 使|c |＝2，说出c 的终点的轨迹是什么？ 【规律方法】

高中数学_向量加法运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

《向量的加法》教学设计 一、教材分析： 向量的加法是人教版A版《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学4》的第二章平面向量、第二节从位移合成到向量的加法的第一课时，向量是沟通几 何、代数、三角等内容的桥梁,它对更新和完善中学数学的知识结构起到重要的 作用.而向量加法是学生接触到的向量的第一种运算,因此本节课从学生熟悉的 实例出发,经过观察、分析、归纳、概括出向量加法的概念,并且很自然地得出三 角形法则和平行四边形法则,使学生感觉到亲切、自然,而不至于太过生硬,有助 于调动学生的学习积极性. 二、学情分析： 我校生源来自多个不同学校，学生从初中升入高中以来思维方式和思维水平有很大差异，考虑到以上实际的校情和学情，我认为教学过程 的组织、管理和控制，是对教师的最大考验，在教学中我将更多地利用 学生的形象思维、直觉思维和非智力因素，以期顺利完成教学任务。 三、教学资源与策略： 本节课使用多媒体教学,一方面注重知识的形象化,另一方面也要兼顾训练学生的动手能力.因此在多媒体演示的同时也必须请学生自己动 手实践. 四、教学目标： 1知识与能力: ①.通过本节课的学习，学生能够说出向量加法的概念. ②.学生能够表述三角形法则和平行四边形法则的几何意义. ③.学生能够表述向量的运算律及其几何意义. 2方法与技巧：学生能够使用三角形法则或平行四边形法则求已知两向量及多个向量的和. 3情感、态度与价值观：培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力. 五、教学重难点： 重点：向量加法的运算及其几何意义. 难点：三角形法则和平行四边形法则的区别与联系.

六、教学方法： 类比、探究，讲练结合及多媒体的运用. 七、教学流程图： 八、教学过程： 实例分析1:2008年以前，由于大陆和台湾没有直航飞机，因此从上海到台北，要先从上海到香港，再从香港到台北，这一过程中，从上海到香港，从香港到台北这两段位移效果相当于从上海到台北的位移，而位移可以看作向量，因此可以得到.：与的合成等于

高中数学_向量加法运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学设计 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。同时考虑到学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位，我把本节课的教学目标确定为： （1）知识与技能方面 使学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢于探索勇于创新的良好习惯，以及善于用数学方法解决实际问题的能力。 （2）能力目标 在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。 （3）情感目标 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。教具：直尺投影仪 授课类型：新授课 教学思路：

O A a a a b b b 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。因此，我们研究的向量是与起点无关的向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置一（投影展示杭州湾大桥） 建桥之后可以从宁波直达嘉兴，此时的位移A C 与前面两次位移A B ， B C 的结果相同。如何用等式来刻画这三个位移的关系? 两次的位移和：AC BC AB =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ２、三角形法则（“首尾相接连端点”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定：a + 0-= 0 + a 练习1：课本84.1 探究：小组交流讨论 （1）当向量a 与b 不共线时，a +b 、a 、b 的方向不同向，且|a +b | |a |+|b |；如何理解？ A B C a + b a +b a a b b a ｂ ｂ ａ ＋ a

高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量 【高考考纲解读】 1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题 ( 选择题或填空 题) ，一般出此刻第 3～7 或第 13～15 题的地点上，难度较低．主要观 察平面向量的模、数目积的运算、线性运算等，数目积是其观察的热门． 2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、分析几何等其余知知趣 交汇综合命题，难度中等 . 【要点、难点分析】 1、（1）平面向量共线定理 向量 a(a≠0)与b共线当且仅当存在独一一个实数λ，使b＝λa. （2）平面向量基本定理 假如 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任 一直量 a，有且只有一对实数λ，λ，使 a＝λe ＋λe ，此中 e ，e 12112212 是一组基底 .

2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b?a＝λb? x 1 y 2 －x 2 y 1 ＝0. (2)a⊥b?a·b＝0? x1x2＋ y1y2＝0. 3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝ (x， y)，则 |a|＝ a·a＝x2＋ y2. (2) → （ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2.若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB|＝ (3)若 a＝ (x1， y1 )， b＝ (x2， y2)，θ为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝a·b x1x2＋ y1 y2 |a||b| ＝ x12＋ y12 x22＋ y22 . 4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件： O 为平面上一点，则A，B，P 三点共线 →→→此中λ1＋λ2＝1). 的充要条件是 OP＝λ1＋λ2 OA OB ( (2)三角形中线向量公式：若P 为△ OAB 的边 AB 的中点，则向量 →→ →→ 1 → → OP与向量 OA，OB的关系是 OP＝2(OA＋OB). → → → (3)三角形重心坐标的求法： G 为△ ABC 的重心 ? GA＋GB＋GC＝0? G x A＋x B＋x C，y A＋y B＋y C. 33 【高考真题】

高中数学_2-2-1向量加法运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析 本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第二章《平面向量》第二节“平面向量的线性运算”的第一课时． 1．本节课引例使学生经历从物理模型抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；通过类比猜想、作图验证掌握向量加法的相关性质；通过数学建模解决实际问题. 2．在学习过程中，使学生掌握通过类比思想提出猜想，并给予证明的解决问题的方法，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识． 3．在数学建模过程中，经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质． 学情分析 （一）学生程度 我所授课的对象是济宁高新区高中的学生．学生的水平相对较弱，基础知识掌握得不好，学生的理解能力不强．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。 （二）知识层面 1．学生初中已经学习过有理数加法、减法等运算并掌握了它们的运算率； 2．掌握了向量、零向量及其共线向量的定义. （三）能力层面 1．具有物理学习中的力的合成基础； 2．具有一定的数形结合和类比思想的基础． 根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以在老师的指导下完成求不共线的两个非零向量的和的作图，部分同学能够注意到零向量与数零的区别以及共线的两个向量的和的求法。但有些学生对平移向量依然在原图上处理，极易造成图形混乱。在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助。

