三角形的欧拉线

用向量法证明欧拉线问题

b sin A=a sin B, (b co s A)2+(b sin A)2=(c-a co s B)2+ (a sin B)2, ∴a co s B+b co s A=c(射影定理), a sin A = b sin B (正弦定理), b2=c2+a2-2ca co s B(余弦定理). 用向量法证明欧拉线问题 刘步松　(江苏省运河师范学校　221300) 设三角形A B C外心为O,重心为W,垂心为H,则O,W,H三点共线,且 OH = 3 OW ,这便是著名的欧拉线问题.但平面几何证法较麻烦,笔者用向量坐标法去证,感觉过程较为简洁. 证　以外心O为原点,过O平行于B C 的直线为x轴,B C的中垂线为y轴,建立直角坐标系.设A D是B C上的高,并设各点坐 图1 标如下:A(a,b),B (-c,d),C(c,d), H(a,y),则B H= (a+c,y-d),A C =(c-a,d-b),因 为B H⊥A C,有B H ?A C=0,即(a+ c)(c-a)+(y-d)(d-b)=0,解之得y= -a2+c2+bd-d2 -d+b .因为O是外心,所以 OA = OB = O C ,即a2+b2=(-c)2+ d2=c2+d2,从而a2-c2=d2-b2,代入y的表达式,求得y=b+2d,即H的坐标是(a,b+ 2d).从H及A,B,C的坐标可以发现,O H = OA+OB+O C.又由重心定理OW= 1 3 (OA+OB+O C),从而有H,W,O共线,并 有 O H =3 OW .证毕. 构造法解竞赛题初探 胡国生　(江苏省洪泽县中学　223100) 大多数竞赛试题设计新颖,构思巧妙,综 合性强,注重对学生的思维能力的考查,因此 难度较大,不少学生无从下手.本文在用构造 法解竞赛题方面做一些粗浅探讨,希望对数 学爱好者有所启迪. 1　构造特殊图形 例1　正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b +B=c+C=k,求证:aB+bC+c A

研究性多面体欧拉定理的发现(一)

9.10研究性多面体欧拉定理的发现(一) 教学目的： 1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式. 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力. 教学重点：欧拉公式的发现过程. 教学难点：欧拉定义及其证明. 授课类型：新授课. 课时安排：3课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣. 教学过程： 一、复习引入： 1.欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家.1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝.（详细资料附后） 2.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体. 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体.

⑹ 发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关 系式：2V F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立. 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并计算V ＋F －E ＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？ 3.假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面. 可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V ＋F －E ＝2.这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体. 4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式： 2V F E +-=． 证明:(方法一 ) (10) D D ⑴如图⑽：将多面体的底面ABC DE 剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABC DE 表示）均没有变，故所有面的内角总和不变. ⑵设左图中共有F 个面，分别是12,,,F n n n 边形，顶点数为V ，棱数为E,则122F n n n E +++=. 左图中，所有面的内角总和为 ?-++?-+?-180)2(180)2(180)2(21F n n n ＝?-+++180)2(21F n n n F ＝?-180)22(F E ()360E F =-? ⑶右图中，所有面的内角总和为 V 360V 2180V 2180()????下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和 ＝0V V 2360(2)360V ?=-上上（＋－）

西藏2021年高一下学期数学期末考试试卷(II)卷

西藏2021年高一下学期数学期末考试试卷（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2016高一下·东莞期中) 1﹣2sin2 的值等于（） A . 0 B . C . D . 2. （2分）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（） A . B . C . D . R 3. （2分） (2019高二下·广东期中) 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是（） A . 恰有1件一等品 B . 至少有一件一等品 C . 至多有一件一等品 D . 都不是一等品 4. （2分）(2020·奉贤模拟) 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外

阅读时间为（） A . 1.5小时 B . 1.0小时 C . 0.9小时 D . 0.6小时 5. （2分） (2019高二上·台州期末) 已知圆C：，则过点的圆C的切线方程为 A . B . C . D . 6. （2分）平行线和的距离是（） A . B . 2 C .

