逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌
4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射
我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：
i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)
i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，
以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2
i N o N o
i
i N N x =
，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ?=+
即为：
)1(1i i i x x x ?=+λ （4-2）
其中：]4,0[],
1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌
借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。 （一）迭代过程
迭代过程可以用图解来表示。图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。45o线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。由点
)0,(0x R ),(10x x A 1x
),(10x x A 作水平直线，求它与45o线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物
线的交点，这样就得到了。仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。终态集的情况与控制参数λ有很大关系。增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
（二）终态性质
①当31<<γ时，迭代结果的归宿是一个确定值，趋于一个不动点，即抛物线与45o线的交点，这相当于系统处于一个稳定态，如图4-2(a)所示。此值与λ有关，且与λ值有一一对应关系。当4.2=λ时，12/711==+i x x 。迭代的结果为一个不动点的情况，其周期为1，这表示从出发，迭代一次就回到。
i x i x ②当449.33<<γ时，迭代的终态在一个正方形上循环，亦即在两个值之间往复跳跃，与一个i x λ值对应将有两个值，即其归宿轮流取两个值，如图4-2(b)所示。当i x 2.3=λ时，此值为i i x x =?+2,7995.05130.0周期为2，表示从出发，迭代二次后回到。所以，从图3-12(a)到3-12(b)中间发生了一个倍周期分岔，一个稳定态分裂成为两
i x i x
图4-2 叠代过程
种状态，而系统便在两个交替变动的值间来回振荡。
③当544.3449.3<<λ时，最终在四个值之间循环跳跃，如图4-2(c)所示。
+4，即终态集是个四周期解，表示从出发，迭代四次后回到。所以，从图4-2(b)
到3-12(c)，中间又发生了一个倍周期分岔，两种状态分裂成四种状态，而系统便在四个交
i x i i x x i x i x =
替变动的值间来回振荡。当5.3=λ时，四个值为
④当
4
569.3
<<λ，周期变为，最后归宿可取无穷多的各种不同值，即出现混沌象。图4-2(d)表示∞0.4=λ现时的具体迭代过程，此时系统已进入混沌，没有稳定的周期轨道，相点几乎可以通过相空间中的任何一点。 图4-2 叠代过程
、分岔图
由于逻辑斯谛映射的计算非常简单，因而人们对它进入混沌区的过程研究得非常细致。计算表明，第一次分岔开始发生在
三3=λ的地方，其后发生一个无穷系列的倍周期分岔，再次开始分岔的参数值为3.449, 3.544, 3.564, …间隔越来越小，到, 其间了极限值
569.3=λ的地方进入混沌区（见
图4-3）。在λ从3.569到4的参数范围内，情况是极为复杂的，这里基本上是混沌区。但
在其中有无穷多个稳定的周期解的“窗口”，窗口里又有无情况可以图4-4中看出来。此图反映的是逻辑斯谛映射穷多个倍周期分岔系列，这些的终态集随参数λ变化的情况，它 叫做映射的分岔图。
4-3 鲍姆数
978年美国物理学家费根鲍姆（Feigenbaum ）发现若用
图4-4 映射的分岔图。
费根1了有关倍周期分岔系列的一些性质。m λ代表第m 次分岔出现的λ值，则相继分岔的间距之比趋于一个常数，即有 6692.4lim lim
1
11
==????+∞→+?∞→δλλλλm m m m m m m m
(4-3)
上式表明，随着λ的增加，两相邻分岔的间距L 21,??越来越小（见图4-5），倍周期的来临越来越快，这一几何级数的收敛的，92，越到后来越精确。纵轴方向的分岔宽度收敛的比率4.66L ,,21εε渐进地按照因子5029.2=α衰减，即
5029.2/lim 1==+∞
→m m m εεα
(4-4)
也就是说，前一次的分岔宽度大约是下一次的分岔宽度的2.5029倍，越到后来越精确。整个系统的运行在越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构，由大到小的自相似的缩不比率就是一个普适的费根鲍姆数。表4-1清楚地表明迭代系统)1(i i i x x x ?=λ的周期倍增分岔现象中分岔间距比值1+?
