人教版高二数学必修5第三章3.4基本不等式学案
2019-2020年秋季学期人教版高二数学必修5第三章3.4基本不等式学案
一、学习目标
1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.
二、学习内容
一、基本不等式
1.对公式22
2a b ab +≥
及
2
a b
+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.
2.由公式22
2a b ab +≥
和
2
a b
+≥ ①
2b a
a b
+≥（,a b 同号）
； ①
2b a
a b +≤-（,a b 异号）
；
①2
0,0)112a b a b a b
+≤≤≤>>+或22
2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 2
2
2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤
，
2a b +≥2
()2
a b ab +≤. 二、基本不等式2
b
a a
b +≤
的证明 方法一：几何面积法
如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为a 、b ，这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2
2
a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：
222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=.
得到结论：如果+
,R a b ∈，那么22
2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）
特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：
如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2
a b
+≤
，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法
①2
2
2
2()0a b ab a b +-=-≥，
当a b ≠时，2
()0a b ->；
当a b =时，2
()0a b -=.
所以22
()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.
特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：
如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：
如果0a >，0b >2
a b
+≤
，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点三、基本不等式2
b
a a
b +≤
的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .
易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2
CD CA CB =?，即CD =
.
这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b
a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b
=时，等号成立.
1.在数学中，我们称
2
b
a +为,a
b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把
2
b
a +看作是正数,a
b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2
a b
+≤
求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
① 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ① 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
1．两个不等式：22
2a b ab +≥与
2
a b
+≥a ，b 都是实数，后者
要求a ，b 都是正数.如22
(3)(2)2(3)(2)-+-≥?-?-是成立的，而(3)(2)
2
-+-≥的.
2．两个不等式：22
2a b ab +≥与2
a b
+≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b 取等号，其含义是2
a b
a b +=?
=；
仅当a=b 取等号，其含义是
2
a b
a b +==.
综合上述两条，a=b 是
2
a b
+=的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ①和（或积）为定值； ①各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ①建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ①在定义域内，求出函数的最大或最小值； ①写出正确答案.
三、典型例题分析
题型一：对公式2
2
2a b ab +≥
及
2
a b
+≥ 【例1】.下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，1
lg 2lg x x
+
≥ B ．当x >0
2≥ C ．当x ≥2时，1
x x
+
的最小值为2 D ．当0 x x - 无最大值 【思路点拨】 利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。 【答案】 B 【解析】 A 中，当x>0且x≠1时，lg x 的正负不确定， ①1lg 2lg x x + ≥或1lg 2lg x x +≤-； C 中，当x≥2时，min 15 2 x x ? ?+ = ? ? ?； D 中，当0 在(0,2]上递增，max 132x x ? ?-= ? ? ?.故选B. 【总结升华】 在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可. 【变式训练】： 【变式1】0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）. （1）a b ++ ； （2）11()()a b a b ++的最小值为4； （3）1 4 a a + +的最小值为2-. 【答案】（1）；（2） （1）∵0a >，0b >，∴a b ++ ≥≥2a b ==时取等号）. （2）∵0a >，0b >，∴1 1()()4a b a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）. （3）∵0a >，∴11444244a a a a + =++-≥=-++， （当且仅当1 44 a a += +即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即1 24 a a + >-+ 【变式2】给出下面四个推导过程： ① ①,a b R + ∈，① 2a b b a +≥=； ① ①,x y R + ∈，①lg lg x y +≥ ① ①a R ∈，0a ≠，① 44a a +≥=； ① ①,x y R ∈，0xy <，① [()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-. 其中正确的推导为（ ） A.①① B.①① C.①① D.①① 【答案】D 【解析】①①,a b R + ∈，① ,b a R a b +∈，符合基本不等式的条件，故①推导正确. ①虽然,x y R + ∈，但当(0,1)x ∈或(0,1)y ∈时，lg ,lg x y 是负数，①①的推导是错误的. ①由,a R ∈不符合基本不等式的条件，① 44a a +≥=是错误的. ①由0,xy <得 ,y x x y 均为负数，但在推导过程中，将整体x y y x +提出负号后，()()x y y x -+-均变为正 数，符合基本不等式的条件，故①正确.选D. 题型二：利用基本不等式证明不等式 【例2】.已知3a >，求证: 4 73 a a +≥- 【思路点拨】 对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法. 【解析】 44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当 4 33 a a =--即5a =,等号成立）. 【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明. 【变式训练】： 【变式】已知x 、y 都是正数，求证： 2y x x y +≥. 【答案】①x 、y 都是正数 ，① 0x y >，0y x >， ① 2x y y x +≥=（当且仅当y x x y =即x y =时,等号成立） 故 2y x x y +≥. 【例3】. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。 【解析】①a 、b 、c 都是正数 ①0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号） 0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号） 0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号） ①()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【总结升华】 1. 在运用 ab b a ≥+2 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 【变式训练】： 【变式】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca ab a b c a b c ++≥++. 【答案】证明： ①a ＞0，b ＞0，c ＞0， ①2bc ac c a b +≥=， 2ac ab a b c +≥=， 2bc ab b a c +≥=. ① bc ca ab a b c a b c ++≥++. 题型三：利用基本不等式求最值 【例4】. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为 ． 【思路点拨】要求最小值的式子中有两个未知数x 、y,先利用已知条件转化为一个未知数，然后利用 a b +≥求最小值。 【答案】22 【解析】①xy ＝1，①x y 1 = ①2222222 2 2222=?≥+ =+x x x x y x 当且仅当222 x x = ，即42±=x 时取等号， 故答案为：22 【总结升华】 1. 形如()B f x Ax x =+ （0x >，0A >，0B >）的函数的最值可以用基本不等式求最值； 2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正. 【变式训练】： 【变式1】若0x <,求9 ()4f x x x =+ 的最大值. 【答案】因为0x <,所以0x ->, 由基本不等式得: 99 ()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, （当且仅当94x x -=- 即3 2 x =-时, 取等号） 故当32x =- 时,9 ()4f x x x =+取得最大值12-. 