D . 7. （2分） (2018高三上·深圳月考) 在中, 分别为角的对边),则 的形状为（） A . 直角三角形 B . 等边三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰三角形或直角三角形 8. （2分） (2019高一下·柳州期末) 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ A . -2 B . -4 C . -6 D . -8 二、多选题 (共4题；共12分) 9. （3分） (2019高二上·沂水月考) 设集合，，分别从集合和中随机取一个元素与 .记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的取值可能是（） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 10. （3分） (2020高一下·烟台期末) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，

数学奥赛-2(西姆松定理-欧拉线-九点圆)

西姆松(Simson)定理 西姆松定理说明 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线） 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC 于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠A CP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP， 则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、 L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL 垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N 和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。

高中数学竞赛定理

重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部

平面几何中几个重要定理的证明

1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /

《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明

假如我是欧拉…… ——多面体欧拉定理的发现 一、教学目的 1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。 2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、让学生再次体验几何体的美； 5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。 二、教学重点 1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。 三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。 四、教学过程

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教案设计说明 本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。 本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。 在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析 一、选择题（共12题，共60分） 1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3] 【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3）， 则A∪B＝（﹣1，3]， 故选：B． 2．设z＝，则z的虚部为（） A．﹣1B．1C．﹣2D．2 【解答】解：∵z＝＝， ∴z的虚部为1． 故选：B． 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（） 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A．25B．23C．12D．07 【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12， 则抽取的第5个零件编号为，12， 故选：C． 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24 【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36． 故选：A． 5．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离

心率为（） A．B．C．D．2 【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上， ∴． 则该双曲线的离心率为e＝． 故选：C． 6．已知tanα＝﹣3，则＝（） A．B．C．D． 【解答】解：因为tanα＝﹣3， 则＝cos2α＝＝＝＝． 故选：D． 7．的展开式中x3的系数为（） A．168B．84C．42D．21 【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝?（﹣2）r x7﹣2r， 则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为?4＝84， 故选：B． 8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（） A．B．

第五讲 平面几何中的重要命题

平面几何中的重要命题 在初等几何的平面部分，所涉及到的证明题分为两大类：证度量关系和证位置关系.证明位置关系中有一类问题比较棘手，即点共线、线共点和四点共圆的证明.常用的证明方法是利用梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理来证.这是一种表达形式简洁又非常实用的方法.特别是在点、线处于位置任意,无法确定具体度量或角度的情况下,使用如上定理证明问题时,往往能得心应手,起到事半功倍的作用.一般地，把梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理称为平面几何四大定理。 定理1（梅涅劳斯定理） 设A '、B '、C '是ABC ?的边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，则A '、B '、C '共线的充要条件是 1AC BA CB C B A C B A ''' ??='''. 证明：（必要性） AC A BC A S AC C B S '' ?'' ?'=' BA C A CC S BA A C S ''?''?'= ' A C C A C A S CB B A S ''?''?'= '由上面三式相乘即得 1AC BA CB C B A C B A '''??='''. （充分性）延长A B ''交AB 于点P ，下证P 与C '重合。 ∵1AC BA CB C B A C B A '''??=''' 及 1A P B A C B P B A C B A ''??='' 故AC AP C B PB '='，由点内分线段AB 成定比的点的惟一性知，P C '≡，故A '、B '、C '共线。■ 例1 如图，AD 是ABC ?的中线，F 是AD 的中点，求FE FB 的值。 解：直线AEC 截BDF ?，则 1BC DA FE CD AF EB ??=，因为 2BC DC =，2DA AF =，所以 14FE EB =，于是1 3 FE FB =。

欧拉定理

[编辑本段] 欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理： 对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明： 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 费马定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理： （1）(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr． 证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

欧拉线

欧理线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 欧拉线的证法1 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上

如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别 求出O G H三点的坐标即可. 欧拉线的证法2 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得 ∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3 利用向量证明，简单明了 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。 ∵AH = OH+ OA =向量OA+2向量OD (1) =向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD =向量OA+向量OB+向量OC； 而向量OG=向量OA+向量AG =向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2) =1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]

初中数学竞赛第十九讲三角形的四心(含解答)

第十九讲三角形的四心 【趣题引路】 你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,?变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,?空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,?微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,?在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 . 初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗? 证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径, 如图1,BO=OE,做OD⊥BC?于点D,?则BD=DC. ∴OD//1 2 EC.∵BE是直径. ∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形. ∴AH//EC,∴AH=2OD; （1）（2） (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2. OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′. ∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′. ∴AG′=2G′D. 又∵AD是中线, ∴G′与△ABC重心重合. ∴三角形的外心,重心,?垂心三点共线. 即H、G′、O共线.

