二次根式典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题
二次根式的定义：
【例1】下列各式
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A B C D
2中是二次根式的个数有______个
【例2
有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
举一反三： 1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2x 的取值范围是 3、如果代数式mn
m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位
置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
举一反三： 12()x y =+，则
x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求
xy 的值
3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
已知a b 是 1
2
a b +
+的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17
的整数部分为x ，小数部分为y ，求
y
x 1
2+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【例4】若()2
240a c --=，则=+-c b a ． 举一反三：
1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A ．3
B ．– 3
C ．1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
4、若
1
a b -+()2005
_____________
a b -=。
（公式)0((2≥=a a a 的运用）
【例5】 化简：
21a -+的结果为（ ）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4 举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ；4244m m -+=
429__________,2__________x x -=-+=
2、 化
1
3、 已，则斜边长为
（公式的应用）
?
??<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2
【例6】已知
2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三：
1
( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9
2、已知a<02a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a
3、若23a p p ，则 ）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a
5
2
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2
212＝ ．
7、已知0a <
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │
的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a
在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=． 【例8
】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1
举一反三：若代数式的值是常数2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．4a ≥
Ｂ．2a ≤
Ｃ．24a ≤≤
Ｄ．2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+
，那么a 的取值范围是（ ）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1 举一反三：
1
、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3 2 a a a +- 的结果是 o b a （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11)1(＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： 2、同类二次根式（可合并根式）： 3、【例11】在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 举一反三： 1、 ) b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式 是 。 2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7 B ．3 C ． 1 2 D ．2 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) 21a + 21x + 2b 0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2) b a 245 (3)x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 、318和 B 、1 33 和 C 、22a b ab 和 D 、11a a +-和 2、在二次根式：① 12；② 3 2；③ 3 2；④ 27 中，能与 3 合并的二次根 式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 2．有理化因式： ①单项二次根式：利用a a a ?=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与 b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a b +与a b -，a b a b +-与， a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 【例13】 把下列各式分母有理化 （1 （2 （3 （4） 例14】把下列各式分母有理化 （1 （2 （3） （4） 【例15】把下列各式分母有理化： （1 （2 （3 1、已知 x =，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化： （1)a b ≠ （2 （3 知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【例16】化简 (1)916? (2)1681? (3) 1525? (4)229x y (0,0≥≥y x ) (5) 12 ×632? 【例17】计算（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【例18】化简： (1) 3 64 (2)2 2 649b a )0,0(≥>b a (3)2 964x y )0,0(>≥y x (4)2 5169x y )0,0(>≥y x 【例19】计算：123 31 28 11416 （4648 【例2022x x x x = --x 的取值范围是（ ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解 知识点六：二次根式计算——二次根式的加减 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【例20】（1 （2） + 【例21】 （1） （2a b + - （5 5+ （6+ 知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 1、a b b a ab b 3)23(235÷-? 2、 2 2 (212 +4 18 －348 ) 3、 1 3 16 4、673)3 2272(-?++ 知识点八：根式比较大小 【例22】 比较与的大小。