高中物理变力做功问题
高中物理变力做功问题
摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用动能定理、功率的表达式Pt W =、功能关系、平均值、s F -图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。
关键词：功 変力 动能定理 功率 功能关系 平均值 图像 微元累积法 转换参考系
对于功的定义式W ＝αcos Fs ，其中的F 是恒力，适用于求恒力做功，其中的s 是力F 的作用点发生的位移，α是力F 与位移s 的夹角。在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多，比如用动能定理、功率的表达式Pt W =、功能关系、平均值、s F -图像、微
元累积法、转换参考系等来求变力做功。
一、运用功的公式求变力做功
求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W ＝αcos Fs 求恒力的功，从而可知该変力的功。等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
例1：人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，如图1所示，开始绳与水平方向夹角为ο60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s 2=而到达B 点，此时绳与水平方向成ο30角，求人对绳的拉力做了多少功？ 【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s 方向一直水平，所以无法利用W ＝αcos Fs 直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉
力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用W ＝αcos Fs 求了！
设滑轮距地面的高度为h ，则：(
)s h =-ο
ο60
cot 30cot
人由A 走到B 的过程中，重物上升的高度h ?等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：ο
ο60
sin 30sin h
h h -=
?，人对绳子做的功为：(
)(
)
J J mgs
h mg W 732131000
13≈-=-=??=
二、运用动能定理求变力做功
动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。
例2：如图2所示，原来质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（ ） A. θcos FL B. θsin FL C. ()θcos 1-FL D. ()θcos 1-mgL
【解析】很多同学会错选B ，原因是没有分析运动过程，对Ｗ＝FLcosθ来求功的适用
范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F 的大小不断变大，F 做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解： 所以 ()θcos 1-=-=mgL W W G F ，故D 正确。
三、运用Pt W =求变力做功
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P 恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过Pt W
=求変力做功。
G
ο
60ο
30图1
图2
例3：质量为5000Kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间. 【解析】牵引力是変力，该过程中保持功率P 恒定，牵引力的功可以通过Pt W =来求。汽车加速运动的时间为1t ，由动能定理得：0F -Pt f 1=?s 汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则m f m v F Fv P ?== 即m
f v P
F = 可求得汽车加速运动的时间为s s v s P
s F t m f 5024
1200
1===
?=
关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：
可求得汽车匀减速运动的时间为s s P mv F mv t m f m 481000
602450002
2
2=??===
则汽车运动的时间为：t ＝t 1＋t 2＝50s ＋48s ＝98s
四、运用功能关系求变力做功
做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求変力做功，关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。
例4：一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图3所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F ，使活塞缓慢向上移动。已知圆管半径r=，井的半径R=2r ，水的密度ρ=×103
kg/m 3
，大气压P 0=×105
Pa ，求活塞上升H=的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s 2）。
【解析】大气压P 0能够支撑的水柱高度为 m g
p h 100
0==
ρ 从开始提升到活塞至管内外水面高度差为10m 的过程中，活塞始终与水面接触，设活塞上升1h ，管外液面下降2h ，则有：210h h h +=
图3
因液体体积不变，有：3
1
22212=
-=r R r h h πππ 得 H m h h <==
5.74
3
01
此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：
活塞从1h 上升到H 的过程中，液面不变，拉力F 是恒力，02
P r F π=，则做功为： 所求拉力所做的总功为：J W W W 4
211065.1?=+=
五、运用F-S 图像中的面积求变力做功
某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F 与位移S 的图像，则F-S 图像中与S 轴所围的面积表示该过程中変力F 做的功。运用F-S 图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F 与位移S 的函数关系，再在画出F-S 图像。
例5：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm ，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？