【知识延伸】 三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.?由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础. 外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC?的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC. 内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC?的内心.则有: (1)∠BIC=90°+ 1 2 ∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)?内心I 到△ABC 的三边距离相等; (4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC. (5)?在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=1 2 (a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G?分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ; (3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,?则有AD 2= 1 2 (AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理). 垂心是三角形三条高所在直线的交点,?常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC . (3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC = 12AB ·r. S △ALC =1 2 AC ·r.

关于欧拉线的一个有趣结论

关于欧拉线的一个有趣结论 上海市延安中学 钟建国 我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线。这条直线，就叫做三角形的欧拉线。笔者在研究中发现一个关于欧拉线的有趣结论：如图1，已知1234L L L L 、、、这四条直线中 的任意三条直线都能围成一个非等边的三角形，且123 L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行于4L ，则124L L L 、、所围成的 三角形的欧拉线平行或重合于3L 。下面给出这一结论的两种 证法。 方法一：平几法。 我们先来证明一个预备定理：设1C 是ABC ?边CB 延长线上的一点，O G 、分别为ABC ?的外心和重心，11O G 、分别为1ABC ?的外心和重心。如果1//OG AC ，那么11//O G AC 。 证明：如图2，设直线OG 交直线1CC 于点D 。我们试图证明：1//G D AC ，1//O D AC ，从而就有11//O G AC 。 先证明1//G D AC 。如图3，连结1AG 并延长交1C B 于点1E ，连结AG 并延长交BC 于点E ，显然，1E E 、分别为线段1C B BC 、的中点。设111C E E B x ==，BE EC y ==。由1// GD AC ，得 12C D DE =。通过计算容易证得112 E D DC =，即1//G D AC 。

再证明1//O D AC 。如图4，因为1//OD AC ，所以11ODB C OO B ∠=∠=∠，这表明1O D B O 、、、四 点共圆。于是，111O D C O O B C ∠=∠=∠，即1//O D AC 。 最后证明原命题： 如图5，过2L 、3L 的交点作54//L L 。利用相似形的原理容易证明：124L L L 、、围成的三角形的欧拉线，一定平行于125L L L 、、围成的三角形的欧拉线。 如果123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于4L ，那么，123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于5L 。由预备定理知：125L L L 、、围成的三角形的欧拉线一定平行于3L ，从而有124L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行或重合于3L 。 方法二：解析法。 如图6所示建立平面直角坐标系。如果234L L L 、、中有一条直线垂直于1L ，则结论显然成立。要不然，我们设234L L L 、、的斜率为234k k k 、、，点B 的坐标为(0)a ，。 首先求出点A 的坐标，由此不难求出AOB ?的重心和垂心的坐标，最后求出A O B ?的欧拉线的斜率为23233k k k k +-+。同理，COD ?的欧拉线的斜率为2424 3k k k k +-+。 由已知，234233k k k k k +=-+。恒等变形此式，得243243k k k k k +=-+，原命题因此得证。

欧拉线的证明3.0版

高一（1）班离弦组制作人：艾莉希儿 2021.3.9 数学实践课 选取日期简介 欧拉线是指三角形的外心、重心、垂心，三点共线，在欧拉之前，三角形的外心、重心、垂心等的性质已经被人深入研究，但他们之间的联系却很少有人探讨，而欧拉对这些“心”之间的联系产生了较大兴趣，于1765年证明了此定理，因而人们把这条直线叫欧拉线。今天我们组就为大家带来它的证明。 欧拉线

证明： 设O是△ABC的外心，G是重心，AL是中线， 由重心性质可得 AG∶GL＝2∶1， 延长OG至H，使GH＝2GO，则有GH∶GO＝AG∶GL ∴OL∥AH， ∵OL⊥BC， ∴AH⊥BC， 延长AH交BC于D，则AD⊥BC， 同理，CH⊥AB。 故H为△ABC的垂心， ∴O、G、H三点共线，即△ABC的外心、重心、垂心三点共线。 当然我们是要使用向量来证明这个定理的，所以下面是向量的证明方法在此之前，我们先给出平面直角坐标系里重心的表达式 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则△ABC的重心 （(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3）. 设三角形的外接圆半径为1 设3个顶点为A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc) 由重心坐标公式 G((cosa+cosb+cosc)/3,(sina+sinb+sinc)/3) 设H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)