（用两种方法解答） 【例23 【例24 【例25的大小。 【例2633的大小 ?- a(a < 0) 再根据具体情况判断是否需要讨论 a 2 = a = ? . b = 学习必备 欢迎下载 二次根式知识方法题型总结 一、本章知识内容归纳 1.概念： ①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义； ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式； ③同类二次根式—— 的二次根式； 2.性质：① a ≥ 0(a ≥ 0) 非负性; ② ( a ) 2 = a(a ≥ 0) ; ③ ?a(a ≥ 0) (字母从根号中开出来时要带绝对值 ) 3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式 ①乘法和积的算术平方根可互相转化: a ? b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ; ②除法和商的算术平方根可互相转化: a a b (a ≥ 0, b > 0) ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式； ④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； ⑤乘法公式的推广： a ? a ? a ........ ? a =a ? a ? a ....... ? a (a ≥ 0,?a ≥ 0,..... ? a ≥ 0) 二、本章常用方 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 n 法归纳 方法 1.开方 ①偶数次方： a 2n = a n ； ②奇数次方： a 2n +1 = a n ? a 方法 2.分母有理化： ①概念：分母有理化就是通过 使得 其中 叫做该分母的有理化因式； ②常用的有理化因式： a 与 a 、 a + b 与 a - b 、 a + b 与 a - b 互为有理化因式； ③分母有理化步骤： 先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式； 将计算结果化为最简二次根式的形式。 方法 3. 非 0 的二次根式的倒数 二次根式单元测试题一 一、 填空题(每题2分，共20分) 1、当a 时， 有意义 2、计算： 3、计算： 4、计算： (a >0,b >0,c >0) 5、计算： = = 6、 7、 则 2006个3 2006个4 8、 9、观察以下各式： 利用以上规律计算： 10、已知 二、 选择题(每题3分，共30分) 11、若32+x 有意义，则 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 12、化简 的结果是 ( ) A 、0 B 、2a -4 C 、4 D 、4-2a 13、能使等式 成立的条件是 ( ) A 、x ≥0 B 、x ≥3 C 、x >3 D 、x >3或x <0 14、下列各式中,是最简二次根式的是 ( ) A 、x 8 B 、b a 25 C 、2294b a + D 、 15、已知 ,那么 的值是 ( ) A 、1 B 、-1 C 、±1 D 、4 16、如果 ，则a 和b 的关系是 ( ) A 、a ≤b B 、a b 17、已知xy >0，化简二次根式 的正确结果为 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 18、如图，Rt △AMC 中，∠C=90°， ∠AMC=30°，AM ∥BN ，MN=2 cm ， BC=1cm ，则AC 的长度为 ( ) A 、23cm B 、3cm C 、3.2cm D 、 ()=-2 31）（a -1()=2232）（=??? ? ????? ??--2511）（==-?）（）（273 11=73)1(a 38)2(=->2,0xy xy 化简如果=+=+= +222222444333443343，，= +22444333 =+-20062005)12()12(343412323112121-=+-=+-=+，，()= +??? ??++++++++120062005200613412311 21 = ??? ? ?-???? ??+-=+=x y y x 11111313，则，2 3-≥x 23-≤x 32-≥x 32-≤x 2)2 (2-+-a a 3 3-=-x x x x 2 y 51 =+x x x x 1-1212 2-=+-?-b ab a b a 2 x y x -y y -y -y --3M A N B C cm 32 3 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( ) A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4 二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 常考题型： 题型一、形如： 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”，则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ．x ≥1 C ．x ≤－1 D ．x <－1 变式1、要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥﹣2 C ．x≥2 D ．x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣且x≠1 B ． x≠1 C ． D ． 题型二、二次根式的运算（加减乘除）b a ab ?=（a≥0，b≥0）b a b a = （a≥0，b>0） 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于（ ）. A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是（ ） A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是（ ） A ． x 6+x 2=x 3 B ． C ． （x+2y ）2=x 2+2xy+4y 2 D ． 例2、计算1 489 3 -的结果是（ ） (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是（ ） ． 4 B ． C ． 2 = D ． 3 例4、下列各式计算正确的是（ ） A ． 3a 3+2a 2=5a 6 B ． C ． a 4?a 2=a 8 D ． （ab 2）3=ab 6 /《二次根式》分类练习题 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 v 二次根式的定义： 形如 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、 2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子 3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式2 21x x - +-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥?? -≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 111x x --2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。 已知a 5b 是51 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根 式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式（22211 (1) (2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋ 1 x-2 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式 4 3--x x 有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为 例4 若230a b -+-=，则 2 a b -= 。 