离散数学教案范本
《离散数学》教案
课目：第一章命题逻辑
教师：熊建英
学时： 12课时
Ⅰ教学提要
一、教学对象（人数）
学生：信息安全专业本科二年级学生50人
二、教学目标（任务）
各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握)
三、教学要求
（一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。
（二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。
四、教官分工
主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。
五、本章重点
1、利用联接词构造复合命题公式
2、真值表的构建
3、等值演算
4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法
5、推理证明
六、本章难点
1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断
2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式
3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式
七、教学方法
采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。
八、课时分配
1.1 命题及联接词2课时；
1.2 命题公式及其赋值2课时；
1.3 等值式2课时；
1.4 析取范式与合取范式2课时；
1.5 推理理论与消解法2课时；
1.6 命题逻辑应用案例2课时；
九、场地器材
多媒体教室
十、参考书目
1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。
2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。
3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。
Ⅱ教学进程
1.1 命题及联接词（2课时）
一、教学内容
1、命题的概念表示与分类
2、五种基本的联接词的逻辑关系
3、复合命题的符号化
4、复合命题的真值判断
二、课程时间安排
1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟）
2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟）
3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）
4、联结词与复合命题（35分钟）
5、本次课小结（10分钟）
三、教学实施
（一）创设意境、导入课程（10分钟）
目的
体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。
1、从生活应用中理解逻辑推理作用，及离散数学学习意义；
如：犯罪推理、电路设计、人事安排的最优方案、网络中最优路径等；
(1)逻辑推理问题范例（PPT展示一个犯罪推理案例）
(2)离散数学是一门可以对逻辑推理规律建立相应的符号运算系统，解决此类问题的科学。
2、离散数学与其他专业课程的联系；
(1) 涉及多门计算机专业中很多专业课程，如：编程语言、数据结构、操作系统、数据数据加密。
通过事先了解“教学计划”中学生已经学过的专业课程，后面将着重以计算机基础与C语言编程为例
(2) 以C语言编程中算法、条件判断为例
(3) 以计算机基础中逻辑运算为例
总结：计算机在日常生活中的用途是非常大的，进一步说明该课程的任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求。
（二）离散数学的发展史（20分钟）
1、利用多媒体向学生简要介绍离散数学学科的发展历史，了解离散数学的起源和一些重要的人物资料。
2、介绍第一章命题逻辑的主要内容、及在生活中的应用、引发同学们对离散数学的兴趣。
（三）命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）
1、命题与联接词
（1）数理逻辑研究的中心问题是推理。
（2）推理的前提和结论都是表达判断的陈述句。
（3）表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
2、命题概念
（1）称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题
（2）作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。
（3）真值只取两个:真与假。
真值为真的命题称为真命题。真值为假的命题称为假命题。
说明:
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。陈述句中的悖论不是命题。但现在不知道真假，未来有一天必定会知道真假的陈述句是命题。
3、命题的表示
（1)用小写英文字母p, q,r...,pi,qi,ri…表示命题
（2)用“1、T”表示真，用“0、F”表示假
（3)不能被分解成更简单的陈述句，称这样的命题为简单命题或原子命题。
（4)由简单陈述句通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。
?课堂练习：判断教材中的例1.1中语句是否是命题
?目的：检验学生是否学会如何判断命题
（四）联结词与复合命题（35分钟）
1、五种联结词
（1)否定
设P为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作﹁p，符号﹁称作否定联结词，并规定﹁p为真当且仅当p为假。
?注意：否定之否定是肯定，即﹁﹁p等价于p
（2）合取
设p,q为二命题，复合命题“p并且q(或“P与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词，规定p∧q为真当且仅当P与q同时为真。
?使用合取联结词时要注意的两点:
?描述合取式的灵活性与多样性。自然语言中的“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”、“一面·····一面……”等联
结词都可以符号化为∧。
?分清简单命题与复合命题。不要见到“与”或“和”就使用联结词∧。
（3）析取
设p, q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的命题有时具有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和排斥或(排异或)。
（4）蕴涵
设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作P->q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，->称作蕴涵联结词，并规定p->q为假当且仅当P为真q为假。
p->q的逻辑关系表示q是p的必要条件。q是p的必要条件有许多不同的叙述方式：只要p，就q；因为p，所以q；p仅当q；只有q才p；除非q才p；除非q，否则非p。
作为一种规定，当p为假时，无论q是真是假，p->q均为真。也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p->q为假，称为实质蕴含。
