关于欧拉线的一个有趣结论

关于欧拉线的一个有趣结论

上海市延安中学 钟建国

我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线。这条直线，就叫做三角形的欧拉线。笔者在研究中发现一个关于欧拉线的有趣结论：如图1，已知1234L L L L 、、、这四条直线中

的任意三条直线都能围成一个非等边的三角形，且123

L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行于4L ，则124L L L 、、所围成的

三角形的欧拉线平行或重合于3L 。下面给出这一结论的两种

证法。

方法一：平几法。

我们先来证明一个预备定理：设1C 是ABC ?边CB 延长线上的一点，O G 、分别为ABC ?的外心和重心，11O G 、分别为1ABC ?的外心和重心。如果1//OG AC ，那么11//O G AC 。

证明：如图2，设直线OG 交直线1CC 于点D 。我们试图证明：1//G D AC ，1//O D AC ，从而就有11//O G AC 。

先证明1//G D AC 。如图3，连结1AG 并延长交1C B 于点1E ，连结AG 并延长交BC 于点E ，显然，1E E 、分别为线段1C B BC 、的中点。设111C E E B x ==，BE EC y ==。由1// GD AC ，得

12C D DE =。通过计算容易证得112

E D DC =，即1//G D AC 。

再证明1//O D AC 。如图4，因为1//OD AC ，所以11ODB C OO B ∠=∠=∠，这表明1O D B O 、、、四

点共圆。于是，111O D C O O B

C ∠=∠=∠，即1//O

D AC 。

最后证明原命题：

如图5，过2L 、3L 的交点作54//L L 。利用相似形的原理容易证明：124L L L 、、围成的三角形的欧拉线，一定平行于125L L L 、、围成的三角形的欧拉线。

如果123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于4L ，那么，123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于5L 。由预备定理知：125L L L 、、围成的三角形的欧拉线一定平行于3L ，从而有124L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行或重合于3L 。

方法二：解析法。

如图6所示建立平面直角坐标系。如果234L L L 、、中有一条直线垂直于1L ，则结论显然成立。要不然，我们设234L L L 、、的斜率为234k k k 、、，点B 的坐标为(0)a ，。

首先求出点A 的坐标，由此不难求出AOB ?的重心和垂心的坐标，最后求出A O B ?的欧拉线的斜率为23233k k k k +-+。同理，COD ?的欧拉线的斜率为2424

3k k k k +-+。 由已知，234233k k k k k +=-+。恒等变形此式，得243243k k k k k +=-+，原命题因此得证。

用向量法证明欧拉线问题

b sin A=a sin B, (b co s A)2+(b sin A)2=(c-a co s B)2+ (a sin B)2, ∴a co s B+b co s A=c(射影定理), a sin A = b sin B (正弦定理), b2=c2+a2-2ca co s B(余弦定理). 用向量法证明欧拉线问题 刘步松　(江苏省运河师范学校　221300) 设三角形A B C外心为O,重心为W,垂心为H,则O,W,H三点共线,且 OH = 3 OW ,这便是著名的欧拉线问题.但平面几何证法较麻烦,笔者用向量坐标法去证,感觉过程较为简洁. 证　以外心O为原点,过O平行于B C 的直线为x轴,B C的中垂线为y轴,建立直角坐标系.设A D是B C上的高,并设各点坐 图1 标如下:A(a,b),B (-c,d),C(c,d), H(a,y),则B H= (a+c,y-d),A C =(c-a,d-b),因 为B H⊥A C,有B H ?A C=0,即(a+ c)(c-a)+(y-d)(d-b)=0,解之得y= -a2+c2+bd-d2 -d+b .因为O是外心,所以 OA = OB = O C ,即a2+b2=(-c)2+ d2=c2+d2,从而a2-c2=d2-b2,代入y的表达式,求得y=b+2d,即H的坐标是(a,b+ 2d).从H及A,B,C的坐标可以发现,O H = OA+OB+O C.又由重心定理OW= 1 3 (OA+OB+O C),从而有H,W,O共线,并 有 O H =3 OW .证毕. 构造法解竞赛题初探 胡国生　(江苏省洪泽县中学　223100) 大多数竞赛试题设计新颖,构思巧妙,综 合性强,注重对学生的思维能力的考查,因此 难度较大,不少学生无从下手.本文在用构造 法解竞赛题方面做一些粗浅探讨,希望对数 学爱好者有所启迪. 1　构造特殊图形 例1　正数a,b,c,A,B,C满足a+A=b +B=c+C=k,求证:aB+bC+c A

