2014数学建模A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略分析

承诺书

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2. 江泽鹏

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日期： 2014 年 9 月 14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。本文在着陆轨道设计的基本要求下，建立最优控制模型满足了每个阶段嫦娥三号在关键点所处的状态，以尽量减少软着陆过程燃料消耗的原则，完成了对三个问题的分析探究。

针对问题1，本文将嫦娥三号作为质点，根据椭圆公式求出半焦距的长度，采用适用于一切二体问题的开普勒第三定律模型，计算出近月点和远月点相应的速度大小，近月点速度为1.69204 KM/S，远月点速度为1.61390 KM/S，之后再通过给出的着陆点的方向反推出嫦娥三号相应的方向。

针对问题2，本文研究了一种应用参数化控制求解月球探测器精确定点软着陆最优控制问题的方法。首先用约束变换技术将小等式约束进行了近似处理，而后利用若十个分段的常数去逼近最优解，再根据强化技术通过时间轴上的变换，将每一段参数的持续时间转变为一组新的参数，于是最优控制问题被转化为一系列参数优化问题。最后应用经典的参数优化方法即可求得最优控制函数的一个近似解，通过增加参数个数，重复优化得到逼近连续最优解的参数化解。同时在优化过程中考虑了制动初始点的选取对结果的影响。运用matlab软件绘制着陆轨道的曲线，结果表明了所提设计方法足简单、有效

的。得到最优初始点坐标为X

0=837．71 km，Y

=1423.9 km，Z

=586.26 km。

针对问题3，本文根据月球探测器向月飞行轨道动力学方程式得到了飞行轨道误差的迭代方程，采用协方差分析方法对轨道初始误差的误差源造成的轨道误差进行了分析，结合具体算例，给出了探测器初始轨道位置和速度误差引起的向月飞行轨道误差的时间历程和轨道终点误差。计算结果表明，在发射嫦娥三号卫星过程中，必须进行多次中途轨道修正。

关键词：定点软着陆，最优控制，参数化控制，轨道误差，协方差分析方法

1问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

问题三：对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

2模型假设

1. 忽略太阳、地球对嫦娥三号卫星的引力

2.将月球近视为一个质量均匀的标准球体

3. 将嫦娥三号视为一个质点

4.主减速忽略动作调整所产生的燃料消耗

5.制动发动机推力可变

6.图片所给数据真实可靠

3符号说明v………………………………………………………………………………近月点速度.

A v………………………………………………………………………………远月点速度.

B o……………………………………………………………………………惯性坐标系

.

xyz

O L L L………………………………………………………………………月固坐标系.

x y z

.F………………………………………………………………………………发动机推力

.m………………………………………………………………………………探测器质量

.C……………………………………………………………………………制动火箭的比冲r…………………………………………………………………………………月球半径.

f

.°G…………………………………………………………………………………约束函数

.j ∧

…………………………………………………………………………………指标函数 .u …………………………………………………………………………………控制变量 .τ…………………………………………………………………………………调节参数 .θ…………………………………………………………………P 与Ay1轴正向所成夹角 .ψ…………………………………………P 在x1Az1平面上的投影与Ax1轴负向所成夹角 .α…………………………………………Ax1在xOz 平面上的投影与Ox 轴正向所成夹角 .β…………………………………………………………………………Ay1与Oy 所成夹角 .γ……………………………………月球自转而产生的固坐标系相对惯性坐标系的转角

4 模型的建立与求解

4.1 问题一

确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

4.1.1 问题一的分析

开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。在宏观低速天体运动领域具有普遍意义。对于高速的天体运动，开普勒定律提供了其回归低速状态的方程。根据附件1和附件2中给出的数据资料，近月点和远月点的相对距离都是已知的。本问题的模型解答可以根据椭圆公式求出半焦距的长度，然后利用适用于一切二体问题的开普勒第三定律计算出近月点和远月点相应的速度大小，之后再通过给出的着陆点的方向反推出嫦娥三号相应的方向。

4.1.2 问题一的解答

图1 开普勒第三定律模型

在图1中，A ，B 分别为嫦娥三号运动的近月点和远月点，以 和 分别表示嫦娥

三号在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见和的方向均与此椭圆的长轴垂直，则嫦娥三号在此两点时对应的面积速度分别为

图2 嫦娥三号软着陆曲线模型

由图2可知，NS平面为着陆的那个平面，A点为着陆点，A点在NS的平面坐标为19.51W，44.12N，B点为嫦娥三号的近月点，根据题意近月点到月球表面的距离为15km，又有着陆点的海拔为-2641m，所以有OB的距离为17641m,因此可以得出近月点的速度方向为（19.51W，44.12N，17641），根据近月点和远月点处在同一轨道，并且共线，所以远月点的方向和近月点刚好相反，高度都为17641m，因此可得出远月点的速度方向为（19.51E，44.12S，17641）。近月点速度为1.69204 KM/S，远月点速度为1.61390 KM/S。

4.2 问题二

确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

4.2.1问题二的分析

探测器经过环月轨道的软着陆方式因其具有较长的软着陆准备时间、对着陆位置的限制比较小以及减少着陆舱部分的燃料消耗等优点故而被广泛采用。该方式的关键环节就是从距离月面15 km的近月点至月面的动力下降过程。在本问题的分析中，模型考虑了月球自转，针对三维空间精确定点软着陆问题，利用参数化控制解决了变推力软着陆最优控制问题，此外还针对仅知制动初始点到月心距离而具体位置未知的情况，对初始点的选取进行了研究。

4.2.2问题二的解答

1. 动力学模型建立与控制律设计

探月飞行器首先进行霍曼变轨，从圆形环月轨道进入一条近月点高度为15 km的椭圆轨道；当到达近月点时，制动发动机点火，探测器进人动力下降段，最终以很小的相对速度(小于6 m／s)降落到月面指定位置。

图3坐标示意图

如图3坐标示意图所示，定义惯性坐标系Oxyz，原点在月心，参考平面是月球赤道面，Ox轴指的是月球赤道相对于白道的升交点，Oy轴指向月球自转角速度方向，Oz轴按右手坐标系确定。再定义月固坐标系OxLyLzL, 以月球赤道面为参考面,OxL轴指向赤道面与起始子午面的交线方向，OyL指向月球自转角速度方向，OzL轴按右手坐标系确定。Ax1y1z1为原点在探测器质心的轨道坐标系，Ay1指向从月心到着陆器的延伸线方向，Ax1垂直Ay1指向运动方向，Az1按右手坐标系确定。制动发动机推力P的方向与探测器纵轴重合，θ为P与Ay1轴正向所成夹角，ψ为P再x1Az1平面上的投影与Ax1轴负向所成夹角。β为Ay1与Oy所成夹角，α为Ax1在xOz平面上的投影与Ox轴正向所成夹角。γ为月球自转而产生的固坐标系相对惯性坐标系的转角，不妨假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。

显然有轨道坐标系到惯性坐标系转换矩阵

1cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin sin0cos

T

αββαβ

αββαβ

αα

-

??