表4-1 分岔间距比值的变化情况
m 分岔情况 分岔值m λ
间距比值1/+??m m 1 2 1分为2 2分为4 为64
周期解→ 3
3.449 4899 743 9 691 610
4.751 466 4.668 74 .669 1
4.669 201 609
3 4 5 6
4分为8 8分为16 16分为32 32分 3.544 090 359 3.564 407 266 3.568 759 420 3.56 4.656 251 4.668 242 4M ∞
M
混沌
3.569 945 972
M M
由此表沌是有不是混乱这：“混沌非周期的有序性”，“混沌是确定性的非周期流”。这就是说，混沌并不是简单的有序态，而是一种没有确期性和性的有特别值意的是明混规律的，的。所以有人又样定义混沌是或定周明显对称序态。
得注，常数δ和α并不限于这类映射，对不同的非线性系统，例如正弦映射in(1i i x x )s πλ=+1i x ，
指数映射1(exp[i x x ?)]=+λ，得到δ值和α值都精确地相同。可见，非线代系统可以很遵循同向混沌。这反映出沿倍周期分岔系列通向混沌的道路中具有的某种普适性。
不仅是上述映射较简单的数学模型具有这种普适性，在某些真实的物理实验中也具有这种普适性。年ab 为精致，也在其中发出 分别按因子性迭的本身结构不相同，但却样的方式走1977利布沙伯（Libch er ）做了一个极的液氦对流实验了倍周期分岔系列，验算了倍周期分岔的实验数据，所得结果和费根鲍姆数比较接近。据单摆实验的倍周期分岔序列算出的结果和费根鲍姆数比较，其差值也在计算误差范围内。
费根鲍姆数反映出通向混沌道路中的有序性，它揭示出周期倍增分岔时分岔间距和分岔宽度αδ和衰减的规律，依据费根鲍姆数可以预料参数值为多少时发生2, 4, 8等等的售周期分岔。随着控制参数λ的增大，当λ达到∞λ时，周期倍增分岔导致“稳定的”∞
2周期解。注意∞=∞
2，而周期无穷大就等于没有周期，所以系统从此就进入了混
沌状态。
八种常用逻辑门的实用知识(逻辑表达式、逻辑符号、真值表、逻辑运算规则)
名 称 逻 辑 表 达 式 逻 辑 符 号 真 值 表 逻辑运算规则 与 门 AB F = A 0 0 1 1 0 1 0 1 有0得0 全1得1 B F 0 0 0 1 或 门 B A F += A 0 0 1 1 0 1 0 1 有1得1 全0得0 B F 0 1 1 1 非 门 A F = A 0 1 有0得1 有1得0 F 1 0 与 非 门 AB F = A 0 0 1 1 0 1 0 1 有0得1 全1得0 B F 1 1 1 0
或 非 门 B A F += A 0 0 1 1 0 1 0 1 有1得0 全0得1 B F 1 0 0 0 与 或 非 门 CD AB F += A 0 0 (1) 0 0 (1) 0 0 … 1 0 1 (1) AB 或CD 有一组或两组全是 1结果得0 其余输出全得1 B C D F 1 1 0 异 或 门 B A F ⊕= B A B A += A 0 0 1 1 0 1 0 1 不同得1 相同得0 B F 0 1 1 0
同或门A F=⊙B AB B A+ =A0 0 1 1 0 1 0 1 不同得0 相同得1 B F 1 0 0 1 色环电阻的表示 颜 色 黑棕红橙黄绿蓝紫灰白金银无 有 效 数 字 0123456789-1-2-3 乘 数 10010110210310410510610710810910-110-2 精确度±1 ﹪ ±2 ﹪ ±﹪± ﹪ ± ﹪ ±5 ﹪ ± 10 ﹪ ± 20 ﹪ 注：四色环电阻：1、2环表示是有效数照写，3环表示是乘数（就是要乘与这个乘数），4环表示是精确度。五色环电阻：1、2、3环表示是有效数照写，4环表示是乘数（就是要乘与这个乘数），5环表示是精确度。
逻辑斯蒂方程及经济
逻辑斯蒂方程及经济学应用 梁美娟，生物0801,20080205035 摘 要：逻辑斯蒂方程是一种非线性微分方程，其数学模型S 型曲线模型被广泛应用于描述事物的增长，本文系统的阐述了该方程的历史和演变，分析其生态学意义，并说明了该模型在经济学上的应用。 关键词：逻辑斯蒂方程；Lotka-V olterra 模型；前景理论；S 型曲线 一 前言 逻辑斯蒂方程广泛应用于描述客观事物的S 型变化现象。逻辑斯蒂数学模型是一条单调递增的，单参数k 为渐近线的S 型曲线。基本数量特征是当t 很小的时，呈指数增长，而当t 很大时，增长速度下降，且接近一个值（k ）趋于平稳。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物增长过程，还可以对满足该方程的现象进行预测，有助于相关政策的制定。另外，logistic 方程还可以作为其它模型如Lotka-V olterra 竞争模型的理论基础。 二．逻辑斯蒂方程的历史和演变 最早在1798年，英国统计学家Malthus(1766-1843)的《人口原理》中提出闻名于世的Malthus 人口模型。假设：在人口自然增长过程中，相对净增长率（出生率减死亡率）为常数，即单位时间人口的增长是与人口正比例，比例系数r 。 ?????==0 )(0N N rN dt dN t （1） 该模型准确反映了1700-1964年的人口增长，表明人口以指数规律随时间无限增长。但不是适应与以后的增长。因地球上各资源只可供一定数量的人生活，人口增加，环境的限制越来越明显，r 减少。1838年，比利时数学家P.F.Verhulst 引入N m ，表示自然条件所能容纳的最大人口数，Verhulst 假设的有限环境的物种相对增长率为 ?????=-=0 )(0)1(N N N K N r dt dN t (2) 由曲线得出以下结论：不管初值为多少，人口总量最终接近于极限值K ，极限值的一半（即r/2K ）前，是加速生长的时候，过了这一点以后，增长速度减少，并且迟早会达到零。 三、逻辑斯蒂方程的生态学应用 1、在种群生态学中，种群的增长是一个复杂的问题，，由于种群手到诸多因素的影响，如环境条件、营养条件、出生率、死亡率、个体基数及时代特征等。
种群逻辑斯谛方程