例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2 + 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2 +b 2 ； B 、（a 2 +b 2 ）2 =a 2 +b 2 ； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ； 【知识点2】二次根式的性质： （1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （ ）是一个非 负数，即)0(0≥≥a a 。 注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若2 0a b +=，则a=0,b=0。 （2）2 ()a a =（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数。注：二次根式的性质公式2 ()a a =（ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用：若，则2)a a =，如： 2 22)= （3） 例7 a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2 )(____________. 初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1．5 x+有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 Q式子5 x+有意义， ∴x+5≥0，解得x≥-5. 故答案选：C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；分析已知和所求，要使二次根式2 易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 a＋在实数范围内有意义， 解：∵二次根式2 ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误； C、原式= ×=，所以C选项错误； D、原式==3，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意； 选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C不符合题意； 选项D，被开方数含分母， D不符合题意， 故选A． 5．2 (21)12 a a -=-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C． 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求． 【详解】 解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B = ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故选：C ． 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式=49?=49?=2×3=6，所以B 选项错误； C 、原式=1336=136 ，所以C 选项错误； D 、原式255164=- =-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， 人教版初中数学二次根式经典测试题附答案 一、选择题 1．下列各式成立的是（） A．2332 -=B．63 -＝3 C． 2 22 33 ?? -=- ? ? ?? D．2 (3) -＝3 【答案】D 【解析】 分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．详解：A．原式=3，不符合题意； B．原式不能合并，不符合题意； C．原式=2 3 ，不符合题意； D．原式=|﹣3|=3，符合题意． 故选D． 点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 分析已知和所求，要使二次根式2 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 解：∵二次根式2 a＋在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断． 【详解】 解：A 、B 与不能合并，所以A 、B 选项错误； C 、原式= ×=，所以C 选项错误； D 、原式= =3，所以D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列各式中计算正确的是（） A 268+= B ．233+= C 3515= D 42= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案． 【详解】 解：26不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.23 3515= 4，原式计算错误，故本选项错误． 故选： C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键． 5．已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4，故选 A. 【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a 初中数学二次根式经典测试题及解析 一、选择题 1．a 的取值范围为()n n A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ． 2．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选A. 3．已知实数a 满足2006a a -=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴2006a a -=可化为a 2006a -+=， 2006=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 4．下列计算中，正确的是( ) A ．= B 1b =(a ＞0，b ＞0) C = D ． =【答案】B 【解析】 【分析】 a≥0，b≥0 a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、 B 1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C ，故原题计算错误； D 32 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 5．若x 、y 4y =，则xy 的值为( ) A ．0 B ．12 C ．2 D ．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x ?1?0且1?2x ?0， 解得x ? 12且x ?12， ∴x =12 ， 二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。 初中数学试卷 八年级二次根式典型题训练 典型例题一 例01．在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+- m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12 (-m 分析 不论m 为任何实数，A 、C 、D 中被开方数的值都不是负数. 说明 考查二次根式的意义. 只要理解了二次根式的意义，记住在0≥a 时，式子a 才有意义，这样的题目都不在话下. 例02． y x 是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ． 0>y x C ．0≥x 且0>y D ． 0≥y x 分析 要使 y x 有意义，则被开方数y x 是非负数.应满足条件是0≥x 且0>y 或0≤x ，0 （7）12--a （8）122++a a 说明 判定一个式子是否二次根式，主要观察两方面：第一，被开方数是否非负；第二，是否为二次根式. 例04．求使x x 3132-++有意义的x 的取值范围. 说明 本题主要考察二次根式的基本概念，要弄清每一个数学表达式的含义. 根据二次根式的意义求解. 