他真有趣_初一作文

他真有趣 他长得不高，身体很胖，剃着平头，那头上的一根根头发，一看就知道很有个性，鼻梁上架着一幅眼镜，看起来蛮有学问的嘛！说起话来嘴巴一咧一咧的，猜猜看他是谁？他就是我们的数学老师——佴老师。 佴老师的数学课教得特棒！我们都爱上他的课，其原因嘛，当然还有一点搞笑。一想起来，我就想笑，不信，我就讲几件事给你听听。 上课了，同学们都在教室里坐得端端正正――等待佴老师来上课。你不知道，佴老师发起火来能把房子给烧了，厉害吧！一会儿，佴老师一摇三摆地走进教室来了，刚进教室，他就以他那娴熟的“功夫”――手腕轻轻地把书摔了出去，书就像飞镖似的飞了出去，接着，又稳稳地落在了讲台上。“哇！”大家瞠目结舌，有的甚至叫起了“好！”。 怎么样，与众不同吧，告诉你，后面还有更搞笑的事呢！ 记得有一次，佴老师打了一道题目在投影仪上，大屏幕上顿时出现了那道题，同学们照例讨论开了。有的说：“这道横式可以不要。”有的说：“不知道佴老师这次葫芦里卖的是什药？”就这样七嘴八舌地议论了一会儿，佴老师清了清嗓子说：“吭，吭，同学们看到题目想到讨论，这点是值得表扬的。”佴老师顿了顿，又说“同学们通过讨论发现了什么？”“这个横式可以不要。”有人小声地在下面说。佴老师大步流星地走到了后门，拿了一把扫帚，

胆小的女生早就把眼睛闭了起来，是不是又有人犯错误，惹得佴老师生气。只见佴老师拿着扫帚，回到大屏幕前，只听“唰”的一声，雪白的幕布横式那有一道黑印子，佴老师用南京普通话说：“这道横式要，不要就大刀阔斧地删去，留它何用？”“哈哈哈……”下面发出一阵狂笑。佴老师就是这样，让我们在开开心心中学会，记牢数学题。 我们爱佴老师，爱他的智慧，更爱他的风趣幽默。平日里，每当佴老师和我们招手说：“Hi”的时候，我都在心里暗暗地想：这个老师真有趣。

什么真有趣作文400字

什么真有趣作文400字 什么真有趣作文400字（一） 《观察蚂蚁真有趣》 今天我决定到小区里仔细地观察一下蚂蚁，因为想知道蚂蚁到底有几只脚？ 我带着这个疑问，拿着放大镜，找到了一个蚂蚁窝。看到忙忙碌碌、爬来爬去的蚂蚁们，发现一只比较大的蚂蚁就拿起放大镜仔细观察起来。我发现蚂蚁的头和屁股大，身体有两截，它原来有六只脚。走路的时候是按顺序走的，前面两只脚先走，再到中间两只，最后是后面两只。蚂蚁还有两只触角，听说蚂蚁们见面的时候都会碰一下触角。可别小看这对触角哦！它不但是感觉器官，还是十分灵敏的嗅觉器官呢！触角上面有很多细微的小孔，蚂蚁的触角一碰，气味和消息就都传递了过去。 我从《十万个为什么》中知道蚂蚁是根据气味来认路的。于是我就拿了那放大镜在蚂蚁爬过的路上划了一条线，本来很有次序的蚂蚁们突然乱成一团。原来是因为气味断了，这种气味是靠蚂蚁腹部分泌出的一种物质散发出来的。直到蚂蚁们找到熟悉的气味，它们才又恢复了次序。 蚂蚁还有许多有趣的事呢！下雨天蚂蚁会搬家、蚂蚁还会打架、它还会“饲养”蚜虫呢！知道吗？蚂蚁虽然很小，但它可是动物世界

的举重能手呢！ 什么真有趣作文400字（二） 《打篮球真有趣》 去年暑假的一天上午，我一个人在家感觉很无聊，就找了十一个小朋友去附近的球场打篮球。 我们先把所有的人分成两组，每组六人。开始打了。球是我这组的。我拍着球左躲右闪，已经冲过了四个对手的防守。突然有两个“敌人”围住了我。我就飞快地把球投给我的队友小方。小方赶快把球投向篮球门。“扑咚”一声，我们得了一分了。我们开心极了。球是他们的了。他们队的一个人趁我们不注意的时候跑过去投篮。但他没有发现到我已经注意到了他。他正要跳起来投的时候，我就先跳起来把球给抢了过来。我脚刚落地就对准篮投了进去。啊，中了！我为我们这组又得了一分。 就这样，我们一直从上午打到了下午，连午饭都忘了吃，直到傍晚才回家。这天我心里美滋滋的，比吃了蜜还甜。 打篮球真有趣。 什么真有趣作文400字（三） 《钓鱼真有趣》 说起各种有趣的活动，莫过于钓鱼有趣。我对钓鱼之所以这么有兴趣，都源于父亲对钓鱼的执着与追求。 钓鱼既可培养兴趣，有可训练耐性，使灵魂得以升华。这些是钓鱼的好处。次要的是，收获的鱼可以作食物。记得我钓鱼钓的最开心