实验一 昆虫种群逻辑斯蒂增长模型（验证性实验） 一、 实验目的 逻辑斯蒂曲线是一条S 型曲线，它是生物种群在有限资源环境中（空间和食物）增长到一定程度时，环境阻力逐渐增大，致使种群的最大数量限制在一个固定水平之下，种群将不再继续增长而稳定在环境负荷量K 值左右。实验已证明S 形曲线是生物界中普遍存在的一种规律，具有广泛的应用价值。通过实验熟悉种群S 形增长的特点及曲线拟合的方法。 二、 实验原理 由逻辑斯蒂增方程 N= e rt a K -+1 取自然对数得a-rt=ln(N N K -) ---Y 则 Y=a-rt 首先求得环境负荷量K 值后，再将各N 值换算为ln[(k-n)/n]。 K 值求法有多种，如将接近饱和点附近的n 点N 值平均，而得一个值，或用三等距计算法。应用三点测定K 值常受所选点位置的影响，因此本实验采用直线回归计算K 值。 该方法是对N n 与N n /N a+1进行回归，得直线回归式： N n /N a+1=A+BN n 利用最小二乘法求得A 、B 。 令N n /N a+1=1，代入直线回归式，即表N n =N a+1时，种群个体数不在增加，那么N n 值就视为环境负荷K 值，显然K= B A -1。 A 、 B 值求得后，确定K 值，可根据Y=a-rt 回归式，确定参数a 和r 。 三、 实验方法 为100克经轻压而裂开的麦粒（约2000粒）中数入5对小谷蠹成虫开始实验，每周把麦粒筛出，弃去粉末状粪物质，并补充以新鲜的经碾压的麦粒，使其重新维持100克，并每两周计算一次成虫数，实验可设3~5个重复。
四、实验结果 小谷蠹种群增长结果见表1。 1. K值的确定： 设N n/N a+1=Y，N=X K值确定按表2进行。 2. 参数a , r 的确定： K值确定后，表1中ln( N N K-) 可统计出。 设Y= ln( N N K-)，X=t 参数a , r的确定按表3进行。 表1 小谷蠹种群增长结果 时间t 种群个数N N n /N n+1 Y=ln((K-N)/N) 0 10 0.546448087 4.163235195 1 18.3 0.631034483 3.545922707 2 29 0.61440678 3.068520221 3 47.2 0.663853727 2.551811643 4 71.1 0.37205651 5 2.101852766 5 191.1 1.094501718 0.882099897 6 174.6 0.678585309 1.007513471 7 257.3 0.733675506 0.429886376 8 350.7 0.795238095 -0.149201467 9 441 0.859146698 -0.733442948 10 513.3 0.917098446 -1.302857368 11 559.7 0.940988568 -1.793818893 12 594.8 0.94502701 -2.327930127 13 629.4 0.9834375 -3.292397649 14 640 0.982951928 -3.912693456 15 651.1 0.993287567 -5.953094171 16 655.5 0.993784112 17 659.6 0.996675733 18 661.8 0.99773858 19 663.3 表2 N n/N a+1~N n线性回归统计表
逻辑斯蒂增长曲线-实验报告
实验目的： 1、使学生们认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条 件的制约。 2、加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性参数 r与环境因子参数----生态学特性参数K的重要作用。 3、学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进行曲线拟合的方法。 实验原理： 种群在资源有限环境中的数量增长不是无限的，当种群在一个资源有限的空间中增长时，随着种群密度的上升，对有限空间资源和其他生活必需条件的种内竞争也将加强，必然影响到种群的出生率和存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止增长，甚至使种群数量下降。逻辑斯蒂增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单的形式，又称阻滞增长。 种群在有限环境中的增长曲线是S型的，它具有两个特点: 1、S型增长曲线有一个上渐近线，即S型增长曲线逐渐接近于某一特定 的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大 环境容纳量，通常用K表示。当种群大小到达K值时，将不再增长。 2、S型曲线是逐渐变化的，平滑的，而不是骤然变化的。 逻辑斯蒂增长的数学模型： dN dt =rN( K?N K ) 或 dN dt =rN(1? N K ) 式中:dN dt —种群在单位时间的增长率； N—种群大小； t—时间； r—种群的瞬时增长率； K—环境容纳量； (1?N K )—“剩余空间”，即种群还可以继续利用的增长空间。逻辑斯蒂增长模型的积分式： N= K 1+e a?rt 式中：a—常数； e—常数，自然对数的底。实验器材：
恒温光照培养箱、实体显微镜、凹拨片、1000毫升烧杯、100毫升量筒、移液枪（50微升），1千瓦电炉、普通天平、干稻草、鲁哥氏固定液、50毫升锥形瓶、纱布、橡皮筋、白胶布条、封口膜、标记笔、计数器、自制的观测数据记录表格 方法与步骤： 1、准备草履虫原液 从湖泊或水渠中采集草履虫。 2、制备草履虫培养液 （1）制取干稻草5g,剪成3~4厘米长的小段。 （2）在1000毫升烧杯中加水800毫升，用纱布包裹好干稻草，放入水中煮沸10分钟，直至煎出液呈现淡黄色。 （3）将稻草煎出液置于室温下冷却后，经过过滤，即可作为草履虫培养液备用。 3、确定培养液中草履虫种群的初始密度 （1）用50微升移液枪取50微升草履虫原液于凹拨片上，当在实体显微镜下看到有游动的草履虫时，再用滴管取一小滴哥鲁氏固定液于凹玻片 上杀死草履虫，在实体显微镜下进行草履虫计数。 （2）按上述方法重复取样4次，对四次计数的草履虫数求平均值，并推算出草履虫原液中的种群密度。 （3）取冷却后的草履虫培养液50毫升，置于50毫升烧杯中。经过计算，用移液枪取适量的草履虫原液放入培养液中，使培养液中的草履虫的 个数在1-2个。此时培养液中的草履虫密度即为初始种群密度。 （4）用纱布和橡皮筋将实验用的烧杯罩好，并做好本组标记，放置在20摄氏度与30摄氏度的恒温光照培养箱中培养。 4、定期检测和记录 （1）在实验开始后10天内，每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。 （2）将每天的观测数据记录在表格中。 5、环境容纳量K的确定 将10天中得到的草履虫种群大小数据，标定在以时间为横坐标，草履虫种群数量为纵坐标的平面坐标系中，从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律，还可以得到此环境条件下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K,通常从平衡点以后，选取最大的一个N，以防止在计算ln[（K-N）/N]的过程中真数出现负值。 最大环境容纳量K还可以通过三点法求得。三点法的公式为 K=2N1N2N3?N22(N1+N3) N1N3?N2 式中：N 1,N 2 ,N 3 —分别为时间间隔基本相等的三个种群数量，要求时间间隔尽量 大一些。 6、瞬时增长率r的确定 瞬时增长率r可以用回归分析的方法来确定。首先将Logistic方程的积分式变形为
