二元一次方程组复习学案(经典全面)模板

二元一次方程组复习学案

一、等式、方程 1．等式性质[

等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式． 2．方程

(1)含有未知数的等式叫做方程．

(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解． (3)解方程：求方程解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程

1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x ＝______.

2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.

三、二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程

(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．

(2)一般形式：ax ＋by ＝c(a≠0，b≠0)．

(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 2．二元一次方程组

(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

(2)一般形式：???=+=+222

111c y b x a c y b x a (a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．

(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次

方程组的解．

四、二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法． 1．用代入消元法---不要漏掉括号

(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式； (2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；

(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值． 2．用加减消元法---不要漏乘

(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；

(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；

(3)解这个一元一次方程；

(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．

考点一 ：二元一次方程概念 与解法

例1．已知??

?==1

2

y x 是二元一次方程组???=-=+18my nx ny mx 的解，则2m －n= .

例2．小明和小佳同时解方程组???=-=+1325ny x y mx ，小明看错了m ，解得?????-==

2

27y x ，小华看错

了n ，解得???-==7

3

y x ，你能知道原方程组正确的解吗？

总结分析：灵活学会“方程解”概念解题. 【巩固】已知方程组???-=--=+4652by ax y x 和方程组???-=+=-8

16

53ay bx y x 的解相同，求2017)2(b a +的值.

【变式】已知关于x ，y 的二元一次方程组??

?=+=+f

by ex c

by ax 的解为???==13y x ，你能求得关于x ，y

的二元一次方程组?

??=++-=++-f y x b y x e c

y x b y x a )()()()(的解吗？

★剖析总结★：灵活学会“方程解”概念解题，利用解相同，可以将方程重新组合，

换位联立；在解题过程中，常常运用类比的思想【巩固2】.

考点二：解决实际问题

列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审：有什么，求什么，干什么；

2、设：设未知数，并注意单位；

3、找：等量关系；

4、列：用数学语言表达出来；

5、解：解方程(组)；

6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．

7、答：完整写出答案(包括单位)．

列方程组思想：

找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

列二元一次方程----解决实际问题

类型：（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题;（4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题;（8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题;（12）优化方案问题.

一、行程问题

（1）三个基本量的关系：

路程s=速度v×时间t

时间t＝路程s÷速度V

速度V＝路程s÷时间t

（2）三大类型：

①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

②追及问题：快行距－慢行距＝原距，

③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

顺速–逆速= 2水速；顺速+ 逆速= 2船速

顺水的路程= 逆水的路程

甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

【变式】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度.

【变式】学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h 的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6h，则平路和坡路分别多远？

二、工程问题

三个基本量的关系：

工作总量＝工作时间×工作效率；

工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作效率＝工作总量÷工作时间

甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”.

一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.

三：商品销售利润问题

利润问题：利润=售价—进价=进价×利润率，

利润率=（售价—进价）÷进价×100%=利润÷进价×100%

有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？

【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A B

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

求该商场购进A、B两种商品各多少件；

四、银行储蓄问题

银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，

税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率

4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

总结升华:我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.

【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

五、生产中的配套问题

产品配套问题：加工总量成比例

某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

六、增长率问题

增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量

原量×（1＋减少率）=减少后的量

某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

思考：本问题还有没有其它的设法？

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口.

七、和差倍分问题

和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量

“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

【变式】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

八：数字问题

首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示

两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.

【变式】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？

【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数.

九：浓度问题

溶液×浓度=溶质

现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

总结升华：解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。

【变式】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

十、几何问题

必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式

如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.

【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

总结升华：解题的关键找两个等量关系，最关键的是本题设的未知数不是该题要求的，本题要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了.设长方形的长和宽，本题就简单多了，所以列方程解应用题设未知数是关键.

十一、年龄问题

人与人的岁数是同时增长的

今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？

总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）.

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

【变式2】一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才1岁；你到我这么大时，我已经37岁了.”请问老师、学生今年分别多大了？

十二、优化方案问题：

某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进

货方案；

(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，

为使获利最多，你选择哪种进货方案？

【变式】某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.

(1)该同学看中的随身听和书包的单价各是多少？

(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销.超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物每

满100元就返购物卷30元（不足100元不返卷，购物卷全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择哪一家购买吗？

若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？