数学真有趣

2011年11月26日星期六晴 煎馃子的秘密 今天我到外婆家吃饭，路上看到一位大妈妈在煎馃子，大妈妈一边手工包馃子，一边熟练地来回翻动平底锅里的馃子。看到热气腾腾的馃子我直流口水，爸爸见我这幅馋样，买了一个让我解馋。 回到家中，爸爸向我提出了一道关于煎馃子的数学题：假设煎馃子的时候，第一面要煎2分钟，煎反面时，只要再煎1分钟就够了，也就是说，煎一个馃子需要3分钟，现在平底锅一次只能煎两个馃子，问煎三个馃子需要多少分钟？我想了一下，立刻对爸爸说“这还不简单，两个馃子两面都煎好需要3分钟，再煎第三个馃子需要3分钟，一共需要3+3=6分钟。”“考虑得不错，那你再想想，怎样煎才能节省时间？” 我瞪大了眼睛，节省时间？我跑到书房从书包里拿出《品德》、《数学》和《英语》课本，在书桌上模仿大妈妈煎馃子的样子，一边来回翻动这些课本，一边脑子里飞快地思考这道趣味数学题。过了一会儿，我快速跑出书房欣喜地告诉爸爸：“爸爸，我算出来了，只要5分钟！”爸爸摸摸我的头，对我说：“恭喜你答对了，你能告诉我你是怎么想的吗？” 我拉着爸爸的手来到书房，指着书桌上的三本课本对爸爸说：“爸爸你看，《品德》、《数学》和《英语》课本，分别表示三个馃子，课本的正反面表示馃子的正反面。我先把《品德》、《数学》的正面朝上，一起放入锅里“煎”，2分钟后把《数学》拿出来，把《品德》翻个

面，反面朝上，再放入《英语》，正面也朝上，煎1分钟后，《品德》“熟了”，我把《品德》拿出来，把《数学》翻个面，反面朝上放入锅里“煎”，1分钟后，《数学》也“熟了”，把它拿出来，同时把《英语》翻个面，‘再煎1分钟，这样，《品德》、《数学》和《英语》全部“熟了”，表示三个馃子都熟了，一共是2+1+1+1=5分钟时间。” 爸爸听了我的讲解和演示后，露出赞许的笑容，数学真有趣，只要数学的眼睛去观察生活，一定会有不一样的发现哦！

西藏2021年高一下学期数学期末考试试卷(II)卷

西藏2021年高一下学期数学期末考试试卷（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2016高一下·东莞期中) 1﹣2sin2 的值等于（） A . 0 B . C . D . 2. （2分）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（） A . B . C . D . R 3. （2分） (2019高二下·广东期中) 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是（） A . 恰有1件一等品 B . 至少有一件一等品 C . 至多有一件一等品 D . 都不是一等品 4. （2分）(2020·奉贤模拟) 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外

阅读时间为（） A . 1.5小时 B . 1.0小时 C . 0.9小时 D . 0.6小时 5. （2分） (2019高二上·台州期末) 已知圆C：，则过点的圆C的切线方程为 A . B . C . D . 6. （2分）平行线和的距离是（） A . B . 2 C .

D . 7. （2分） (2018高三上·深圳月考) 在中, 分别为角的对边),则 的形状为（） A . 直角三角形 B . 等边三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰三角形或直角三角形 8. （2分） (2019高一下·柳州期末) 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ A . -2 B . -4 C . -6 D . -8 二、多选题 (共4题；共12分) 9. （3分） (2019高二上·沂水月考) 设集合，，分别从集合和中随机取一个元素与 .记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的取值可能是（） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 10. （3分） (2020高一下·烟台期末) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，

数学奥赛-2(西姆松定理-欧拉线-九点圆)

西姆松(Simson)定理 西姆松定理说明 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线） 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC 于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠A CP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP， 则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、 L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL 垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N 和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。

高中数学竞赛定理

重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部

读书真有趣作文500字(精选4篇)

读书真有趣作文500字（精选4篇） 各位读友大家好！你有你的木棉，我有我的文章，为了你的木棉，应读我的文章！若为比翼双飞鸟，定是人间有情人！若读此篇优秀文，必成天上比翼鸟！ 读书真有趣作文500字一：读书真有趣（512字）文学家高尔基曾经说过：“书是人类进步的阶梯，也是人类的精神食粮。”这句话一直伴随我到现在，只不过当时我对这句话感到不惑。记得在我2、3岁的时候，妈妈给我买了一本名叫《唐诗三百首》的书，一个字一个字的教我读，教我背诵。每当家里来客人时，根据其他小朋友的一贯作风，肯定会叫：“阿姨好,”或“叔叔好”，可我却与她们不一样，我会在她们面前背诵刚学会的古诗，背完后，我会赢得一阵掌声和一个红包。从这时起，我就爱上了书。现在我上六年级了，作业量很大，几乎没有时间读课外书，很多同学认为只要把书本上的知识学扎实就行了，我却与她们