逻辑斯蒂模型
逻辑斯蒂模型（Logistic growth model ） 1.原始逻辑斯蒂模型： 设0t 时刻的人口总数为)(0t N ，t 时刻人口总数为)(t N ，则： ?????==0 0)(N t N rN dt dN 但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素，实际上人类生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的。此人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。 2.改进逻辑斯蒂模型： 考虑自然资源和环境对人口的影响，实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，因此，将人口增长率为常数这一假设修改为：?????=-=0 02)(N t N KN rN dt dN 其中K r ,称为生命系数 分析如下： rt t t e r K N r K t N -∞→∞→-+=)1(1lim )(lim 0 0)1(1lim 0?-+=∞→r K N r K t = K r N KN r KN r KN r dt dN KN r dt dN KN dt dN r dt N d ))(2)(2()2(222---=-=-= 说明： （1）当∞→t 时，K r t N → )(，结论是不管其初值，人口总数最终将趋向于极限值K r /； （2）当K r N 00时，0)(2 N K r KN KN rN dt dN -=-=，说明)(t N 是时间的单调递增函数； （3）当K r N 2 时，022 dt N d ，曲线上凹，当K r N 2 时，022 dt N d ，曲线下凹。
表九用spss软件得到各观察值所对应的拟核值，残差值和标准残差 拟合值97077.7 101458.9 105412.6 108940.84 112057.91 114787.4 117159.2 残差-818.74 -2753.91 438.35 3763.15 2275.08 1035.51 11.73 标准残 -0.7505 -2.0548 0.3051 2.5699 1.5537 0.7098 0.0080 差 拟合值119206.2120962.7122462.4123737.3124817.2125729.2126497.3残差-689.28-1112.76-1341.41-1348.34-1191.28-968.25-711.37标准残 -0.4707-0.7540-0.9009-0.8985-0.7899-0.6410-0.4720差 拟合值127142.9127684.4128138.0128517.4128834.5129099.2 残差-399.93-57.47314.93709.501153.451656.76 标准残 -0.2670-0.03870.21470.49060.81010.941 差 从新数据得到F＝372.3471 p值＝0.001 从新数据得到相关系数R＝0.9888,相关性比较强，说明这种拟合是比较贴切的,本文建立逻辑斯蒂模型：0.8840.185 =+ y e-- 130517.5/(1)x
逻辑命题公式计算
题号：第一题 题目：电梯模拟 1，需求分析： 计算命题演算公式的真值 所谓命题演算公式是指由逻辑变量(其值为TRUE或FALSE )和逻辑运算符人(AND )、 V( OR)和「( NOT )按一定规则所组成的公式(蕴含之类的运算可以用A、V和「来表示)。公式运算的先后顺序为「、人、V,而括号()可以改变优先次序。已知一个命题演算公式及各变量的值，要求设计一个程序来计算公式的真值。 要求： ( 1)利用二叉树来计算公式的真值。首先利用堆栈将中缀形式的公式变为后缀形式；然后根据后缀形式, 从 叶结点开始构造相应的二叉树；最后按后序遍历该树, 求各子树之值, 即每到达一个结点, 其子树之值已经计算出来, 当到达根结点时, 求得的值就是公式之真值。 ( 2)逻辑变元的标识符不限于单字母,而可以是任意长的字母数字串。 ( 3)根据用户的要求显示表达式的真值表。 2,设计： 2.1 设计思想： <1> ,数据结构设计： (1) 线性堆栈1 的数据结构定义 typedef struct { DataType stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } SeqStack; 用线性堆栈主要是用来存储输入的字符, 它的作用就是将中缀表达式变成后缀表达式。 (2) 线性堆栈2 的数据结构定义 typedef struct { BiTreeNode *stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } TreeStack; 这个堆栈和上面的堆栈的唯一不同就是它们存储的数据的类型不同, 此堆栈存储的是树节点,它的作用是将后缀表达式构成一棵二叉树。 （3）树节点数据结构定义typedef struct Node { DataType data; struct Node *leftChild; struct Node *rightChild; }BiTreeNode; <2>算法设计详细思路如下：首先实现将中缀表达式变成后缀表达式：在将中缀表达式变成后缀表达式的
逻辑斯蒂增长曲线-实验报告
