离散数学教案
学习目标：
1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念；
2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律；
3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；
4．掌握关系的矩阵表示和关系图；
5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法；
6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别；
7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。
主要内容：
1．集合的基本概念及其运算
2．序偶与笛卡尔积
3．关系及其表示
4．关系的性质及其判定方法
5．复合关系和逆关系
6．关系的闭包运算
7．等价关系与相容关系
8．偏序关系
重点：
1．关系的性质及其判别；
2．关系的复合运算及其性质；
3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；
4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。
难点：
1．关系的传递性及其判别；
2．等价关系的特性；
3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。
教学手段：
通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。
习题：
习题 3.1：4，6；习题 3.2：3（8），4（12），6（m ）；习题 3.4：1 （2）、
(4)，3；习题 3.5：1，4；习题 3.6：2，5，6；习题 3.7：2，5，6；习题
3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。
3.1 集合的基本概念
集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。
集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。若A 是集合，a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作。若组成集合的元素个数是有限的，则称该集合为有限集(Finite Set)，否则称为无限集(Infinite Set)。
常见集合专用字符的约定：
N —自然数集合(非负整数
集)
I (或Z )—整数集合(I +，I -) Q —有理数集合(Q +，Q -) R —实数集合(R +，R -)
F —分数集合(F +，F -)
脚标+和-是对正、负的区分 C —复数集合
P —素数集合 O —奇数集合
E —偶数集合
幂集
定义 3.1.1 对于每一个集合A ，由A 的所有子集组成的集合，称为集合A 的幂集(Power Set)，记为 ()P A 或2A ．即(){}P A B B A =?。
例如：{,,}A a b c =, (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b b c a c a b c φ=。
定理3.1.1 如果有限集A 有n 个元素，则其幂集()P A 有2n 个元素。
证明 A 的所有由k 个元素组成的子集数为从n 个元素中取k 个的组合数。 (1)(2)(1)!
k n n n n n k C k ---+=
L 另外，因A φ?，故()P A 的元素个数N 可表示为 1
201n
k n k n n n n
n k N C C C C C ==++++++=∑L L 又因 0()n n k k n k n k x y C x y -=+=
∑ 令 1x y ==
得 02n n k n k C
==∑
故()P A 的元素个数是2n 。
人们常常给有限集A 的子集编码，用以表示A 的幂集的各个元素。具体方法是： 设12{,,,}n A a a a =L ，则A 子集B 按照含i a 记1、不含i a 记0(1,2,,)i n =L 的规定
依次写成一个n 位二进制数，便得子集B 的编码。
例如，若1{,}n B a a =，则B 的编码是10001L ，当然还可将它化成十进制数。如果4n =，那么这个十进制数为9，此时特别记14{,}B a a =为9B 。
3.2 集合的对称差运算
定义 3.2.1 设A 、B 是两个集合，要么属于A ，要么属于B ，但不能同时属于A 和B 的所有元素组成的集合，称为A 和B 的对称差集，记为A B ⊕。即 {}()()A B A B B A x x A x B ⊕=--=∈∨∈U
例如，若{1,2,,}A c d =，{1,,3,}B b d =，则{2,,,3}A B c b ⊕=。
对称差的定义如图3-1所示。
图3-1
由对称差的定义容易推得如下性质：
（1）A B B A ⊕=⊕
（2）A A φ⊕=
（3）A A ⊕=?
（4）()()A B A B A B ⊕=I U I
（5）()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕
证明 （5）()A B C ⊕⊕
[()]()A B C A B C =⊕⊕I U I
{[()()]}[()()]A B A B C A B A B C =I U I I U I U I I ()(){[()()]}A B C A B C A B A B C =I I U I I U U I U I
但 [()()]A B A B C U I U I
={[()][()]}A B A A B B C U I U U I I [()()()()]A A A B A B B B C =I U I U I U I I
[()()]A B A B C φφ=U I U I U I
()()A B C A B C =I I U I I
故 ()A B C ⊕⊕
()()A B C A B C =I I U I I U ()()A B C A B C I I U I I 又 ()A B C ⊕⊕
()[()]A B C A B C =⊕⊕I U I
[()()]{[()()]}A B C B C A B C B C =I I U I U I I U I
{[()()]}[()()]A B C B C A B C A B C =I U I U U I I U I I
因为 [()()]A B C B C I U I U
[()()()()]A B B B C C B C C =I I U I U I U I
[()()]A B C C B =I I U I
()()A B C A C B =I I U I I
故 ()A B C ⊕⊕
()()A B C A B C =I I U I I ()()A B C A B C U I I U I I
因此 ()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕
对称差运算的结合性亦可用图3-2说明。
A B ⊕ B C ⊕
()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕
图3-2 对称差运算的结合性
从文氏图3-3亦可以看出以下关系式成立。
()()()A B A B B A A B =U I U I U I
()()A B A B =⊕U I
图3-3 A B U
3.4 序偶与笛卡尔积
3.4.1 序偶
在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；12<；男生9名而女生6；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般的说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶(Ordered Pair)，记作,x y 。上述各例可分别表示为〈上，下〉；1,2；9,6；〈中国，亚洲〉；,a b 等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合，但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中，{}{},,a b b a =，但对序偶，当a b ≠时，,,a b b a ≠。
定义3.4.1 两个序偶相等，,,x y u v =，当且仅当,x u y v ==。 这里指出：序偶,a b 中两个元素不一定来自同一个集合，它们可以代表不同类型的事物。例如，a 代表操作码，b 代表地址码，则序偶,a b 就代表一条单地址指令；当然亦可将a 代表地址码，b 代表操作码，,a b 仍代表一条单地址指令。但上述这种约定，一经确定，序偶的次序就不能再予以变化了。在序偶,a b 中，a 称第一元素，b 称第二元素。
序偶的概念可以推广到有序三元组的情况。
有序三元组是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，可形式化表示为,,x y z 。由序偶相等的定义，可以知道,,,,x y z v w =当且仅当,,,x y u v z w ==，即,,x u y v z w ===，我们约定有序三元组可记作,,x y z 。注意：,,,,x y z x y z ≠，因为,,x y z 不是有序三元组。同理，有序四元组被定义为一个序偶，其第一元素为有序三元组，故有序四元组有形式为
,,,x y z w ，可记作,,,x y z w ，且
,,,,,,x y z w p q r s =x p y q z r w s ?=∧=∧=∧=
这样，有序n 元组(Ordered n-tuple)定义为121,,,,n n x x x x -L ，记作121,,,,n n x x x x -L ，且
1212,,,,,,n n x x x y y y =L L 1122n n x y x y x y ?=∧=∧∧=L
一般地，有序n 元组12,,,n x x x L 中的i x 称作有序n 元组的第i 个坐标。
3.4.2 笛卡尔积
定义3.4.2 设A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A 的元素，第二个成员是B 的元素，所有这样的序偶集合，称为集合A 和B 的笛卡尔乘积或直积(Cartesian Product)，记作A B ?。即
{,}A B x y x A y B ?=∈∧∈
例3.4.1 若{1,2},{,,}A B a b c ==, 求,A B B B ??以及()()A B B A ??I
解 {1,,1,,1,,2,,2,,2,}A B a b c a b c ?=
{,,,,,,,,,,,,,,,,,}B B a a a b a c b a b b c c a c b c c ?=
{,1,,2,,1,,2,,1,,2}B A a a b b c c ?=
()()A B B A φ??=I
显然，我们有：
（1）A B B A ?≠?；
（2）如果,A m B n ==，则A B B A A B mn ?=?==。
我们约定：若A φ=或B φ=，则A B φ?=。
由笛卡尔积定义可知：
(){,,,}A B C x y z x y A B z C ??=∈?∧∈ {,,}x y z x A y B z C ∈∧∈∧∈
(){,,,}A B C x y z
x A y z B C ??=∈∧∈? 由于,,x y z 不是三元组，所以
()()A B C A B C ??≠??