从现实案例中理解
范例1：爸爸的承诺为：如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD
我们只有在儿子考上大学，爸爸没送IPAD时，才能说爸爸的承诺无效，其他时候任何情况都不能否定承诺的有效性。
（5）等价
设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p<->q，<->称作等价联结词，并规定p<->q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
2. 复合命题符号化
通过范例理解如何将现实中的表达进行符号化 范例:2 条件联接
爸爸的承诺为：如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD
用p表示儿子考上大学，q表示爸爸送IPAD，承诺可以表示为：p->q；
?注意如果承诺为：只有儿子考上大学，爸爸才买IPAD；
这句话也表明当我们看见爸爸送了IPAD时，也可以推理出儿子考上了大学，即q->p；用一个表达式将p->q和q->p表达，则为p<->q。
范例3 析取合取
复合命题1：身高超过1.8米的男性：p∧q
复合命题2：身高超过1.6米的女性：r∧s
复合命题3：身高超过1.8米的男性或者身高超过1.6米的女性：（p∧q）∨（r∧s）
?课堂练习：
复合命题4：身高超过1.8米的女性
复合命题5：身高不超过1.6米的男性
复合命题6：身高不超过1.6米的女性并且身高不超过1.8米的男性；
?目的：检验学生是否学会利用连接词和命题符号构造复合命题
2. 复合命题的真值判断
通过范例理解命题真假
范例4 析取、合取
复合命题1：身高超过1.8米的男性：p∧q
如果当前判断对象状态为身高为1.7米，男性，明显判断为假；
即p=0，q=1，p∧q为0∧1，结果为0；
范例5 条件联接
对于“如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD”会出现4种情况：
（1）如果儿子考上大学，爸爸送了IPAD，承诺有效，即p->q为真；
（2）如果儿子考上大学，爸爸没买IPAD，承诺无效，即p->q为假；
（3）如果儿子没考上大学，爸爸买或没买IPAD，之前承诺本身都是有效的，即p->q为真；
所以：只有p成立，q不成立，p->q为假。
?注意如果承诺为：只有儿子考上大学，爸爸才买IPAD；那么：
儿子没考上大学，爸爸没买IPAD；遵守了承诺，即p->q为真1；
儿子没考上大学，爸爸买了IPAD；违背了承诺，即p->q为假0；
?课堂练习：
如果p=0,q=1;计算下面复合表达式的值；
p∧q；p∨q；（p∧q）∨（p∨q）；p->q；p<->q；
?目的：让学生掌握各种联接词联接命题的值。
（五）课堂小结（10分钟）
1、命题符号化
2、熟记五种命题联结词及运用。
3、命题符号化后求真值：一般地，规定的联结词优先顺序为:( )，﹁，∧，∨，->，<->，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
易犯错误：
p->q真值表中，p为0时，q为0或1，p->q 为1不是0；
p<->q为真时，与p->q不同，p为0时，q为0，p<->q为1，否则为0；
解决方法：p->q理解p 不是q的唯一条件，p不成立，其他条件也可能使q 成立；p<->q理解是p是q唯一条件，前提不成立，结论也不该成立；
1.2命题公式及其赋值（2课时）
一、教学内容
1、合式公式的概念、层次、解释
2、求公式的真值表
3、命题公式的分类
二、课程时间安排
1、章节导入（5分钟）
2、介绍与讲解合式公式（40分钟）
3、讲解真值表（35分钟）
4、本次课小结（10分钟）
三、教学实施
（一）章节导入（5分钟）
目的
判断一个合法的复合命题，通过真值表熟练掌握不同命题取值下计算复合命题的值。
（1）回顾初等数学中的加减乘除混合运算
（2）混合运算式的书写规则，即合法性判断；
如：5+*9-2为不合法表达式
（3）联接词对应运算符号、变元为数字，引导出命题表达式也存在合法性问题；
（4）由四则运算有最终结果去理解命题运算存在结果值；
（二）合式公式（40分钟）
1、基本概念：
（1）简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位，也称为命题常项或者命题常元。
（2）将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联接起来的符号串叫作命题公式或者合式公式。
2、定义
（1)单个命题变项是合式公式，并称为:原子命题公式。
（2)若A是合式公式，则﹁A也是合式公式。
(3)若A, B是合式公式，则(A∧B), ( A∨B), (A->B), (A<->B)也是合式公式。
(4)只有有限次地使用(1)一(3)形成的符号串才是合式公式
若A为合式公式，B是A的一部分，且B也是合式公式，则称B为A的子公式。
?注意:
(l)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式;
(2)称A是n+1层公式是指有以下几种情形之一的:
(a) A=﹁B,B是n层公式;
(b) A=B∧C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
(c) A=B∨C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
(d) A=B->C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
(e) A=B<->C, B、C分别是i, j层公式，且m=max(i,j)
若公式A的层次是k，则称A为k层公式。
定义1. 8设pl，p2，…，pn，是出现在公式A中的全部命题变项，给pl，p2，…，pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或者解释。若设定的一组值使A的真值为1，则称这组值为成真赋值，反之则称为成假赋值。
?课堂练习：
利用合式定义判断以下不是合式公式
p∧q->；p∨q；（p∧q）∨﹁（p∨q）；p->q﹁；∧p<->q；
?目的：判断复合命题公式的合法性
（三）真值表（35分钟）
1、定义将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。
注意：含n个命题变项的公式共有2n个不同的赋值。
2、构造步骤:
(1)列出2"个赋值，一般从000…0开始直到111…1结束;
(2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次;
(3)对应各个赋值计算出各个层次的值，直到计算出最后结果。
3、定义
设A为公式:
(1)如果A在所有解释下取值均为真，则称A是永真式或重言式;
(2)如果A在所有解释下取值均为假，则称A是永假式或矛盾式;
(3)如果至少存在一种解释使公式A取值为真，称A是可满足式。
?注意:
(1)可满足式的定义至少有一个为真;
(2)重言式一定是可满足式，但是可满足不一定是重言式;
(3)真值表最后一列判断公式的类型。
例题讲解
利用板书形式，逐步讲解过程，并进行以下引导 讲解例题1.2.2，引导学生思考问题:
问题1. 3个变元时，真值表需要构造多少行？
问题2. 含有n个命题变项的所有公式与n个命题变项构成的所有真值表之间具有什么样的关系?