不一样，我们现在处信息社会，需要增强课外阅读来开拓眼界、增长知识。就算再忙再累，我都会抽处一些时间来阅读。“书，你是茫茫的海洋，而我只是一叶小舟，遨游在你的海面上，驶向成功的彼岸。”时而，读书时，我会唱出这样一首歌，这首歌是我自创自编自导的一首歌，大致内容是这样的：“书，书，我爱你，就像老鼠爱大米，”“书，书，我爱你，就像农民爱土地。”请不要见笑，不过我爱书确实是真真实实的。书是人类进步的阶梯，也是人类的精神食粮，这句话使我受益匪浅，而现在我不在对它感到不惑了，却对它有了一个全新的认识。读书真有趣啊! 读书真有趣作文500字二：读书真有趣（579字）小时候，妈妈告诉我：“书是人类进步的阶梯。”这是一个叫高尔基的人说的。当时，我脑子里在想：“书到底是什么东西，他到底可以干什么，有什么用？”后来，我慢慢喜欢上看书了。那是一个下午，我和妈妈在逛街，走着我便累了，这时妈妈

什么真有趣200字

什么真有趣200字 第一篇:《小学作文：一件有趣的事情200字》 一件有趣的事作文200字 一件有趣的事作文200字（一） 有一次，我吃完早饭，我找我的朋友去玩。 一路上，我们嘻嘻哈哈，在经过一栋老房子的时候，我觉得这个地方挺适合做游戏，于是我提议玩捉迷藏的游戏吧！好吧，大家一致同意，轮到我藏的时候，我低下头，蹲下身子，生怕被他们发现，突然，有趣的事发生了，天上既然掉下来一个玩具，正好砸到我头上，我哎呀一声，马上爬起来，没想到我一爬起来就被他们发现了。然后我告诉他们，天上居然掉了一个玩具，这次发现不算，我们又开始玩，不知不觉，到了晚上，回家之后，我把这事告诉了妈妈，妈妈也觉得真是不可思议。 今天真是有趣的一天！ 一件有趣的事作文200字（二）

我４岁时，爸爸带我回了老家。在那里，奶奶养了许多小鸡，经常叽叽喳喳地叫来叫去，我觉得非常有趣。我想母鸡可以孵蛋，我也可以孵出蛋。 说干就干，吃完晚饭后。我谎称要出去玩，便走出了家。我去了鸡仓拿了几个母鸡没孵出的鸡蛋，准备今天晚上睡觉时孵的。 该睡觉了，我平时是不愿盖被子的，因为热呼呼的。但这次为了孵出鸡蛋而牺牲盖上了几成被子。早上，我准备找孵出的小鸡，爷爷问我为什么尿床了？我看着床单上的蛋黄和蛋青，红着脸不好意思的笑了。 一件有趣的事作文200字（三） 人的记忆会随着时间的流逝而淡忘，就像被河水冲刷过的鹅卵石。什么真有趣200字 但有一件事，在我的记忆里还是很清晰。 记得5岁那年的一天，妈妈叫我去买盐。我马上飞奔去小卖部。我给了老板1元钱，然后拿了一袋盐，蹦蹦跳跳地走回家。

我心想：这盐是什么味道呢？想得心里怪痒痒的，想着想着，我就把盐袋打开一个小口子，倒出一些盐，放在手心里用舌头舔了舔，哇！不尝不知道，一尝吓一跳！真的很咸。 走着走着，我发现盐袋变轻了，可能是我力气变大了吧。谁知我低头一看，盐撒在地上了，我急忙把盐连沙一起拾到袋中。我正沮丧的走着，突然发现一位老奶奶在用水洗米。我眼前一亮，有了个主意。什么真有趣200字 我悄悄地跑进厨房要了一瓢水，把盐和沙放到水里，开始洗。过了一会儿我把沙子全拿走了，瓢里只剩下盐了。可当我要捞盐时，却发现盐不在了。这下可叫天天不应，叫地地不灵了。 之后，我便告诉妈妈，妈妈笑我是傻瓜。后来，我才知道，盐在水里是会溶解的。一件有趣的事作文200字（四） 你们都有过一件有趣的事吧？今天我给大家带来一件有趣的事吧。 记着有一次，我给小猫刮胡子，那时，我还什么都不懂呢，我才六岁，我经常看到理发员阿姨给人刮胡子，身穿白大褂，手拿着一把剪刀。有一天，妈妈出门了，我就拿着一把剪刀，要给小猫刮胡子了，我把小猫抱到椅子上，然后就要刮了，我忽然想到，赶紧去拿肥皂呀，然后给小猫涂上肥皂沫，谁知小猫又蹦又咬的，我瞅准机会，就要给小