??=-??

????

惯性坐标系到月固坐标系的转换矩阵为

2cos 0sin 010sin 0cos T γγγγ-??

??=??

????

根据牛顿第二定律，结合科氏定律整理可以得到探测器在月固坐标系中的

运动方程为..21.sin cos 2cos 02sin sin xL xL L zL yL yL L xL zL zL F m g V F T T g m V g F m V V V ωω?ψ??ψ????????

??????????????=--??????????????????????

??????????

其中VxL,VyL 和VzL 为探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影，F 为发动机推力，m 为探测器质量，gxL,gyL 和gzL 为该高度月球重力加速度在月固坐标系各轴上的投影，wL 为月球自转角速度。

因此，在月固坐标系中探测器耳朵运动方程可表示如下 .

.

.

.

.

.

/2//2/L xL L yL L zL

xL xL L zL yL yL zL

zL L xL

x V y V z V V OF m g V V PF m g V QF m g V

m F C ωω?=??=???=??

=-+???=-??=-+?=-???………………………………………………………（7） 其中

(cos cos cos sin sin )sin cos (sin cos cos cos sin )sin sin sin cos cos O αβγαγ?ψαβγαγ?ψβγ?

=--++

cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin P αβ?ψβ?αβ?ψ

=-++

(cos cos sin sin cos )sin cos (sin cos sin cos cos )sin sin sin sin cos Q αβγαγ?ψαβγαγ?ψβγ?

=--

-+

2

22

2

22

2

22

.

M

xL M

yL M

zL G g L L L

G g L L L

G g L

L L

x y z x y z x y z =

+

=

+

=

+

+++

G M 为月球引力常数，C 为制动火箭的比冲，是一个常值。取为系统状态变量，

[]

T

u F ?ψ=为控制变量，则式(7)可以简记为 X=f （x ，u ，t ）

按照耗燃最优的要求，取性能指标为 (

).

1

00

(0)m f

f

t t f

J m t mdt Fdt C

-=-=-=??

在实际情况下，通常没必要令探测器着陆速度严格等于零，只要能保证探测器以很小的相对速度降落到月面就足可以接受的。因此，考虑到这一点，本文将软着陆的末速度要求以惩罚冈子的形式加入到指标中如下式所示，主要目的是降低最优控制问题求解的复杂度，该惩罚因子可以通过反复的数值仿真运算，按经验设定。

10

f

t

J Fdt C -=?

(8)

此外，显然有约束条件

11

14(t )0(t )0(t )0

0L f Lf L f Lf L f Lf f g x x g y y G g z z g r =-=??

=-=??=?=-=?

?

=≥??

…………………………………………………（9） 其中x μ，y μ，z

μ为预定着陆点在月固坐标系中的坐标；f r =点到月心距离，即月球半径。

对于含有形如 4g ∧

这类关于状态变量在连续时间上都要满足的不等式约束最优化

问题，至今还是最优化领域的一个难 点。参考资料中[2]中给出一种约束变换技术，使得该类问题得到解决。 显然40g ≥等价于 {}440

()min ,00tf

L g g dt =

=?

(10)

但上式显然在40g =时不可微，因此用如下不等式去近似上式

40

(g )dt 0f

t G ετ+≥?

(11)

其中

442444,(g )/4,4

0g (g )g g G g εεεεεεε≥?

??

=-≤≤??

≤-??

- ε＞0，0τ

>，是调节参数。文献[2]证明了当ε足够小的时候，存在()0τε>，

使得对任何满足 0()ττε<< 的τ能够令(11)对(10)达到满足要求的近似。不妨记°G

为用(11)式替换 4

0g ≥ 后得到的新的约束函数。 因此本文所讨论的软着陆耗燃最优问题转化为：

问题1在系统(7)满足约束函数°G 的情况下，求取适当的控制变量 u 使指标函数(8)达到最小。

2. 参数化控制求解耗燃最优问题

假定初始时刻为0，终端时刻tf 为待定参数。

选取满足0

10......p

p p p p

f i i n

t t

t t t -=

<<<<<=的序列{}

p

n i p

i

t =和三组参数

,,F,,,,0,1,...,p

p

p

p i i i i n ?ψσσσ=，构造形如

(t),(t),(t)

F,(t)1(t)1(t)1[,)[,)[,)p

p p n p p i i n p p i i n p p i i p p

i i p p

i i p p i i t t t t F t t ?ψχ?σψχσχσ?=?-?

??=?-?

?=?-??

∑∑∑ 的参数化分段常数控制器。 其中

(t)11,[,)10,[,)p p

i i t p p i i otherwise

t t t t χ

-?∈?=?-??

用控制器

[]T

p

p p

p

u F ψ?=替换系统（7）中的[]T

u F ?ψ=，则问题1转变

为：问题2 寻找三组参数

{}1,p

n i

p

i ?σ=，{}1,p n i p i ψσ=，{}

1F,p

n i p i σ= 来最小化指标函数（8），并且满足约束函数°G

。 显然，对于每个给定的P ，这都是一个有限维的参数优化问题。文献[4]中第六章已经证明了当P 一+∞时，问题2的最优解收敛于问题1的最优解。不过文献[5]已经证明了在数值计算中，求解问题2的参数梯度时难度很大甚至求不出真实解，因而本模型引入强化技术来解决这一问题。

从[0,1]s ∈到[0,t ]f t ∈构造如下变换

1

1

1

1

(s)()()i p p

p

p

p

j j j

j i j t s ξ

ξξδ

δ---==

-+-∑

上式中

p

j

δ

>0, 1

[),i 0,1...,n p p

p i i

s ξξ-∈-=,序列

{}

p

n i

p

i ξ=为[0,1]区间上预先给定的

分段点，并且满足0

1

0......1p

p p p p i i

n ξ

ξ

ξξ

-=

<<<<<=。

将上式两边对s 求导可得 (s)/ds v (s)p

dt =

其中

(s)

(s)1(,)p

n p p

i i

p p v i i χδεε=-∑

(s)

11,s [,)10,otherwise

(,)

p p

i i p p i i χεεεε-?∈?=?-?? 不妨令

(t(s))u (t(s))(s),(s)t(s)v (s)p p x x u ∧∧

????==????