【解析】铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx ，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出F －x 图象，如图4，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于F 对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S 1=S 2(面积) 即：
21kx 12=2
1
k(x 2+x 1)(x 2－x 1) 得 cm x 22=
所以第二次击钉子进入木板的深度为：
六、运用平均值求变力做功
求変力做功可通过s F W
?=求，但只有在変力F 与位移S 成正比例、或一次函数关系时，即成线性关系
时，2
2
1F F F +=
才成立。用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移S 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F 。
例6：如图5所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
【解析】木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S 图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。
木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降1x ，水面上升2x 根据水的体积不变，则：
图4 F
x
1
2
x 2kx 1
kx O
1
S 2
S 图5
2212x h x h = 得21x x = 所以当木块下降
4
h
时，木块恰好完全浸没在水中， 所以42
2118
14220424gh h h
gh h F F h F W ρρ=+=+== 木块恰好完全浸没在水中经h h h h 45432=-=?到容器底部，压力为恒力22h
gh F ρ=
所以4228
5452gh h h gh h F W ρρ=?=?=
故压力所做的功为：4
214
3gh W W W ρ=+=
七、运用微元法求变力做功
求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。
例7：如图6所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。
【解析】小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是変力，故而摩擦力为一変力，本题可以用微元法来求。
如图7，将小车运动的半个圆周均匀细分成n （∞→n ）等分，在每段长
n
R
π的圆弧
上运动时，可认为轨道对小车的支持力i N 不变、因而小车所受的摩擦力i f 不变，摩擦力的功可以用
s F W ?=计算。
当小车运动到如图所示的A 处圆弧时，有
则 )sin (2
θμmg R
v
m
f iA +=
当小车运动到如图所示的与A 关于x 轴对称的B 处圆弧时，有 则 )sin (2
θμmg R
v m f iB
-=
由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为： 于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做
的总功为：
八、转换参考系求变力做功
在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。
例8：宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点A 和B ，质量分别为m 和M ，相距L ，开始时A 静止，B
具有A 、B 连线延伸方向的初速度v ，由于受外力F 的作用，B 做匀速运动。 （1） 试求A 、B 间距离最大时的F 值； （2） 试求从开始到A 、B 最远时力F 做的功；
图6
. x
y
O
mg
mg
N iA
N iB B A 图7
【解析】此题中A 在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，
会因数学知识的限制而不易找出F 作用的位移和A 、B 间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通过变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，从而简化了解题过程。
⑴将原来的惯性参照系记为S ，相对B 静止的参照系记为S’，在S’系中，B 没有位移，所以力F 做功为零，计算得以简化。在S’系中，A 开始以v 背离B 运动，最后在万有引力的作用下减速到零，此时A 、B 间的距离最大，记为L m 。在S’系中，据机械能守恒，有 所以 2
22Lv
GM LGM
L m -=
此时A 、B 的万有引力为 2
2
24)2(GML
Lv GM m F -= ⑵回到S 系中，当A 、B 的间距达到Lm 时，A 、B 都以v 速度，根据功能原理，F 力所做的功 由⑴中知 22
1)11(
mv L L GMm m =- 因此 2mv W =
五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功 一.微元法思想。 当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w ?=来求解，但是可以 将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的 质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大 小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解； 但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直 线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做 的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1 把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一 段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别 为 ， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 二、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值2 21F F F +=，再由αc o s L F W =计算变力做功。如：弹簧的弹力做功问题。 例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运 动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则 小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．02 1x F m C ．04x F m π D ．204 x π 【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为 04m F x π．C 答案正确． 图2
