当前位置：文档库 › 2009年复旦千分考数学试题

2009年复旦千分考数学试题

2009年复旦大学自主招生考试数学试题

选择题：（每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．若0,01x y a b >><<<，则下列各式中一定成立的是（）

A ．a b x y >；

B ．a b x y <；

C ．x y a b >；

D ．x y a b <．

2．设0,1a a >≠，函数()1log 1a

f x x

-=+在()1,+∞上单调递减，则()f x （） A ．在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递增； B ．在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减；

C ．在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递增；

D ．在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递减．

3．若要求关于x 的函数21

lg log 2

ax bx y ++??

= ??

的定义域是(),-∞+∞，则a 、b 的取值范围是（） A ．?； B ．0a <； C ．240b a -<； D ．0a b ==．

4．设Q

是有理数集，集合{}

,,0X x x a a b Q x Q x ==+∈∈≠、，在下列集合(1){}

2x x X ∈；

(2)X ?∈??

；(3)1x X x ??

∈????；(4){}2x x X ∈中，与X 相同的集合有（）

A ．4个；

B ．3个；

C ．2个；

D ．1个．

5．设0x y z >、、，且12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值是（）

A ．3；

B ．4；

C ．5；

D ．6．

6．定义全集X 的子集A 的特征函数为()1,,

0,,

A X x A f x x A ∈?=?

∈?这里

A CxA 表示A 在X 中的补集，那么对

A 、

B X ．下列命题中不正确的是（）

A ．()()A

B A B f x f x ??≤，任意x X ∈；

B ．()()1X A A f x f x =-，任意x X ∈；

C ．()()()A B A B f x f x f x =∩，任意x X ∈；

D ．()()()A B A B f x f x f x =+∪，任意x X ∈．

7．如果一个函数()f x 在其定义域内对任意x 、y 一都满足()(

)22f x f y x y f ++??

???

≤，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1) ()2x f x =；(2) ()3

f x x = ；(3) ()()2lo

g 0f x x x =>；（4）

(),0,

2,0

x x f x x x ?

??≥，下凸函数有（） A ．(1)、(2)； B ．(2)、(3)； C ．(3)、(4)； D ．(1)、(4) ．

8．若实数x 满足对任意正数0a >，均有2

1x a <+，则x 的取值范围是（）

A ．()1,1-；

B ．[]1,1-；

C ．()

1,1a a -++； D ．不能确定．

9．设函数2

10x

y =的图像是曲线C ，曲线C 1和C 关于直线1x =对称，曲线C 2和C 1关于直线y x =对称，则C 2是下列哪个函数的图像？（）

A ．12lg y x =-；

B ．22lg y x =-；

C ．2lg 1y x =+；

D ．2lg 2y x =+．

10．下列曲线中哪一条拿住两端拉直后不打结？（）

11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（）

A ．2种；

B ．3种；

C ．4种；

D ．5种．

12．一个菱形的边长与其内切圆的直径之比为():11k k >，则这个菱形的一个小于2π

的内角等于（）

A ．(2arctan 1k k -；

B ．21k -

C ．2

k k --； D ．2

k -

13．设a 、b 是实常数，则二元一次方程组1,

2ax by x y a b +=??-=--?

无解的充分必要条件是（）

A ．20a b +=且1a ≠±；

B ．20a b +=且1a b +≠-；

C ．1,2a b ==-或1,2a b =-=；

D ．20a b +=．

14．已知关于x 的方程2

3sin 2cos 2

x a +=在区间()0,2π内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是（）

A ．()1,3-；

B ．()1,2-∪()2,3；

C ．[]1,3-；

D ．[)1,2-∪(]2,3．

15．设{}0,1,2,,9X =???，定义X 上的运算⊕如下：刘任意,m n X ∈，m n ⊕等于m n +除以10的余数，给定初值0x X ∈，记100n n n =⊕，10,1k k n n n k -=⊕=，2，3，…，则使得数列{}k n 取遍X 中所有元素的初值0n 的集合是（）

