平面向量复习学案

平面向量复习

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有___又有____的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段.

2．零向量：长度为__的向量叫零向量，记作：__，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为___单位长度的向量.(与AB

共线的单位向量是||

A B A B ±

)； 4．相等向量：长度___且方向____的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向________的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线

重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线? AB AC

、共线；

6．相反向量：__________的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如

下列命题：（1）若a b =

，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，

终点相同。（3）若A B D C

= ，则A B C D 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC =

。

（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c

。其中正确的是_______

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3．坐标表示法：a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如

（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c =

______

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.12(0,0),(1,2)e e ==- B 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213

(2,3),(,)24e e =-=-

（3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,B C A C 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC

可用向量,a b 表示

为_____

（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→

??→

?=DB CD 2，?→

??→

??→

?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ 四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个___，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=

当λ

>0时，λa 的方向与a 的方向___，当___时，λa 的方向与a 的方

向相反，当λ＝0时，0a λ=

，注意：λa ≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,O A a O B b

==

，A O B θ∠=()0θπ≤≤称为向

量a ，b 的夹角，当θ＝__时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b ___，当θ＝2

π

时，a __b 。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量_____叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝____。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________ （2）已知1

1(1,),(0,),,22a b c a k b d a b ==-=+=-

，c 与d 的夹角为

4

π

，则k 等于____

（3）已知

2,5,3a b a b ===- ，则a b +

等于____

（4）已知,a b

是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____

（5

）1a b a b a a b ==-

已知，且与垂直，求与的夹角。

3．b 在a 上的投影为||cos b θ

，它是一个实数，但不一定大于0。如

已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______ 4．a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于__的模__与_______的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥??=

；

②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，

特别地，22,a a a a a =?== ；当a 与b 反向时，a ?b

＝－a b

；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、

不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ?<

是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ?=

；④||||||a b a b ?≤ 。如

（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （2）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),

a x x

b y y ==

a

与b

之间有关系式

,0k a b k b k +=->

其中，

①用k

表示a b ?

；②求a b ?

的最小值，并求此时a

与b

的夹角θ的大小

六．向量的运算：

1．几何运算：①向量加法：“平行四边形法则”关键是_______，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量；还可利用“三角形法则”，关键是_______。

②向量的减法：用“三角形法则”，即是________________________.

(1)化简：①AB BC CD ++= ___；②AB AD DC --=

____；③()()AB C D AC BD ---= _____（2）

若正方形A B C D 的边长为1，,,A B a B C b A C c === ，则||a b c ++

＝_____

（3）若O 是A B C 所在平面内一点，且满足2O B O C O B O C O A -=+-

，则A B C

的形状

为____

（4）若D 为A B C ?的边B C 的中点，A B C ?所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=

，

设||

||

AP PD λ= ，则λ的值为___； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=

，则ABC △的内角C 为____

2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==

，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±

，12)y y ±。

如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()

AP AB AC R λλ=+∈

，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上

（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且，,(,)22

x y ππ

∈-，则x y +=

（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-= ，则合力123

F F F F =++

的终点

坐标是

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==

。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有

向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC

AB =

，3AD

AB =

，则

C 、

D 的坐标分别是__________

④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+

。如

已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。（1）若x ＝3

π

，求向

量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4

,

83[π

π-

，函数b a x f ?=λ)(的最大值为

2

1，求λ的值

（答：1(1)150;(2)

2

或1）；

7.向量垂直的判定：设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a

⊥ ?02121=+y y x x

8.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ = |

|||b a b

a ??

2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=

⑤向量的模

：2222||||a a a x y ===+

。如

1.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60

，那么|3|a b +

＝_____

2.设ABC ?是边长为1的正三角形,

+= .

七．向量的运算律：

1．交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ=

，a b b a ?=? ；

2．结合律：(

)

(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+ ，()()()

a b a b a b λλλ?=?=?

；

3．分配律：()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+ ，()

a b c a c b c +?=?+?

。

如,下列命题中：① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；② →→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2

()a b →→-2||a →

=

2

2||||||

a b b →

→

→

-?+；④ 若0=?→→b a ，则

0=→

a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ?=?