三.功能关系法。 功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。 例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体， 物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经 过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系 一定是： A ．E K B -E KA =E K C -E KB B ．E KB -E KA
新教材高中物理 科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 新人教版必修第二册
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W ＝Fl cos α只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等． 一、求解变力做功的几种方法 法1.用公式W ＝F － l cos α求变力做功 如果物体受到的力是均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小F －＝F 1＋F 2 2来计 算变力做功，其中F 1为物体初状态时受到的力，F 2为物体末状态时受到的力． 【典例1】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d ，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( ) A ．(3－1)d B ．(2－1)d C. 5－1d 2 D. 22 d 【解析】 根据题意可得W ＝F －1d ＝kd 2d ，W ＝F － 2d ′＝kd ＋k d ＋d ′2 d ′，联立解得d ′ ＝(2－1)d (d ′＝－(2＋1)d 不符合实际，舍去)，故选项B 正确． 【答案】 B 法2.用图象法求变力做功 在F - x 图象中，图线与x 轴所围的“面积”的代数和表示F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同． 【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，
从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2 ) 【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值： F －＝250＋2002 N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F － h ＝2 250 J. 方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋200 2×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J 法3.用微元法求变力做功 圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了． 【典例3】 如图所示，质量为m 的质点在力F 的作用下，沿水平面上半径为R 的光滑圆槽运动一周．若F 的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F 对质点做的功． 【解析】 质点在运动的过程中，F 的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl 1、Δl 2、Δl 3、…、Δl n ，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F (Δl 1＋Δl 2＋…＋Δl n )＝2πRF . 【答案】 2πRF . 变式训练1 如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k ＝200 N/m 的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x 1＝0.2 m ，木块开始运动，继续拉弹簧，木块
【转】变力做功问题的求法集锦
变力的功求法集锦 第一.平均力法 1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。 2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。 【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。，可用平均阻力来代替。 如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为： 第二次击入深度为 到，平均阻力为： 位移为 做功为：两次做功相等： 解后有： 练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少? 解：()22kd kd k d d d d '++'?= ∴1)d d '=此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F =kd ，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB 的面积与梯形ABCD 的面积相等，即[]')(2 1)(21d d d k kd kd d ?'++=?解得 1)d d '= 练习2：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==12 2设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212 所以n k l E =2 2 【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做 Kd+d
高中物理变力做功问题
高中物理变力做功问题 摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用动能定理、功率的表达式Pt W =、功能关系、平均值、s F -图像、微元累积法、转换参考系等来求变力做功。 关键词：功 変力 动能定理 功率 功能关系 平均值 图像 微元累积法 转换参考系 对于功的定义式W ＝αcos Fs ，其中的F 是恒力，适用于求恒力做功，其中的s 是力F 的作用点发生的位移，α是力F 与位移s 的夹角。在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多，比如用动能定理、功率的表达式Pt W =、功能关系、平均值、s F -图像、微 元累积法、转换参考系等来求变力做功。 一、运用功的公式求变力做功 求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W ＝αcos Fs 求恒力的功，从而可知该変力的功。等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。 