平面几何中几个重要定理的证明

1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /

诗歌真有趣

诗歌真有趣 我国的诗歌史非常地悠远，唐有唐诗，宋有宋词，元有元曲......下面，让我们一起来领略诗中的无限风光吧。 下午，闲来无事，忽而一阵微风拂面而来，夹着雨后空气中特有的气息，还混合了一点桃花的香气。走着走着，我来到了一片桃树林，我忽而想起了一句："桃花坞里桃花庵，桃花庵里桃花仙......"美丽的桃花树下，风中飘落的花瓣雨，一片片，一声声，梦一样的轻，轻轻地拂上我心头，柔软而芬芳。又正如唐伯虎所说的那样，"酒醒只在花前坐，酒醉还来花下眠。"躺在桃花铺成的地毯上，我醉了，醉倒在这浓烈似火的桃花中，醉倒在这曼妙的时光里。 夕阳西下，该回家了吧，我伸了个懒腰，看夕阳余晖将天边的云朵尽染，染成五彩的晚霞，也给大地镀上了一层薄雾似的金黄。我脑海中一直飘荡着一句词："琴声远，身侧再无吹笛人。"可以想象，在作文夕阳下，一位身着白衣的少年，手中抚着琴，风儿撩起他略长的头发，一摁一挑，声如凤吟，一抚一拂，音似缠丝。抚琴人口中似乎在低声轻唱着什么，对，那是那年只对那一个人唱过的一首歌，只不过那个人现在已经听不到了......抚琴人似乎还没有告诉他，那首曲子的名为......《忘羡》...... 夜晚如墨汁般倾泻过来，月光无语。我轻轻翻开了一本古诗集，一句词在我脑中久久挥之不去："欲借烟丝遮别路，垂杨那是相思树。"纳兰容若一生中相思诗非常多，这就是其中的一首。我随着诗境，仿佛看到了征人们告别家乡，一双璧人在依依杨柳下，诉说着情肠；谁？倚着相思树等待着不知何时归来的翩翩公子。 在诗歌中，我能与作者同游，身临其境，在诗人描绘的景色中，体会着诗人对故人的思念与惆怅。脉脉情思，剪剪清愁。我与诗歌心有灵犀，诗歌，真有趣。

第五讲 平面几何中的重要命题

平面几何中的重要命题 在初等几何的平面部分，所涉及到的证明题分为两大类：证度量关系和证位置关系.证明位置关系中有一类问题比较棘手，即点共线、线共点和四点共圆的证明.常用的证明方法是利用梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理来证.这是一种表达形式简洁又非常实用的方法.特别是在点、线处于位置任意,无法确定具体度量或角度的情况下,使用如上定理证明问题时,往往能得心应手,起到事半功倍的作用.一般地，把梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理称为平面几何四大定理。 定理1（梅涅劳斯定理） 设A '、B '、C '是ABC ?的边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，则A '、B '、C '共线的充要条件是 1AC BA CB C B A C B A ''' ??='''. 证明：（必要性） AC A BC A S AC C B S '' ?'' ?'=' BA C A CC S BA A C S ''?''?'= ' A C C A C A S CB B A S ''?''?'= '由上面三式相乘即得 1AC BA CB C B A C B A '''??='''. （充分性）延长A B ''交AB 于点P ，下证P 与C '重合。 ∵1AC BA CB C B A C B A '''??=''' 及 1A P B A C B P B A C B A ''??='' 故AC AP C B PB '='，由点内分线段AB 成定比的点的惟一性知，P C '≡，故A '、B '、C '共线。■ 例1 如图，AD 是ABC ?的中线，F 是AD 的中点，求FE FB 的值。 解：直线AEC 截BDF ?，则 1BC DA FE CD AF EB ??=，因为 2BC DC =，2DA AF =，所以 14FE EB =，于是1 3 FE FB =。

欧拉线

欧理线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 欧拉线的证法1 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC ∴ DA‖CH，DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ∴ OM= 1/2DC ∴ OM= 1/2AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 ∴ G’是△ABC的重心 ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上

如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别 求出O G H三点的坐标即可. 欧拉线的证法2 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得 ∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3 利用向量证明，简单明了 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。 ∵AH = OH+ OA =向量OA+2向量OD (1) =向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD =向量OA+向量OB+向量OC； 而向量OG=向量OA+向量AG =向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2) =1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]

日记日记真有趣

日记日记真有趣 1.什么是日记？ 字典：每天所遇见的和所做的事情的记录 2.怎样写日记？ （1）主人公：我 （2）内容：看见的、听见的、想到的、做过的、在家里的、在学校的······ 3.日记格式 第一行：时间（XXXX年X月X日星期几天气X） 第二行：题目 第三行：正文（开头空两格） 4.日记的种类 （1）观察类日记 （2）活动类日记 （3）心得（思考）类日记 （4）摘录类日记 （5）剪贴类日记 5.怎样写好日记？ （1）写自己感触最深的事：最高兴、最难受、最难忘、最后悔、最有趣······ （2）写最重要的事：重要的情节、表情、动作、心理····· （3）写出事情的道理、意义、教训、感悟······ 6.一般思路 （1）开头：今天我看到（听到、想到、做了）什么； （2）中间：事情的起因，经过，结果。 （3）结尾：我的想法（道理、教训、意义） 7.歌谣 写日记并不难，日记格式很简单， 开头写清年月日，星期天气跟后边， 日记内容很丰富，所闻所感和所见， 真实感受写清楚，切忌一暴又十寒。