????

则得到如下增广系统

(s)f(x(t(s)),u (t(s)),t(s))(s)p p p v d x ds v ∧

??= ? ???

即

////(/2)

/(/)

/(/2)

//C dt/ds v p

xL p

yL p zL

p

p

L zL xL p

p

yL

p

p

L xL zL

p p

p d ds v V L d ds v V L d ds v V L

d ds v O F A w xL

d ds v P F yL

d ds v Q F w zL

d ds v F x y z V g m V V g m x g m V m ∧

∧∧

∧

∧∧

∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧?=???=???=???=-+???=-??=-+???=??=?

…………………………………（12） 其中O ∧，P ∧，Q ∧与xL g ∧，yL g ∧ ，zL g ∧ 分别为O,P,Q 与xL g ，yL g ∧ ，zL g ∧

经过变换后的形

式，(t(s))L

L x x ∧

=，(t(s))L L y y ∧=，(t(s))L L z z ∧=，(t(s))xL xL V V ∧

=

(t(s))yL yL V V ∧

=，(t(s))zL zL V V ∧

=，(t(s))m m ∧

=；

指标函数变为

1

1

p

j C

v

F dt ∧

∧

-=+? (13)

约束条件变为

12

31405

(1)0,(1)0,

(1)0

0(1)t 0

L Lf Lf L

L Lf p f g x x g y y G g z z v g G ds g t ετ∧∧

∧

∧

∧∧

∧

∧∧

∧

?=-=???=-=??==-=???=+≥?

??=+=??……………………………………（14） 其中4(g (t(s)))G G ε

ε∧

=

由于仅仅已知探测器在软着陆始点到月心的距离0r 和探测器的初始速度以及初始质量0m ，而软着陆起始点另两个空间位置信息α角与β角的初始值0α与0β未知，因而令0α与0β为系统待定参数，则系统初始状况可以表示为

000,00000,0,0,0,

0(0)r cos sin (0)r cos ,(0)r sin sin (0)(0)(0)(0)L L L xL xL yL yL zL zL x y z V V V V V V

m m αββαβ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

?=??=???=??=???=??=??=??

(15)

那么问题2转化为如下问题：

问题3在系统(12)满足约束并且初始条件如式(15)的情况下，求取适当的控制变量u(s)使指标函数(13)达到最小。

再由(s)(s)(t(s))(s)(t(s))(s)(s)(t(s))(s)1[,)p

p p p p

p p n p i u F F p p p

v i i i ??ψψχδεε∧∧∧

∧

??=????=????=??=????=??

-??

∑ 可知，问题3将最初的探月飞行器软着陆最优控制问题转化成了优化静态控制参数

{}

1,p

n i

p

i

?σ=，

{}

1,p

n i

p i

ψσ= ，{}

1F,p

n i

p

i

σ=以及系统参数0α，0β， f t 的问题，利用

经典的参数优化算法即可求出登月飞行器的软着陆最优控制的一组逼近解和软着陆最优初值点位置以及终端时刻。利用此算法，增加时间的分段点个数叮以重新优化，经过多次优化后即町得到满意精度的参数化解。

此外，假如令系统(7)中的推力F 为已知的恒定推力，令控制变量[]

T

u ?ψ=

，则

本文问题变为恒定推力下软着陆最优控制问题，依然可以利用本文模型方法解决，而依据极大值原理结合传统的打靶法则只能解决恒定推力的情况，因I 而相比之下本文方法适用性更广。

3. 6个阶段的最优控制策略

（1）问题分析

由于月球表面没有大气，着陆器的速度必须完全由制动发动机抵消才能实现安全软着陆，所以减少燃料消耗是增加有效载荷的关键所在，将嫦娥三号软着陆问题，分为6个阶段依次为主减速、快速调整、粗避障、精避障、缓慢下降、自由下降。

根据题意，将6个阶段分为4个阶段，依次为第一阶段（主减速和快速调整）、第二阶段（粗避障）、第三阶段(精避障)、第四阶段（缓慢下降和自由下降）。

在第一阶段，利用最优控制过程推导，减少燃料消耗，这一阶段已在上一问得到解决。

在第二阶段，粗避障阶段，嫦娥三号悬停在月球表面约2400米上方，对星下月表进行二维和三维成像，利用遗传算法的思想，从图像中先随机选取部分点，能直接从三维图像中得知该点的海拔高度，再分别扫描这些点附近的地貌，找出一些地势平坦的区域，我们用区域所有点与中心点海拔的均方差作为地势判断依据之一，保留这些坐标，并进行重新组合，并改变某些坐标以便能获得其他新区域的坐标，再次搜索地势平坦的区域，重复进行多次搜索，直到没有出现崎岖地势的时候，我们将此时地势最平坦的地方作为全局最优降落地点。

在第三阶段，精避障阶段，嫦娥三号悬停在月球表面约100米上方，由于在第二阶段已选定了平坦区域，也是用第二阶段采取遗传算法的思想，对采取数据进行高分辨率三维成像，对选取的区域进行更进一步的判断，选取地势更为平坦的区域作为最优降落地点。

在第四阶段，卫星先是水平速度为0米/s ，推力方向向下，进行缓慢降落，然后在离地面4m 时，卫星将暂时处于悬停状态，关闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆

成功。

（2）问题解决

1. 对于第一阶段，在大约距离月球15公里到3公里，此时，反推发动机就要点火工作，着陆器的大部分燃料消耗在这个阶段。利用最优控制过程推导，减少燃料消耗。详细分析已在上问得到解决。

2. 对于第二阶段，利用附件3高程图用matlab软件分析得到矩阵数据避开障碍物。该高程图的水平分辨率是1m/像素，其数值的单位是1m。例如数字高程图中第1行第1列的数值是102，则表示着陆区域最左上角的高程是102米。

图4 三维粗障碍物高程图

3. 对于第三阶段，利用附件4高程图用matlab软件分析得到矩阵数据避开障碍物。该数字高程的水平分辨率为0.1m/像素，高度数值的单位是0.1m。例如数字高程图中第1行第1列的数值是100，则表示着陆区域最左上角的高程是10米。