课后作业：课本P7 习题2,4,8；
（四）课堂小结（10分钟）
1、合式公式、层次
2、构造真值表
3、判断命题公式的类别:永真式、永假式;
?易犯错误：命题公式书写错误；?解决方法：参照C语言中单目、双目运算符记忆书写
?易犯错误：真值表的行数确定错误；?解决方法：记住是2的n次方数，n 为变元数量
1.3 等值式（2课时）
一、教学内容
1、等值式定义
2、等值式的两种判别方法
3、等值演算的简单应用
二、教时安排
1、章节导入（5分钟）
2、等值式定义（15分钟）
3、等值判定（45分钟）
4、等值演算的应用（15分钟）
5、本次课小结（10分钟）
三、教学实施
（一）章节导入（5分钟）
?目的
判断两个表达式是否是相等，或求表达式的值。
我们同样在小学就学过计算式转化，如99*89等价于（100-1）*89、99*（10+2）=99*10+99*2等等，也就是一个计算式可以有很多表达形式，活在我们为了计算表达式值也会进行很多等价的转化。同理对于命题表达式来说，也可以根据我们的判断或求值的目的，采用一些转化的方法，这种等价的转化后的表达式就和原来的是等值的，即等值式。本节需要利用像小学学过的交换律、分配律等把我们的命题公式进行等值转化，当然我们现在是大学，转化规律也会有所增加，但是有初等数学做基础，求命题等值式并不是一个完全陌生的问题。
（二）等值式（15分钟）
1、定义
设A, B是两个命题公式，若A, B构成的等价式A<->B为重言式，则称A, B是等值的，记作A?B。
?注意：
A<->B与A?B的区别
基本等值式理解记忆
原命题?逆否命题；双条件等值式；双重否定；交换律；结合律；分配律；吸收律（多吃少）；德摩根律；
（三）等值判定（45分钟）
1、真值表法
?注意:
(1)最后一列可以不写出，可以看两个公式的值是否相同
(2)公式按照运算优先规则分层写出，熟悉了可以简化
(3)运用真值表应该熟练基本逻辑联结词的真值情况。其中前者等值，后者不是等值的，这一也说明了，蕴含运算是不满足结合律的。
2、等值演算法
(1)验证等值
(2)判断公式类型
例题讲解
利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导
（1）通过例题1.3.1的讲解引导学生掌握进行等值演算的基本步骤；
（2）通过记忆技巧掌握基本等值式，其中较容易混淆有：
(a)命题交换律：p∨(q∧r)= (p∨q)∧(p∨r)
或p∧ (q∨r)= (p∧q) ∨(p∧r)
可套用 3*（2+3）=（3*2）+（3*3）
(b)命题结合律：p∨(q∨r)= p∨q∨r)
可套用 3*（2*3）=3*2*3
(c)德摩根律：﹁(q∨r)= ﹁p∧﹁q ；﹁(q∧r)= ﹁p∨﹁q
整体否定表示里面每个元素都取反面，即肯定变否定，析取变合取，合取变析取；
?课堂练习：利用等值演算判断公式：（（p->q）∧p) ->q
?目的：检验学生是否可以灵活应用常用的等值变换规律。
（四）等值演算的应用（15分钟）
通过生活推理案例引导学生思考
范例1：在某次研讨会的体息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断:
甲说:王教授不是苏州人，是上海人。
乙说:王教授不是上海人，是苏州人。
丙说:王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后，笑曰:你们3人中有一人全说对了，有一人全说错了，还有一人对错各半。
试用逻辑演算法判断王教授是哪里人?
