北京四中初二分式及其性质

分式及其性质

编稿：龚剑钧审稿：李岩责编:高伟

知识要点梳理

要点一：分式的概念

定义

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.

分式有意义

分式的分母不为0.

分式的值为0

分式的分母不为0且分子等于0.

要点二：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

即.

要点三：分式的变形

变符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变.

通分

利用分式的基本性质，不改变分式的值，把两个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分.

约分

利用分式的基本性质：不改变分式的值约去分式的分子和分母的公因式，使分式最简洁，这样的分式变形称为约分.

显然约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行这种变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.

最简公分母

取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，称为最简公分母.

经典例题精析

类型一：分式的概念

分式定义

1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

，，，，

思路点拨：区别整式和分式的关键是看分母中是否会含有字母.特别地，是常数.

解析：整式有：，

分式有：，，

分式有意义

2 为何值时，下列分式有意义

（1）（2）（3）（4）

思路点拨：分式有意义就是在分式分母不等于0的条件下，求字母的取值.

解析：（1）∵∴

（2）∵∴

（3）∵∴为任何数

（4）∵∴且

分式的值为0

3为何值时，下列分式的值是零.

（1）（2）（3）（4）

思路点拨：分式的值为0，需满足两个条件：

①分式的分母不等于0 ，②分式的分子等于0，且二者缺一不可.

解析：（1）∵∴

（2）∵∴

（3）∵∴

（4）∵∴

类型二：分式的基本性质

4不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项的系数化为整数.

(1)(2)(3)(4)

思路点拨：（1）利用分式的基本性质.

（2）分子、分母同乘以各系数分母的最小公倍数.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

(4)原式

类型三：分式的变形

变符号法则

5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号.

(1)(2)(3)(4)

思路点拨：在，，中，三者变其一的符号，结果为原分式的相反数，三者变其二的符号，结果与原分式相等.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

(4)原式

6 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数.

(1)(2)(3)

思路点拨：用变符号法则时，若分子、分母为多项式时，则它们的符号指的是多项式的符号.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

总结升华：(1)根据分式的意义，分数线代表除号，又起着括号的作用.

(2)一般地，分子、分母为多项式时，要按降幂排列.

通分

7 把下列各组分式通分：

(1)，，

(2)，,

思路点拨：先确定最简公分母，再利用分式的基本性质化为同分母.

解析：(1)最简公分母为

(2)最简公分母是

约分

8 化简下列分式：

(1)(2)(3)(4)

思路点拨：先对分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，对分式进行约分.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

(4)原式

类型四：综合应用

9 已知分式，当时值为0，时无意义，求、.

解析：∵时，分式无意义

∴∴

∵时分式的值为0

∴∴

∴，

10．不改变分式的值，把分式中分子和分母的多项式各项系数化为整数且使最高次项系数为正.

解析：原式

11．(1)已知，求的值.

(2)已知，求的值.

(3)已知，求的值.

思路点拨：此类题的解法：一种是由已知条件变形，通过代入来求分式的值；另一种根据分式的基本性质对所求的分式作变形，再把已知条件整体代入，从而求出分式的值.

解析：(1)原式

∵，即

∴原式=

另解：∵∴即

∴原式

(2)∵∴

∴原式

(3)∵∴，即

∴原式

12．某文具专柜以每支(为整数)元的价格购进一批笔，决定每支加价2元销售。结帐时，售货员发现这批笔的销售总额为元.根据以上信息求出：

(1)文具专柜共购进了多少支笔？

(2)每支笔的进价是多少元？

思路点拨：由于购进的笔支，且是整数，这是解题的关键.

解析：设文具专柜共购进支笔，则有：

∵且为整数，为整数

∴是7的约数

∴或

∴或(舍)

∴时

答：文具专柜共购进400支笔，每支进价5元.

1分式及分式的基本性质练习题.doc

分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1 ．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0?中，是分式的有 ___ __；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2 ．下列分式，当 x 取何值时有意义． （2） 3 x 2 （ 1） 2x 1 ； ． 3x 2 2x 3 3 ．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） 2 C ． 3x 1 A ． 1 B ． x D ． x 1 2x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 4 ．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 5 ．当 x _______时，分式 x 1 的值为零． x 2 x 2 6 ．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1 的条件的应用 7 ．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8 ．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． 2 x 4 9 ．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3 x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______时，分式 4 的值为负． x 5 2 x 1 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） m 2 1 B ． m 2 1 C ． m 1 D ． m 2 1 A ． 2 1 m 1 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x| 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2 ） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3 x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用

分式的概念及基本性质分式的运算

分式的概念及基本性质-分式的运算

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?