则a c

= ；⑥

2

2

a

a

= ；

⑦

2a b b a a

?=

；⑧222()a b a b ?=? ；⑨22

2

()2a b a a b b -=-?+ 。其中正确的是______

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以

一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(?≠?，为什么？

八．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b

λ?=

22

()(||||)a b a b ??=

1212

x y y x ?-＝0。如

(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==

，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同

（2）已知(1,1),(4,)a b x ==

，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v

，则x ＝______

（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===

，则k ＝_____时，A,B,C 共线 九．向量垂直的充要条件：

0||||

a b a b a b a b ⊥??=?+=-

12120

x x y y ?+=.特别地

()()A B A C A B A C

A B

A C A

B A C

+⊥-

。如(1)已知(1,2),(3,)

O A O B m =-= ，若OA OB

⊥ ，则m =

（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标

是________

（3）已知(,),n a b = 向量n m ⊥ ，且n m =

，则m 的坐标是________ 十．平移：(1)已知

A （1,2），

B （4,2），则把向量AB

按向量a

＝（－1,3）平移后得到的向量

是_____（2）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a

把点(7,2)-平移到点______ （3）函数x y 2sin =的图象按向量→

a =)1,4

(π

-

平移后，所得函数的解析式是________

十一、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ，特别地，当 a b 、

同向或有0 ?||||||a b a b +=+

≥||||||||a b a b -=- ；当 a b 、反向或有0 ?||||||a b a b -=+ ≥||||||||

a b a b -=+

；当 a b 、不共线

?||||||||||||a b a b a b -<±<+ (这些和实数比较类似).

（3）在A B C ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为

123123,33x x x y y y G ++++?? ???

。如，若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、

（-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______ ②1()3PG PA PB PC =++ ?G 为A B C ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?

为A B C ?的重心；

③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??

为A B C ?的垂心；

④向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠

所在直线过A B C ?的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)；⑤||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=?

A B C ?的内心；

（4）向量 PA PB PC

、

、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+ 且1αβ+=. 如，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→?OC ?→

??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

2.3.1平面向量基本定理(教、学案)

2. 3.1 平面向量基本定理 教学目标： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ 2使 a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被 a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：

例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ， =b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线. 四、课堂练习：见教材 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、教学反思

人教A版数学必修四第二章平面向量导学案

第二章 平面向量 1.向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：

平面向量历年高考题汇编难度高

数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

2021年高考数学一轮复习第七单元平面向量学案理

2021年高考数学一轮复习第七单元平面向量学案理 B．平面内的单位向量是唯一的 C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量 D．共线向量就是相等向量 解析：选C 对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.

3．下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等； ②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A 对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误； 对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误． 综上，正确的命题个数是0. [清易错] 1．对于平行向量易忽视两点： (1)零向量与任一向量平行． (2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制． 1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( ) A．共线B．不共线 C．共线且同向D．不一定共线

解析：选D 可举特例，当n ＝0时，满足m∥n ，n∥k ，故A 、B 、C 选项都不正确，故D 正确． 2．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b |b | ＝0成立的是( ) A ．a ＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－1 3b D ．a ⊥b 解析：选C “ a |a|＋b |b| ＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，故答案为C. 1．向量共线定理 向量b 与a(a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa. 2．平面向量的基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [小题速通] 1．已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→ ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1 解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→∥AC ―→， 设AB ―→＝m AC ―→ (m ≠0)，即λa ＋b ＝m a ＋mμb ， ∴? ?? ?? λ＝m ，1＝mμ，∴λμ＝1. 2．(xx·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m n 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2

高中数学第二章平面向量章末小结导学案无答案新人教A版必修

第二章平面向量章末小结 【本章知识体系】 - 1 -

2 【题型归纳】 专题一、平面向量的概念及运算 包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 1、1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( ) A ．3A B → B.AB → C.BA → D.CA → 2、在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则下列运算正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0 3、已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点， 则DE →·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－6 4、如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ， b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ， c 为基底时，AC →可表示为 ________． 5、下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB → D ．若b⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b 专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算 向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 7、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 8、已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，则c ＝________. 专题三、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。 9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43 b C.23a －43b D ．－23a ＋43 b