利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导
引导过程:
（1）首先命题符号化：如何将甲乙丙的话用命题公式描述？
（2）然后进行命题演算: 如何将所有约束条件联接，化简公式？
（3）最后根据结果判断。
?目的：
（1）通过生活中一个推理问题让学生体会命题推理知识的应用；
（2）重点引导掌握将现实问题转化为命题推理问题
通过生活推理案例引导学生思考
范例一的另一种解法：在生活实例中，这样判断往往比较复杂，不妨换一种角度来想，我们可以设想王教授只可能是这三个城市的其中之一，或者不是这三个城市中的任何一个，
设王教授是苏州人，则甲错乙全对丙全对与题意不符合;
设王教授是上海人，则甲全对乙全错并对一半与题意相符合;
至此我们可以判定王教授是上海人，这样判断速度会快好多。
?课堂练习：利用真值表判断：（（p->q）∧p) ->q
?目的：检验学生是否可以通过构造真值表计算公式值
（五）教终小结（10分钟）
1、基本等值式
2、利用命题演算判断等值式
3、利用真值表判断等值式
易犯错误：命题公式的分配律的展开，及与交换律差异； 解决方法：用乘法分配律去记忆
1.4 析取范式与合取范式（2课时）
一、教学内容
1、文字、简单析(合)取式、析(合)取范式、极小(大)项、主析(合)取范式
2、求命题公式的主析(合)取范式
3、主析(合)取范式的简单应用
二、课程时间安排
1、章节导入（5分钟）
2、基本概念（25分钟）
3、求主析取范式和主合取范式（25分钟）
4、主析取范式的作用（25分钟）
5、本次课小结（10分钟）
三、教学实施
（一）章节导入（5分钟）
?目的
理解范式是一种规定的表示形式，为什么需要规定命题范式。
1、利用范例说明为什么需要将公式转化为一种统一的样式，即范式；
如：化妆舞会上同一个人有多种装扮，很难区分是否为同一人；
2、利用例子让学生理解范式的分类
如：穿红衣的男生或穿绿衣的女生，（主析取范式公式表达）
3、转化为范式的作用
如：书上例题1.4.6中描述的问题
（二）基本概念（25分钟）
1、简单式定义
命题变项及其否定称作文字。仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。仅有有限个文字构成的合取式称作简单合取式。
?注意:
单个文字即是简单析取式一也是简单合取式
2、简单式定理
(1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式;
(2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
3、范式定义
(1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式;
(2)由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式;
(3)析取范式与合取范式统称为范式。
4、范式定理
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式;
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式。
（3）任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式
5、大项小项定义
在含有一n个命题变项的简单合(析)取式中，若每个命题变相和它的否定式不同时出现，而两者之一必出现且仅出现一次，且第1个命题变项或它的否定出现在从左起的第1个位置上(若命题变元没有脚标，就按字典序排列)，称这样的简单合(析)取式为极小(大)项。
6、大项小项定理
设mi与Mi是命题变项pl，p2，…，pn形成的极小项与极大项，则mi?Mi
9、主范式定义
设有n个命题变项构成的析(合)取范式中所有的简单合(析)取式都是极小(大)项，则称该析(合)取范式为主析(合)取范式。
10、主范式定理
任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。
（三）求主析取范式和主合取范式（25分钟）
例题讲解：
（1）利用等值演算求例题1.4.1的主析取范式、主合取范式
通过板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导
1）引导学生按照等值演算转化条件联接与否定到底；
2）引导学生主析取时，如果外层不是∨符号，利用分配律将∨转到外层；
3）引导学生主合取时，如果外层不是∧符号，利用分配律将∧转到外层；
4）引导学生在简单式中缺少变元时，析取添加∨0，合取添加∧1；即利用缺少的变元及其否定构成0,1，进行分配结合演算；
?注意:在求命题公式的主析取和主合取的时候一定要根据公式中所含有的命题个数区决定极大项和极小项。
（2）利用真值表转化1.4.1的主析取范式、主合取范式
通过PPT展示构造真值表，并进行如下引导
1）引导学生如何根据命题构造真值表；
2）让我们理解真值表规模与变元个数关系；
3）可以根据主析取、主合取选择小项、大项；
4）如何根据大项、小项编号构造命题公式
?注意: 永真式、永假式在范式上的特殊性
（四）主范式的作用（25分钟）
(1)求公式的成真与成假赋值
(2)判断公式的类型
(3)判断两个公式是否等值
(4)应用其解决实际问题
例题讲解
利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导
范例1：某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1-2名出国进修。由于工作需要，选派时要满足以下条件:
(1)若A去，则C同去;
(2)若B去，则C不能去;
(3)若C不去，则A或B可以去。
问所里应如何选派他们?