分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零

2019北京四中初二(上)期中英语含答案

. 2019北京四中初二（上）期中 英语 听力理解 听对话，从下面各题所给的A、B、C三幅图片中选择与对话内容相符的图片。每段对话读两遍。 1A. B. C. 2. A. B. C. 3. A. B. C. 4. A. B. C. 5. A. B. C. 听对话或独白，根据对话或独白的内容，从下面各题所给的A、B、C三个选项中选择最佳选项。每段对话或独白读两遍。 请听一段对话，完成第6至第7小题。 6. What are they going to do? A. Go to a movie. B. Go shopping. C. Play games. 7. What time are they going to meet? A. At 7:00. B. At 7:10. C. At 7:30.

请听一段对话，完成第8至第9小题。 8. What was the woman's grandfather s job? A. A doctor. B. A driver. C. A fireman. 9. What does the man want to do? A. Visit the woman. B. Work in a children's hospital. C. Meet the woman' s grandfather. 请听一段对话，完成第10至第11小题。 10. Where does this conversation probably take place? A. At a bus stop. B. In a train station. C. At an airport. 11. What's the woman doing? A. Making a telephone call. B. Asking the way. C. Shopping. 请听一段对话，完成第12至第13小题。 12. What does the woman want to know about Jerry? A. His learning story. B. His life experience. C. His interest in music. 13. What do you know about Jerry? A. He had all kinds of CDs. B. He was a famous movie star. C. English learning was fun for him. 请听一段独白，完成第14至第15小题。 14. When did the family visit the Design Museum? A. On Friday. B. On Saturday. C. On Thursday. 15. What is the speaker mainly talking about? A. Amazing attractions in London. B. A four-day trip to London. C. A dream about London.

分式的基本性质含答案

分式的基本性质 第2课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1） 8 12 =________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 （? ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（技能题）约分： （1） 2 2 69 9 x x x ++ - ；（2） 2 2 32 m m m m -+ - ．

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

北京四中初二分式及其性质

分式及其性质 编稿：龚剑钧审稿：李岩责编:高伟 知识要点梳理 要点一：分式的概念 定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式. 分式有意义 分式的分母不为0. 分式的值为0 分式的分母不为0且分子等于0. 要点二：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即. 要点三：分式的变形 变符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变. 通分 利用分式的基本性质，不改变分式的值，把两个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分. 约分 利用分式的基本性质：不改变分式的值约去分式的分子和分母的公因式，使分式最简洁，这样的分式变形称为约分. 显然约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行这种变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.

最简公分母 取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，称为最简公分母. 经典例题精析 类型一：分式的概念 分式定义 1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，， 思路点拨：区别整式和分式的关键是看分母中是否会含有字母.特别地，是常数. 解析：整式有：， 分式有：，， 分式有意义 2 为何值时，下列分式有意义 （1）（2）（3）（4） 思路点拨：分式有意义就是在分式分母不等于0的条件下，求字母的取值. 解析：（1）∵∴ （2）∵∴ （3）∵∴为任何数 （4）∵∴且 分式的值为0 3为何值时，下列分式的值是零.

（1）（2）（3）（4） 思路点拨：分式的值为0，需满足两个条件： ①分式的分母不等于0 ，②分式的分子等于0，且二者缺一不可. 解析：（1）∵∴ （2）∵∴ （3）∵∴ （4）∵∴ 类型二：分式的基本性质 4不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项的系数化为整数. (1)(2)(3)(4) 思路点拨：（1）利用分式的基本性质. （2）分子、分母同乘以各系数分母的最小公倍数. 解析：(1)原式 (2)原式 (3)原式

(完整)分式的基本性质练习题及答案.1.2分式的基本性质练习(含答案),推荐文档

16.1.2分式的基本性质 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1）=________；（2）=_______；（3）81212545 =________．2613 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1），，； （2），，．1223141549715 4．分式的基本性质为：______________________________________________________． 用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应115101139 x y x y -+乘以（ ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 6．（探究题）下列等式：① =-;②=;③=-;()a b c --a b c -x y x -+-x y x -a b c -+a b c +④=-中,成立的是（ ）m n m --m n m - A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 7．（探究题）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，2323523 x x x x -+-+-正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．2332523x x x x +++-2332523x x x x -++-2332523x x x x +--+2332523x x x x ---+题型2：分式的约分