A ．?；

B ．X ；

C ．{}1,3,9；

D ．{}1,3,7,9．

16．“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[],a b 内就可以了．”这句话的意思是（）

A ．如果()0f x ≥，那么x [],a b ；

B ．如果x ∈[],a b ，那么()0f x <；

C ．如果x

[],a b ，那么()0f x ≥； D ．前面三个解释都不正确．

17．实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密．那么“R 中的集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是（）

A ．任意非空开区间都不含X 中的点；

B ．存在非空开区间不含有X 中的点；

C ．任意非空开区间都含有X 的补集中的点；

D ．存在非空开区间含有X 的补集中的点． 18．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为1

，现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（）

A ．

3964； B ．2564； C ．3164

； D ．2964．

19．设有1n +个不同颜色的球，放人n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有

（）

A ．()1!n +种；

B ．()1!n n +种；

C ．

()11!2n +种； D ． ()1

n n +!种． 20．设X 是含()2n n >个元素的集合，A 、B 是X 中的两个互不相交的子集，分别含有m 、

k ()1,1,m k m k n +≥≥≤个元素，则X 中既不包含A 也不包含B 的子集的个数是（） A ．222n m n k n m k ----+-； B ．2n m k --；

C ．2222n n m n k n m k ------+；

D ．12222n n m n k n m k +------+．

21．已知三菱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =，在AB 上取一点P ，设11PA C ?与底面所成的二面角为α，11PB C ?与底面所成的二面角为β，则()tan αβ+的最小值是（）

A ．33-

； B ．63-； C ．83-； D ．53

-． 22．半径为R 的球内部装有4个半径都为

r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是（）

A ．

323

R +； B ．

636

R +； C ．

13R +； D ．5

R +．

23．已知平面上三条直线220x y -+=，20x -=，0x ky +=如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k 可能的取值情况是（）

A ．只有唯一值；

B ．可取两个不同值；

C ．可取三个不同值；

D ．可取无穷多个值．

24．设ABC ?三条边之比::3:2:4AB BC CA =，已知顶点A(0，0)，B(a ，b )，则顶点C 的坐标一定

是（）

A ．715715,6666a b b a ??±

? ???； B ．7157

15,8888a b b a ??

± ? ???； C ．7157

15,66a b b a ??± ? ??

?； D ．715715,8

8a b b a ??± ? ???

． 25．设实数0abc ≠，

bc a ，ca b

，ab

c 等成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）

A ．b ac ≤；

B ．2b ac ≥；

C ．222a b c ≤≤；

D ．2

a b

b +≤

． 26．已知()()2

tan cot 100x x θθθπ-++=<<，且满足3

n x x x

+++???++???=

，则θ的值是（）

A ．

66ππ

； B ．

,63ππ； C ．2,33ππ； D ．25,,,3366

ππππ

． 27．设0a >，则极坐标方程()()1cos 0a ρθθπ=-≤≤所表示的曲线的大致图像是（）

28．设数列{}n a 、{}n b 满足1,n n n b a a n -=-=l ，2，3，…，如果010,1a a ==，且{}n b 是公比为2的等比数列，12n n S a a a =++???+，那么lim

n n

S a →∞=（）

A ．0；

B ．1

； C ．1； D ．2．

29．复平面上的点012z i =+关于直线:22l z i z --=的对称点的复数表示是（）

A ．i -；

B ．1i -；

C ．1i +；

D ．i ．

30．设实数1r >，如果复平面上的动点z 满足z r =，则动点1

z z

ω=+的轨迹是（）

A ．焦距为4的椭圆；

B ．焦距为4r 的椭圆；

C ．焦距为2的椭圆；

D ．焦距为2

的椭圆．

31．给定一组向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，()123,,c c c c =，如果存在不全为零的实数1k 、2k 、

3k ，使得1230k a k b k c ++=，则称向量组a 、b 、c 是线性相关的．下面各组向量中，哪一组向量a 、

b 、

c 是线性相关的？（）

A ．()()()1,2,1,1,3,2,3,1,0a b c ==-=；

B ．()()()1,2,1,1,3,2,0,1,1a b c ==-=-；

C ．()()()1,2,0,1,3,2,0,1,1a b c ==-=-；

D ．()()()1,2,1,1,0,2,0,1,1a b c ==-=-．

32．设向量()cos cos ,cos sin ,sin x θ?θ?θ=，cos sin

y θψθψθ?