例1：人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，如图1所示，开始绳与水平方向夹角为ο60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s 2=而到达B 点，此时绳与水平方向成ο30角，求人对绳的拉力做了多少功？ 【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s 方向一直水平，所以无法利用W ＝αcos Fs 直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉 力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用W ＝αcos Fs 求了！ 设滑轮距地面的高度为h ，则：( )s h =-ο ο60 cot 30cot 人由A 走到B 的过程中，重物上升的高度h ?等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：ο ο60 sin 30sin h h h -= ?，人对绳子做的功为：( )( ) J J mgs h mg W 732131000 13≈-=-=??= 二、运用动能定理求变力做功 动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。 例2：如图2所示，原来质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（ ） A. θcos FL B. θsin FL C. ()θcos 1-FL D. ()θcos 1-mgL 【解析】很多同学会错选B ，原因是没有分析运动过程，对Ｗ＝FLcosθ来求功的适用 范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F 的大小不断变大，F 做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解： 所以 ()θcos 1-=-=mgL W W G F ，故D 正确。 三、运用Pt W =求变力做功 涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P 恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过Pt W =求変力做功。 G ο 60ο 30图1 图2
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细 绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点 运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是 变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这 个力F做的总功应为： A0焦耳B20π焦耳 C 10焦耳D20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20π J，故B正确。 三、平均力法
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020
变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少 图3 答案：。 二、图象法
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时 细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的 功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A 0焦耳 B 20π焦耳 C 10焦耳 D 20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故 B正确。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。 [关键词] 变力功图像法等效代换法 1 前言 功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。 2 用图像法求变力做功 功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。
五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功 .微元法思想。 当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用w F ?scos来求解，但是可以 将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。 例1.用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的 质量为m,物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小 不变，方向时刻变化，是变 力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分 成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果图1
把圆轨道分成无穷多个微元段每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，摩擦力在
摩擦力在一周内所做的功
、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值 L F 1 F 2 — F ------------- ，再由W FLcos 计算变力做功。如：弹簧的弹力做功 2 问题。 例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块， 在水平拉力F 作 用下，沿x 轴方向运动（如图 2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标 x 面积表示功，由图象知半圆形的面积为 F m X 。. C 答案 4 正确. 三.功能关系法。 功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。 例3如图所示，用竖直向下的恒力 F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体, 物体沿水平面移动过程中经过 A 、 B 、 C 三点，设AB=BC ，物体经 过A 、B 、C 三点时的动能分别为 E KA , E KB , E KC ,则它们间的关系 _. r 曰 定是: A . E K B -E KA =E K C -E KB B . E KB -E KA V E K C -E KB 到X 0处时的动能为 ( ) A . 0 B . -F m X o 2 C . F m X o D . 2 X o 4 4 【精析】由于 W = F X ，所以F-x 图象与X 轴所夹的 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆?则小物块运动 o n ~~F ? 图2乙