种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长 实验目的： 1、使学生们认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条 件的制约。 2、加深对逻辑斯蒂增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性参数 r与环境因子参数----生态学特性参数K的重要作用。 3、学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进行曲线拟合的方法。 实验原理： 种群在资源有限环境中的数量增长不是无限的，当种群在一个资源有限的空间中增长时，随着种群密度的上升，对有限空间资源和其他生活必需条件的种内竞争也将加强，必然影响到种群的出生率和存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止增长，甚至使种群数量下降。逻辑斯蒂增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单的形式，又称阻滞增长。 种群在有限环境中的增长曲线是S型的，它具有两个特点: 1、S型增长曲线有一个上渐近线，即S型增长曲线逐渐接近于某一特定 的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大 环境容纳量，通常用K表示。当种群大小到达K值时，将不再增长。 2、S型曲线是逐渐变化的，平滑的，而不是骤然变化的。 逻辑斯蒂增长的数学模型： dN dt =rN( K?N K ) 或 dN dt =rN(1? N K ) 式中:dN dt —种群在单位时间的增长率； N—种群大小； t—时间； r—种群的瞬时增长率； K—环境容纳量； (1?N K )—“剩余空间”，即种群还可以继续利用的增长空间。逻辑斯蒂增长模型的积分式： N= K 1+e a?rt 式中：a—常数； e—常数，自然对数的底。
实验器材： 恒温光照培养箱、实体显微镜、凹拨片、1000毫升烧杯、100毫升量筒、移液枪（50微升），1千瓦电炉、普通天平、干稻草、鲁哥氏固定液、50毫升锥形瓶、纱布、橡皮筋、白胶布条、封口膜、标记笔、计数器、自制的观测数据记录表格 方法与步骤： 1、准备草履虫原液 从湖泊或水渠中采集草履虫。 2、制备草履虫培养液 （1）制取干稻草5g,剪成3~4厘米长的小段。 （2）在1000毫升烧杯中加水800毫升，用纱布包裹好干稻草，放入水中煮沸10分钟，直至煎出液呈现淡黄色。 （3）将稻草煎出液置于室温下冷却后，经过过滤，即可作为草履虫培养液备用。 3、确定培养液中草履虫种群的初始密度 （1）用50微升移液枪取50微升草履虫原液于凹拨片上，当在实体显微镜下看到有游动的草履虫时，再用滴管取一小滴哥鲁氏固定液于凹玻片 上杀死草履虫，在实体显微镜下进行草履虫计数。 （2）按上述方法重复取样4次，对四次计数的草履虫数求平均值，并推算出草履虫原液中的种群密度。 （3）取冷却后的草履虫培养液50毫升，置于50毫升烧杯中。经过计算，用移液枪取适量的草履虫原液放入培养液中，使培养液中的草履虫的 个数在1-2个。此时培养液中的草履虫密度即为初始种群密度。 （4）用纱布和橡皮筋将实验用的烧杯罩好，并做好本组标记，放置在20摄氏度与30摄氏度的恒温光照培养箱中培养。 4、定期检测和记录 （1）在实验开始后10天内，每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测。 （2）将每天的观测数据记录在表格中。 5、环境容纳量K的确定 将10天中得到的草履虫种群大小数据，标定在以时间为横坐标，草履虫种群数量为纵坐标的平面坐标系中，从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律，还可以得到此环境条件下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K,通常从平衡点以后，选取最大的一个N，以防止在计算ln[（K-N）/N]的过程中真数出现负值。 最大环境容纳量K还可以通过三点法求得。三点法的公式为 K=2N1N2N3?N22(N1+N3) N1N3?N2 式中：N 1,N 2 ,N 3 —分别为时间间隔基本相等的三个种群数量，要求时间间隔尽量 大一些。 6、瞬时增长率r的确定 瞬时增长率r可以用回归分析的方法来确定。首先将Logistic方程的积分
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌 4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射 我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有： i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1) i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间， 以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2 i N o N o i i N N x = ，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ?=+ 即为： )1(1i i i x x x ?=+λ （4-2） 其中：]4,0[], 1,0[∈∈λi x 。 （4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。 4-2 倍周期分歧走向混沌 借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。 （一）迭代过程 迭代过程可以用图解来表示。图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。45o线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。由点 )0,(0x R ),(10x x A 1x
),(10x x A 作水平直线，求它与45o线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物 线的交点，这样就得到了。仿此做法可得到所迭代点。 ),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。终态集的情况与控制参数λ有很大关系。增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。 （二）终态性质 ①当31<<γ时，迭代结果的归宿是一个确定值，趋于一个不动点，即抛物线与45o线的交点，这相当于系统处于一个稳定态，如图4-2(a)所示。此值与λ有关，且与λ值有一一对应关系。当4.2=λ时，12/711==+i x x 。迭代的结果为一个不动点的情况，其周期为1，这表示从出发，迭代一次就回到。 i x i x ②当449.33<<γ时，迭代的终态在一个正方形上循环，亦即在两个值之间往复跳跃，与一个i x λ值对应将有两个值，即其归宿轮流取两个值，如图4-2(b)所示。当i x 2.3=λ时，此值为i i x x =?+2,7995.05130.0周期为2，表示从出发，迭代二次后回到。所以，从图3-12(a)到3-12(b)中间发生了一个倍周期分岔，一个稳定态分裂成为两 i x i x 图4-2 叠代过程 种状态，而系统便在两个交替变动的值间来回振荡。 ③当544.3449.3<<λ时，最终在四个值之间循环跳跃，如图4-2(c)所示。 +4，即终态集是个四周期解，表示从出发，迭代四次后回到。所以，从图4-2(b) 到3-12(c)，中间又发生了一个倍周期分岔，两种状态分裂成四种状态，而系统便在四个交 i x i i x x i x i x =