定理3.4.1 设A 、B 和C 为任意三个集合，则有
（1）()()()A B C A B A C ?=??U U
（2）()()()A B C A B A C ?=??I I
（3）()()()A B C A C B C ?=??U U
（4）()()()A B C A C B C ?=??I I
证明 （1）设,()x y A B C ∈?U x A y B C ?∈∧∈U
()x A y B y C ?∈∧∈∨∈
()()x A y B x A y C ?∈∧∈∨∈∧∈ ,,x y A B x y A C ?∈?∨∈? ,()()x y A B A C ?∈??U
因此， ()()()A B C A B A C ?=??U U 。
（4）设,()x y A B C x A B y C ∈??∈∧∈I I
()x A x B y C ?∈∧∈∧∈
()()x A y C x B y C ?∈∧∈∧∈∧∈ ,,x y A C x y B C ?∈?∧∈? ,()()x y A C B C ?∈??I
因此， ()()()A B C A C B C ?=??I I 。
定理3.4.2 设A 、B 和C 为三个非空集合，则有
A B A C B C C A C B ?????????
证明 设A B ?，对任意的,x y ，
,x y A C x A y C ∈??∈∧∈
x B y C ?∈∧∈
,x y B C ?∈?
因此， A C B C ???。
反之，若A C B C ???，取y C ∈，则对x ?，有
,x A x A y C x y A C ∈?∈∧∈?∈?
,x y B C x B y C ?∈??∈∧∈
x B ?∈
因此，A B ?。
定理的第二部分A B C A C B ?????，证明类似。
定理 3.4.3 设A 、B 、C 和D 为四个非空集合，则A B C D ???的充要条件为A C ?且B D ?。
证明 若A B C D ???，对任意的,x A y B ∈∈，有
()(),x A y B x y A B ∈∧∈?∈?,x y C D ?∈?
()()x C y D ?∈∧∈
即 ,A C B D ??。
反之，若A C ?且B D ?，设任意,x A y B ∈∈，有 ,()()x y A B x A y B ∈??∈∧∈
()()x C y D ?∈∧∈ ,x y C D ?∈?
因此， A B C D ???。
对于有限个集合可以进行多次笛卡尔积运算。为了与有序n 元组一致，我们约
定：
123123()A A A A A A ??=??
12341234()A A A A A A A A ???=???
1234(())A A A A =???
一般地，12121()n n n A A A A A A A -???=????L L
121122{,,,}n n n x x x x A x A x A =∈∧∈∧∧∈L L
故12n A A A ???L 是有序n 元组构成的集合。
特别地，同一集合的n 次直积n
A A A ???L 1442443，记为n A , 这里1n n A A A -=?。 例如，32
{1,2}{1,2}{1,2}{1,1,1,2,2,1,2,2}{1,2}=?=? {1,1,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,= 2,1,1,2,1,2,2,2,1,2,2,2}
{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}= 此处，332,28A A ===。一般地，若 ,n n A m A m ==则。
3.5 关系及其表示
3.5.1 关系的定义
在日常生活中我们都熟悉关系这词的含义，例如，父子关系、上下级关系、朋友关系等。我们知道，序偶可以表达两个客体、三个客体或n 个客体之间的联系，因此可以用序偶表达关系这个概念。
例如，机票与舱位之间有对号关系。设X 表示机票的集合，Y 表示舱位的集合，则对于任意的x X ∈和y Y ∈，必有x 与y 有对号关系和x 与y 没有对号关系两种情况的一种。令R 表示“对号”关系，则上述问题可以表达为xRy 或xRy ，亦可记为,x y R ∈或,x y R ?，因此，我们看到对号关系R 是序偶的集合。 定义3.5.1 设X 、Y 是任意两个集合，则称直积X Y ?的任一子集为从X 到Y 的一个二元关系(Binary Relation )。二元关系亦简称关系，记为R ，R X Y ??。
X 到Y 的二元关系R ，如图3-4所示。
图3-4
集合X 到Y 的二元关系是第一坐标取自X 、第二坐标取自Y 的序偶集合。如果序偶,x y R ∈，也说x 与y 有关系R ，记为xRy ；如果序偶,x y R ?，则说x 与y 没有关系R ，记为xRy 。
当X Y =时，关系R 是X X ?的子集，这时称R 为集合X 上的二元关系。
例3.5.1 （1）设{,}A a b =，{2,5,8}B =，则
{,2,,5,,8,,2,,5,,8}A B a a a b b b ?=，
令
1{,2,,8,,2}R a a b =
2{,5,,2,,5}R a b b =
3{,2}R a =
因为1R A B ??，2R A B ??，3R A B ??，所以1R ，2R 和3R 均是由A 到B 的关系。
（2）>={,,x y x y 是实数且}x y >是实数集上的大于关系。
定义3.5.2 设R 为X 到Y 的二元关系，由,x y R ∈的所有x 组成的集合称为R 的定义域或前域(Domain)，记作dom R 或()D R ，即 dom {()(,)}R x y x y R =?∈ 使,x y R ∈的所有y 组成的集合称为R 的值域(Range)，记作ran R ，即 ran {()(,)}R y x x y R =?∈。
R 的定义域和值域一起称作R 的域(Field)，记作FLD R ，即
FLD R = dom R U ran R
显然，dom R X ?，ran R Y ?，FLD R =dom R U ran R X Y ?U
例3.5.2 设{1,3,7}A =，{
1,2,6}B =，{1,2,1,6,7,2}H =，求dom H ，ran H 和FLD H 。
解 dom {1,7}H =，ran {2,6}H =，FLD {1,2,6,7}H =。
例3.5.3 设{2,3,4,5}X =，求集合X 上的关系“<”、dom <及ran <。
解 {2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5}<=
dom <{2,3,4}=
ran <{3,4,5}=
3.5.2 几种特殊的关系
1．空关系
对任意集合X ，Y ，X Y φ??，X X φ??，所以φ是由X 到Y 的关系，也是X 上的关系，称为空关系(Empty Relation)。
2．全域关系
因为X Y X Y ???，X X X X ???，所以X Y ?是一个由X 到Y 的关系，称为由X 到Y 的全域关系(Universal Relation)。X X ?是X 上的一个关系，称为X 上的全域关系，通常记作X E ，即
{,,}X i j i j E x x x x X =∈。
例3.5.4 若{,,,}H f m s d =表示家庭中父、母、子、女四个人的集合，确定H 上的全域关系和空关系，另外再确定H 上的一个关系，并指出该关系的前域和值域。
解 设H 上同一家庭的成员的关系为1H ，
1{,,,,,,,,,,,,,,,,H f f f m f s f d m f m m m s m d = ,,,,,,,,,,,,,,,}s f s m s s s d d f d m d s d d
设H 上的互不相识的关系为2H ，2H φ=，则1H 为全域关系，2H 为空关系。
设H 上的长幼关系为3H ，
3{,,,,,,,}H f s f d m s m d =
dom 3{,}H f m =
ran 3{,}H s d =
3．恒等关系
定义 3.5.3 设X I 是X 上的二元关系且满足{},)X I x x x X =
∈，则称X I 是X 上的恒等关系(Identical Relation)。
例如，{1,2,3}A =，则{1,1,2,2,3,3A I =。
因为关系是序偶的集合，因此，可以进行集合的所有运算。
定理 3.5.1 若Q 和S 是从集合X 到集合Y 的两个关系，则Q 、S 的并、交、补、差仍是X 到Y 的关系。
证明 因为 ,,Q X Y S X Y ????
故 ,Q S X Y Q S X Y ????U I
()S X Y S X Y =?-??