考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》.doc
考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》 一、知识讲解 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位， 中学阶段所学的功的计算公式 W=FScosa 只能用于恒力做功情况， 对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用， 当 F 为变力时， 用 动能定理 W= E k 或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是： 做功的过程就是能量转化的过程， 功是能的转化的量度。 如果知道某一过程中能量转化的数 值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。 下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力 做功问题进行归纳总结如下： 1、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。 而恒力做功又可以用 W=FScosa 计算，从而 使问题变得简单。 例 1、如图，定滑轮至滑块的高度为 h ，已知细绳的拉力为 F （恒定），滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角 分别为α和β。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对 绳的拉力 F 等于 T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该 问题是变力做功的问题。 但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下， 人对绳做 的功就等于绳的拉力对物体做的功。 而拉力 F 的大小和方向都不变， 所以 F 做的功可以用公 式 W=FScosa 直接计算。 由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 , 拉力 F 的作 用点的位移大小为： S S 1 h h S 2 sin sin W T W F F . S Fh ( 1 1 ) sin sin 2、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时， 若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角 不变， 且力与位移的方向同步变化， 可用微元法将曲线分成无限个小元段， 每一小元段可认 为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例 2 、如图所示，某力 F=10N 作用于半径 R=1m 的转盘的边缘上，力 F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一 致，则转动一周这个力 F 做的总功应为： A 、 0J B 、 20π J C 、10J D 、20J. 分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为 与力在同一直线上，故 W=F S ，则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F × 2π R=10× 2 π J=20 π J ，故 B 正确。 3、平均力法
应用动能定理求解变力做功问题(含答案)
应用动能定理求解变力做功问题 一、应用动能定理求变力做功时应注意的问题 1、所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔE k . 2、合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能． 3、若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功， 可以设克服该力做功为W ，则表达式中应用－W ；也可以设变力的功为W ，则 字母W 本身含有负号． 二、练习 1、如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m 的物块，站在地面上的 人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的 摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h .当人以速度v 从平 台的边缘处向右匀速前进位移x 时，则 ( ) A ．在该过程中，物块的运动可能是匀速的 B ．在该过程中，人对物块做的功为m v 2x 2 2(h 2＋x 2) C ．在该过程中，人对物块做的功为1 2m v 2 D ．人前进x 时，物块的运动速率为v h h 2＋x 2 答案 B 解析 设绳子与水平方向的夹角为θ，则物块运动的速度v 物＝v cos θ，而cos θ＝x h 2＋x 2 ，故v 物＝ v x h 2＋x 2 ，可见物块的速度随x 的增大而增大，A 、D 均错误；人对物块的拉力为变力，变力的功可应用动能定理求解，即W ＝12m v 2 物＝m v 2x 22(h 2＋x 2)，B 正确，C 错误． 2、如图所示，一质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中(容器固定) 由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力 为F N .重力加速度为g ，则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其所做 的功为 ( ) A.1 2 R (F N －3mg ) B.1 2 R (3mg －F N ) C.1 2 R (F N －mg ) D.1 2 R (F N －2mg )
变力做功的计算
变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然 后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元 段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用 计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？ 图3 答案：31.4J。 二、图象法 在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W ＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。
有关变力做功问题的求解