图5三维精障碍物高程图

4. 运用matlab计算结果

已知嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2400kg，安装在下部的主减速发动

机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s由题一算出近月点的速度为：1.69204 KM/S，远月点的速度为：1.61390 KM/S。

月球平均半径1737.013km、赤道平均半径1737.646km和极区半径1735.843km，月球的形状扁率为1/963.7256，月球质量是7.3477×1022kg。月球与地球距离最远（远地点）：406610km，最近（近地点）：356330km，平均距离为384400km。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。利用最优控制软件miser3．2，通过计算机仿真运算令ε=0.01,=0.0025,n

p

=30即可得到符合精度的最优解，最终利用本文的参数化控制

得到软着陆末时刻t

f

=538.2s，末时刻探测器质量1334.88 kg，燃料消耗为1065.12 kg，最终燃料消耗为飞行器总质量的44. 38%。最后探测器以3.9811m／s的对月速度精确降

落到指定登月点。此外可得α

0=34.9860，β

=35.6810,从而有最优初始点坐标为X

=837．71

km，Y

0=1423.9 km，Z

=586.26 km。

图6 软着陆最优控制律

图6为利用本文方法得出的最优控制律，由于最优控制律是分段常值函数因而为阶梯图；图7为软着陆速度曲线，可以看出探测器着陆时相对月面速度足够小，软着陆成功实现；图8为软着陆最优轨线，显示了α角与β角以及探测器距月心的距离

r=9是探测器质量变化曲线。

f

图7 软着陆速度曲线

图8 软着陆最优轨线

图9 质量变化曲线

4.3 问题三

对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

4.3.1 问题三的分析

卫星向着陆轨道动力学方程式得到了着陆轨道误差的迭代方程，采用协方差分析方法对轨道初始误差误差源造成的轨道误差进行分析，结合具体算例，给出了卫星初始轨道位置和速度误差引起的着陆轨道误差的时间历程和轨道终点误差。

4.3.2问题三的解答

1.对卫星向着陆轨道的详细分析的基础上，采用协方差分析方法对其轨道初始误差源造

成的轨道误差进行分析，并给出仿真算例，分析初始轨道位置误差和初始速度误差对轨道终点的位置和速度误差的影响，及从近地点轨道入轨点开始至着陆为止轨道位置的相应的轨道位置和速度总误差（3σ）的时间历程。

2. 协方差分析方法的基本原理 对于如下非线性函数关系

12(x ,x ......x )n y f = (16)

可以使用一阶泰勒级数展开对其进行线性化，有

111x ...x (x ...x )n n n

f f

y y f o x x ??+=+

+++??V V V (17)

其中，o(x1……xn )为x1……xn 的高阶项。从而得到线性化方程

1

1

n

i i f y x x δδ=?=?∑

(18)

或表示为

Y P X δδ= (19)

这里P 是偏导数矩阵：

i i f P x ?=

?

(20)

若自变量1......n x x δδ 是随机变量，则线性化方程的函数y 的协方差矩阵为：

()E(P X P )PE(X )P T T T T T E Y Y X X δδδδδδ==g (21)

T

y x C PC P = ………………………………………………（22） 式中 CX 是自变量的协方差矩阵；Cy 是函数Y 的协方差矩阵。

协方差矩阵中对角线元素是方差，非对角线元素为协方差。显然，只要求出传递矩阵P ，便可确定源误差与欲求量误差之间的关系。若给定各种源误差，如发动机安装误差、敏感器测量误差或发动机推力和点火时间等误差时，便可以分析其对目标轨道误差的影响以及对控制系统精度的影响，进一步对各系统及元部件提出适当的精度要求。

3. 计算向月飞行轨道误差的协方差迭代方程

考虑到轨道参数的误差之相对于轨道参数的标称值是小量，因此可以将轨道运动方程进行线性化，从而得到能够反映轨道参数偏差量的传播关系的误差方程。在应用双二体模型且在地球影响球围时，对轨道运动产生摄动影响的各项，如月球引力摄动、太阳引力摄动、大气阻力摄动和太压摄动等对误差方程的影响很小，因此在误差方程中将它们忽略掉。

反映轨道位置和速度误差的线性化方程如下：

HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题

HIMCM 2014美国中学生数学建模竞赛试题 Problem A: Unloading Commuter Trains Trains arrive often at a central Station, the nexus for many commuter trains from suburbs of larger cities on a “commuter” line. Most trains are long (perhaps 10 or more cars long). The distance a passenger has to walk to exit the train area is quite long. Each train car has only two exits, one near each end so that the cars can carry as many people as possible. Each train car has a center aisle and there are two seats on one side and three seats on the other for each row of seats.To exit a typical station of interest, passengers must exit the car, and then make their way to a stairway to get to the next level to exit the station. Usually these trains are crowded so there is a “fan” of passengers from the train trying to get up the stairway. The stairway could accommodate two columns of people exiting to the top of the stairs.Most commuter train platforms have two tracks adjacent to the platform. In the worst case, if two fully occupied trains arrived at the same time, it might take a long time for all the passengers to get up to the main level of the station.Build a mathematical model to estimate the amount of time for a passenger to reach the street level of the station to exit the complex. Assume there are n cars to a train, each car has length d. The length of the platform is p, and the number of stairs in each staircase is q. Use your model to specifically optimize (minimize) the time traveled to reach street level to exit a station for the following: 问题一:通勤列车的负载问题 在中央车站,经常有许多的联系从大城市到郊区的通勤列车“通勤”线到达。大多数火车很长(也许10个或更多的汽车长)。乘客走到出口的距离也很长，有整个火车区域。每个火车车厢只有两个出口,一个靠近终端, 因此可以携带尽可能多的人。每个火车车厢有一个中心过道和过道两边的座椅，一边每排有两个座椅，另一边每排有三个座椅。走出这样一个典型车站,乘客必须先出火车车厢,然后走入楼梯再到下一个级别的出站口。通常情况下这些列车都非常拥挤,有大量的火车上的乘客试图挤向楼梯，而楼梯可以容纳两列人退出。大多数通勤列车站台有两个相邻的轨道平台。在最坏的情况下,如果两个满载的列车同时到达,所有的乘客可能需要很长时间才能到达主站台。建立一个数学模型来估计旅客退出这种复杂的状况到达出站口路上的时间。假设一列火车有n个汽车那么长,每个汽车的长度为d。站台的长度是p，每个楼梯间的楼梯数量是q。使用您的模型具体来优化(减少)前往主站台的时间，有如下要求: Requirement 1. One fully occupied train's passengers to exit the train, and ascend the stairs to reach the street access level of the station. 要求1.一个满载乘客的火车，所有乘客都要出火车。所有乘客都要出楼梯抵达出主站台的路上。 Requirement 2. Two fully occupied trains' passengers (all passengers exit onto a common platform) to exit the trains, and ascend the stairs to reach the street access level