高中数学_向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计《向量的加法》 《向量的加法》教学设计

一．教材分析： 本节内容位于高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。向量的加法是我们在学习完向量的基本概念后首先要掌握的一种运算，本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也能为以后学习向量减法，数乘向量及平面向量基本定理等知识奠定基础，因此，本节内容起着承上启下的重要作用。 由于之前物理里面也学习过位移的加法，力、速度等矢量的分解，因此学生对向量的加法具有一定的基础，在向量的加法学习过程，学生能够与物理中学习过的内容联系起来，对于新课学习很有帮助。 向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一个本节课最重要的内容，讲授时应一次到位。不仅要讲述清楚、表述规范，还有通过问题的解决加以强调，并要求学生亲自实践以加深理解。 向量加法的运算律也是本节课的重点内容。其结论不应简单的给出，而应该让学生按照加法法则作图检验。 二．教学目标： （一）知识和能力： 1．通过本节课的学习，学生掌握向量加法的概念，能熟练运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个或多个向量的和。掌握向量加法的交换律和结合律，并能在解决具体问题中熟练的运用这些知识。 （二）情感、态度与价值观： 学生经历由杭州湾跨海大桥到向量加法问题的提出的过程，能感受到数学问题来自于客观现实，感受到学好数学有利于解决实际问题。学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图过程，不仅深刻理解了物理中的力、速度的合成分解的作图方法，体现出数学的实用性，还感受到了数学和物理的合作，从而感悟出一种合作精神，迁移到同学们的学习和生活中，便能体会出团结协作尤为重要。 三．学情分析与教法设计： （一）学情分析 1．知识方面 本节课学习之前，学生学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。更重要的是学生在物理中的学习过一些矢量的合成和正交分解（如力的正交分解）概念，这为学习向量的加法作了最好的铺垫。 2．能力方面 理解力上，学生能够从生活中的一些实际例子对向量加法有一定的感性认识，在直观上能体会向量的加法与数量的加法之间有明显的不同，能分辨出二者具有很大差异性，但是这种差异在学习本课之前是学生难以表述清楚，如果学生能够将物理中学习过一些矢量的合成分解和这节课的内容联系起来，就完全能够做到实现物理中的矢量和数学中的向量之间的正迁移。 （二）教法设计 本节课运用启发式教学法，通过不断设问的形式引导学生思考，坚持以具有启发性的问题贯穿整节课的始终，以问题的形式引入新课；以问题的形式实现知识点之间的自然过渡；以问题的形式引导学生类比，发现差异。并在新课讲解中坚持教学方法的多样性，通过教师提问、动画演示与学生阅读、讨论、归纳等方法来完成教学，使学生在轻松愉快中获得新知。在本课教学中特别注意了以下三点：一、联系生活实际进行教学。二、独立思考与合作交流。 三、让学生在活动中探究。

高中数学_ 向量的加法教学设计学情分析教材分析课后反思

向量的加法的教学设计 1.重视自学能力的培养。《数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。在本节课中，教师通过两个问题情景，引导学生通过自主探索，合作交流，理解了向量的加法及其性质产生过程，明白了其中蕴涵的思想方法。通过例题及其变式练习为学生灵活运用向量加法的两个法则打下了基础。 2．重视合情推理能力的培养。所谓合情推理，就是合乎情理，好似为真的一种推理，它是相对于演绎推理而言的。演绎推理的主要方式是分析、综合、演绎、概括、完全归纳、等价变换；合情推理的主要方式是纵横类比、不完全归纳、情景回归、低维化、特殊化等。合情推理虽不像演绎推理那样严谨，不能作为数学证明，所得的结论也不一定正确，但运用合情推理常能得到与演绎推理相同的结果。正因为如此，合情推理被广泛地应用与科学、生产和社会研究之中，是科学发现、发明创造、揭示真理和生产经营决策的有力武器。《数学课程标准》在选修2－2的第二部分－推理与证明里指出：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。也就是说，合情推理的内容不仅局限于分布在教材中各个章节的隐含的个案，新的课程标准已经把合情推理作为选修的一部分内容来处理。 本节课中，通过类比位移的合成引入向量的加法，通过一个个特殊的例子探索向量加法的性质、规律，都体现了对学生合情推理能力（主要是类比和不完全归纳）的培养。当然，合情推理毕竟是一种或然推理，对其猜想出的结果尽量要做理论上的验证，体现了合情推理与演绎推理的完美结合。 3．重视对学生提出问题能力的培养。爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”学生自主学习，善于发现、提出问题和解决问题，从而有所感悟、有所创新的能力，正是下一个世纪具有竞争力人才的关键素质所在。由此可见，提出问题的能力的培养是当务之需，每一节课上都要尽可能的让学生自己提出一些问题。 如本节课中，通过创设问题情景，给学生提出问题创设一个良好的氛围；通过问题的变式引申，给学生提供一些提出问题的方法；通过课堂的适度“布白”给学生提出问题提供时间的保证；通过创设有争议的问题，给学生提出问题提供锲机。 二．教学过程 （一）创设情景，导入课题 问题情景一：如图1（多 媒体投影），由于大陆和台湾 没有直航，因此2003年春节 上海 探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次 台北