8．（辨析题）分式，，，中是最简分式的有（ 434y x a +2411x x --22x xy y x y -++2 2 22a ab ab b +-） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．（技能题）约分： （1）； （2）．22699x x x ++-2232m m m m -+-题型3：分式的通分 10．（技能题）通分： （1），； （2），．26x ab 29y a bc 2121a a a -++261a -课后系统练 基础能力题11．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）a a b -- A ． B ． C ．- D ．a a b --a a b +a a b -a a b +12．下列各式中，正确的是（ ） A ．=; B ．=; C ．=; D ．=x y x y -+--x y x y -+x y x y -+-x y x y ---x y x y -+--x y x y +-x y x y -+-x y x y -+13．下列各式中，正确的是（ ）

八年级数学下册 分式及其基本性质(第1课时)教案华东师大版

分式及其基本性质(1) 知识技能目标 1.使学生理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，分清分式和整式的区别，了解有理式的概念； 2.理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法； 3.使学生理解分式的基本性质．通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题． 过程性目标 1.让学生在判断和识别整式与分式的实践过程中，理解并掌握分式的概念． 2.让学生体会从分数变化到分式的运动过程，从中感悟类比的思想方法． 情感态度目标 通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思维能力． 重点和难点 重点：分式的概念． 难点：一个代数式不是不分式的判断． 教学过程 一、创设情境 做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米； (2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米； (3)已知正方形的周长是a cm，则一边的长是____cm，面积是____cm2； (4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是元． 想一想 两个数相除，不能整除时结果可用分数表示．当两个整式不能整除时，它们的商怎样表示呢？ 二、探究归纳 1.分式的概念 问在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？ 同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．

其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)． 从分式的意义中，应注意以下三点： (1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用； (2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母； (3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式就无意义． 整式和分式统称为有理式(rational expression)，即 分式是有理式的一部分．在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算， 但在整式中除式不能含有字母． 例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)． 想一想识别一个有理式是分式还是整式的关键是什么？ 关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关． 2.分式的基本性质 回忆分数的基本性质是什么？ 分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变． 分式和分数也有类似的性质． 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 想一想分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？ 在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数 的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的 分子与分母则是都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的 值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的． 从分数到分式是把“数”引伸到“式”．分数是分式的特殊情形，即当分式的分子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就成为分数． 三、实践应用 例2当x取什么值时，下列分式有意义？ 分析分式有意义的条件是分母的值不能等于零，从此条件出发可以考虑分式何时无意义，从而确定x的值． 解(1)当分式的分母x-2＝0时，这个分式无意义，

新苏科版八年级数学下册《分式的基本性质》题及答案解析.docx

（新课标）苏科版八年级下册 10.2 分式的基本性质 一．选择题 1．化简的结果是（） A．﹣1 B．1 C．D． 2．下列分式中，最简分式是（） A．B． C．D． 3．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍 4．下列分式运算中正确的是（） A．B． C．D． 5．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（） A．B．C．D．

二．填空题 6．若，则= ． 7．化简= ． 8．约分= ． 9．分式，﹣，的最简公分母是． 10．若，则的值是． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：==1﹣； 再如：===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；

（2）假分式可化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为．12．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有个． 三．解答题 13．约分： （1）； （2）； （3）?． 14．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值①等于0？②小于0？

分式及分式的基本性质

分式及分式的基本性质 一. 选择题 1. 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数有( ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2. 要使分式 1 (1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足（ ）≠-1 ≠2 ≠±1 ≠-1且x ≠2 3. 下列约分正确的是（ ） A 、3 26x x x =； B 、 0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2 14222=y x xy 4. 化简2 293m m m --的结果是（ ） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 5. 下列分式中,最简分式是 （ ） A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 6. 对分式 2y x ，23x y ，14xy 通分时， 最简公分母是（ ）A ． B ． Ｃ． Ｄ． 7. 下列式子（1） y x y x y x -=--12 2；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+- 中正确个数有 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 8. 分式 1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若3 1 ≠a 时,分式的值为零 9. 如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤x B.21x 10. 若分式1 1 22+-a a 有意义，则（ ）。Ａ、ａ≠１ Ｂ、ａ≠－１ Ｃ、ａ≠±１ Ｄ、ａ为任何数 11. 对于分式 1 1 -x ，永远成立的是（ ） A ． 1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3 111--=-x x 12. 下列各分式正确的是( ) A.22a b a b = B. b a b a b a +=++22 C. a a a a -=-+-11122 D. x x xy y x 21 68432 =--