=??

，其中

θ≤≤

，如果x y =，那么向量x 和y 的夹角的最大值是（）

A ．2π；

B ．3π；

C ．23π；

D ．6

．

2009年名牌大学自主招生考试试题(1)详解

适用高校：复旦大学

选择题（每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．[答案]D

[解答]因为函数()()01x f x a a =<<在R 上单调递减，()()1m g x x m =>在R +

上单调递增，且

1,01x y a b >><<<，所以x y y a a b <<，选(D) ．

[评注]此题也可以用指数函数图像或特殊值法来解决． 2．[答案] A ． [解答]当1x >时，12

111x y x x

=-++在()1,+∞单调递增，而()f x 在()1,+∞上单调递减，由复合函数的单调性，知01a <<．理由()f x 为奇函数及复合函数的单调性，选(A) ． 3．[答案]A ．

[解答]依题意，不等式2

10ax bx ++<对一切x ∈R 恒成市，所以220,

4040

a b a b a

解，选(A)． 4．[答案]B ．

[解答]若集合(4)与X 相等，在集合(4)中，而不属于X ，与集合(4)的定义矛盾．集合(1)、(2)、(3)均与X 相等． 5．[答案]A ．

[解答]∵)

4222log log log log x y z ++=，又∵12xyz y z =++≥，

8≤，故)

2log 3≤．

6．[答案]D ．

[解答](D)不正确，当A ∩B ≠?时，取x ∈A ∩B ，则()1A B f x ?=，而()()2A B f x f x +=．等式不成立．

7．[答案]D

[提示]用下凸函数的图像下凸性． 8．[答案]H

[解答]依题意知，2

1,11x x -≤≤≤，选(B)． 9．[答案]B

[解答]曲线C 1的方程是12

x y -=，C 2与C 1为反函数，选(B)．

10．[答案]C ．

[评注]此题考查学生的空间想象能力．

[解答]正()3n n ≥边形的一个内角()2n n

θ-=

，若用同样大小的一种正多边形可以平铺整个平面

(没有重叠)，则存在k N *

∈，使2k θπ=，即24

222

n k n n ==+

--，其中使得k 为正整数的n 只有3、4、6 三个值，选(B)． 12．[答案]D ．

[解答]设θ是菱形的一个小于2

的内角，菱形的内切圆半径为r ，边长为a ，则菱形的高2h r =，所以1

sin h a k

θ=

=，选(D)． 13．[答案]A ．

[解答]由题意知这两个方程表示的两条直线平行，所以1

2b a a b

=≠

---，选(A) ． 14．[答案]B ．

[解答]依题意知方程1sin 62

a x π-??

= ??

?在()0,2π上有两个不同的解，所以 111,211.22

a a -?

[解答]要使0n 满足题意，其实只需0n 与10互质即可，选(D)． 16．[答案]C ．

[解答]原话意味着当x 在区间[],a b 内时，()f x ≥0也有可能成立，选(C)． 17．[答案] B ．

[解答]“任意”的否定是“存在”． 18．[答案] A

[解答] 一次分裂后，两个细胞全死了的概率是

；一次分裂后，两个细胞有一个存活，但两次分裂后全死了的概率为18

；一次分裂后，两个细胞全部存活，但两次分裂后全死了的概率为164

；所以两次分裂后还有细胞存活的概率是111391486464

---=． 19．[答案]D

[解答]()2

!1!2

n C n n n +=

+种．

[解答]用容斥原理．包含A 的子集有2n m -个，包含B 的子集有2n k -个，既包含A 又包含B 的子集有

2n m k --，所以既不包含A 也不包含B 的子集的个数有2222n n m n k n m k ------+个．

21．[答案]C

[解答]如图，过点P 作PQ ⊥A 1B 1，交A 1B 1于点O ，则PQ ⊥面A 1B 1C 1，过Q 作QE ⊥A 1C 1，交A 1C 1于点E ，作QF ⊥B 1C 1，交B 1C 1于点F ．