()Q S Q S X Y -=??I
例3.5.5 若{1,2,3,4}A =，1{,()/2,,}R x y x y A x y A
=-∈∈， 2{,()/3,,}R x y x y A x y A =-∈∈，求12R R I ，12R R U ，12R R -和1R 。
解 1{3,1,4,2}R =，2{4,1R =，
12R R φ=I
12{3,1,4,2,4,1}R R =U
121R R R -=
11A R E R =- {1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,= ,3,3,3,4,4,1,4,3,4,4}
3.5.3 关系的表示
1．集合表示法
因为关系是序偶的集合，因此可用表示集合的列举法或描述法来表示关系。例如，例
3.5.1的（1）中的关系1R ，2R 和3R 及例3.5.2中的关系H ，均是用列举法表示的关系；而例3.5.1的（2）中的关系>和例3.5.5中的关系1R ，2R 都是用描述法表示的关系。
有限集合间的二元关系R 除了可以用序偶集合的形式表达以外，还可用矩阵和图形表示，以便引入线性代数和图论的知识来讨论。
2．矩阵表示法
设给定两个有限集合12{,,,}m X x x x =L ，12{,,,}n Y y y y =L ，则对应于从X 到Y 的二元关系R 有一个关系矩阵R ij m n M r ???=??，其中
1,0,i j ij i j x y R r x y R
?∈?=????当当 (1,2,,;1,2,,)i m j n ==L L 。 如果R 是有限集合X 上的二元关系或X 和Y 含有相同数量的有限个元素，则R M 是方阵。
例3.5.6 若12345{,,,,}A a a a a a =，123{,,}B b b b =，
111322{,,,,,,R a b a b a b =23314252,,,,,,,}a b a b a b a b ，写出关系矩阵R M 。
解
53
1010111000
10010R M ?????????=???????? 例3.5.7 设{1,2,3,4}X =，写出集合X 上的大于关系>的关系矩阵。
解 >{2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3}=
0000100011001110M >??????=??????
3．关系图表示法
有限集合的二元关系也可用图形来表示。设集合{}12,,,m X x x x =L 到{}12,,,n Y y y y =L 上的一个二元关系为R ，首先我们在平面上做出m 个结点分别记作12,,,m x x x L ，另外做n 个结点分别记作12,,,n y y y L 。如果i j x Ry ，则从结点i x 至结点j y 做一有向弧，其箭头指向j y ，如果i j x Ry ，则,i j x y 之间没有线段连接。用这种方法连
接起来的图称为R 的关系图。
例3.5.8 画出例3.5.6的关系图。
解 本题的关系图如图3-11所示：
图3-11 例3.5.8的关系图
例3.5.9 设{1,2,3,4,5}A =，{1,2,1,5,2,2,R =3,2,3,1,4,3}，画出R 的关系图。
解 因为R 是A 上的关系，故只需画出A 中的每个元素即可。如果i j a Ra ，就画一条由i a 到j a 的有向弧。若i j a a =，则画出的是一条自回路。本题的关系图如图3-12所示。 3
2
1 4
5
图3-12 例3.5.9的关系图
关系图主要表达结点与结点之间的邻接关系，故关系图与结点位置和线段的长短无关。 从X 到Y 的关系R 是X Y ?的子集，即R X Y ??，而
()()X Y X Y X Y ???U U ，所以，()()R X Y X Y ??U U 。令Z X Y =U ，则R Z Z ??。因此，我们今后通常限于讨论同一集合上的关系。
3.6 关系的性质及其判定方法
3.6.1 关系的性质
定义3.6.1设R 是定义在集合X 上的二元关系，如果
（1）对于每一个x X ∈，都有xRx ，则称R 是自反的(Reflexive)。即
R 在X 上自反()()x x X xRx ??∈→
（2）对于每一个x X ∈，都有xRx ，则称R 是反自反的(Antireflexive)。即
R 在X 上反自反()()x x X xRx ??∈→
（3）对于任意,x y X ∈，若xRy ，就有yRx ，则称R 是对称的(Symmetric)。即
R 在X 上对称()()(()()()())x y x X y X xRy yRx ???∈∧∈∧→
（4）对于任意,x y X ∈，若xRy ，yRx ，必有x y =，则称R 在X 上是反对称的(Antisymmetric)。即
R 在X 上反对称()()(()()()()())x y x X y X xRy yRx x y ???∈∧∈∧∧→=
（5）对于任意,,x y z X ∈，若xRy ，yRz ，就有xRz ，则称R 在X 上是传递的(Transitive)。即
R 在X 上传递()()()(()()()()()())x y z x X y X z X xRy yRz xRz ????∈∧∈∧∈∧∧→
例3.6.1 设{1,2,3}A =，则集合A 上的关系
1{1,1,2,2,2,1,3,3}R =是自反而不是反自反的关系；
2{1,2,1,3,2,1,2,3}R =是反自反而不是自反的关系；
3{1,1,1,3,2,1,2,3}R =是既不是自反也不是反自反的关系；
4{1,1,1,3,3,1,2,3,}R =是对称的而不是反对称的关系；
5{1,1,1,3,2,1,2,3}R =是反对称的而不是对称的关系；
6{1,1,2,2,3,3R =是既对称也反对称的关系；
7{1,2,2,3,3,2}R =是既不对称也不反对称关系。
8{1,1,1,2,2,1,2,2}R =，9{1,2,3,2}R =是可传递的关系；
10{1,2,2,3,1,3,2,1}R =是不可传递的关系，因为101,2R ∈，102,1R ∈，但101,1R ?。
由定义3.6.1及例3.6.1可知：
（1）对任意一个关系R ，若R 自反则它一定不反自反，若R 反自反则它也一定不自反；但R 不自反，它未必反自反，若R 不反自反，也未必自反。
（2）存在着既对称也反对称的关系。
图3-5表明了自反与反自反、对称与反对称性之间的关系。
图3-5
例3.6.2 (1) 集合之间的?关系是自反的、反对称的和可传递的。因为：
1） 对于任意集合A ，均有A A ?成立，所以?是自反的；
2） 对于任意集合,A B ，若A B ?且B A ?，则A B =，所以?是反对称的；
3） 对于任意集合,,A B C ，若A B ?且B C ?，则A C ?，所以?是可传递
的。
（2）平面上三角形集合中的相似关系是自反的、对称的和可传递的。因为：任意一个三角形都与自身相似；若三角形A 相似于三角形B ，则三角形B 必相似于三角形A ；若三角形A 相似于三角形B ，且三角形B 相似于三角形C ，则三角形A 必相似于三角形C 。
（3）人类的祖先关系是反自反、反对称和可传递的。
（4）实数集上的“>”关系是反自反、反对称和可传递的。
（5）实数集上的“≤”关系是自反、反对称和可传递的。
（6）实数集上的“=”关系是自反、对称、反对称和可传递的。
（7）人群中的父子关系是反自反和反对称的。
（8）正整数集上的整除关系是自反、反对称和可传递的。
（9）φ是反自反、对称、反对称和可传递的。
（10）任意非空集合上的全关系是自反的、对称的和可传递的。
例3.6.3 设整数集Z 上的二元关系R 定义如下：
{,,,()/2R x y x y Z x y =∈-是整数}，
验证R 在Z 上是自反和对称的。
证明 ,()/20x Z x x ?∈-=，即,x x R ∈，故R 是自反的。
又设,x y Z ?∈，如果xRy ，即()/2x y -是整数，则()/2y x -也必是整数，即yRx ，因此R 是对称的。
3.6.2 由关系图、关系矩阵判别关系的性质
例3.6.4 集合{1,2,3,4}A =，A 上的关系R 的关系矩阵为：
1010010010110011R M ??????=??????