2012年9月2日星期日天气晴 值日 今天是开学第二天，老师昨天已经安排好了值日生，我是负责室外的值日生。 早上，我来得很早，所以，我一个人拿着扫帚和撮子先来到了清洁区，随后，其他组员也一个接着一个的来了。大家开始劳动了，有的拿着扫帚扫垃圾，有的拿着铁锹铲草，有的拿着撮子收，还有的拿着丝袋子装……同学们都累得满头大汗，我感觉自己的汗珠都在滴答滴答的往下滴呢。 同学们干的热火朝天，经过大家的努力，清洁区被我们扫的干干净净。这次劳动让我明白了，劳动的人是最美的。 2016年4月2日星期六晴 爬假山 今天，天空万里无云，空气清新甜润，我提议去公园玩，妈妈果断答应了。 我们高高兴兴的来到了公园，我被美丽的假山吸引住了，于是我和妈妈来到了假山下，我有个鬼主意爬假山。我找到了一个非常好爬的岩壁，手脚并用爬到了假山的山腰，我休息了一会儿，于是我又换了个地方，用尽全力去爬，终于爬了上去。站在高处我看见湖水碧绿碧绿，天空湛蓝湛蓝的，整个公园的景色非常美丽！正在我得意要下去时，发现我下不去了。我的心情非常恐惧，幸亏有个叔叔救了我，他很轻松的爬到了假山上，把我救了下来。 谢过了叔叔，我和妈妈就高高兴兴回家了，回家的路上我想：“叔叔的攀岩技术那么好，真像荒野求生的专家呀！” 春天来了 春天真的来了！在我们家的后面有一所学校，学校后面的桃花树开花了。有的才开两三片花瓣，有的全开了，有的还是花骨朵儿。 昨天，刚下过一阵春雨，春雨像广播员一样，告诉小花小草和大树春天来了。听到这个消息后，大树的枝条吐出了嫩叶，小花长出了小芽，小草探出了头。如果你仔细观察，你会看到迎春花全部开放了，没有什么能比它开的更早了，但是小草能比迎春花长的更早些。我想：大雁和机灵的小燕子，过几天会不会就能看到它们了呢？又可以听到它们悦耳的歌声了呢？ 我喜欢春天，因为春天万物都复苏了。

初中数学竞赛第十九讲三角形的四心(含解答)

第十九讲三角形的四心 【趣题引路】 你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,?变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,?空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,?微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,?在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 . 初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗? 证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径, 如图1,BO=OE,做OD⊥BC?于点D,?则BD=DC. ∴OD//1 2 EC.∵BE是直径. ∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形. ∴AH//EC,∴AH=2OD; （1）（2） (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2. OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′. ∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′. ∴AG′=2G′D. 又∵AD是中线, ∴G′与△ABC重心重合. ∴三角形的外心,重心,?垂心三点共线. 即H、G′、O共线.

【知识延伸】 三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.?由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础. 外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC?的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC. 内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC?的内心.则有: (1)∠BIC=90°+ 1 2 ∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)?内心I 到△ABC 的三边距离相等; (4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC. (5)?在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=1 2 (a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G?分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ; (3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,?则有AD 2= 1 2 (AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理). 垂心是三角形三条高所在直线的交点,?常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC . (3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC = 12AB ·r. S △ALC =1 2 AC ·r.

汉字活动真有趣

. . 汉字活动真有趣 宁乡县双凫铺镇中心小学五（2）班：谢婷咦，我们的教室里传来一阵欢呼声，那是在干什么？原来是下一 节课我们班将举行有趣的汉字活动，大家都高兴得手舞足蹈。 我们的活动分为两项：猜字谜和歇后语接龙。我们首先进行猜字谜活动，一听到猜字谜，同学们就乐得合不拢嘴，教室里顿时热闹起来了，大家纷纷说出自己准备好的字谜让其他同学猜。我们先锋组的周姝怡胸有成竹地走上讲台，说了一个谜语：“一根木棍，吊着一个方框，一把梯子搭在中央。打一字。”这个谜语让我们百思不得其解，疑惑得摸不着头脑。同学们有的互相张望，一点思路也没有；有的一动不动地望着黑板，紧锁着眉头思索着；有的拿着笔在纸上写着什么，希望能找到突破口。突然，王燕眼珠子一转，站起来大声说：“是面包的面‘字’。”我们恍然大悟，情不自禁地鼓起掌来，大家真是又羡慕又嫉妒。一个又一个的汉字谜语让教室里响起了一阵又一阵的掌声，同学们一个个都猜得眉飞色舞，教室里热闹非凡。在日常生活中，我们每天，不，可以说是每时每刻都在和汉字打交道，可竟没有发现它原来是那么奇妙！这节课，我真是收获不少啊！ 接着我们进行歇后语接龙，智勇组的杨雅茜大踏步走上讲台，出了几个歇后语让我们猜：“郑家的姑娘嫁给何家—”她让我们猜后一半。我们冥思苦想，仍然一无所获。袁老师提示我们：“以前的姑娘嫁给人家，就要把两家的姓氏连在一起……”老师的话还没说完，贺竞马上站起来回答：“郑家的姑娘嫁给何家—正合适（郑何氏）。”原来是这样哦，我们盘然醒悟，汉字真是奇妙无比啊！活动还在激烈地进行着，大家都不甘示弱，认真地猜着。下课铃响了，但同学们仍然意犹未尽。 这次别开生面的汉字活动让我们学到不少有关汉字的知识，既提高了水平，又娱乐了大家，让我了解了中国的汉字原来是那么有趣，让人回味无穷。同时也让我觉得学习中国汉字，简直是一种享受。以后，我一定会更加努力去学习中国的汉字，寻求每一个汉字的意义，得到其中的无穷乐趣！