高考数学专题5平面向量37平面向量的应用理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5 平面向量 37 平 面向量的应用 理 训练目标 (1)向量知识的综合应用；(2)向量与其他知识的结合. 训练题型 (1)向量与三角函数；(2)向量与三角形；(3)向量与平面解析几何. 解题策略 (1)利用向量知识可将和三角函数有关的问题“脱去”向量外衣，转化为三角函数问题；(2)向量和平面图形的问题往往借助三角形，结合正弦、余弦定理 解决；(3)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法. 1．(2015·珠海调研)设向量a ＝(sin x ，cos 2x )，b ＝(3cos x ，2 )，函数f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若0<α<π3，f (α2)＝45 ，求cos α的值． 2. .b ＝OB →，a ＝OA →，设M 交于点BC 与AD ，OB →12 ＝OD →，OA →14＝OC →中，OAB △如图，在 ； OM →表示b 、a 用(1) ＝ OF →，OA →p ＝OE →点，设M 过EF ，使F 上取一点BD ，在线段E 上取一点AC 已知在线段(2) 1.＝37q ＋17p ，求证：OB →q ，－ x (2cos ＝n ，)x sin 3，x (3cos ＝m 已知向量)福建三明高中联盟校期末(2015·．32cos x )，函数f (x )＝m ·n . (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程； ，45 ＝A cos ，2＝b 且0＝)B ( f ，若c ，b ，a 的对边分别为C ，B ，A 中，角ABC △在锐角(2)求a 的值． 4．(2015·长沙一模)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，y )． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y ∈[1,6]，求满足a ·b >0的概率． 5．(2015·西安第二次质检)

平面向量应用举例(教学案)

2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第二章平面向量_含答案

第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：

平面向量在高考中的题型分类

平面向量 题型一、向量在几何中的运算 1.(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 则 EB = A ．3144 AB AC - B ． 1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2.（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ?的值为 A ．85- B ．81 C ．41 D ．811 3．（2015安徽）ΑΒC ?是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是 A ．1=b B ．⊥a b C ．1?=a b D ．()4ΒC -⊥a b 4．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A ．AD B ． 21 C ． 2 1 D ． BC 5．（2013福建）四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为 A ．5 B ．52 C ．5 D ．10 6．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则 AE BD ?= ． 7．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ?∠=，E 为CD 的中点．若 ·1AC BE =， 则AB 的长为 ．

8．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 9.（2019天津理14）在四边形ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ?= . 10．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ?＝ A ．232a - B ．234a - C ．234a D ．232 a 11．（2015新课标）设D 为ABC ?所在平面内一点，3BC CD =，则 A ．1433AD A B A C =-+ B ．1433 AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133 AD AB AC =- 12．（2015四川）设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ?= A ．20 B ．15 C ．9 D ．6 13．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE λBC ，DF μDC .若1AE AF ，23CE CF ，则λμ A ．12 B ．23 C ．56 D ．712 15．（2012天津）在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=， (1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ?=-，则λ= A ．13 B ．23 C ．43 D ．2 16．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA C E == 则AD BE ?=______． 17.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，

高中数学《平面向量基本定理》导学案

2．3.1平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 2．向量的夹角

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面向量的一组基底e 1，e 2一定都是非零向量．( ) (2)在平面向量基本定理中，若a ＝0，则λ1＝λ2＝0.( ) (3)在平面向量基本定理中，若a ∥e 1，则λ2＝0；若a ∥e 2，则λ1 ＝0.( ) (4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做 (1)设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案 B 解析 ∵3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两个向量共线，不能作为基底． (2)(教材改编P 94向量夹角的定义)在锐角三角形ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( ) A.AB →与BC → 的夹角是锐角 B.AC →与AB → 的夹角是锐角 C.AC →与BC → 的夹角是钝角 D.AC →与CB → 的夹角是锐角 答案 B 解析 AB →与BC →的夹角是钝角，AC →与AB →的夹角是锐角，AC →与BC →

的夹角是锐角，AC →与CB → 的夹角是钝角．故选B. (3)若向量a ，b 的夹角为30°，则向量－a ，－b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B 解析 将向量移至共同起点，则由对顶角相等可得向量－a ，－b 的夹角也是30°. (4)在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，则向量AB →，BC → 的夹角为________． 答案 135° 解析 将向量移至共同起点，由向量的夹角的定义知AB →，BC → 夹角为135°. 探究1 正确理解基底的概念 例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB → ，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④ 解析 ①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA → 与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB → 共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．

平面向量的概念学案

必修4第二章 平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示 【内容分析】 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点. 【学习目标】 1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念； 2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义； 3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力. 【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量. 【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？ 2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？ 3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东 追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？ 4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？ 图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研 究的问题！ 二、学习探究 1.向量的物理背景与概念 阅读探究 请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课 本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一 些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等. 还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面 图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B C D 图2.1.1-1