， R 的关系图如图3-6所示。讨论R 的性质。
图3-6
解 从R 的关系矩阵和关系图容易看出，R 是自反的、对称的。
一般地，我们有：
（1）若关系R 是自反的，当且仅当其关系矩阵的主对角线上的所有元素都是1；其关系图上每个结点都有自环。
（2）若关系R 是对称的，当且仅当其关系矩阵是对称矩阵；其关系图上任意两个结点间若有定向弧，必是成对出现的。
（3）若关系R 是反自反的，当且仅当其关系矩阵的主对角线上的元素皆为0；关系图上每个结点都没有自环。
（4）若关系R 是反对称的，当且仅当其关系矩阵中关于主对角线对称的元素不能同时为1；其关系图上任意两个不同结点间至多出现一条定向弧。
（5）若关系R 是可传递的，当且仅当其关系矩阵满足：对,,,,i j k i j j k ?≠≠，若1ij r =
且1jk r =，则1ik r =；其关系图满足：对,,,,i j k i j j k ?≠≠，若有弧由i a 指向j a ，且又有弧由j a 指向k a ，则必有一条弧由i a 指向k a 。
例3.6.5 图3-7是由关系图所表示的{,,}A a b c =上的5个二元关系。
（1） （2）
（3） （4）
（5）
图3-7
请判断它们的性质。
解 (1) 是反对称、传递但不是对称的关系，而且是既不自反也不反自反的关系；
(2) 是自反、传递、反对称的关系，但不是对称也不是反自反的关系；
(3) 是反自反但不是对称、不是反对称、不是自反也不是传递的关系；
(4) 是不自反、不反自反但是传递的关系，而且既是对称也是反对称的关系；
(5) 是自反、反对称但不是传递、不是对称也不是反自反的关系。
3.7 复合关系和逆关系
3.7.1 复合关系
1. 复合关系的定义
定义3.7.1 设R 是从X 到Y 的关系，S 是从Y 到Z 的关系，则R S o 称为R 和S 的复合关系(
Compositive Relation)，表示为
{,()()}R S x z x X z Z y y Y xRy ySz =∈∧∈∧?∈∧∧o
从R 和S 求R S o ，称为关系的复合运算。
复合运算是关系的二元运算，它能够由两个关系生成一个新的关系，以此类推。例如，R 是从X 到Y 的关系，S 是从Y 到Z 的关系，P 是从Z 到W 的关系，则()R S P o o 是从X 到W 的关系。
例 3.7.1设R 是由{1,2,3,4,}A =到{2,3,4}B =的关系，S 是由B 到{3,5,6}C = 的关系，分别定义为：
{,|6}{2,4,3,3,4,2}R a b a b =+==
{,|}{2,6,3,3,3,6}S b c b c ==整除
于是复合关系
{3,3,3,6,4,6}R S =o 。
例3.7.2 设A 是所有人的集合。
1R {,|,,}a b a b A a b =∈是的兄弟，
2R {,|,,}b c b c A b c =∈是的父亲，
那么
12{,|,,}R R a c a c A a c =∈o 是的叔伯；
而
22{,|,,}R R a c a c A a c =∈o 是的祖父。
例3.7.3 设1R 和2R 是集合{0,1,2,3}A =上的关系，
1{,1R i j j i ==+或/2}j i =，2{,2}R i j i j ==+
求12R R o 、21R R o 、
121R R R o o （）和111R R R o o （）。 解 1{0,1,1,2,2,3,0,0,2,1}R =
2{2,0,3,1}R =
12{1,0,2,1}R R =o
21{2,1,2,0,}R R =o
121{1,1,1,0,2,2}R R R =o o （）
11{0,2,0,1,1,3,1,1,0,0,2,2}R R =o
111{0,3,0,1,0,2,1,2,0,0,2,3,2,1}R R R =o o （）
2. 关系的复合运算的性质
定理3.7.1 设R 是由集合X 到Y 的关系，则X Y I R R I R ==o o 。
定理3.7.2 设R 是从X 到Y 的关系，S 是从Y 到Z 的关系，则有
（1）()R S R ?o dom dom
（2）()R S S ?o ran ran
（3）若R S φ=I ran dom ，则R S φ=o 。
证 （1）和（2）是显然的，下面我们证明（3）。用反证法。
反设R S φ≠o ，则必存在,x X z Z ∈∈，使,x z R S ∈o ，从而y Y ?∈，使
,,,x y R y z S ∈∈，故y R ∈ran 且 y S ∈dom ，所以y R S ∈I ran dom ，这就与R S φ=I ran dom 矛盾，因此，R S φ=o 。
定理3.7.3 （1）设1R 、2R 和3R 分别是从X 到Y 、Y 到Z 和Z 到W 的关系，则
123123()()R R R R R R =o o o o
即关系的复合运算满足结合律。
（2）设1R 和2R 都是从X 到Y 的关系，S 是从Y 到Z 的关系，则
1）1212()()()R R S R S R S =U o o U o
2）1212()()()R R S R S R S ?I o o I o
（3）设S 是从X 到Y 的关系，1R 和2R 都是从Y 到Z 的关系，则
1）1212()()()S R R S R S R =o U o U o
2）1212()()()S R R S R S R ?o I o I o
证 我们只证明（2），其它证明类似。
1）12,()x z R R S ?∈U o 12()(,,)y y Y x y R R y z S ??∈∧∈∧∈U 12()((,,),)y y Y x y R x y R y z S ??∈∧∈∨∈∧∈ 12()(,,)()(,),)y y Y x y R y z S y y Y x y R y z S ??∈∧∈∧∈∨?∈∧∈∧∈ 12,,x z R S x z R S ?∈∨∈o o 12,()()x z R S R S ?∈o U o
所以 1212()()()R R S R S R S =U o o U o
2）12,()x z R R S ?∈I o 12()(,,)y y Y x y R R y z S ??∈∧∈∧∈I
12()(,,,)y y Y x y R x y R y z S ??∈∧∈∧∈∧∈ 12,,x z R S x z R S ?∈∧∈o o 12,()()x z R S R S ?∈o I o
所以 1212()()()R R S R S R S ?I o o I o 。
注意：一般来说，
（1）1212()()()R R S R S R S ≠I o o I o ；
（2）关系的复合运算不满足交换律。
例3.7.4 （1）设{,,}A a b c =，{,,}B x y z =，1R 和2R 都是从A 到B 的关系，S 是从B 到A 的关系，1{,,,}R a x a y =，2{,,,}R a x a z =，{,,,,,}S x b y c z c =，则
12(){,R R S a b =I o ，12()(){,,,}R S R S a b a c =o I o ，
可见，1212()()()R R S R S R S ?I o o I o ，但1212()()()R R S R S R S ≠I o o I o 。
（2）设{,,}A a b c =，1R 和2R 都是集合A 上的关系，1{,}R a b =，
2{,}R b a =，则12{,}R R a a =o ，而21{,}R R b b =o ，所以1221R R R R ≠o o 。
由于关系的复合运算满足结合律，所以123123()()R R R R R R =o o o o 可以写成
123R R R o o 。一般地，若1R 是一由1A 到2A 的关系，2R 是由2A 到3A 的关系，…，n R 是一由n A 到1n A +的关系，则不加括号的表达式12n R R R o oL o 唯一地表示一由1A 到1n A +的关系，在计算这一关系时，可以运用结合律将其中任意两个相邻的关系先结合。特别地，当121n A A A A +====L ，12n R R R R ====L ，即R 是集合A 上的关系时，复合关
系12n n
R R R R R R =o oL o o oL o 14243 简记作n R ，它也是集A 上的一个关系。
3.7.2 复合关系的矩阵表示及图形表示
因为关系可用矩阵表示，所以复合关系也可用矩阵表示。
已知从集合12{,,,}m X x x x =L 到集合12{,,,}n Y y y y =L 上的关系为R ，关系矩阵R ij m n M u ???=??，从集合12{,,,}n Y y y y =L 到集合12{,,,}p Z z z z =L 的关系S ，关系矩阵
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