我国成功发射“嫦娥三号”探测器

2013年12月3日，星期二，多云，气温6℃-17℃。 我国成功发射“嫦娥三号”探测器 今天凌晨1时30分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭成功将“嫦娥三号”探测器发射升空。“嫦娥三号”将首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，为我国探月工程开启新的征程。 运载“嫦娥三号”的长征三号乙运载火箭完全按照“零窗口”准时发射。火箭飞行19分钟后，器箭分离，“嫦娥三号”顺利进入近地点高度210公里，远地点高度约36.8万公里的地月转移轨道。2时18分许，太阳翼展开。西昌卫星发射中心主任张振中随即宣布：“嫦娥三号”发射任务取得圆满成功。 “嫦娥三号”奔月飞行约需112小时，在此期间将视情况进行轨道修正。预计探测器将于12月6日飞行至月球附近，实施近月制动，进入100×100公里的环月圆轨道。 按照计划，“嫦娥三号”将于12月中旬择机在月球虹湾地区实现软着陆，开展月表形貌与地质构造调查、月表物质成分和可利用资源调查、地球等离子体层探测和月基光学天文观测等科学探测任务。“嫦娥三号”探测器由着陆器和巡视器（也叫月球车）组成。 和地球一样，月球上也有开阔的平地、高原，连绵不断的山脉，陡峭的崖壁，以及幽深的大沟。搭载在“嫦娥三号”上各种探测仪器能够让这些高山、岩石“开口说话”，从它们身上读出月球的历史故事。 在月球上，除悬崖峭壁之外，几乎所有月面都覆盖着一层厚厚的月壤。这些月壤主要由频繁撞击所产生的岩石碎屑、粉末等溅射物经过46亿年的累积形成，月壤下可能隐藏着人类所需要的宝藏，例如可供人类长期使用的清洁、安全、高效的核聚变燃料氦3。 跟随“嫦娥三号”落月的测月雷达、红外成像光谱仪以及粒子激发X射线谱仪，将在月球进行实地勘探，探明月球表面的物质成分以及可利用资源。 “嫦娥三号”的着陆器上搭载了两个观测仪器——月基光学望远镜和极紫外相机，它们将把月球作为平台，观测太空深处以及地球空间环境。 除了巡天，“嫦娥三号”还会观察它的故乡，在月球上观察地球的等离子体层。

数学建模练习试题

2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 本文以嫦娥三号登月为背景，研究的是嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制策略问题。根据动力学相关原理，建立了嫦娥三号软着陆轨迹模型，得到软着陆过程中各阶段的最优控制策略。 针对问题一，通过已知条件求解主减速阶段运动过程，通过水平位移量反推近月点位置。建立模型一确定近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号速度大小与方向。首先以月球中心为坐标原点建立空间坐标系，根据计算的作用力可知地球影响较小，故忽略不计。然后将嫦娥三号软着陆看作抛物线的运动过程，计算在最大推力下的减速运动，求得月面偏移距离为462.4km，由此计算出偏移角度为15.25°。从而得出近月点和远月点的经纬度分别为（34.76°W，44.12°N）和（34.76°E，44.12°S）。最后在软着陆的椭圆轨道上，由动力势能和重力势能的变化，计算出嫦娥三号在远月点和近月点的速度分别为1700/和1615/，沿轨道切线方向。 针对问题二，我们根据牛顿第二定律，以每个阶段初始点以及终止点的状态作为约束，以燃料消耗最少作为优化目标，可以建立全局最优模型。而通过将轨迹离散化，进行逐步迭代从而求得每个阶段的水平位移，并分别得到软着陆过程中六个过程中的着陆轨迹方程以及其对应的最优控制策略。而在粗避障以及精避障阶段，我们将所给的数字高程图均分为9块，综合考量每一块的相对高程差和平坦度指标来选取最佳着陆点。在粗避障阶段，根据燃料消耗最少的目标，选择把先将主减速发动机关闭，在进行一段时间匀加速直线运动后再打开发动机，进行减速直线运动作为最优的控制策略。 针对问题三，首先我们改变近月点处到月表的距离和减速发动机的推力这两个因素，对嫦娥三号处的水平位移、燃料消耗等等因素进行灵敏度以及误差的分析，可以观察到近月点离月表的距离与水平位移和燃料消耗均呈线性正相关，同时注意到减速发动机的推力与水平位移呈线性负相关，与该燃料消耗却又呈线性正相关，这也与常识相符合。由于嫦娥三号在主减速段水平位移最大，因此我们选取该段从对近月点离月表的距离和减速发动机提供的推力变化两个变量来对模型进行阶段的误差分析，通过计算每个阶段时间的相对误差对最优化后的模型进行误差分析。 最后，本文对所建立的模型进行评价，指出优缺点并提出改进的方向。 关键词：抛物线；最优控制；线性正相关；相似度1.04% 一、问题重述 嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(嫦娥3号软着陆)

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛 参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站 下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果 或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如 有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开 展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 19005007 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 14 日

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)

西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概

2014数学建模A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略分析

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：13003024 所属学校（请填写完整的全名）：理工学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 煌 2. 江泽鹏 3. 章芳敏 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王琛晖 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

我国成功发射嫦娥三号探测器

我国成功发射嫦娥三号探测器 中国航天的发展一直偏重应用，而在纯科学的空间天文与深空探测方面，过去长期是空白的。所谓“深空探测”是指航天器脱离地球引力场，进入太阳系空间或更远的宇宙空间进行探测。现在世界范围内的深空探测主要包括对月球、金星、火星、木星、小行星等太阳系星体。与通讯卫星、导航卫星、遥感卫星等各类人造地球卫星相比，深空探测的实用价值可以说微乎其微，其意义更多在于天文学、理论物理等科学领域的前沿探索。 我国是直到进入21世纪才启动了探月工程，正式开始深空探测工作，即嫦娥探月工程。事实上，即便是嫦娥探月工程的提出和立项，也经历了多年的蹉跎。或许是受到日本发射飞天号月球探测器的刺激，我国早在20世纪90年代初就对月球探测的必要性和可行性进行了初步论证，并提出使用长征二号捆绑火箭发射月球撞击器的构想，不过由于种种原因，这个和日本飞天号一样仅有象征意义的探月方案并没有启动。 90年代后期我国再次论证探月方案，并对首次探月的科学目标进行了分析和研究，2000年中科院提出的月球探测器的科学目标和有效载荷通过论证和评审，随后中科院开始对载荷关键技术和地面处理应用系统进行研究，2002年中科院和航天部分提交了月球探测器立项报告。2003年8月15日印度独立日上，印度总理正式宣布研制月船一号月球探测器，在此影响下2004年1月我国正式启动嫦娥探月工程。