逻辑斯蒂
一、逻辑斯蒂方程建立的过程及背景 在自然界和社会上存在大量的 s型变化的现象, 逻辑斯蒂Logistic模型几乎是描述 s型增长的唯一数学模型.这是一条连 续的、单调递增的、以参数 k为上渐近线的 s型曲线, 其变化 速度一开始增长较慢, 中间段增长速度加快, 以后增长速度下 降并且趋于稳定. 利用它可以表征种群的数量动态, 描述某一 研究对象的增长过程, 也可作为其它复杂模型的理论基础如 Lotka- Volterra两种群竞争模型. 可以看出逻辑斯蒂方程不管 在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途. 1逻辑斯蒂模型的产生与发展 在提出逻辑斯蒂模型之前, 最早给出种群生态学经典数学模型 是 M althus模型, 由英国统计学家 M althus( 1766- 1834)在 1798年人口原理!一书中, 提出了闻名于世的 M althus人口模 型. 设 t0时刻的人口总数为 N ( t0), t时刻人口总数为 N( t), 则: dN/dt=rN N(t0)=N0 但是这个模型有很大的局限性: 只考虑出生率和死亡率, 而没 有考虑环境因素. 实际上人类所生存的环境中资源并不是无限 的, 因而人口的增长也不可能是无限的, 实践证明 M althus人 口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数. 比利 时数学家Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一 假设修改为 dNdt=rN-KN^2 N(t0)=N0 其中 r,K称为生命系数(VitalCoefficients). (2)式就 是最早的逻辑斯蒂模型. 解之得: N(t) =1/(K/r+(1/N0-K/r)exp(-rt) 二、逻辑斯蒂方程在MATLAB中的实现 function f = curvefun1(x,t) syms x t; k=9000;
基本逻辑运算
《数字电路与逻辑设计》 教 案 试讲教师：孙发贵 工作单位：北京化工大学北方学院
教学内容与过程 （一）讲解新课 逻辑运算：当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种指定的因果关系进行的运算。即逻辑运算表示的是条件与结果之间的因果关系。 逻辑运算与算术运算完全不同，其采用的数学工具是逻辑代数。 逻辑代数——又称布尔代数或开关代数，是按一定逻辑规律进行运算的代数，是分析和设计数字电路的工具和理论基础。 逻辑代数与普通代数的异同： 相同点：变量与函数均用字母表示 不同点：ⅰ) 无论变量与函数均只有0、1两种取值 ⅱ) 0、1只表示两种对立的逻辑状态， 无数量大小的意义。 一、三种基本逻辑关系 1、与逻辑（逻辑乘） (1)定义：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。 L何时点亮？只有开关A、B全部闭合时。 (2)逻辑式：L= A·B = AB (3)真值表：表示变量与函数关系的表格。 逻辑赋值：设开关A、B：闭合为“1”，断开为“0” 灯L：亮为“1”，灭为“0”。讨论与逻辑运算的逻辑口诀 逻辑功能口决：有“0”出“0”，全“1”出“1”。 即当逻辑变量A、B同时为1时，逻辑函数L才为1。其它情况下，L均为0。 （4）逻辑符号
（国标）：（国外）： 推广到n个逻辑变量情况，“与运算”的布尔代数表达式为：L=A1A2A3… A n 2、或运算（逻辑加） (1)定义：在决定事物结果的诸条件中只要任何一个满足，结果就 会发生。 (2)逻辑表达式：L=A+B (3)真值表：逻辑赋值：设开关A、B：闭合为“1”，断开为“0” 灯L：亮为“1”，灭为“0”。 讨论或逻辑运算的逻辑口诀 逻辑功能口决：有“1”出“1”全“0”出“0” （4）逻辑符号 （国标）：（国外）： 若有n个逻辑变量呢？ L=A1+A2+A3+…+A n 3、非运算（逻辑反） (1)定义：条件与结果反相 A具备时，事件L不发生；A不具备时，事件L发生。 电阻的作用：防止整个电路短路 (2)逻辑表达式：A L (3)真值表：逻辑赋值：设开关A、B：闭合为“1”，断开为“0” 灯L：亮为“1”，灭为“0”。
逻辑运算和逻辑表达式
逻辑运算 逻辑运算符 Ｃ语言提供了3种逻辑运算符，如下表。 优先级由高到低 逻辑运算符！（逻辑非）高于&&（逻辑与）高于││（逻辑或）说明： “&&”和“||”是双目运算符，要求要有两个操作数，而“！”是单目运算符，只要求有一个操作数即可。以上逻辑运算符的优先级是：“!”(逻辑非)级别最高，其次是“&&”(逻辑与)，“||”(逻辑或)级别最低，逻辑运算符中的“&&”和“||”低于关系运算符，“!”高于算术运算符。 即：“！”（逻辑非）>算术运算符>关系运算符>“&&”>“||”>赋值运算符>逗号运算符。。 逻辑表达式 “&&”和“||”的运算对象有两个，故它们都是双目运算符，而！的运算对象只有一个，因此它是单目运算符。逻辑运算举例如下： ①a&&b: 当&&两边都为“真”时，表达式a&&b的值才是真。 值得注意的是：在数学中，关系式0 种群在资源有限环境中的逻辑斯谛增长 姓名： 学号： 系别：生命科学学院生物科学专业 班号：2 实验日期：4月5日 同组同学： 实验目的 1）认识到任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约 （2）领会logistic model 生物学特性参数r与环境因子参数K的重要作用 （3）学会通过实验估算这两个参数和进行曲线拟合 实验原理 ?离散种群增长和连续种群增长 ?种群在有限资源环境下的连续增长的一种最简单的形式就是逻辑斯谛增长 逻辑斯谛增长模型是建立在以下两个假设基础上的： ①有一个环境容纳量（carrying capacity）（通常以K表示），当Nt=K时，种群为零增长，即dN／dt=0； ②增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。