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《离散数学》教案 第一章集合与关系 集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普 遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的 一个分支。 G. Cantor( 康脱 ) 是作为数学分支的集合论的奠基人。1870 年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。 1874 年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立 一一对应的有名的证明。 1878 年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然 而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利 - 福尔蒂的最大序数悖论。 1901 年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932 年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908 年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称 为策梅罗 - 弗兰克尔集合论（ ZF），其中包括 1904 年策梅罗引入的选择公理。另外一种系 统是冯·诺伊曼 - 伯奈斯 - 哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗 - 弗兰克尔集合论与选择公理一起称为 ZFC系统。 一、学习目的与要求 本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。 通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运 算方法，为学习后续章节打下良好基础。 二、知识点 1．集合的基本概念与表示方法； 2．集合的运算； 3．序偶与笛卡尔积； 4．关系及其表示、关系矩阵、关系图； 5．关系的性质，符合关系、逆关系； 6．关系的闭包运算； 7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系； 8．序关系、偏序集、哈斯图。
小学二年级数学：(数一数)教学设计
新修订小学阶段原创精品配套教材（数一数)教学设计教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 (Number one) instructional design 教师：风老师 风顺第二小学 编订：FoonShion教育
（数一数)教学设计 教学内容 北师大版二年级上册第一单元“数一数与乘法”第一课时“数一数”。 教材分析 本节课“数一数”是第一单元“数一数与乘法”的起始课，为体会学习乘法的必要性，理解乘法的意义奠定基础。学生经历从数数的问题中抽象出相同加数的连加算式的过程，体验这种相同加数的连加运算与生活的联系。 学生分析： 在教学设计前我设计了三个前测问题： 1、观察方阵图,让学生说说一共有多少个图形,你是怎么列式的,说说为什么这么列,我出示的是每排6个,有4列,通过调查孩子的列式有三种方法, （1）6+6+6+6= 4+4+4+4+4+4=(我横着看一行是6个,竖着看每行是4个) （2）只列出了6+6+6+6=(我横着看一行是6个)
（3）6+12+6=(第一行是6个,第二行和第三行一共是12个第三行是6个) 2、你知道乘法吗？并用自己的语言讲一讲。（知道乘法，但是说不清楚。） 3、会背诵乘法口诀吗？（共同的答案不会.） 通过前测，我发现学生在数物体的时候，不一定有序的按照排和列来数，所以在课的伊始，我想应该给学生一个空间，让他们自己感到应该有序的数，多角度的数。 我们班的学生思维活跃，课堂上经常有灵动的思维火花闪现。所以我在教学中努力为学生创设主动思考的空间，从而使学生积极主动地参与到知识的获取中。 教学目标 1、结合数数的具体情境,经历相同加数连加算式的抽象过程，感受这种运算与日常生活的联系，以便进一步体会学习乘法的必要性。 2、会用两种不同的方法（一排一排或一列一列地）数方阵排列的物体的个数，相应列出两个不同的连加算式。 3、在具体情境中，体会生活中存在着大量的相同加数连加的问题，为学习乘法奠定基础。 教学重点：感受相同加数连加与日常生活的联系，体会学习乘法和必要性。 教学难点：用两种方法数方阵排列物体的个数，并列出
《离散数学》清华大学出版社 前四章小测验
一、判断题 (正确的在括号内填写“√”，错误的写“×”) （ ）1、“只有天下大雨，他才乘班车上班”与“除非天下大雨，否则他不乘班车上班”所表达的逻辑关系是一样的。 （ ）2、公式B A ,含相同的命题变项,若B A ∨是重言式,则A 与B 都是重言式。 （ ）3、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是惟一的。 （ ）4、永真式的主合取范式是1，矛盾式的主析取范式是0。 （ ）5、同一个谓词公式，在不同个体域中，真值不一定相同。 二、单项选择题 1、下列命题是复合命题的是（ ） A 、黄色和蓝色可以调配成绿色； B 、李辛与李未是兄弟； C 、黄色和蓝色都是常用颜色； D 、张辉与王力是同学 ； 2、设p:天下大雨，q:小王乘公共汽车上班，命题“只有天下大雨，小王才乘公共汽车上班”的符号化形式为（ ） A 、p →q ； B 、q →p ； C 、p →┐q ； D 、┐p →q ； 3、公式()p q r ∧?∨的公式类型为（ ） A 、重言式； B 、矛盾式； C 、非重言式的可满足式； 4、下列联结词集是联结词完备集的是（ ） A 、{,,}∧∨→； B 、{,}?→； C 、{,,}∨→?； D 、{,,,}∧∨→?； 5、设解释I 如下：个体域D={a,b},F(a,a)=(b,b)=0,F(a,b)=F(b,a)=1，在解释I 下，下列公式中真值为1的是（ ） A 、(,)x yF x y ??； B 、(,)x yF x y ??； C 、(,)x yF x y ??； D 、(,)y xF x y ??； 三、填空题 1、公式)(q p ??与)()(q p q p ∧?∨?∧共同的成真赋值为 。 2、设命题公式A 为含命题变项,p q r ,的重言式，则公式(())A p q r ∨∧→的类型为 。
二年级数学上册优质课教学设计
二年级数学上册教学设计、“长度单位厘米”教学设计 【教学内容】 数学（二年级上册）》第1～3页和练习一的第1～3题。 【教学目标】 1．通过动手实践，使学生意识到量物体应该用相同的工具来量。 2．认识尺子，初步建立1厘米的长度概念，会用厘米度量比较短的物体的长度。3．培养学生的估算意识和能力。 4．培养学生动手实践和合作学习的学习方法，并感受到生活中处处有数学。【教学过程】 一、感知量物体可以用相同的工具来量 导入：同学们，今天老师给你们带来了一些礼物，就放在盒子里面，想知道是什么吗？请把盒子打开，拿出来相互看一看，并说说你们看到了什么。 （学生打开盒子观察并进行交流） 1．用学具量同样长的边。 教师请学生挑出一件自己最喜欢的物体，摆一摆数学书的短边是几个物体的长。（学生动手操作，并汇报测量结果，同时用多媒体显示测量结果） 师：难道你们数学书的短边不一样长吗？请动手比一比。 （学生相互动手比数学课本并回答“一样长”） 师：一样长的边为什么测量的结果不一样呢？ 生：因为量书时用的东西有的长，有的短。 师：如果都用同样长的工具来测量，结果会怎样呢？请小组再用正方体摆一摆，数学书的短边是几个小正方体的长呢？ （学生动手操作并分小组汇报，使学生知道，如果都用同样的物体量书的短边，得到的结果相同。） 2．用学具量长度不同的边。 （电脑出示数学课本和文具盒这两幅图，并演示用曲别针测量书的短边，用小刀测量文具盒的长边。） 测量后教师问发现了什么（小刀比曲别针长，文具盒的边比书的边也长）。 师：如果把小刀换成曲别针，让我们来看一看会出现什么情况。
（多媒体演示用曲别针量文具盒的过程，让学生知道文具盒的长度比书的短边多用了6个曲别针。） 小结：我们通过动手实践和观察，知道了量物体应该用相同的工具。 3．实践活动。 （1）处理第2页“做一做”中的第1题。 （学生独立完成） （2）处理第2页“做一做”中的第2题。 （学生都用新铅笔量所想量的物体的长，可以自己量，也可以几人合作，最后相互交流并汇报测量结果。） （3）处理第2页“做一做”中的第3题。 （多媒体显示题目内容，说明题意，让学生估算，电脑验证。） 二、知道量物体的长度也可以用尺子来量 1．认识尺子。 师：刚才我们用铅笔来测量物体时，量了一次又一次，多麻烦呀。用什么去量比较方便呢？（尺子） 教师请学生拿出尺子看一看，能发现什么（数字、刻度线、cm），教师介绍刻度线和“cm”；并向学生说明“厘米”是一种长度单位。 2．认识长度单位“厘米”。 （1）认识1厘米有多长。 （电脑演示从0到1中间的长是1厘米） 师：你认为还有从哪个数字到哪个数字中间的长度也是1厘米呢？在你的尺子上找出1厘米给你的同桌看一看。 （小组活动） （2）感知厘米有多长。 ①测量棱长1厘米的小正方体的长。 ②感知1厘米有多长（教师带领学生用左手的拇指和食指轻轻夹住小正方体，右手慢慢把它拿走，告诉学生拇指与食指中间的空隙大约是1厘米，并让学生把它记在脑子里）。 ③闭上眼睛想想1厘米有多长。
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑 习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x 取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。 ⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。 2．解 ⑴是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。 ⑸是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题 ⑼。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：?p 。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑴?p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题1.2 1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p ∨q ，?p 二层：?p ?q 所以，)()(q p q p ??→∨是3层公式。 ⑷不是公式。 ⑸(p →q )∧?(?q ?( q →?r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，?q ，?r 二层：q →?r 三层：?q ?( q →?r ) 四层：?(?q ?( q →?r )) 2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑵p q p q A →→∧= )(是3层公式。真值表如表2-2所示：