嫦娥探月工程分为三期，简称为“绕、落、回”。探月工程一期的“绕”，计划发射一颗月球轨道器进行绘制月面三维立体图像、探查月面物质成分等任务；探月工程二期的“落“，将发射一颗月球软着陆探测器，并携带一个月球车作为巡视器，两者联合进行地形地貌和地质结构的探查，并携带望远镜在月球表面仰望星空；探月工程三期的“回”，是指发射月球取样返回探测器，探测器降落到月球后，将自动采集月壤和月岩样品，最后由返回器带回地球。我国将通过难度逐步增加的“绕、落、回”的三步走，突破和掌握全套无人探月技术，为未来可能的载人登月积累经验并做好技术上的准备。 我国嫦娥探月工程虽然立项较晚，但作为国家重大科技专项，进展还是非常快的，先后于2007年、2010年发射嫦娥一号和嫦娥二号探月卫星，完成第一步“绕”，以及二期工程“落”的前期勘探和技术验证。今年这次发射嫦娥三号月球软着陆探测器将实现第二部“落”。月球南极被认为最有可能存在水，所以作为嫦娥三号的备份星的嫦娥四号可以考虑进行探测嫦娥四号将起到承上启下作用 那么，嫦娥探月工程会何时实现最后一步“回”？ 首先要介绍的是嫦娥四号，它是嫦娥三号的备份星，目前已经和嫦娥三号同步完成了正样研制。较早的资料表明，嫦娥三号的巡视器设计寿命3个月，而嫦娥四号设计寿命12个月，分析认为这种区别很可能是前者首次应用，在宣传口径上做了保留。 嫦娥一号和二号的总设计师叶培建院士曾提到，嫦娥四号将在嫦娥三号的基础上作一定的改进，而且运行时间只有几个月，结合他后来说

数学建模作业

习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？

4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890

数学建模嫦娥三号运行轨迹及着陆点分析

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要：根据题目附录和文献[4]中提供的嫦娥三号的运行参数，利用角动量守恒及向量几何的方法，分别确定了近日点、远日点的位置向量和速度向量。与文献[4]的真实数据比较发现吻合良好。 本文重点关注优化减速控制与着陆点避障两方面：前者燃耗最大，后者决定着陆成败。 首先，在多重坐标变换基础上，建立了飞行器制动的动力学方程。并以燃耗为最优化性能指标、近月点状态为初始条件、着陆点状态为终端条件，利用极值原理求解飞行器的着陆轨迹，及其最优控制参数。 其次，对避障阶段采集的高程图采取水平剖分、比较高程方差的方法，解出最优降落点。 关键词：软着陆；最优轨道；避障

1、问题重述 嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道，于北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，安装在其下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。嫦娥三号四周安装了姿态调整的发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，为了保证嫦娥三号能准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键的问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求如下：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题： （1）计算其着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 （3）对于设计的着陆轨道和控制策略进行相应的误差分析和敏感性分析。 2、问题分析 2.1技术背景

2014年美国数学建模大赛(MCM)试题译文

2014年美国数学建模大赛（MCM）试题译文 王景璟大连理工大学 问题A：超车之外靠右行原则 在一些开车必须靠右行驶的国家（比如：美国，中国，以及其他除了英国，澳大利亚，和一些前英国殖民地的国家），行驶在多车道高速路必须遵循一个规则，那就是要求驾驶员在超车之外的情况下，必须在最靠右的车道行驶，超车时，他们向左变道，超车，然后再回到之前行驶的车道。 构建一个数学模型来分析该规则在车流量很少和很大的时候的执行情况。你最好能考察车流量与安全的之间的相互关系，过低或是过量的速度限制的作用（速度设置过低或是过高），以及/或者其他在该问题陈述中没有明确提到的因素。该原则是否能有效促进更好的车流量？如果无效，请建议和分析其他更有助于提高车流量、安全、以及其他你认为重要的因素的其他方案（可以完全不包括该原则）。 在开车靠左行的国家，讨论一下你的方案在经过对方向的简单修改之后或是添加额外的要求之后是否也适用。 最后，以上原则取决于人们遵循交通规则的判断力。如果道路上的车流完全在智能系统（要么是道路体系的一部分，要么是包含在使用道路的所有车辆的设计之中）的控制之下，该改变在多大程度上会影响你先前分析的结果？ 问题B: 大学教练联盟 《体育画报》，一本体育爱好者的杂志，正在寻找上世纪“最好的大学教练”，包括男性和女性。建立一个数学模型以从诸如大学曲棍球，曲棍球，橄榄球，棒球，垒球，篮球，或足球等运动的男性或女性教练中选出最好的一个教练或几个教练（过去的或现在的）。分析中使用的时间分界线是否有影响？即在1913执教和在2013年执教有不同吗？清晰地表达你们模型中的评判标准。讨论你们的模型如何能广泛地应用于两种性别及所有可能的体育运动。分别选出你模型中3种不同运动的前5位教练。 除了MCM格式及要求，准备一篇1-2页的文章给《体育画报》以解释你们的结论并包括一份能让体育迷们看懂的对你们数学模型的非技术性解释。 问题C：使用网络模型测量影响力

嫦娥三号软着陆过程简介

1．嫦娥三号软着陆过程简介 1.1 着陆准备轨道： 着陆准备轨道即在进行改变探测器速度前的准备阶段。此时探测器还在椭圆轨道上，轨道的近月点是15km远月点是100kn。为确定探测器着陆点的位置，我们需确定近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态。 1.2 主减速段： 主减速段主要任务即将探测器的飞行速度降到57m/s。该段区间是距离月球 表面15km到3km采用惯性、激光、微波测距测速制导；使用主发动机来提供动力，姿态发动机来改变主发动机即加速度的方向。 1.3 快速调整段：快速调整段的主要是利用姿态发动机，调整探测器姿态，使其在距离月面3km到 2.4km这段区间内完成将水平速度减为0m/s的任务，即使主减速发动机的推力竖直向下进入粗避障阶段。 1.4 粗避障段： 粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是分析星光下光学敏感成像图片，启动姿态发动机，粗步避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。 1.5 精避障段： 精细避障段的区间是距离月面100m到30m要求嫦娥三号悬停在距离月面100m 处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。 1.6 缓速下降阶段： 缓速下降段主要是保证着陆月面的速度和姿态控制精度,要以较小的设定速度匀速垂直下降, 消除水平速度和加速度, 保持着陆器水平位置, 之后关闭发动机。缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m要求着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。嫦娥三号软着陆各阶段的轨迹如图（）所示