由二面角的平面角的定义，知,PEQ PFQ αβ∠=∠=

设,QE x QF y ==，则311,tan ,tan x y x y

αβ+=

==．所以()83tan 113

x y xy αβ++=-

-≥． 22．[答案] B

[解答]当四个小球互相外切，且都与大球内切时，小球半径r 最大，此时

r r R +=，所以r 的最大值为

636

R +．

23．[答案]C

[提示]依题意，这三条直线共点或其中有两条互相平行，分情况解得2,0,1k =--． 24．[答案]A

[解答]由余弦定理得7

cos 8

A =

，向量AB 所对应的复数为a bi +，向量AB 顺时针（或逆时针）旋转7arccos 8，且将模长变为原来的43倍可得到向量AC ，所以向量AC 对应复数()471538

a bi i ??+± ? ???，选(A) ．

25．[答案]D

[解答]依题意，()222222

22a c b a b ac b =+≥，所以2

22a c b ac ?+? ???

≤≤．

所以2

a c

b +≤

，选(D)． 26．[答案]B [解答]由

2312

x x =-，解得3x =-或33，又∵2

x <，∴33x =，

代人原方程tan cot θθ+=

tan 3θ=

(B)．

27．[答案]C ． [解答]特殊值法．取3

πθ=，

，π，经排除，选(C)． 28．[答案]D

[解答]12,21n n n n b a -==-，求和得1

22n n S n +=--，因此所求值为2．

29．[答案]D

[解答]由复数模的几何意义，知:20l x y +-=，点(1，2)关于直线l 的对称点是(0，1)，选(D)． 30．[答案]A

[解答]设()cos sin z r i θθ=+，(),w x yi x y R =+∈．

由1w z z =+ 得1cos ,1sin ,x r r y r r θθ???=+ ????

?????=- ?????，所以w 表示椭圆2222

111x y r r r r +=????+- ? ????

?，选(A)． 31．[答案]A

[解答]向量a 、b 、c 是线性相关的充分必要条件是它们的坐标行列式111

a b c 222

a b c 123

c c c 0=．

32．[答案]A [解答]∵1x =，∴1cos 13y =

=，解得6

θ=．

∴

()3cos ,x y ?φ?=-???，向量x 和y 的夹角的最大值为2

π．

复旦千分题

1.非洲一南一北两座山脉，分别是什么？ 2.2010年气候大会在墨西哥的哪个城市举行？ 3.中国古代说唱艺术有哪些形式？ 4.历史上两次经济大萧条开始的时间。 5.请选择以下哪些是鲁迅编辑过的杂志？ 6.朝韩问题是因为在哪个岛屿炮击引起的？ 7.刚玉的成分是什么？ 8.球形电容漏电后，电流产生的磁场方向是什么？ 9.大蒜是哪个省盛产的？ 10.装满水的容器做单摆运动，摆动周期如何变化。 11.屈原的作品有哪些？ 12.汽车防冻液的主要化学成分是什么？ 13.一根杆子上串了5颗珠子，珠子以任意速度移动，最多能撞上几次？ 14.“未谙姑食性，先遣小姑尝。”这句话里前一个“姑”是什么意思？ 15第一个命名氢元素的人是谁？ 16.“金子！黄黄的、发光的、宝贵的金子！……这东西，只这一点点儿，就可以使黑的变成白的，丑的变成美的，错的变成对的，卑贱变成尊贵，老人变成少年，懦夫变成勇士”，这句话出自莎士比亚的哪出戏剧？ 17.近代最出名的京派作家是谁？ 18.国人有不同方言，相互间无法听懂，但却使用同一种文字，即便操不同方言的人在阅读方面却没有障碍，这是为什么？ 19.列举陀思妥耶夫斯基的代表作。 20.政协委员有建议权、表决权还是投票权？