【变式2】已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2 281 ()f x x x =+ 的值最小？最小值是多少？ 【答案】∵0x ≠，①2 0x >，①2 281()18f x x x =+ ≥= （当且仅当2 2 81 x x = 即3x =±时，取等号） 故当3x =±时，2 2 81 x x + 的值最小为18. 【例5】. 已知x ＞0，y ＞0，且 19 1x y +=，求x+y 的最小值. 【思路点拨】 要求x y +的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会. 【解析】 方法一：∵ 191x y +=，∴199()10y x x y x y x y x y ??+=+?+=++ ??? ∵x ＞0，y ＞0，∴ 96y x x y +≥= （当且仅当 9y x x y =，即y=3x 时，取等号） 又 19 1x y +=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16. 方法二：由 191x y +=，得9 y x y =- ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9 99991(9)109999 y y x y y y y y y y y y -++= +=+=++=-++---- ∵y ＞9，∴y －9＞0， ∴9969y y -+ ≥=- （当且仅当9 99 y y -= -，即y=12时，取等号，此时x=4） ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16. 【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求. 【变式训练】： 【变式1】 若直线 1(00)x y a b a b +=>>，过点(1，1)，则a+b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】由已知得 11 1a b +=， 则11()()2b a a b a b a b a b +=++=+ +， 因为a ＞0，b ＞0，所以 22，+≥?=b a b a a b a b 因为a ＞0，b ＞0，所以 22，+≥?=b a b a a b a b 故a+b≥4，当 b a a b =，即a=b=2时取等号． 【变式2】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则 11 x y +的最小值为________； 【答案】 322+ 【变式3】设二次函数f （x ）=ax 2－4x +c （x ①R ）的值域为[0，+∞），则 19 c a +的最小值为（ ） A ．3 B ． 9 2 C ．5 D ．7 【答案】由题意知，a ＞0，Δ=1－4ac =0，①ac =4，c ＞0， 则 19923c a ac +≥?=，当且仅当19c a =时取等号， 则 19 c a +的最小值是3。 故选A 。 题型四：利用基本不等式解应用题 【例6】. 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场 地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元). （①）将y 表示为x 的函数： （①）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 【思路点拨】 对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。 【解析】（①）设矩形的另一边长为a m ， 则45180(2)2180225360360y x x a x a =+-+?=+- 由已知xa=360,得a= x 360 , 所以y=225x+2 360360(0)x x -> (①)2 3600,22510800x x x >∴+≥= 104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x=x 2 360时，等号成立. 即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 【总结升华】 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【变式训练】： 【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？ 【答案】设购买x 张游泳卡，活动开支为y 元， 则488 402403840.y x x ?= ?+≥（当且仅当x=8时取“=”） 此时每人最少交80元. 【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为2 8m . 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【解析】由题意可得1822 x x y x ?+ ?=， ①2884(042)4 x x y x x x - ==-<<. 于是，框架用料长度为2 2222 l x y x =++? 3163 (2)216(2)464222 x x =++≥+=+. 当316 (2)2x x += ，即8423 22 x ==-+时等号成立. 此时， 2.343x ≈，22 2.828y =≈. 故当x 约为2.343 m ，y 约为2.828 m 时用料最省. 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a> b <=> b 2、如果6/ >0,则不等式: \x\> a \x\>a <=> x >。或r < -a \ x\< a<=> -a < x 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 描述：例题：高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a 3.一元二次不等式恒成立情况小结： 2 0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?00a >???+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域； y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域． （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 5.基本不等式： (1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22 2≥+． (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”） 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第3课时 一元二次不等式解法（习题课） A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0， 所以???x －1≥0，x ＋2≥0 或x ＝－2， ?x ≥1或x ＝－2，故选C. 答案：C 2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( ) A ．{a |00，Δ≤0????a >0，a 2－4a ≤0 ?0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D. 答案：D 3．已知集合M ＝???? ??x ???x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R(M ∩N ) D ．?R(M ∪N ) 解析：因为M ＝{x |－3 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆） 5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+， 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 不等式知识总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等） 不等式测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） 1.设a 1b B ．１a-b ＞1 a C ．a b > D ．a 2>b 2 2.设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是( ) A ．0b a -> B ．330a b +< C ．220a b -< D ．0b a +> 3.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 4.已知直角三角形的周长为2，则它的最大面积为（ ） A ．3－2 2 B ．3＋2 2 C ．3－ 2 D ．3＋ 2 5.已知0,0a b >>，则11 a ++ ） A ．2 B ． C ．4 D ．5 6.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．12 21a b a b + D ．12 7.当0 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质. (2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ 一元二次不等式及其解法 [考点梳理] 1．解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是； (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为_______；当a ＜0时，解集为．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是_______． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集． (4)一元二次不等式的解： 函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 无实根 ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 ① ② R ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ③ (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f （x ） g （x ） 的形式． (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0；f （x ） g （x ） ＜0 ? f (x )g (x )＜0； f （x ） g （x ）≥0 ? ???f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0；f （x ）g （x ）≤0 ? ???f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]必修五-不等式知识点汇总.doc
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