解:设P:派A去Q:派B去R:派C去，选派方案有三种:
(a) C去，而A,B都不去;
(b) B去，而A,C都不去;
(c) A,C同去，而B不去
?注意: 重点引导学生理解在判定3个对象状态时，只有主范式是对
3个对象（变元）都有真假值的确定；
?课堂练习：
判断(﹁p->q) -> （q∧r）公式类型，求其主范式；
?目的：
检验学生是否会判断一个公式类型，是否掌握主析取、主合取范式转换方法；
课后作业：
课本P27 习题1, (3)、（4）、（5）；习题2；
（五）教终小结（10分钟）
1、析取（合取）范式是由简单合取（析取）式构成；
2、主析取（合取）范式由小项（大项）构成
3、小项（大项）项与简单合取（析取）差异在于变元不重复且都出现；
4、求主析取范式与主合取范式方法
5、用主析取范式解决实际问题
?易犯错误：大项、小项混淆；
解决方法：大项是析取得到，析取是并且含义，条件越来越大，为大项；小项反之；
《离散数学》-教案.doc
《离散数学》教案 第一章集合与关系 集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普 遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的 一个分支。 G. Cantor( 康脱 ) 是作为数学分支的集合论的奠基人。1870 年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。 1874 年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立 一一对应的有名的证明。 1878 年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然 而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利 - 福尔蒂的最大序数悖论。 1901 年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932 年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908 年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称 为策梅罗 - 弗兰克尔集合论（ ZF），其中包括 1904 年策梅罗引入的选择公理。另外一种系 统是冯·诺伊曼 - 伯奈斯 - 哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗 - 弗兰克尔集合论与选择公理一起称为 ZFC系统。 一、学习目的与要求 本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。 通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运 算方法，为学习后续章节打下良好基础。 二、知识点 1．集合的基本概念与表示方法； 2．集合的运算； 3．序偶与笛卡尔积； 4．关系及其表示、关系矩阵、关系图； 5．关系的性质，符合关系、逆关系； 6．关系的闭包运算； 7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系； 8．序关系、偏序集、哈斯图。
小学二年级数学：(数一数)教学设计
新修订小学阶段原创精品配套教材（数一数)教学设计教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 (Number one) instructional design 教师：风老师 风顺第二小学 编订：FoonShion教育
（数一数)教学设计 教学内容 北师大版二年级上册第一单元“数一数与乘法”第一课时“数一数”。 教材分析 本节课“数一数”是第一单元“数一数与乘法”的起始课，为体会学习乘法的必要性，理解乘法的意义奠定基础。学生经历从数数的问题中抽象出相同加数的连加算式的过程，体验这种相同加数的连加运算与生活的联系。 学生分析： 在教学设计前我设计了三个前测问题： 1、观察方阵图,让学生说说一共有多少个图形,你是怎么列式的,说说为什么这么列,我出示的是每排6个,有4列,通过调查孩子的列式有三种方法, （1）6+6+6+6= 4+4+4+4+4+4=(我横着看一行是6个,竖着看每行是4个) （2）只列出了6+6+6+6=(我横着看一行是6个)
（3）6+12+6=(第一行是6个,第二行和第三行一共是12个第三行是6个) 2、你知道乘法吗？并用自己的语言讲一讲。（知道乘法，但是说不清楚。） 3、会背诵乘法口诀吗？（共同的答案不会.） 通过前测，我发现学生在数物体的时候，不一定有序的按照排和列来数，所以在课的伊始，我想应该给学生一个空间，让他们自己感到应该有序的数，多角度的数。 我们班的学生思维活跃，课堂上经常有灵动的思维火花闪现。所以我在教学中努力为学生创设主动思考的空间，从而使学生积极主动地参与到知识的获取中。 教学目标 1、结合数数的具体情境,经历相同加数连加算式的抽象过程，感受这种运算与日常生活的联系，以便进一步体会学习乘法的必要性。 2、会用两种不同的方法（一排一排或一列一列地）数方阵排列的物体的个数，相应列出两个不同的连加算式。 3、在具体情境中，体会生活中存在着大量的相同加数连加的问题，为学习乘法奠定基础。 教学重点：感受相同加数连加与日常生活的联系，体会学习乘法和必要性。 教学难点：用两种方法数方阵排列物体的个数，并列出
(完整word版)离散数学电子教材1
第1章命题逻辑 逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。所谓的数学方法也就是 用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。因此数理逻辑也称为符号逻辑。 数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第 2章进行讨论。 1.1命题及其表示 1.1.1命题的基本概念 数理逻辑研究的中心问题是推理( Inference),而推理就必然包含前提和结论，前提和 结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。因此命题就成为推理的基本单位。在命题逻辑中，对命 题的组成部分不再进一步细分。 定义1.1.1能够判断真假的陈述句称为命题(Proposition )。命题的判断结果称为命题的 真值，常用T(True)(或1)表示真，F(False)(或0)表示假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。 