嫦娥三号成功发射的意义

嫦娥三号成功发射的意义 篇一：2014 高考作文素材：嫦娥三号成功发射 北京时间 2 日凌晨 2 时 17 分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，将中国探月工程二期 的嫦娥三号月球探测器成功送入太空。 在夜幕中飞行约 18 分钟后，火箭将嫦娥三号送入近地点高度 200 公里、远地点高度约 38 万公里的地 月转移轨道。 据了解，嫦娥三号奔月飞行约需 112 小时，在此期间将视情况进行轨道修正，预计探测器将于 12 月 6 日飞行至月球附近，实施近月制动，进入 100×100 公里的环月圆轨道。 按照计划，嫦娥三号于 12 月中旬择机在月球虹湾地区实现软着陆，将开展月表形貌与地质构造调查、 月表物质成分和可利用资源调查、地球等离子体层探测和月基光学天文观测等科学探测任务。 嫦娥三号探测器和长征三号乙运载火箭均由中国航天科技集团公司负责研制。与发射嫦娥二号卫星火 箭相比，用于此次发射的火箭进行了多项技术状态更改，突破了多项关键技术，进一步提高了可靠性和安 全性。此次任务是长征系列运载火箭的第 186 次发射。 探月工程是中国 16 项国家科技重大专项之一，是继人造地球卫星、载人航天之后，中国实施的又一 重大航天工程，规划为绕、落、回三步曲。2007 年 10 月成功发射的嫦娥一号卫星，在轨有效探测 16 个月， 顺利完成第一期环球绕月探测任务。第二期任务的先导星嫦娥二号于 2010 年 10 月成功发射，目前飞离地 球已突破 6000 万公里，完成了一系列既定任务和拓展任务。 而嫦娥三号将主要实现月球表面软着陆和月球巡视探测，是探月工程三步走中的关键一步，具有重要 的里程碑意义。 探月工程总设计师吴伟仁在受访时称，中国有望在 2020 年前实现月球无人采样返回，从而完成无人探 月工程绕、落、回三个探测阶段，为下一步载人探月奠定基础。 篇二：嫦娥三号“奔月”,意义何在？ 嫦娥三号“奔月”，意义何在？ 1、嫦娥三号登月的里程碑意义。 “嫦娥三号”月球探测器于 12 月 2 日 1 时 30 分 00 秒 34 毫秒，在西昌卫星发射中心由长征三号乙运载 火箭成功点火推上太 三号”携带“玉兔号”月球车首次开始 万公里之外的月球之旅。嫦娥三号 3780 公斤，搭载的月球车重量约 140 美国和前苏联的月球车重量更小， 加齐全。运载火箭将嫦娥三号直接 转移轨道飞行约 5 天，进入 100 公 轨道飞行约 4 天，变轨进入 15 公里空。“嫦娥了奔向 38 重量约为公斤，比功能也更送入地月里环月 圆*100 公里椭圆轨道，再飞行约 4 天后，从高度约 15 公里的近月点开始慢慢由动力控制软着陆，成功后探 测器释放玉兔月球车，开展预定的月面巡视勘察，月表形貌与地质构造调查等一系列科学探测。

嫦娥三号月球探测器资料

嫦娥三号月球探测器资料 嫦娥三号月球探测器资料 北京时间２０１３年１２月２日１时３０分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“嫦娥三号”探测器发射升空。 嫦娥三号月球探测器由着陆器和巡视器共同组成。与嫦娥一号、二号不同，嫦娥三号不再称为卫星，而是称作“探测器”，包括着陆器和月面巡视器。 ２０１３年１１月２６日嫦娥三号月球车得名“玉兔”在我国首辆月球车全球征名活动中，近６５万网民投票“玉兔”号。 嫦娥三号月球探测器总重近３．８吨。在月球表面软着陆后，“玉兔”号将驶离着陆器进行为期约３个月的科学探测，着陆器则在着陆地点进行就位探测。按照计划，将于１２月中旬择机在月球虹湾地区实现软着陆，开展月表形貌与地质构造调查、月表物质成分和可利用资源调查、地球等离子体层探测和月基光学天文观测等科学探测任务。２０１７前后将开展探月工程第三期任务，主要是实现月球表面软着陆并采样返回。 “人类探月一般遵循“探”“登”“驻”三大步。中国探月工程将第一大步“探月”细分为三期——即“绕”“落”“回”三小步。 绕月探测工程，由嫦娥一号卫星承担。“绕月”任务圆满完成后，进入探月工程二期“落月”阶段，“落月”主任务由嫦娥三号承担。嫦娥二号由嫦娥一号“备份星”转为嫦娥三号“先导星”。嫦娥三号是中国首个在地球以外天体实施软着陆的航天器，将实现探月工程二期“落”的工程目标。 与嫦娥一号、二号相比，嫦娥三号探测器的技术跨度大、设计约束多，结构也更为复杂，主要包括着陆器和巡视器两大部分，其中巡视器，俗称月球车，由９个分系统组成；而着陆器是为了实现月面软着陆专门量身定做的新型航天平台，具有１１个分系统。 嫦娥三号探测器由运载火箭发射升空后，经发射段、地月转移段、环月段和动力下降段等过程，飞行大约１４天的时间，将以软着陆的方式降落在月球虹湾地区；之后，着陆器释放巡视器；两器分离后，各自独立开展月面探测工作。与以往航天器相比，嫦娥三号最大的特点就是首次在地球以外天体执行软着陆及月面巡视勘察任务，创造了中国航天史上的又一第一。嫦娥三号在飞行任务期间，将重点实现三大工程目标。一是突破月球软着陆、月面巡视勘察等关键技术，提升航天技术水平；二是研制月球软着陆探测器和巡视探测器，建立地面深空站，具备月球软着陆探测的基本能力；三是建立月球探测航天工程基本体系。此外，嫦娥三号还将开展月表形貌和地质构造调查、月表物质成分及其可利用资源的调查、日－地－月空间环境探测与月基天文观测等科学探测，对中国后续探月工作发挥重要作用，将有效促进深空探测领域的发展。 探月工程二期是我国探月工程“绕、落、回”三步走中的第二步，是承前启后的关键一步，包括嫦娥二号、嫦娥三号和嫦娥四号任务。其中，先导星嫦娥二号在完成环