2018北京四中初二(上)期末物理试题及答案

2018北京四中初二（上）期末 物理 一、单选题：(每题2分，共30 分) 1．压力和压强的国际单位分别是： A．千克、帕斯卡B．牛顿、帕斯卡 C．帕斯卡、牛顿D．牛顿、千克 2．如图1所示，下列图中能说明力改变物体运动状态的是： 图1 A．A 和B B．A 和C C．A 和D D．B 和D 3．如图2所示的几张有关摩擦的图片中，属于有害摩擦的是： A．机器运行时，轴和钢圈之间的摩擦 B．人写字时，笔和纸之间的摩擦 C．人跑步时，鞋底和地面间的摩擦 D．点燃火柴时，火柴头和火柴盒间的摩擦 图2 4．如图3所示的四种情景中，属于增大压强的情况是：

5．下列关于力的说法正确的是： A．人推车，人对车有作用力，但车对人没有作用力 B．力产生时一定同时存在施力物体和受力物体 C．力是维持物体运动的原因 D．两个力的三要素完全相同，这两个力一定是平衡力 6．下列各种情况中，一定能使物体运动状态发生改变的是： A．物体没有受到摩擦力的作用 B．物体受到重力和浮力的作用 C．物体受到力的作用但合力为零 D．物体只受到地球的吸引力 7．将图4所示装置的左端接到水流稳定的自来水管上，当水在玻璃管A、B 中流动时：A．水在流速小的地方产生的压强较小 B．水在流速大的地方产生的压强较大 C．水在A处的流速大于水在B处的流速 D．a 管中的液面比b管中的高，说明A处的液体压强比B处的大 图4 8．水平桌面上，物体在水平力F 作用下向右运动，当它离开桌面时，假如所受的一切外 力同时消失，那么它将： A．沿竖直方向下落 B．沿水平方向向右做匀速直线运动 C．做曲线运动 D．无法确定运动情况 9．将一均匀的长方体砖块放在水平桌面上，如图 5 所示，若沿虚线切开后，拿走右侧部分，则剩余部分的密度、对桌面的压力和压强是： A．密度、压力、压强均减小B．密度、压强不变，压力减小 C．密度不变，压力及压强均减小D．密度、压力、压强均不变 图5 10．容器中的水面上漂浮着一块冰，冰完全熔化后，容器中的水面高度将： A．不变B．下降 C．上升D．条件不足，无法确定 11．有两根完全相同的玻璃试管A和B，管内装质量相同的不同种液体，两管内液体的上表面 在同一水平线上，如图6所示，若A管底部所受的液体压强为p1，B 管底部所受的液体压强为 p2，则有： A．p1＜p2 B．p1＝p2 C．p1＞p2 D．无法判断图6

分式的基本性质练习(含答案)

16.1.2分式的基本性质 第2课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1） 8 12 =________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以 （? ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（技能题）约分： （1） 2 2 69 9 x x x ++ - ；（2） 2 2 32 m m m m -+ - ．

分式的概念和性质(基础)知识讲解

分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则

北京四中初二暑假开学数学测试卷

四中初二暑假开学数学测试试卷 （考试时间为90分钟，试卷满分为100分） 班级___________学号_________ ___________分数__________ 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1、点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，已知PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距 离是（） A. 5cm B. 2cm C. 小于2cm D．不大于2cm 2、下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3、已知a＜b，则下列不等式中不正确的是( ) A．4a＜4b B．a+4＜b+4 C．－4a＜－4b D．a－4＜b－4 4、如图ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＣ，图中与∠ＣＡＢ互余的角共有( ) A.１个 B.２个 C.３个 D.４个 5、下列命题中，真命题是( ) A．两点之间，直线最短； B．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行； C．与已知直线垂直的直线有且只有一条； D．在平面过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 6、已知点P(a+b，ab)在第二象限，则点Q(a，b)在（） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