从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。 例1.1.1判断下列句子是否为命题 (1)北京是中国的首都。 (2)请勿吸烟！ (3)雪是黑的。 (4)明天开会吗？ (5)x+y=5。 (6)我正在说谎。 (7)9+5 < 12。 (8)1+101=110。 (9)今天天气多好啊！ (10)别的星球上有生物。 解在上述的十个句子中，(2)、( 9)为祈使句，(4)为疑问句，(5 )、( 6)虽然是陈述句，但(5)没有确定的真值，其真假随x、y取值的不同而有改变，(6)是悖论(Paradox) (即由真能推出假，由假也能推出真) ，因而(2)、(4)、(5)、(6)、(9)均不是命题。(1 )、(3)、(7)、(8)、(10)都是命题，其中(10)虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的。 需要进一步指出的是，命题的真假只要求它有就可以，而不要求立即给出。如例1.1.1的 (8) 1+101=110，它的真假意义通常和上下文有关，当作为二进制的加法时，它是真命题，否则为假命题。还有的命题的真假不能马上给出，如例 1.1.1的(10)，但它确实有真假意 义。 1.1.2命题分类 根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。
离散数学教学大纲
《离散数学》课程教学大纲 课程代码：090132119 课程英文名称：Discrete Mathematics 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，一方面，为计算机科学的专业课程，如数据结构、编译系统、操作系统、数据库、信息管理系统、人工智能、形式语言等提供必要的数学基础；另一方面，可以培养学生的逻辑思维能力，更好地实现素质教育的目的。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1利用基本原理，解决实际问题的能力 2 利用数学手段研究计算机专业问题的能力 3 通过本课程的学习，使学生获得利用数学手段解决具体问题的技能。如利用数理逻辑理论进行逻辑推理的技能，利用集合论理论分析各类关系的技能，利用代数结构理论讨论各类代数系统及其关系的技能，利用图论分析最短路等技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性。讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于理论基础课，在教学中主要以理论讲解为主，辅以适当的课堂练习，帮助同学更好的理解基本概念及基本方法，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有：高等代数1。 （五）对习题课、实践环节的要求 1．对重点、难点章节（如：稳定变应力下的疲劳强度计算、螺栓组强度计算、齿轮传动受力分析、轴系结构设计等）应安排习题课，例题的选择以培养学生消化和巩固所学知识，用以解决实际问题为目的。 2．课后作业要少而精，内容要多样化，作业题内容必须包括基本概念、基本理论及设计计算方面的内容，作业要能起到巩固理论，掌握计算方法和技巧，提高分析问题、解决问题能力，熟悉标准、规范等的作用，对作业中的重点、难点，课上应做必要的提示，并适当安排课内讲评作业。学生必须独立、按时完成课外习题和作业，作业的完成情况应作为评定课程成绩的一部分。 （六）课程考核方式 1．考核方式：考试 2．考核目标：在考核学生对离散数学的基本知识、基本方法的基础上，重点考核学生的分
二年级数学上册优质课教学设计
二年级数学上册教学设计、“长度单位厘米”教学设计 【教学内容】 数学（二年级上册）》第1～3页和练习一的第1～3题。 【教学目标】 1．通过动手实践，使学生意识到量物体应该用相同的工具来量。 2．认识尺子，初步建立1厘米的长度概念，会用厘米度量比较短的物体的长度。3．培养学生的估算意识和能力。 4．培养学生动手实践和合作学习的学习方法，并感受到生活中处处有数学。【教学过程】 一、感知量物体可以用相同的工具来量 导入：同学们，今天老师给你们带来了一些礼物，就放在盒子里面，想知道是什么吗？请把盒子打开，拿出来相互看一看，并说说你们看到了什么。 （学生打开盒子观察并进行交流） 1．用学具量同样长的边。 教师请学生挑出一件自己最喜欢的物体，摆一摆数学书的短边是几个物体的长。（学生动手操作，并汇报测量结果，同时用多媒体显示测量结果） 师：难道你们数学书的短边不一样长吗？请动手比一比。 （学生相互动手比数学课本并回答“一样长”） 师：一样长的边为什么测量的结果不一样呢？ 生：因为量书时用的东西有的长，有的短。 师：如果都用同样长的工具来测量，结果会怎样呢？请小组再用正方体摆一摆，数学书的短边是几个小正方体的长呢？ （学生动手操作并分小组汇报，使学生知道，如果都用同样的物体量书的短边，得到的结果相同。） 2．用学具量长度不同的边。 （电脑出示数学课本和文具盒这两幅图，并演示用曲别针测量书的短边，用小刀测量文具盒的长边。） 测量后教师问发现了什么（小刀比曲别针长，文具盒的边比书的边也长）。 师：如果把小刀换成曲别针，让我们来看一看会出现什么情况。
（多媒体演示用曲别针量文具盒的过程，让学生知道文具盒的长度比书的短边多用了6个曲别针。） 小结：我们通过动手实践和观察，知道了量物体应该用相同的工具。 3．实践活动。 （1）处理第2页“做一做”中的第1题。 （学生独立完成） （2）处理第2页“做一做”中的第2题。 （学生都用新铅笔量所想量的物体的长，可以自己量，也可以几人合作，最后相互交流并汇报测量结果。） （3）处理第2页“做一做”中的第3题。 （多媒体显示题目内容，说明题意，让学生估算，电脑验证。） 二、知道量物体的长度也可以用尺子来量 1．认识尺子。 师：刚才我们用铅笔来测量物体时，量了一次又一次，多麻烦呀。用什么去量比较方便呢？（尺子） 教师请学生拿出尺子看一看，能发现什么（数字、刻度线、cm），教师介绍刻度线和“cm”；并向学生说明“厘米”是一种长度单位。 2．认识长度单位“厘米”。 （1）认识1厘米有多长。 （电脑演示从0到1中间的长是1厘米） 师：你认为还有从哪个数字到哪个数字中间的长度也是1厘米呢？在你的尺子上找出1厘米给你的同桌看一看。 （小组活动） （2）感知厘米有多长。 ①测量棱长1厘米的小正方体的长。 ②感知1厘米有多长（教师带领学生用左手的拇指和食指轻轻夹住小正方体，右手慢慢把它拿走，告诉学生拇指与食指中间的空隙大约是1厘米，并让学生把它记在脑子里）。 ③闭上眼睛想想1厘米有多长。
离散数学第四版答案