有关变力做功问题的求解 在整个高中物理教学和学习中，力学问题是高中物理学习的基础，是重点，也是难点。而在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。那么变力做功的情况有那些？又如何来求解呢？下面就根据本人在高中物理教学中一点所得进行简单的总结。 1，运用等值法求变力做功 求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，即该变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。一般在某一恒力F 通过轻绳或轻杆在不受任何摩擦的情况下给某一物体的变力做功就等于该恒力做的功。此时可用功定义式W ＝ cos Fs 求恒力的功，从而可知该变力的功。这里要特别提醒的是，这种方法一般只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。 例1、如图1所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为恒定F ，滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 大小也等于T 。T 在对物体做功的过程中大小不变，但其方向在时刻改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。 解：由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 拉力F 的作用点位移大小为：△S=S 1-S 2=h/sin α-h/sin β 所以：W T =W F =F △S=Fh(1/ sin α-1/ sin β)
变力做功恒力做功专题练习之一(有答案)
恒力做功变力做功专题之一 1关于功的概念，下列说法中正确的是（） A力对物体做功多，说明物体的位移一定大 B力对物体做功少，说明物体的位移一定少 C力对物体不做功，说明物体一定无位移 D功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的 2大小相等的拉力分别作用于原来静止、质量分别为m 1和m 2 的物体A和B上， 使A沿光滑水平面运动了位移s，使B沿粗糙水平面运动同样的位移，则拉力 对A、B做功w 1和w 2 相比较 A W 1>W 2 B W 1 < W 2 C W 1 =W 2 D无法判定 3关于摩擦力的功，下列说法正确的是 A静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力对物体一定做负功 B静摩擦力对物体不一定做功，滑动摩擦力对物体一定做功 C静摩擦力对物体一定做功，滑动摩擦力对物体可能不做功 D静摩擦力和滑动摩擦力都可能对物体不做功 4(多选)质量为m的物体始终静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，下列说法正确的是 A若斜面向右匀速移动距离s,斜面对物体没做功 B若斜面向上匀速移动距离s,斜面对物体做功mgs C若斜面向左以加速度a移动距离s,斜面对物体做功mgs D若斜面向下以加速度a移动距离s,斜面对物体做功 m(g+a)s 5(多选)质量为m的物体，在水平力F的作用下，在粗糙的水平面上运动，下列说法正确的是 A若物体做匀速直线运动，F一定对物体做正功 B若物体做匀加速直线运动，F一定对物体做正功 C若物体做匀减速直线运动，F一定对物体做负功 D若物体做匀减速直线运动，F也可能对物体做负功 6．(多选)如图5-14所示的四种情况中，A、B两物体相对静止，一起向右运动，则 [ ] A．情况甲中，A、B间的摩擦力对A做正功 B．情况乙中，A、B间的摩擦力对B做负功 C．情况丙中，A、B间的摩擦力对B做正功
几种求变力做功的常用方法
几种求变力做功的常用方法 摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教 学的难点。本文举例说明在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用等效转换、 平均值及F-s图像、动能定理及功能关系、功率的表达式W=Pt、微元法、转换参 考系等方法来求解变力做功。 关键词：変力功等效平均值图像动能定理功能关系功率微元 法参考系 对于功的定义式W=Fscosα，其中的F是恒力，适用于求恒力做功，其中的s 是力F的作用点发生的位移，α是力F与位移s的夹角。在高中阶段求变力做功 问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多，比如用等效转换、平均值及F-s图像、动能定理及功能关系、功率的表达式 W=Pt、微元法、转换参考系等方法来求解变力做功。 一、等效转换法 求某个过程中变力做的功，可以通过等效转换法把求该变力做功转换成求与 该变力做功相同的恒力功，此时可用功定义式W=Fscosα求恒力的功，从而可知 该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。 例1：如图所示，某人用恒定的力F拉动放在光滑水平面上的物体。开始时 与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平 面间的夹角为β。已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT 对物体所做的功。 解析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。 由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：，所以绳对物体做功：。 二、平均力法及图像法 1.如果一个过程中，若F是位移s的线性函数时，即F=ks+b时，可以用F的平均值 F=(F1+F2)/2来代替F的作用效果来计算。关键是先判断变力F与位移s是否成线性关系，然 后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2，再求出平均力和位移，然后由W=Fscosα求其功。 2.对于力与位移方向在同一条直线上，大小随位移变化的力，在F-x图像中，图线与坐标 轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F-x图像，图线与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。 例2:如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光 滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块 前进x，求拉力对木块做了多少功？ 解析：在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大， 即F是一变力，求变力做功时，不能直接用Fscosα计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求变力做功转换为求恒力做功。F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于 弹力，即F=kx。因该力与位移成正比，可用平均力F=kx求功，故W=F·x=kx2。 此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即 F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是 W=F·x=1/2kx2。 三、动能定理法及功能关系法