7、等腰三角形中，有两条边的长分别是3cm和7cm，第三边的长是( ) A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．10cm 8、分解因式的结果为（） A．B． C. D. 9、如图所示，下列推理不正确的是( ) A．若∠1=∠C，则AE∥CD B．若∠2=∠BAE，则AB∥DE C．若∠B+∠BAD=180°，则AD∥BC D．若∠C+∠ADC=180°，则AE∥CD 10、若关于x的一元一次不等式（1-m）x ＞ m-1的解集是x＜-1，则m的取值围是（） A．m≤1 B. m＜1 C. m＞1 D. m≥1 二、填空题：（每小题2分，共20分） 11、分解因式：=___________. 12、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A =30°，BD是∠ABC的平分线，则∠BDC=___________. 13、已知点M在第四象限，且点M到x轴、y轴的距离分别为2和3，则点M的坐标为_______________. 14、为了估计湖里有多少条鱼，先捕了100条鱼做好记号，然后放回湖里，过了一段时间待带有标记的 鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现带有记号的鱼只有2条，则湖里鱼的条数大约

分式的基本性质及运算复习讲义

分式的基本性质及运算复习 班级 姓名 一、知识梳理 1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B 叫做 。 2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。 3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。 4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。 5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。 6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。 7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ； 异分母的分式相加减，先 ， 再 。 8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。 9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。 二、基础练习 1、下列各式中，2 4,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。 2、当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式3 2-x x 无意义； 当x 时，分式3 92--x x 的值为零。 3、填空：（1）b a a b b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）222)(xy y xy = ； （4）21()a a a c ++= ； （5）()n mn m m =+2 ； （6）()()222x y x y x y +=≠-； 4、若分式12 32 -a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。 5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。

分式(1)(分式概念、基本性质)

分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ；

北京四中初二全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短 编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟 经典例题透析 类型一：由角平分线想到构造全等 不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的． 1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长． 图1 图 2 解析：由题意得 △BFE≌△DFE，∴BE=DE， 在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8， 过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，∴△EDG≌△AGD，∴GE=AD=2， 在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE， ∴Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=CE，∴，∴BE=5． 2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证： 图3图 4

解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D， 则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C ∴AD=BD=BC 作BM⊥AC于M，则CM=DM． 3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD 图5图6 解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形． ∴DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理 ，， ∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH ， ∴DE＞BD， 即AC＞BD. 4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．

培优专题6分式的概念、分式的基本性质含答案资料全

6、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M“不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1.已知a，b为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a，b应满足的条件是（） A.a≥0，b≠0 C.a≥0，b>0分析：首先考虑分母 B.a≤0，b<0 D.a≥0，b>0，或a≤0，b<0 b≠0，但a可以等于0，由a≥0，得a≥0，b>0，或 b a≤0，b<0，故选择D。 例2.当x为何值时，分式|x|-5 x+5 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。解：由题意得，得|x|-5=0，x=±5，而当x=-5时，分母x+5的值为零。 ∴当x=5时，分式|x|-5 x+5的值为零。 例3.已知112a-3ab-2b -=3，求 a b a-2ab-b 的值（） 129 235 A. B. C. D.4

-=3，∴-=-3，将分式的分母和分子都除以a b，得 --3 例4.已知x-2y=0，求的值。 11 =-y =- 1 分析：Θ1111 a b b a 22 2a-3ab-2b b a2?(-3)-39 ===，故选择C。a-2ab-b-3-25 --2 b a x2-3xy+y2 2x2+xy-3y2 分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。 解：Θx-2y=0∴x=2y (2y)2-3?2y2+y2 ∴原式= 2?(2y2)+2y2-3y2 2 7y27 例5.已知：x2-x-1=0，求x4+1 x4的值。 解一：由x2-x-1=0得x≠0，等式两边同除以x得：x-1-1=0，即x-1=1 x x x4+1=x4+1-2+2 x4x4 111 =(x2-)2+2=[(x-)(x+)]2+2 x x x 11 =(x-)2(x2+ x x2 +2)+2 11 =(x-)2[(x-)2+4]+2 x x =5+2=7 解二：由已知得：x-11 =1，两边平方得：x2+ x x2 =3 两边平方得：x4+1 x4=7

分式的基本概念及性质

分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质