例05．在实数范围内分解因式： （1）_________32=-x （2）________652 4=+-m m （3）________3222=--x x 例06．若x ，y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则_______=xy . 例07．求231294a a a a -+-+--+的值. 例08．当x 取什么值时，119++x 取值最小，并求出这个最小值. 例09．已知m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，计算)(n m -的值. 说明 一部分学生总是想求13的算术平方根，在不允许查表的情况下，尽管可知 13的整数部分是3，但不易知道13的小数部分，从而陷入误区.而忽视了由13=+n m 可求出13的小数部分n . 练习： 1．填空题 （1）当x ______时，1-x 是二次根式. （2）=-2 )6.1(_______. （3）把7写成一个数的平方得_______. （4）在实数范围内因式分解=-22 x _____. （5）=2 )23(________. （6）若x +3不是二次根式，则x 取值范围是_______. （7）2 ) (9=ab . 初中数学二次根式经典测试题含答案 一、选择题 1．a 的取值范围为()n n A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． 所以a=0．故选C ． 2．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选 A. 4．下列各式计算正确的是( ) A ．2＋b ＝2b B = C ．(2a 2)3＝8a 5 D ．a 6÷ a 4＝a 2 【答案】D 【解析】 解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误； B 不是同类二次根式，不能合并，故错误； C ．（2a 2）3=8a 6，故错误； D ．正确． 故选D ． 5．12a =-，则a 的取值范围是（ ） A ．12 a ≥ B ．12a > C ．12a ≤ D ．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a ，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a ， ∴2a-1≤0， ∴12 a ≤ ． 故选：C ． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 6．m 的值不可以是（ ） A ．18 m = B ．4m = C ．32m = D ．627m = 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A. 18m =4 ，是同类二次根式，故此选项不符合题意； B. 4m = ，此选项符合题意 C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意； 二次根式的复习代数式知识结构图： 二次根式典型习题 一、二次根式的定义 1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A 、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、— 2、下列格式中一定是二次根式的是（ ） A 7- B 32m C 、12+x D 3b a 二、二次根式下有关字母的取值范围 3、 4、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ） A 、 与 B 、（ ）2与 C 、 与 D 、 与 5、如果 2 1 2 1--= --x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2 61 1x -是二次根式，则x 的取值范围是 7、式子 3 23+-x x 中x 的取值范围是_______ 三、二次根式的非负性 8、若588+-+-= x x y ，则xy = _______ 9、已知a 为实数，下列四个命题错误的是（ ） A ．若a a 2 =1，则a>0 B.若a<0,则 2a —a= —2a C. 若— 21a = —a 1，则a>0 D.若a ≥—2，则12++a a 有意义 10、化简1 a - ） A a B 、a C 、a - D a - 4-3x - 1-a 2-x 1+x x 2x 12+x 22+x 1-x x 1 四、2 a a =的理解 11、 12、化简2 )21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-± 13、若2)3(-a =3—a ，则a 的取值范围是______________ 14、若2x ＋1＋|y ＋3|＝0，则(x ＋y)2 的值为（ ） A ．52 B ．－52 C ．72 D ．－72 五、实数范围因式分解 15、把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： 16、在实数范围分解因式：x 2—23x+3=___________________ 2x 2－4=_______________ 六、最简二次根式 17、 18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、 a b D 、45 19、二次根式 2 1，12，2 22,40,2,30y x x x ++中最简二次根式是____________ 20、下列根式中，能合并的是（ ） A ．xy 和 2xy B. 3a a 与 a 1 C.xy 与2x D. a 与3a 七、二次根式的计算 21、若 b a b a =成立，则————————————————（ ） 0. 0. ;0,0.;0,0.≥>>≥≥≥b a D b a C b a B b a A 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 2中是二次根式的个数有______个 【例2 有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 举一反三： 1 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。 已知a b 是1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三： 1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿. 4、若 1 a b -+互为相反数，则 ()2005 _____________ a b -=。 （公式)0()(2≥=a a a 的运用） 【例5】 化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 举一反三： 1、 在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1 3、 ，则斜边长为 （公式的应用）???<-≥==) 0a (a ) 0a (a a a 2 最新初中数学二次根式经典测试题含答案 一、选择题 1．-中，是最简二次根式的有 ( ) A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】A 【解析】 ，不是最简二次根式； -，不是最简二次根式； 是最简二次根式. 共有2个最简二次根式.故选A. 点睛：最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0； 易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()2 2a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴20062007a a a --=可化为a 2006a 2007a -+-=， 20072006a -=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 5．下列各式计算正确的是( ) A ．2＋b ＝2b B 523= C ．(2a 2)3＝8a 5 D ．a 6÷ a 4＝a 2二次根式知识方法题型总结
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