变力做功问题具体求解
6.作用力与反作用力的功 一对作用力与反作用力的做功情况: 1）作用力与反作用力做的功大小相等、符号相反： 如，在光滑的水平面上，用力F推靠在一起的A、B两物体向前运动一段位移，由于有FAB＝－FBA，SA＝SB，所以得：WAB＝－WBA。 再如，A、B两物体叠放在一起在水平外力F作用下向前加速运动过程中，存在于两物体间的静摩擦力做的功大小相等、符号相反。 2）作用力与反作用力做的功可以大小相等、符号相同： （A）都做正功：如，放置于光滑水平面上的两个带异种电荷且完全相同的带电物体A、B，由静止开始在静电引力作用下各移动了一段大小相等的位移，由于两力的方向与其对应的位移同向，则两相互作用力做的功大小相等、符号相同。 （B）都做负功：上例中，若两物体以相同的初速度分别向相反的方向运动，在任一段时间内通过的位移大小相等，则两物体间的相互作用力做大小相等的负功。 3）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相同： 若A、B两物体的质量不等，则它们在相同的时间内完成的位移不等，则两相互作用力做的功大小不等、符号相同。 4）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相反： 如物体A以一定速度V滑上表面粗糙的木板B，木板B放在光滑水平面在两物体达共同速度之前，由于SA＞SB，则两物体间的滑动摩擦力做的功分别为W fBA＝fBA?SA WfAB＝fAB?SB 其大小不等、符号相反。 5）作用力与反作用力中可以是一个力做功，而另一个力不做功： 在上例中，若将木板B固定，则SB＝0，即物体A对B的滑动摩擦力不做力，而B对A 做负功。 综上所述， 1）一对作用力与反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功； 也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或负功。 2）不论是滑动摩擦力，还是静摩擦力都可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不做功。 3）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有把机械能转化为其他形式的能。相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做 的功代数和总为零。 而在一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方向：一是相互摩擦的物体之 间机械能的转移；而是机械能转化为内能。转化为能能的数值等于滑动摩擦力与相对 位移的乘积。 1.下列说法正确的是（） A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功 B．当作用力不做功时，反作用力也不做功 C．作用力做正功，反作用力也可能做正功 D．作用力与反作用力的功大小不一定相等 [方法总结]求解变力做功的六种方法 1
专题02 应用动能定理处理变力做功问题-高中物理动能定理的综合应用
做功过程中力的大小、方向发生变化，这种情况无法应用公式公式W=Flcosα求解。 求解变力做功的几种常见方法： 1. 平均力法 如果物体受到的力方向不变，且大小随位移均匀变化，可用W Fl =求变力F 所做的功。其平均值大小为122 F F F += ，其中F 1是物体初态时受到的力的值，F 2是物体末态时受到的力的值。如在求弹簧弹力所做的功时，再如题目中假定木桩、钉子等所受阻力与击入深度成正比的情况下，都可以用此法求解。 2.用微元法(或分段法) 求变力做功变力做功时，可将整个过程分为几个微小的阶段，使力在每个阶段内不变，求出每个阶段内外力所做的功，然后再求和。当力的大小不变而方向始终与运动方向间的夹角恒定时，变力所做的功cos W F s θ=?? ，其中s 是路程。 3.用等效法求变力做功 若某一变力做的功等效于某一恒力做的功，则可以应用公式cos W Fl α=来求。这样，变力做功问题就转化为了恒力做功问题。 4.用图像法求变力做功 在F —l 图像中，图线与两坐标轴所围“面积”的代数和表示F 做的功，“面积”有正负，在l 轴上方的“面积”为正，在l 轴下方的“面积”为负。 5.应用动能定理求变力做功 如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能变化量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。 6.利用功能关系求变力做功
在变力做功的过程中，当有重力势能、弹性势能以及其他形式的能量参与转化时，可以考虑用功能关系求解。因为做功的过程就是能量转化的过程，并且转化过程中能量守恒。 7.利用W=Pt求变力做功 这是一种等效代换的观点，用W=Pt计算功时，必须满足变力的功率是恒定的。若功率P是变化的，则需用计算，其中当P随时间均匀变化时。 1. 如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P 到B的运动过程中（） A．重力做功2mgR B．小球机械能守恒 C．合外力做功mgR D．克服摩擦力做功1 2 mgR 分析：摩擦力是变力，其做功的大小可由动能定理求得。
变力做功习题
1、如图所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h ，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力F T 对物体所做的功。 2、一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f 0，f 0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s 2 ） 3、某人从井中匀速提水，水面距井口h=10m ，水和桶共重200N ，提桶的绳子长10m 、重20N ，求提上一桶水人做多少功？ 4、下列关于作用力、反作用力的做功问题中，说法正确的是（ ） A ．作用力做功，反作用力也必定做功 B ．作用力做正功，反作用力一定做负功 C ．作用力做功的数值一定等于反作用力做功的数值 D ．单纯根据作用力的做功情况不能判断反作用力的做功情况 5、如图所示，在向右运动的汽车上，一个人用力向前推车，若人与车始终保持相对静止，则下列说法正确的是（ ） Ａ．当车匀速运动时，人对车不做功 Ｂ．当车加速运动时，人对车做正功 Ｃ．当车减速运动时，人对车做负功 6、小球P 用一根不可伸长的细绳拴住，绳的一端固定在O 点，Q 为一个斜面体。P 与Q 的粗糙斜面接触，现用水平外力F 向左推动Q ，使它在水平光滑平面上向左移动，如图所示，在细线与斜面的方向达到平行之前的这一过程中（ ） A ．斜面对P 的摩擦力对P 做负功 B ．斜面对P 的支持力对P 不做功 C ．小球P 对斜面Q 的摩擦力对斜面不做功
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