离散数学教案
学习目标: 1.深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、(最大)相容类、偏序关系、极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元、全序关系、良序关系等概念; 2.掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律; 3.掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质; 4.掌握关系的矩阵表示与关系图; 5.深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性与传递性,掌握其判别方法; 6.掌握集合的覆盖与划分的联系与区别; 7.掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元。 主要内容: 1.集合的基本概念及其运算 2.序偶与笛卡尔积 3.关系及其表示 4.关系的性质及其判定方法 5.复合关系与逆关系 6.关系的闭包运算 7.等价关系与相容关系 8.偏序关系 重点: 1.关系的性质及其判别; 2.关系的复合运算及其性质; 3.等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系; 4.偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点: 1.关系的传递性及其判别; 2.等价关系的特性; 3.偏序关系的哈斯图的画法;偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段: 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点与难点的内容,并通过大量的练习使同学们巩固与掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题: 习题3、1:4,6;习题3、2:3(8),4(12),6(m);习题3、4:1 (2)、(4),3;习题3、5:1,4;习题3、6:2,5,6;习题3、7:2,5,6;习题3、8:1(1)-(6);习题3、9:3(2)、(4),4(3);习题3、10:1 ,4,5。
(完整版)人教版二年级数学下册教学设计
人教版二年级数学下册教学设计 第一单元数据收集整理 单元教学内容： 义务教育教科书人教版数学最新教材二年级下册《数据收集整理》第2～6 页 单元教材分析： 本单元学生主要学习一些简单的统计图表知识。初步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，学会用简单的方法收集和整理数据，掌握统计数据的记录方法，并能根据统计图表的数据提出并回答简单的问题。使学生了解统计的意义和作用，初步了解统计的基本思想方法，认识统计的作用和意义，逐步形成统计观念，进而养成尊重事实、用数据说话的态度教学目标： 【知识技能】：使学生经历数据的收集、整理、描述和分析的过程能利用统计表的数据提出问题并回答问题。 【数学思考】：了解统计的意义，学会用简单的方法收集和整理数据。 【问题解决】：能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能够进行简单的分 析 【情感态度】：通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点： 使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。 教学难点： 使学生亲历统计的过程，在统计中发展数学思考，提高学生解决问题的能力。 课时安排：3 课时 1．数据收集整理............... 2 课时 2．练习..................... 1课时 教学设计： 第一课时：收集数据、认识简单的统计表 教学内容：教材第2页的例1 和练习一的第1、2小题教学目标： 1、让学生经历数据的收集、整理、分析和做出判断的过程，体会统计的必要性；
2、认识简单的统计表，能根据统计表回答一些简单的问题； 3、学会与他人合作，积累解决问题的经验，体会数学与生活的密切联系教学重点：学会收集数据，认识简单的统计表教学难点：能根据统计表回答一些简单的问题教学过程： 一、创设情境 引入新课师：同学们，新的学期开始了，学校要给同学们定做校服。有下面4 种颜色，出示例1 中的四种颜色，选哪种颜色合适呢？ 生：选大多数同学喜欢的颜色师：怎么知道哪种颜色是大多数同学最喜欢的呢？ 生：可以在全校的同学们中去调查一下生：全校学生有那么多，怎样调查呢？生：我觉得可以先在班里进行调查 生：还可以现在组内进行调查师：你们真聪明，你们刚才说的调查，其实也就是进行统计。 揭示课题：统计要统计出喜欢每种颜色的学生人数，首先要进行数据的收集过程。下面我们就一起来调查喜欢每种颜色的学生人数。 二、亲历统计过程体会收集数据的形式和过程 1、收集数据师：在这四种颜色中，你最喜欢哪种颜色？为什么？师：要想知道喜欢哪种颜色的同学最多？我们应该怎样调查呢？生：自由发言师：我们可以采用举手、起立、画"√" 、" ○"作记号等很多方式来收集数据，但是这些方式中举手既快速又简捷，下面我们就用举手的方式来进行调查，请听规则：每个人只能选一种颜色，每当老师说出一种颜色时。喜欢这种颜色的同学就举手，好吗？一个人能选两种颜色或不选吗？ 生：不能师：为什么？ 生：如果选一种以上就重复了，而不选又遗漏了。师：是呀，收集数据有很多不同的方式，但是无论采用哪种方式调查。都要做到不重复、不遗漏，也就是说你只能选择一次，那好。现在我们开始举手调查 2 、整理数据 师：刚才同学们已经通过举手这种方式选出了自己喜欢的颜色了。老师也知道了，但是负责定制校服的领导还不知道，那该怎么办呢？ 生: 自由发言 师：你们真会想办法，那我们现在再举一次手。在这张表中统计出喜欢每种颜色的人数，好吗？
清华大学-计算机专业-培养计划
一、培养目标 信息科学技术学院(以下简称信息学院)本科培养方案面向电子信息科学与技术、计算机科学与技术、自动化、微电子学、示范性软件学院的计算机软件等五个专业，从2003级开始实行多学科交叉背景下、通识教育基础上的宽口径专业教育，构建具有各专业共性基础的学院平台课程体系以及具有一定特长的专业核心课程体系，强调对学生进行基本理论、基础知识、基本能力(技能)以及健全人格、综合素质和创新精神培养，为学生提供增强基础、选择专业的机制，培养基础厚、专业面宽、具有自主学习能力的复合型人才。 从2011级开始，信息学院对培养方案进行了全面修订，进一步将学科交叉范围扩大到专业核心课程体系，为学生提供更加灵活的选课机制和更加宽广的专业空间；并将继续深入研究和不断改进课程内容和教学方法，加强实践环节，更好地培养适应时代要求的信息科学技术专业人才。 信息学院致力于为学生全面参与教育教学、科学研究、文化艺术、社会服务等活动创造条件，提倡学生在参与中发现自己的能力和兴趣，最大限度地发展自己的智力和潜能，鼓励学生敢于面对挑战、不断探索、努力创造、追求卓越，并提供一种基础和环境，促使学生养成独立工作的能力和终身学习的习惯。 二、基本要求 信息学院各专业通过各种教育教学活动发展学生个性，培养学生具有健全人格；具有成为高素质、高层次、多样化、创造性人才所具备的人文精神以及人文、社科方面的背景知识；具有国际化视野；具有创新精神；具有提出、解决带有挑战性问题的能力。具有进行有效的交流与团队合作的能力；在信息科学技术领域掌握扎实的基础理论、相关领域基础理论和专门知识及基本技能，具有在相关领域跟踪、发展新理论、新知识、新技术的能力，能从事相关领域的科学研究、技术开发、教育和管理等工作。 电子信息科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事信号获取、处理和应用，通信及系统和网络，模拟及数字集成电路设计和应用，微波及电磁技术理论、信号与信息处理的新型电子材料、器件和系统，包括信息光电子和光子器件、微纳电子器件、微光机电系统、大规模集成电路和电子信息系统芯片的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。 微电子学专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事大规模模拟及数字集成电路设计和应用，工艺开发，EDA工具开发，新型电子材料、微纳电子器件和系统，量子信息和电子信息系统的理论和应用等方面的科研、开发与教育工作。培养基础扎实，创新能力突出，有国际视野的微纳电子专业人才。 计算机科学与技术专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事计算机科学理论、计算机系统结构、计算机网络、计算机软件及计算机应用技术等方面的科研、开发与教育工作。 自动化专业的本科生运用所掌握的理论知识和技能，从事国民经济、国防和科研各部门的运动控制、过程控制、机器人智能控制、导航制导与控制，现代集成制造系统、模式识别与智能系统、生物信息学、人工智能与神经网络、系统工程理论与实践、新型传感器、电子与自动检测系统、复杂网络与计算机应用系统等领域的科学研究、技术开发、教育及管理等工作。 计算机软件专业的本科毕业生应该具备扎实的软件理论和软件工程专业基础知识，具有良好的工具使用与实验能力、软件分析与开发能力、过程控制与管理能力、团队协作与沟通能力。 三、学制与学位授予