用向量垂直的条件得 AH'⊥BC,BH'⊥AC. 所以,H'与垂心H重合. 易见向量OH=3向量OG. 故O,G,H三点共线. 当然，还可以看出OG:OH=1:3 完结撒花??ヽ(°▽°)ノ? 感谢聆听 ps：还有什么到不到的地方就这样吧。。。。。。我都快口区了。。。。。。

三角形的四心&欧拉线的证明

三角形的四心 三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。 一、三角形的重心 三角形的重心是三角形三条中线的交点。 三角形的三条中线必交于一点 已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。 三角形的三条中线必交于一点 求证：AE=CE 证明：延长OE到点G，使OG=OB ∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG ∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG ∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE 三角形的重心的性质 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标： (X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

二、三角形的外心 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 三角形的三条垂直平分线必交于一点 三角形的三条垂直平分线必交于一点 已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O 求证：O点在BC的垂直平分线上 证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO ∵EO垂直平分AC，∴AO=CO ∴BO=CO 即O点在BC的垂直平分线上 三角形的外心的性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 5.S△ABC=abc/4R 三、三角形的内心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 三角形的三条角平分线必交于一点

平面几何中几个重要定理的证明

平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 A B C D E F P

定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ， 且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于 点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据 塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 A B C D E F P D / A B C D E F G

初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论 平面几何篇 【三角形面积公式（包括海伦公式）】 ）（为内切圆半径，为外接圆半径， 边上的高，表示，其中c b a p R BC h c p b p a p p pr C B A c b a C B A R R abc C ab ah S a a ++=---==++++=====2 1r ))()(()cot cot (cot 4sin sin sin 24sin 21212222ABC Δ【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD -AD 2·BC ＝BC·DC·BD ． 【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC ，(逆命题成立)． （广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD ． 【蝴蝶定理】AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP=QM ． 【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】 (1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)BP 2(AP AC AB 2222+=+ 中线长： 【垂线定理】AB ⊥CD ?AC 2-AD 2=BC 2-BD 2 高线长： 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边 对应成比例如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则 （外角平分线定理） 角平分线长： 【正弦定理】 2 222 22a c b m a -+=bSinC cSinB SinA a bc c p b p a p p a h a === ---=))()((2AC AB DC BD =为周长一半）其中p A c b bc a p bcp c b t a (2 cos 2)(2+=-+=为三角形外接圆半径）其中，R R C c B b A a (2sin sin sin ===

欧拉定理

欧拉定理 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。 （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 （2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。 （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。 定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。 （4）提出多面体分类方法： 在欧拉公式中，f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。 （5）利用欧拉定理可解决一些实际问题 如：为什么正多面体只有5种？足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？

三角形的五心欧拉线的相关知识及证明

三角形的五心 欧拉点：三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。 欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。 欧拉线： 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 证明： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上 垂心： 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、C、D到AB中点距离相等 ∴A、B、D、E四点共圆（以AB为直径的圆） 同理C、D、O、E到OC中点距离相等 ∴C、D、O、E四点共圆（以OC为直径的圆） ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 重心： 已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF 外心： 已知：有一△ABC，F是AB中点，E是AC中点 FO垂直AB，EO垂直AC。 证明:AO=BO=CO 解：在△AFO与△BFO中 AF=BF FO=FO ∠AFO=∠BFO=90°(垂直平分线) ∴△AOF全等于△FOB(SAS) ∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等) 在△AOE与△ECO中 AE=EC EO=EO ∠AEO=∠CEO(垂直平分线) ∴△AOE全等于△COE(SAS) ∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等) ∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等) 又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等) ∴AO=BO=CO 即O为△ABC的外接圆的圆心 内心 有一△ABC，AO,BO为角平分线，求证OC为角平分线。 自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分∠C,所以三角形三条角平分线交于一点。 旁心 证明:EO=FO=DO 在△ADO与△AFO中: ∠AFO=∠ADO ∠DAO=∠FAO(角平分线) AO=AO(公共边) ∴△ADO与△AFO全等 ∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)