21.中国现在最主要的消耗能源是什么？ 22.有一个车站，车站只有一个出入口。有若干辆车进入并标有编号，进出规则依次为“进出进进出进进进……”请问最后出来的车辆编号情况？ 23.哪个选项列出的作品是鲁迅的子集或刊物？ 24.“蜡烛”、“乡里”、“多余”、“收获”等词的繁体字怎么写？ 25.半径为1的圆周上任意找出三个点构成三角形，出现锐角三角形的概率是多少？ 26.以下哪个选项中的文物出自敦煌莫高窟？ 27.陶瓷的主要结构和成分是什么？ 28.一定量的胆矾与水混合成饱和溶液，溶解度是多少？ 29.昼夜时间相等时，北京时间11时，此刻在上海看太阳是在哪个方向？ 30.减压蒸馏需要用以下哪种仪器？ 31.自主招生联盟之一“北约”由13所高校组成，关于这13所高校所处地理位置的描述哪些是正确的？（选项中有：都位于黑河腾冲东南面，都属于季风区；都属于湿润区……） 32.白鸟和褐色鸟杂交生出斑点鸟，那么斑点鸟和斑点鸟杂交的后代情况如何？ 33.治疗心绞痛药物的成分是什么？ 34.《达芬奇密码》是什么类型的小说，穿越，武侠，言情？ 35.2010世界经济论坛的主题是什么？ 36.拉美著名作家有哪些？ 37.世博园中一位游客的手表显示6点，当时北京时间是7点，这位游客来自哪个时区？ 38.减压蒸馏实验装置的控制变量是什么？ 39.现有十个成熟的卵细胞，和十个已获能的精子，能组成多少个合子？ 40.硼在自然界有两种同位数，质量数分别是10和11，质量比是1:4，质量数为11的相对原子质量是11.01，质量数为10的相对原子质量是多少。（硼的相对原子质量是10.81） 41.赛纶陶瓷主要成分的化学式是什么？

保送考试经验介绍

保送考试经验介绍（仅针对于竞赛类保送考试）作者：kenv07 目录一、保送流程。二、关于填报学校及校荐问题。 1、关于高校招生简章 2、关于纸质材料 3、关于竞赛歧视 4、关于校荐及初审三、保送考试方式及内容。四、如何准备保送考。 1、有关培训班 2、笔试备考 3、面试备考五、部分高校考试方式介绍。 1、清华大学、北京大学 2、中国科学技术大学 3、上海交通大学 4、复旦大学 5、浙江大学

6、南京大学 7、中国人民大学 8、同济大学六、作者建议。一、保送流程保送一般分为“阅读简章、填报学校、高校初审、参加考试、预录通知、确认录取（签订协议）”六个步骤。

高校的招收保送生简章会从每年的十一月中旬开始，陆续贴出。不同的学校可能因为考试时间早晚不同而在贴出简章的时间上有所差异。一般来说，大多高校会在年底前贴出。当高校的简章贴出后，若有意报考该高校，可按照简章上的要求，准备纸质材料、在高校的官方网站上进行网上报名。准备好材料（纸质、电子）后，在高校规定时间之前邮寄过去，等待初审通知。初审通过后，就在对应时间到高校指定的地点参加考试，部分学校会在成都设考点，大多学校需要到本校去考。当考试通过后，高校就会发放预录通知，一般是在官方网站上查询，部分学校会邮寄通知单。被预录后，若有意进入该高校学习，可按照要求签订协议。二、关于填报学校及校荐问题。 1、关于高校招生简章 “高考网”、“阳光高考”等网站上都会有保送简章的专栏。在高校的官网上也可以找到。每年的招生计划不同，部分学校每年的招生方案会有较大的变化，比如特别重视某科竞赛。 2、关于纸质材料各个学校对于纸质材料的要求有所差异，但一般会包括：获奖证书复印件、报名表（在高校官网上下载打印）、自荐书、校荐信。报名表上会要求贴标准照。部分学校要求寄送全身彩色照。

第十六讲2010复旦千分考数学试题

O y x O x 1、设函数y=f(x)=ex+1 （A ） C D 2、设f(x)是区间[,]a b 上的函数，如果对任意满足a≤x＜y≤b 的x ，y 都有f(x)≤f(y)，则称f(x)是[a,b]上的递增函数，那么，f(x)是[a,b]上的非递增函数应满足_________ A ．存在满足xf(y)； B ．不存在x,y ∈[a,b]满足xf(y); D ．存在满足x

13、设集合X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x ?x 0|