浅谈高中数学新教材中课本例题的教学 无锡市辅仁高级中学王文俊文章提要：搞好课本例题的多种形式教学，能使学生的数学思维能力得到进一步提高。本文从以下几个方面进行说明。首先，课本例题是解题规范参照的最佳样本；其次，课本例题是将设问引申的最理想起点；第三、课本例题是一题多解的最佳展示台；第四、课本例题是变式教学的最丰富源泉。 关键词：课本例题规范引申一题多解变式 《普通高中数学课程标准》指出：教师不仅是新课程的实施者,而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。《普通高中课程标准实验教科书—数学》，即通常所说的教材，具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。而课本例题更是经过编者反复论证精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。 新教材中例题的选择更是力求与生活实际接近，许多情景甚至完全可以通过实际活动来表现。在高中数学教学中，搞好例题教学，特别是搞好课本例题的多种形式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。 但是对课本例题的教学，很多老师有时会照本宣科，或认为课本例题太过一般，不值得花费时间讲解，一带而过，而改用自己在其他参考书上找来的例题。事实上，这正是教师对课程、教材研究不深入的表现。只要教师认真钻研教材，深刻理解例题的用意，充分挖掘例题的价值，结合学生的实际情况和教学的实际需要，进行适当的引申和拓展，就可以满足不同层次教学的要求。下面就新教材中课本例题的教学，谈一下笔者几点简单的想法。 一、课本例题是解题规范参照的最佳样本 解题是深化知识、发展智力、提高数学能力的重要手段。规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平。语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节。因此，语言叙述必须规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。在高中数学的学习中，有些题目的解答过程是有严格的规范和要求的，比如函数单调性的证明，立体几何证明等等。
离散数学教案
学习目标: 1.深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、(最大)相容类、偏序关系、极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元、全序关系、良序关系等概念; 2.掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律; 3.掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质; 4.掌握关系的矩阵表示与关系图; 5.深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性与传递性,掌握其判别方法; 6.掌握集合的覆盖与划分的联系与区别; 7.掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元。 主要内容: 1.集合的基本概念及其运算 2.序偶与笛卡尔积 3.关系及其表示 4.关系的性质及其判定方法 5.复合关系与逆关系 6.关系的闭包运算 7.等价关系与相容关系 8.偏序关系 重点: 1.关系的性质及其判别; 2.关系的复合运算及其性质; 3.等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系; 4.偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点: 1.关系的传递性及其判别; 2.等价关系的特性; 3.偏序关系的哈斯图的画法;偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段: 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点与难点的内容,并通过大量的练习使同学们巩固与掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题: 习题3、1:4,6;习题3、2:3(8),4(12),6(m);习题3、4:1 (2)、(4),3;习题3、5:1,4;习题3、6:2,5,6;习题3、7:2,5,6;习题3、8:1(1)-(6);习题3、9:3(2)、(4),4(3);习题3、10:1 ,4,5。
(完整版)人教版二年级数学下册教学设计
人教版二年级数学下册教学设计 第一单元数据收集整理 单元教学内容： 义务教育教科书人教版数学最新教材二年级下册《数据收集整理》第2～6 页 单元教材分析： 本单元学生主要学习一些简单的统计图表知识。初步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，学会用简单的方法收集和整理数据，掌握统计数据的记录方法，并能根据统计图表的数据提出并回答简单的问题。使学生了解统计的意义和作用，初步了解统计的基本思想方法，认识统计的作用和意义，逐步形成统计观念，进而养成尊重事实、用数据说话的态度教学目标： 【知识技能】：使学生经历数据的收集、整理、描述和分析的过程能利用统计表的数据提出问题并回答问题。 【数学思考】：了解统计的意义，学会用简单的方法收集和整理数据。 【问题解决】：能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能够进行简单的分 析 【情感态度】：通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点： 使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。 教学难点： 使学生亲历统计的过程，在统计中发展数学思考，提高学生解决问题的能力。 课时安排：3 课时 1．数据收集整理............... 2 课时 2．练习..................... 1课时 教学设计： 第一课时：收集数据、认识简单的统计表 教学内容：教材第2页的例1 和练习一的第1、2小题教学目标： 1、让学生经历数据的收集、整理、分析和做出判断的过程，体会统计的必要性；