最简单的是每增加一个个体，就产生1／K的抑制影响。例如K=100，每增加一个体，产生0.01影响，或者说，每一个体利用了1／K的“空间”，N个体利用了N／K的“空间”，而可供种群继续增长的“剩余空间”只有（1-N ／K）。 逻辑斯蒂增长的数学模型 dN/dT=rN[（K-N）/K] dN/dT=rN（1-N/K） dN/dT···························种群在单位时间内的增长率N·······························种群大小t································时间r································种群的瞬时增长率K·······························环境容纳量 1-N/K····························剩余空间 逻辑斯蒂增长的数学模型的积分式： N=K/[1+EXP（a-rt）] S”型曲线有两个特点： ①曲线渐近于K值，即平衡密度；②曲线上升是平滑的。 ①开始期，也可称潜伏期，种群个体数很少，密度增长缓慢； ②加速期，随着个体数增加，密度增长逐渐加快； ③转折期，当个体数达到饱和密度一半（即K／2）时，密度增长最快； ④减速期，个体数超过K／2以后，密度增长逐渐变慢； ⑤饱和期，种群个体数达到K值而饱和。 实验器材 计数器凹玻片实体显微镜移液枪 鲁哥氏固定液 草履虫 方法与步骤 1.准备草履虫原液、草履虫培养液 2.确定草履虫最初密度 用移液枪取50μl草履虫原液于凹玻片上（我们这一组统一取瓶底中央部分的原液，注意取的时候不要晃动瓶子，避免草履虫由于的非正常分布），在实体显微镜下看到有游动的草履虫，滴一滴鲁哥氏固定液，观察计数（重复4次，每个人重复4次，直到把个体差异减到最小，以此减少实验误差，计数时用计数器来计数）。 3.取培养液50mL,置于锥形瓶中，经计算加入适量原液（我们这一组加了300μl），使 百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 名称逻辑表达式逻辑符号真值表逻辑运算规则与门AB F= A 0 0 1 1 0 1 0 1 有0得0 全1得1 B F 0 0 0 1 或门B A F+ = A 0 0 1 1 0 1 0 1 有1得1 全0得0 B F 0 1 1 1 非门A F= A 0 1 有0得1 有1得0 F 1 0 与非门AB F= A 0 0 1 1 0 1 0 1 有0得1 全1得0 B F 1 1 1 0 或非门B A F+ = A 0 0 1 1 0 1 0 1 有1得0 全0得1 B F 1 0 0 0 与或非门CD AB F+ = A 0 0 (1) 0 0 (1) 0 0 (1) 0 1 (1) AB或CD有一组或 两组全是1结果得0 其余输出全得1 B C D F 1 1 0 异或门 B A F⊕ = B A B A+ = A 0 0 1 1 0 1 0 1 不同得1 相同得0 B F 0 1 1 0 同或门 A F=⊙B AB B A+ = A 0 0 1 1 0 1 0 1 不同得0 相同得1 B F 1 0 0 1 色环电阻的表示 颜色黑棕红橙黄绿蓝紫灰白金银无有效 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 乘数10010110210310410510610710810910-110-2 精确度±1﹪±2 ﹪ ±﹪±﹪±﹪±5 ﹪ ±10 ﹪ ±20 ﹪ 注：四色环电阻：1、2环表示是有效数照写，3环表示是乘数（就是要乘与这个乘数），4环表示是精确度。五色环电阻：1、2、3环表示是有效数照写，4环表示是乘数（就是要乘与这个乘数），5环表示是精确度。 例：四色环电阻五色环电阻 1 2 103±10﹪ 2 0 3 101±5﹪ 式子：12x103=12x1000=12000Ω=12KΩ±10﹪式子：203X101=203X10=2030Ω=Ω±5﹪ C语言中的逻辑表达式 用逻辑运算符将关系表达式或逻辑量连接起来的有意义的式子称为逻辑表达式。逻辑表达式的值是一个逻辑值，即“true”或“flase”。C语言编译系统在给出逻辑运算结果时，以数字1表示“真”，以数字0表示“假”，但在判断一个量是否为“真”时，以非0表示“真”，以0表示“假”。 可以将逻辑表达式的运算结果（0或1）赋给整型变量或字符型变量。 注意：由于浮点数在计算机中不能非常准确地表示，所以，判断两个浮点数是否相同时，通常不使用关系运算符“等于”（= =），而是利用区间判断方法来实现。为了判断x是否等于5.003，可利用如下逻辑表达式： x>5.002 && x<5.004 当此逻辑表达式为“真”时，就可以认为x等于5.003。 补充： （3）关系运算符的优先级高于赋值运算符。[1] 运算规则 组合\结果\运算符.....And.......Or.........Xor （叫异或“＾”） 0......0..............0........0. 0 1......0..............0........1. (1) 0......1..............0........1. (1) 1......1..............1........1. 0 简单的说 And:同为真时为真 Or:同为假时为假 Xor:相同为假 逻辑或性质 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑或运算后的结果为真。保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑或运算后的结果为假。 真异或假的结果是真，假异或真的结果也是真，真异或真的结果是假，假异或假的结果是假。就是说两个值不相同，则异或结果为真。反之，为假。简单点说就是异或的两个值'相同为假，不同为真'。 异或运算法则 1. a ^ b = b ^ a 2. a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c; 3. d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c. 4. a ^ b ^ a = b. 一.实验课题名称：种群在有限环境中的逻辑斯谛增长 二;文献综述： 三．实验目的和要求： （1)通过逻辑斯谛增长模型实验，使学生们认识到环境资源是有限的，何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。 (2)加深对逻辑斯谛增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性数r与环境因 子参数—生态学特性参数K的重要作用。 (3）学会如何通过实验估计出这两个参数和进行曲线拟合。 四．实验条件： 光照培养箱，实体显微镜，凹玻片，1 000 mL烧杯，100 ml量筒，移液管（0.1 ml， 5ml），洗耳球、1kw电炉，普通天平，干稻草，鲁哥氏固定液，50 mL锥形瓶，纱 布，橡皮筋，自胶布条，封口膜，标记笔，细胞计数器，自制的观测数据记录表格。五．实验原理与方法： 种群在有限环境中的增长不是无限的。当种群在一个资源有限的空间中增长时，随着种群密度的上升，对有限空间资源和其他生活必需条件的种内竞争也将加剧，必然影响到种群的出生率和存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止增长，甚至使种群数量下降。逻辑斯谛增长( Logistic growth )是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单的形式，又称为阻滞增长。 种群在有限环境下的增长曲线是S型的（Sigmoid），它具有两个特点： (1) S型增长曲线有一个上渐进线，即S型增长曲线逐渐接近于某一特定的最大值，但 不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大环境容纳量（carrying capacity )，通常用K表示。当种群大小到达k值时，将不再增长。 (2) S型曲线是逐渐变化的，平滑的，而不是骤然变化的。 逻辑斯谛增长的数学模型： dN/dt=rN[(K-N)/K] 或 dN/dt=rN[1-N/K] 式中：dN/dt —种群在单位时间的增长率； N—种群大小； t —时间； r —种群的瞬时增长率； K—环境容纳量； 1-N/K—“剩余空间”，即种群还可以继续利用的增长空间。 逻辑斯谛增长模型的积分式： 式中：a—常数；e—常数，自然对数的底。 六．实验步骤 南京高等职业技术学校课堂教学设计 教案纸 教学内容 4.2 逻辑运算符与逻辑表达式 一、复习导入（5min） 1. 复习：请学生说出关系运算符有哪些？ 请学生回答关系运算表达式的值？ 教师进行补充。 2.导入新课： 1、学生参加技能大赛培训的条件？ ?扎实的专业知识与较高的实践能力 教师强调与的关系 2、参加技能大赛集训而停课的条件？ ?移动互联或智能家居 教师强调或的关系 3、学生回答引入禁烟区的条件？ ?没有吸烟非 教师强调非的关系 二、新课讲授（20min） 逻辑运算符 1.教师根据逻辑关系给出三种逻辑运算符的表示形式： &&、||、！ 2.教师利用具体的表达式关系分析各种逻辑运算符的作用： 逻辑与相当于英语中的and； 逻辑或相当于英语中的or； 逻辑非相当于英语中的no； 3.教师根据具体的逻辑关系引出逻辑表达式的概念及表示形式： 表达式1&&表达式2 a&&b 表达式1||表达式2 a || b ！表达式！a 1、“时间分配”中理实一体课程、美术等4节及以上连排的课程，要标明课时分配及每课时的时间分配；其他课程标明时间分配。“时间分配”为预设时间，实施过程中根据情况适当微调。 2、教学重点和难点及解决措施、板书、辅助手段等内容在“备注”栏中注明。 第 1 页南京高等职业技术学校教学科研部编印 教案纸 教学内容 逻辑表达式 1.表达式的值 a. 教师给出简单的逻辑表达式a&&b、a||b、!a。 学生思考表达式的值应该是什么呢？ b. 教师布置任务：利用一个程序得到表达式的值。 学生思考怎样编程呢？ 教师引导学生逐步写出相应的输出程序。 c. 学生在电脑上面编程，并讨论输出结果 得到结论： 教师强调：任何非零的数值被认作“真”，即为1 。 2.表达式真值表 a. 教师引导学生说出两个a、b变量值的组合情况有四种，根据练习1中的程序，学生上机练习： 分别在四种情况下，a&&b、a||b、!a的值是什么？ b. 根据学生的输出结果，与学生一起写出真值表。 d. 根据真值表的内容，总结出： 1）当a和b变量都为非0的值时，a&&b为1，否则为0； 当a和b有一个值为1时，a||b为1，否则为0. 2）如果把非0的数值认作1，a&&b可以认为是a*b，而a||b可以认为是a+b。 逻辑斯蒂有限增长模型的改进 郑连存1，郑瑶2 1 北京科技大学数学力学系，北京100083 E-mail: liancunzheng@https://www.wendangku.net/doc/1a6496861.html, 2 中国人民大学经济学院， 北京 100080 E-mail: taotaot6162@https://www.wendangku.net/doc/1a6496861.html, 摘要： 本文将经典的逻辑斯蒂有限增长模型改进为具有幂律型增长因子的形式， 并讨论了模型所描述的有限增长特性。本文研究结果表明，幂律指数α的值对于某特定的生物种群（如人口、酵母菌）的总数量有着重要的影响。某特定的生物种群（如人口、酵母菌）的总数是幂律指数α的减函数。 )(t p 关键词：逻辑斯蒂方程，有限增长，微分方程 1． 引言 20世纪末，世界人口已经达到60亿已上， 到2050年世界人口估计将达到100亿， 届时这些人口的六分之一将生活在发达国家。人口增长问题不仅仅是简单的人口数量问题，更重要的是人口的迅速增长会对人类的福利造成影响，对经济发展造成影响[1]。 自18世纪末马尔萨斯发表了著名的著作《人口原理》，人口的增长问题越来越引起人们的重视。在仅考虑出生率和死亡率两个因素情况下，设时刻人口总数为，设t 时刻人口总数为 马尔萨斯有限增长模型描述为如下简单微分方程0t )(0t p )(t p [2-7] kp dt dp = （1） 的解。其中为人口增长比例因子（k >0）. 方程（1）的解为， 它预测人口 数量随时间按指数增长。当人口数量不大时，马氏模型从一定程度上反映了人口增长规律， 但当人口数量较大时，马氏模型出现较大偏差。19世纪末， 丹麦生物数学家Pierre-Francois Verhulst 将方程（1）改写为 k ) (00)(t t k e p t p ?=p p M r dt dp )(?=， （2） 0>r 其中M 假定为人口（酵母菌）的最大值。 第一作者：郑连存，男，1957年出生，教授，博士导师 研究方向：微分方程理论及应用 https://www.wendangku.net/doc/1a6496861.html,逻辑斯蒂增长
八种常用逻辑门的实用知识(逻辑表达式逻辑符号真值表逻辑运算规则)
逻辑表达式
种群在有限环境中的逻辑斯谛增长
逻辑运算符表达(C语言)
逻辑斯蒂有限增长模型的改进