关于欧拉线的一个有趣结论

关于欧拉线的一个有趣结论 上海市延安中学 钟建国 我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线。这条直线，就叫做三角形的欧拉线。笔者在研究中发现一个关于欧拉线的有趣结论：如图1，已知1234L L L L 、、、这四条直线中 的任意三条直线都能围成一个非等边的三角形，且123 L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行于4L ，则124L L L 、、所围成的 三角形的欧拉线平行或重合于3L 。下面给出这一结论的两种 证法。 方法一：平几法。 我们先来证明一个预备定理：设1C 是ABC ?边CB 延长线上的一点，O G 、分别为ABC ?的外心和重心，11O G 、分别为1ABC ?的外心和重心。如果1//OG AC ，那么11//O G AC 。 证明：如图2，设直线OG 交直线1CC 于点D 。我们试图证明：1//G D AC ，1//O D AC ，从而就有11//O G AC 。 先证明1//G D AC 。如图3，连结1AG 并延长交1C B 于点1E ，连结AG 并延长交BC 于点E ，显然，1E E 、分别为线段1C B BC 、的中点。设111C E E B x ==，BE EC y ==。由1// GD AC ，得 12C D DE =。通过计算容易证得112 E D DC =，即1//G D AC 。

再证明1//O D AC 。如图4，因为1//OD AC ，所以11ODB C OO B ∠=∠=∠，这表明1O D B O 、、、四 点共圆。于是，111O D C O O B C ∠=∠=∠，即1//O D AC 。 最后证明原命题： 如图5，过2L 、3L 的交点作54//L L 。利用相似形的原理容易证明：124L L L 、、围成的三角形的欧拉线，一定平行于125L L L 、、围成的三角形的欧拉线。 如果123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于4L ，那么，123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于5L 。由预备定理知：125L L L 、、围成的三角形的欧拉线一定平行于3L ，从而有124L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行或重合于3L 。 方法二：解析法。 如图6所示建立平面直角坐标系。如果234L L L 、、中有一条直线垂直于1L ，则结论显然成立。要不然，我们设234L L L 、、的斜率为234k k k 、、，点B 的坐标为(0)a ，。 首先求出点A 的坐标，由此不难求出AOB ?的重心和垂心的坐标，最后求出A O B ?的欧拉线的斜率为23233k k k k +-+。同理，COD ?的欧拉线的斜率为2424 3k k k k +-+。 由已知，234233k k k k k +=-+。恒等变形此式，得243243k k k k k +=-+，原命题因此得证。

欧拉线的证明3.0版

高一（1）班离弦组制作人：艾莉希儿 2021.3.9 数学实践课 选取日期简介 欧拉线是指三角形的外心、重心、垂心，三点共线，在欧拉之前，三角形的外心、重心、垂心等的性质已经被人深入研究，但他们之间的联系却很少有人探讨，而欧拉对这些“心”之间的联系产生了较大兴趣，于1765年证明了此定理，因而人们把这条直线叫欧拉线。今天我们组就为大家带来它的证明。 欧拉线

证明： 设O是△ABC的外心，G是重心，AL是中线， 由重心性质可得 AG∶GL＝2∶1， 延长OG至H，使GH＝2GO，则有GH∶GO＝AG∶GL ∴OL∥AH， ∵OL⊥BC， ∴AH⊥BC， 延长AH交BC于D，则AD⊥BC， 同理，CH⊥AB。 故H为△ABC的垂心， ∴O、G、H三点共线，即△ABC的外心、重心、垂心三点共线。 当然我们是要使用向量来证明这个定理的，所以下面是向量的证明方法在此之前，我们先给出平面直角坐标系里重心的表达式 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则△ABC的重心 （(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3）. 设三角形的外接圆半径为1 设3个顶点为A(cosa,sina) B(cosb,sinb) C(cosc,sinc) 由重心坐标公式 G((cosa+cosb+cosc)/3,(sina+sinb+sinc)/3) 设H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)