2018版高中数学平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4含解析

2.1平面向量的实际背景及基本概念 【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区 别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. ET问题导学-------------------------- 知识点一向量的概念 思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向 思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小 梳理向量与数量 （1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 （2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二向量的表示方法 思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？ 答案 0的模长为0,方向任意. 思考3单位向量的模长是多少？ 答案单位向量的模长为1个单位长度. 梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段, 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作X B ⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用 b , c). ⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为 0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 . 知识点三相等向量与共线向量

平面向量基本定理导学案

§2.3.1平面向量基本定理 高一（ ）班 姓名： 上课时间： 【目标与导入】 1、学习平面向量基本定理及其应用； 2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。 【预习与检测】 1、点C 在线段AB 上，且35 AC AB --→ --→ = ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ） A 、23 B 、32 C 、-23 D 、-32 2、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→ +共线，则k 的值为（ ）。 .1.1.1.0A B C D -± 3、已知向量12,e e → → ，作出向量1223OA e e → → =+与 122(3)OB e e → →=+-。 两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA 分解成两个向量：在1e → 方向上的____与在2e → 方向上的______，OB 则分解成_____与_____。 4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果 12 ,e e →→ 是同一平面内的两个_______ 向量，那么对于这一平面内的______向量a → ，有且只有一对实数12,λλ， 使_____________， 其中不共线的向量 12 ,e e → →叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。 5、已知两个非零向量,a b →→，作,O A a O B b →→→→==，则()0180A O B θθ∠=?≤≤?叫做向量a → 与 b → 的__________，若0θ=?,则a →与b →_______；若180θ=?,则a →与b → __________；若 90θ=?,则a → 与b → _______，记作______。 【精讲与点拨】 如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC= 1 4 BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→ 为基底表示,,AM MH MD →→ 。 C 2 e → 1 e → A B

苏教版高中数学《平面向量基本定理》word导学案

课题: 2.3.1平面向量基本定理 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【学习目标】 1、了解平面向量基本定理； 2、掌握平面向量基本定理及其应用。 【课前预习】 1、共线向量基本定理 一般地，对于两个向量() b a a ,0≠， 如果有一个实数λ，使___________（ ），那么b 与a 是共线向量；反之，如果 b 与)0(≠a a 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使______________。 2、（1）火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。 （2）力的分解。 （3）平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示。如图，设21,e e 是平面内两个不共线的向量，a 是平面内的任一向量。 3、平面向量基本定理。 4、基底，正交分解。 思考：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？ 【课堂研讨】 例1、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，b AD a AB ==,， 试用基底b a ,表示MB MA MC ,,和MD 。 例2、如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ， 求 斜 面 对 物 体 的 摩 擦 力 f 。 O j v y v 1e a A B M D C 2e

例3、设21,e e 是平面内的一组基底，若1232,AB e e =-124,BC e e =+2198e e CD -= 求证：D B A ,,三点共线。 【学后反思】 θ W p f f -

课题: 2.3.1平面向量的基本定理 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1、如图，已知向量21,e e ，求作下列向量： （1）2132e e +- （2）215.15.2e e + 2、若21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A 、2121e e e e -+和 B 、12216423e e e e --和 C 、122133e e e e ++和 D 、212e e e +和 3、已知ABC ?中，D 是BC 的中点，用向量AC AB ,表示向量AD 。 4、设Q P ,分别是四边形的对角线AC 与BD 的中点，a BC =，b DA =并且b a ,不是共线向量，试用基底b a ,表示向量PQ 。 【课后巩固】 1、设b a ,是不共线向量，若b a 4-与b a k +共线，则实数________=k 2、ABC ?中，若F E D ,,依次是AB 的四等分点，则以21,e CA e CB ==为基底时， __________=CF 3、若21213,e e OB e e OA -=+=，215e e m OC -=，且C B A ,,三点共线， 则实数=m _________________。 4、设() 011≠e e ，四边形ABCD 中，e AD e DC e AB 2,5,3===，e BC 2=，则四边形是____________ 5、如图，ABCD 是一个梯形，CD AB //且CD AB 2=，M 、N 分别是DC 和AB 中 1e 2e A C D M N

人教A版高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案 【学习目标】 1．了解平面向量基本定理； 2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa =0. 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λ b . 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 新授课阶段 一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为

基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面向量的坐标运算 （1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即 b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=. （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1). （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即 ),(y x a λλλ=.