离散数学教案
学习目标： 1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念； 2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律； 3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质； 4．掌握关系的矩阵表示和关系图； 5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法； 6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别； 7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。 主要内容： 1．集合的基本概念及其运算 2．序偶与笛卡尔积 3．关系及其表示 4．关系的性质及其判定方法 5．复合关系和逆关系 6．关系的闭包运算 7．等价关系与相容关系 8．偏序关系 重点： 1．关系的性质及其判别； 2．关系的复合运算及其性质； 3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系； 4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点： 1．关系的传递性及其判别； 2．等价关系的特性； 3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段： 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题：
习题 3.1：4，6；习题 3.2：3（8），4（12），6（m ）；习题 3.4：1 （2）、 (4)，3；习题 3.5：1，4；习题 3.6：2，5，6；习题 3.7：2，5，6；习题 3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。 3.1 集合的基本概念 集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。 集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。若A 是集合，a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作。若组成集合的元素个数是有限的，则称该集合为有限集(Finite Set)，否则称为无限集(Infinite Set)。 常见集合专用字符的约定： N —自然数集合(非负整数 集) I (或Z )—整数集合(I +，I -) Q —有理数集合(Q +，Q -) R —实数集合(R +，R -) F —分数集合(F +，F -) 脚标+和-是对正、负的区分 C —复数集合 P —素数集合 O —奇数集合 E —偶数集合 幂集 定义 3.1.1 对于每一个集合A ，由A 的所有子集组成的集合，称为集合A 的幂集(Power Set)，记为 ()P A 或2A ．即(){}P A B B A =?。 例如：{,,}A a b c =, (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b b c a c a b c φ=。 定理3.1.1 如果有限集A 有n 个元素，则其幂集()P A 有2n 个元素。 证明 A 的所有由k 个元素组成的子集数为从n 个元素中取k 个的组合数。 (1)(2)(1)! k n n n n n k C k ---+= L 另外，因A φ?，故()P A 的元素个数N 可表示为 1 201n k n k n n n n n k N C C C C C ==++++++=∑L L 又因 0()n n k k n k n k x y C x y -=+= ∑ 令 1x y == 得 02n n k n k C ==∑ 故()P A 的元素个数是2n 。 人们常常给有限集A 的子集编码，用以表示A 的幂集的各个元素。具体方法是： 设12{,,,}n A a a a =L ，则A 子集B 按照含i a 记1、不含i a 记0(1,2,,)i n =L 的规定
小学二年级趣味数学教案设计
二年级趣味数学活动设计 快乐运算 青岛华侨国际小学袁蓉蓉 活动目标： 1、通过独立思考，初步培养学生的逻辑维能力。 2、通过有趣的数学题，引起学生对数学的兴趣，开发学生智 力、提高学生探究问题的积极性，从而提高学生的逻辑思考能力。 3、学生通过练习掌握一定的数学方法，并体验到学习数学的 乐趣。 活动重点与难点： 通过解答例题引导学生思维方向，让学生学会善于思考。 活动过程： 一、数学故事： 师：今天，老师给同学们带来一个非常有趣的故事，大家想听吗？生：想？！ 出示《小狐狸的故事》：从前，山上住着一只粗心的小狐狸。这一天，妈妈让它背着8块马铃薯到外婆家去。一接到这个任务，小狐狸高兴得一蹦三尺高，马上背起马铃薯出发了。一路上，它哼着歌往前走。可是，走着走着，小狐狸觉得有点不对劲，怎么越背越轻了。它赶紧停下脚步，打开袋子一看，怎么只剩下3块
马铃薯了？原来，小狐狸背的袋子破了一个洞，马铃薯就从这个破洞掉下去的。后来，小狐狸到了外婆家。小朋友，你能猜猜看，小狐狸可能背了几块马铃薯到外婆家呢？ 生：0块，小狐狸很粗心继续往前走，马铃薯都丢光了。 生：3块，小狐狸绑好破洞，带着剩下的马铃薯到了外婆家。生：8块，小狐狸绑好了破洞，又回去捡丢掉的5块马铃薯。生：6块，小狐狸捡回3块，还有2块被小兔捡走了。 生：5块，小狐狸在路上碰到一只饿了的小狗，就送给它3块。师：刚才几个同学说的都有道理，其实如果从不同角度去想，用多种角度去思考问题，还可以说出更多、更精彩的原因。同学们，你们认为像这样从多种角度来想问题，有趣吗？ 师：这节课就让我们都来开动脑筋，从多种角度去想问题（板书课题）
离散数学复习题
选择题 1.设P :他在听音乐，Q :他学习，将命题“他在学习或在听音乐”符号化正确的是（ ） A.P →Q B.P ∧Q C.P ∨Q D.Q →?P 2.下列命题公式不是．． 永真式的是( ) A.()P Q P →→ B.()P Q →∨P C.P ?∨()Q P → D.()P Q P →→ 3.下列等价式正确的是（ ） A.()()()()x A x x A x ????? B.()()()(())A x B x x A B x →???→ C.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ D.()(())()()x A x B x A x B ?→??→ 4.设A(x):x 是鸟，B(x):x 会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（ ） A.()(()x A x ??∧())B x B.()(()x A x ??∧())B x C.()(()())x A x B x ??→ D.()(()())x A x B x ??→ 5.设X ={,{},{,}}a a ??，则下列陈述正确的是（ ） A.a X ∈ B.{,}a X ?? C.{{,}}a X ?? D.{}X ?∈ 6.设A B B = ,则有（ ） A.A B A = B.A B -=? C.A B B = D.A B ? 7.设A =｛a ,{b , c }｝,则其幂集P （A ）的元素总个数为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 8.在整数集Z 上，下列定义的运算满足结合律的是（ ） A.1a b b *=+ B.1a b a *=- C.1a b ab *=- D.1a b a b *=++ 9.设
最新人教版二年级数学下册的教案设计(全册)
二年级数学下册教学进度
教学计划 一、本学期教学的指导思想 1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。 二、教材分析 本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。 三、教学目标: 1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。 4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。