用向量垂直的条件得 AH'⊥BC,BH'⊥AC. 所以,H'与垂心H重合. 易见向量OH=3向量OG. 故O,G,H三点共线. 当然，还可以看出OG:OH=1:3 完结撒花??ヽ(°▽°)ノ? 感谢聆听 ps：还有什么到不到的地方就这样吧。。。。。。我都快口区了。。。。。。

什么真有趣作文300字5篇

什么真有趣作文300字5篇 各位读友大家好！你有你的木棉，我有我的文章，为了你的木棉，应读我的文章！若为比翼双飞鸟，定是人间有情人！若读此篇优秀文，必成天上比翼鸟！ 什么真有趣作文300字一：小仓鼠真有趣（291字）我家有一只小仓鼠，它特别、特别地有趣，让我慢慢来说给你听╠╠我把小仓鼠放在桌子上，只见它左窜窜、右窜窜，一会儿跑到小盘子里，一会儿跑到小袋子里。哎呀！这是怎么了？小仓鼠爬一会儿就用后脚站了起来，哇！不过这个样子好可爱呀！但我又担心它会不会有什么问题呢。于是我赶忙跑去问妈妈：“妈妈，妈妈，小仓鼠生病了吗？它怎么老是一站一站的呢？”妈妈抚摸着我的头说：“呵呵，它是想吃东西了。”我赶快去拿了一袋花生米，给小仓鼠填肚子，果然，它真的饿了，一眨眼，一颗花生米很快就被它吃光了，咦！小仓鼠还有一个习惯呢，它喜欢用前面的两

只“手”抱着吃，还不吃花生外面的红衣，剩下一地的花生皮，真是太有趣了。什么真有趣作文300字二：读书真有趣（327字）小时候，妈妈告诉我：“书是人类进步的阶梯。“这是一个叫高尔基的人说的．当时我的脑子里在想：书到底是什么东西，它有什么用？我想这个问题，之后，我渐渐爱上了书，开始，我喜欢看故事书，图中的小狗逗得我哈哈大笑。后来，故事书过时了，小说便快速的卷到了我家，什么，都是我的最爱。每当我看了；后，我就会情不自禁地说：“厉害!“再后来我喜欢看；看了这本书，我知道了香皂为什么是香的，人为什么要呼吸。现在，我上三年级了，我发觉我最喜欢看作文书。我家已经有5本了。每天，我都用半小时来看它．有时候，我居然不知不觉的看了一小时呢。我感到看作文书可以提高我的写作能力。每当我看完一篇后，就会十分高兴地说：“写得真好啊!”今天，我终于知道，书啊!你可以让人开阔眼界，增加新知识。什么

小学生作文：这节课真有趣(共5篇)

这节课真有趣！ 第一篇： 今天，上语文课的时候，老师对我们说：“同学们，都说眼睛是心灵的窗户，我们每个人有一双眼睛，可我觉得我们有三只眼睛。”听了老师的话，同学们议论纷纷，一个人怎么可能有三只眼睛呢？我想：老师为什么说我们有三只眼睛呢？我们的第三只眼睛究竟长在哪里呢？ “那我们先来做一个游戏，来寻找我们的第三只眼睛，谁自告奋勇上来？”老师笑眯眯地说。教室里鸦雀无声，同学们你看看我，我看看你，谁都不敢走上讲台。看到这种情形，老师只好“点将”了，班长心惊胆战地“奉命”走上讲台。只见老师从袋子里拿出红领巾，重复折叠几次后再把班长的眼睛蒙起来。老师的葫芦里究竟卖着什么药？这时老师拿出手机让班长摸一摸，还要他猜一猜是什么，太“小儿科”了，班长一猜就中了。老师又拿出一个饮料瓶，让班长猜，班长摸了又摸，才猜到是饮料瓶。哈，真有意思！ “第一个寻找第三只眼睛的游戏结束了，我们再做第二个游戏，这次需要两位同学上来。”老师话音刚落，同学们都争先恐后地要上去，结果这两个名额让张永斌和邓和柠抢去了。老师蒙住了他们的眼睛，然后从袋子里拿出两瓶透明液体让他们摸，让他们摇，还要他们猜瓶子里装的是什么。张永斌和邓和柠都说是水，老师也让我们猜是什么，同学们有的说是水，有的说是饮料。老师叫我们先别忙着下结论。老师拿出两个小杯子，分别从两个瓶子里倒出一小杯，让他们每人尝一种。邓和柠尝后皱着眉头，大家看了哈哈大笑，张永斌尝后笑嘻嘻的，还把杯子里剩下的全喝完了。老师又让我们猜猜他们喝的是什么?同学们议论纷纷，有的说邓和柠喝的是酒，有的说是醋；有的说张永斌喝的肯定是雪碧。老师说：“还是让张永斌和邓和柠来告诉你们吧！”结果邓和柠喝的是醋，张永斌喝的是雪碧。 做完这两个游戏，我知道了我们的第三只眼睛可以是：手，舌头，耳朵，鼻子。因为手可以摸，舌头可以尝，耳朵可以听，鼻子可以嗅。这都可以猜出