嫦娥三号软着陆轨道位置与速度建摸

嫦娥三号软着陆轨道位置与速度建摸 嫦娥三号成功发射并抵达月球轨道。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道。文章建立数学模型解决着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 标签：着陆轨道设计；近月点位置；建模 1 简单分析 将嫦娥三号的主减速阶段的运动情况简化为水平方向和竖直方向的运动，然后单独分析两个方向的运动情况，将距离转换为经纬度，即求出了位置。可将求近月点和远月点的速度问题转化为求沿椭圆轨道运行卫星的线速度问题，最后根据开普勒第二定律和机械能守恒定理就可求出速度大小。至于速度的方向，根据曲线运动的特点以及嫦娥三号的运行方向即可确定速度方向。 2 基本假设 （1）假设月球的自传对着陆器没有影响；（2）假设忽略日、地引力摄动等环境干扰引起的误差；（3）假设月球近似为一个质量均匀的标准球体，为一个质点。 3 模型的建立与求解 3.1 速度大小模型的建立 嫦娥三号围绕月球做轨迹为椭圆的圆周运动，着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道。 H为远月点到月面的距离；h为近月点到月面的距离。求嫦娥三号在近月点和远月点的速度，也就是求它在近月点和远月点相应的线速度，为此我们将月球看作是一个质点，将嫦娥三号也看做是一个质点，忽略月球重力场和月球自转对嫦娥三号做椭圆运动的影响，所以将问题转化为求沿椭圆轨道运行卫星的线速度问题。图1表示了卫星沿椭圆轨道运行情况示意图： 对比近月点A和远月点B，由卫星总机械能守恒可有： M为月球的质量m为嫦娥三号的质量vA是近月点的线速度vB 为远月点的线速度。 又根据开普勒第二定律可知：vA（a-c）=vB（a+c）（2） 联合（1）、（2）式可解得：v■=■■ v■=■■ 其中G为引力常数。

disanwen 嫦娥三号自主避障软着陆控制技术

中国科学: 技术科学 论 文 2014 年 第 44 卷 第 6 期: 559 ~ 568 https://www.wendangku.net/doc/2410682333.html, https://www.wendangku.net/doc/2410682333.html, _u .?_S S,D _v .3.? SCIENCECHINA PRESS 交会对接专题 III: 专项技术 嫦娥三号专题 嫦娥三号自主避障软着陆控制技术 张洪华 , 梁俊 , 黄翔宇 , 赵宇 , 王立 , 关轶峰 , 程铭 , 李 骥 , ①② ① ①②* ① ①② ①② ① ①② ①② ① ① 王鹏基 , 于洁 , 袁利 ① 北京控制工程研究所, 北京 100190; ② 空间智能控制技术重点实验室, 北京 100190 * E-mail: huangxyhit@https://www.wendangku.net/doc/2410682333.html, 收稿日期: 2014-03-01; 接受日期: 2014-03-23 国家中长期科技发展规划重大专项资助项目 摘要 嫦娥三号是我国首次地外天体软着陆任务, 在世界上首次成功实现了利用机器视觉的 地外天体软着陆自主避障. 针对自主避障任务的特点, 嫦娥三号首创了灰度安全点结合姿态机 动粗避障、高度安全点结合位姿机动精避障的"接力避障"控制技术. 实际在轨飞行结果表明, 嫦娥三号在动力下降过程中发现了着陆安全点, 并且完美实现了有效避障机动, 确保了嫦娥 三号软着陆落点的安全性. 本文详细给出了嫦娥三号自主避障软着陆控制技术以及在轨飞行 结果. 关键词 嫦娥三号 软着陆 障碍识别 自主避障 1 引言 已有的月球图像和高程数据表明, 月球表面分 布着各种高山壑谷, 即使在相对平坦的月海地区也 遍布着大小不一的岩石和陨石坑. 这种地形、地貌以 及石块和陨石坑会给着陆器安全软着陆带来较大风 险 . 只有着陆器具有发现和识别障碍并进行机动避 障的能力, 才能保证软着陆的高安全和高可靠. 对于早期的月球着陆探测任务, 限于当时技术 水平, Lunar 系列和勘察者系列月球探测器都不具备 识别障碍和避障能力 , 导致着陆成功率非常低 ; Apollo 系列则是通过宇航员观测着陆区并操纵人控 系统实现了避障和安全着陆 [1]. 早期的火星着陆探测 器都采用气囊方式着陆, 躲开了障碍识别与规避问 题 ; 2008 年, 凤凰号探测器成功实现了火星软着陆, 其采用了事先筛选高概率安全着陆区来避免大障碍 [2] 的危害 . 火星科学实验室(好奇号)采用了同样的方 式避免大障碍, 并利用新型"空中吊车"的动力下降 方式来降低火星车降落火星时的速度 [3], 其也不具备 自主避障能力. NEAR 探测器首次实现了小行星着陆 任务, 但由于着陆任务是探测任务完成后新增加的, 探测器根本没有设计避障功能. 尽管隼鸟号探测器 在最终下降过程中检测到了障碍, 但由于姿控误差 较大等原因, 探测器未能实现避障就继续向小行星 表面下降了 [4]. 嫦娥三号的核心任务是实施高可靠高安全的月 面软着陆, 要求着陆器必需具备自主障碍识别与规 避能力. 嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日发射, 经过 5 d 的飞行到达月球并进入环月轨道, 最终于 12 月 14 日 成功着陆月球表面, 世界上首次成功实现了利用机 器视觉的地外天体软着陆自主避障. 本文给出了针 对嫦娥三号软着陆任务提出的粗-精接力自主避障软 引用格式: 张洪华, 梁俊, 黄翔宇, 等. 嫦娥三号自主避障软着陆控制技术. 中国科学: 技术科学, 2014, 44: 559-568 Zhang H H, Liang J, Huang X Y, et al. Autonomous hazard avoidance control for Chang'E-3 soft landing (in Chinese). Sci Sin Tech, 2014, 44: 559-568, doi: 10.1360/092014-51