7、通过一系列的猜测、比较、推理等活动，使学生感受简单推理的过程，找出简单事物的排列数与组合数。 四、情感态度: 1、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作和创新精神。 2、培养学生认真观察，独立思考等良好的学习习惯。 3、通过观察操作活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手能力，学会欣赏数学美。 4、让学生在学习中体验到成功的喜悦，增强学生学好数学家的信心。 5、使学生在解决实际问题的过程中，培养学习兴趣和敢于探索的科学精神。训练学生养成认真审题，仔细验算的良好习惯。 6、进一步学习用具体的数学描述生活中的事物，经历与他人交流活动，培养学习数学的兴趣和自信心。 五、教学措施: 1、从整体上把握教学目标。不光凭经验，过去看样提，现在也怎样提；也不能搬课本，凡是课本上有的内容，都不作统一的教学要求，而应该根据教学指导纲要，结合教学进行适当的调整。 2、要尊重学生，注重学法渗透。在学习中，不包办代替和以讲代学，把课堂中更多的时间留给学生探索，交流和练习。 3、注意培养学生的数学概括能力和逻辑思维能力。重视学生获取知识的思维过程。 4、注重培养学生的计算能力和解答应用题的能力。鼓励学生动用所学的知识解答日常生活和学习中的简单实际问题。激发学生的兴趣，培养学以致用的意识。 5、注意教学的开放性，培养学生的创新意识和实践能力。课本中的一些例题和习题的编排突出思考过程。在教学时，引导学生暴露思维过程，鼓励学生多角度思考问题。 6、渗透德育，注重培养学生良好的学习习惯和独立思考克服困难的精神。
人教版小学二年级数学教学设计
教案示例一 教学目标： 1．创设真实有趣的教学情景，引导学生用探索的方式学好2的乘法口诀． 2．让学生在探索的过程中体验规律，经历编写的过程． 3．要注意课堂气氛，组织好活动，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：创设真实有趣的教学情景，引导学生用探索的方式学好2的乘法口诀． 教学难点：让学生在探索的过程中体验规律，经历编写的过程． 教学过程： 活动一：放筷子 1．我们每个小组都是一个小小家庭，每张桌子上都有一个圆片当碗，小棒当筷子，每人给大家放一次筷子，比一比哪组放的快？每放一次，其他同学都算算一共有几根筷子？ 2．两组合并组织一个新家庭，每人给大家放一次筷子，比一比哪组放的快？每放一次，其他同学都算一下一共有几根筷子？ 3．填一填． 活动二：探索2的乘法口诀 （黑板上竖放着主题图，对应着9道整齐的乘法算式．） 师：刚才，我们根据放筷子活动整理出了这9个乘法算式．看着这些算式，你有什么想法？ 生：他们的得数很有趣，我很想记熟这些得数． 师：你能连算式也记住吗？ 生：（摇摇头）那就难多了． 师：好，咱们一起来解决这个问题吧．自己先动脑想一想，然后各小组商量商量，看谁有好 办法记住这些算式和得数．
（各小组认真讨论） 生1：多读一读，读的遍数多了就记住了． （学生议论：太费劲，太麻烦．） 生2：想着图来记．．．．．．． 生3：根据乘法的意义来记．一个二等于二，二个二等于四，三个二等于六．．．．．． 师：如果说的简单一点呢？ 生4：可以说成：想5的乘法口诀．．．．．．这样记，我们觉得挺方便．．．．．．． 师：大家的讨论很精彩，我也很受启发．现在提个建议供给大家研究：一二得二，二二得四，二三得六 …… 活动三：对口令（15页练习1题） 1．我说二三、谁跟我对：生:得六 2．二九十八谁跟我对乘法算式：2×9＝18 或9×2＝18 3．师生对练同伴对练小组选代表对练 男女生对练 活动四：比一比谁画圈画得最快．（15页练习2题） 1．生独立完成． 2．小组交流你是怎么想的？为什么这样填写． 3．观察我们圈出的数有什么特点？ 注意：可以告诉学生圈出的数都是双数，其余都是单数． 活动五：看图列式（15页练习5题） 1．学生独立完成． 2．与小组交流你是怎么想的？为什么这样填写．
最新离散数学(屈婉玲)答案
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)
清华大学计算机系培养方案一
清华大学计算机系培养方案一
信息科学技术学院 本科指导性教学计划 第一年 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 12090043 军事理论与技能训练3 3 考查 秋季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(1) 1 2 考查 10610183 思想道德修养与法律基础3 2 考查 10640532 英语（1） 2 2 考查 10420874 一元微积分 4 4 考试 10420904 几何与代数(1) 4 4 考试 0412 工程图学基础 2 2 考试 2选1 20240023 离散数学(2) 3 3 考试 程序设计课组 3 3 考试选１门，详见附录2 30210041 信息科学技术概论 1 1 考查 文化素质选修课≥1 1
合计≥21 注：计算机科学与技术专业必修“离散数学(2)”，其它专业必修“工程图学基础”。 春季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及主要先修课 107 1 体育(2) 1 2 考查 10610193 中国近现代史纲要 3 2 考试 10640682 英语（2） 2 2 考查 10420884 多元微积分 4 4 考试先修一元微积分 10421002 几何与代数(2) 2 2 考试 大学物理课组1 4 4 考试先修一元微积分 20220214 电路原理 4 4 考试 20220221 电路原理实验 1 1 考查 合计≥21 夏季学期 课程编号课程名称学分周学时考核方式说明及 主要先修课 - 3 -
- 4 - 21510192 电子工艺实习（集中） 2 考查 2周 程序训练课组 2 考查 3周 合计： 4 第二年 秋季学期 课程编号 课程名称 学分 周学时 考核方式 说明及 主要先修课 107 1 体育(3) 1 2 考查 10610204 马克思主义基本原理 4 3 考试 10420892 高等微积分B 2 2 考试 10420252 复变函数引论 2 2 考试 304 3 复分析 3 3 考试 大学物理课组2 4 4 考试 见附录2 10430782 物理实验A(1) 2 2 考查 10430801 物理实验B(1) 1 1 考查 电子基础课组１ 3 3 考试 电子基础课组２ 3 3 考试 21550012 电子技术实验 2 2 考查 文化素质选修课 ≥1 2 10420262 数理方程引论 2 2 考查 20240013 离散数学(1) 3 3 考试 3选1 选1门，详见2选1，大学 2选1，一元微
离散数学教案范本
《离散数学》教案 课目：第一章命题逻辑 教师：熊建英 学时： 12课时
Ⅰ教学提要 一、教学对象（人数） 学生：信息安全专业本科二年级学生50人 二、教学目标（任务） 各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握) 三、教学要求 （一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。 （二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。 四、教官分工 主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。
五、本章重点 1、利用联接词构造复合命题公式 2、真值表的构建 3、等值演算 4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法 5、推理证明 六、本章难点 1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断 2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式 3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式 七、教学方法 采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。 八、课时分配 1.1 命题及联接词2课时； 1.2 命题公式及其赋值2课时； 1.3 等值式2课时； 1.4 析取范式与合取范式2课时； 1.5 推理理论与消解法2课时； 1.6 命题逻辑应用案例2课时； 九、场地器材 多媒体教室 十、参考书目 1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。 2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。 3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。
Ⅱ教学进程 1.1 命题及联接词（2课时） 一、教学内容 1、命题的概念表示与分类 2、五种基本的联接词的逻辑关系 3、复合命题的符号化 4、复合命题的真值判断 二、课程时间安排 1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟） 2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟） 3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟） 4、联结词与复合命题（35分钟） 5、本次课小结（10分钟） 三、教学实施 （一）创设意境、导入课程（10分钟） 目的 体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。 1、从生活应用中理解逻辑推理作用，及离散数学学习意义； 如：犯罪推理、电路设计、人事安排的最优方案、网络中最优路径等； (1)逻辑推理问题范例（PPT展示一个犯罪推理案例） (2)离散数学是一门可以对逻辑推理规律建立相应的符号运算系统，解决此类问题的科学。 2、离散数学与其他专业课程的联系； (1) 涉及多门计算机专业中很多专业课程，如：编程语言、数据结构、操作系统、数据数据加密。