2、认识简单的统计表，能根据统计表回答一些简单的问题； 3、学会与他人合作，积累解决问题的经验，体会数学与生活的密切联系教学重点：学会收集数据，认识简单的统计表教学难点：能根据统计表回答一些简单的问题教学过程： 一、创设情境 引入新课师：同学们，新的学期开始了，学校要给同学们定做校服。有下面4 种颜色，出示例1 中的四种颜色，选哪种颜色合适呢？ 生：选大多数同学喜欢的颜色师：怎么知道哪种颜色是大多数同学最喜欢的呢？ 生：可以在全校的同学们中去调查一下生：全校学生有那么多，怎样调查呢？生：我觉得可以先在班里进行调查 生：还可以现在组内进行调查师：你们真聪明，你们刚才说的调查，其实也就是进行统计。 揭示课题：统计要统计出喜欢每种颜色的学生人数，首先要进行数据的收集过程。下面我们就一起来调查喜欢每种颜色的学生人数。 二、亲历统计过程体会收集数据的形式和过程 1、收集数据师：在这四种颜色中，你最喜欢哪种颜色？为什么？师：要想知道喜欢哪种颜色的同学最多？我们应该怎样调查呢？生：自由发言师：我们可以采用举手、起立、画"√" 、" ○"作记号等很多方式来收集数据，但是这些方式中举手既快速又简捷，下面我们就用举手的方式来进行调查，请听规则：每个人只能选一种颜色，每当老师说出一种颜色时。喜欢这种颜色的同学就举手，好吗？一个人能选两种颜色或不选吗？ 生：不能师：为什么？ 生：如果选一种以上就重复了，而不选又遗漏了。师：是呀，收集数据有很多不同的方式，但是无论采用哪种方式调查。都要做到不重复、不遗漏，也就是说你只能选择一次，那好。现在我们开始举手调查 2 、整理数据 师：刚才同学们已经通过举手这种方式选出了自己喜欢的颜色了。老师也知道了，但是负责定制校服的领导还不知道，那该怎么办呢？ 生: 自由发言 师：你们真会想办法，那我们现在再举一次手。在这张表中统计出喜欢每种颜色的人数，好吗？
离散数学课本定义和定理
第1章集合 1.1 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或 1.2 集合的运算 定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. 定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为. 定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。 定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为. 定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为. 定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为 1.3 包含排斥原理 定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则 定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则 定理1.3.3设为有限集，则 重要例题P11 例1.3.1 第2章二元关系 2.1 关系 定义2.1.1（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。 ※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为
离散数学教案
学习目标： 1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念； 2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律； 3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质； 4．掌握关系的矩阵表示和关系图； 5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法； 6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别； 7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。 主要内容： 1．集合的基本概念及其运算 2．序偶与笛卡尔积 3．关系及其表示 4．关系的性质及其判定方法 5．复合关系和逆关系 6．关系的闭包运算 7．等价关系与相容关系 8．偏序关系 重点： 1．关系的性质及其判别； 2．关系的复合运算及其性质； 3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系； 4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点： 1．关系的传递性及其判别； 2．等价关系的特性； 3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段： 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题：
习题 3.1：4，6；习题 3.2：3（8），4（12），6（m ）；习题 3.4：1 （2）、 (4)，3；习题 3.5：1，4；习题 3.6：2，5，6；习题 3.7：2，5，6；习题 3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。 3.1 集合的基本概念 集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。 集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。若A 是集合，a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作。若组成集合的元素个数是有限的，则称该集合为有限集(Finite Set)，否则称为无限集(Infinite Set)。 常见集合专用字符的约定： N —自然数集合(非负整数 集) I (或Z )—整数集合(I +，I -) Q —有理数集合(Q +，Q -) R —实数集合(R +，R -) F —分数集合(F +，F -) 脚标+和-是对正、负的区分 C —复数集合 P —素数集合 O —奇数集合 E —偶数集合 幂集 定义 3.1.1 对于每一个集合A ，由A 的所有子集组成的集合，称为集合A 的幂集(Power Set)，记为 ()P A 或2A ．即(){}P A B B A =?。 例如：{,,}A a b c =, (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b b c a c a b c φ=。 定理3.1.1 如果有限集A 有n 个元素，则其幂集()P A 有2n 个元素。 证明 A 的所有由k 个元素组成的子集数为从n 个元素中取k 个的组合数。 (1)(2)(1)! k n n n n n k C k ---+= L 另外，因A φ?，故()P A 的元素个数N 可表示为 1 201n k n k n n n n n k N C C C C C ==++++++=∑L L 又因 0()n n k k n k n k x y C x y -=+= ∑ 令 1x y == 得 02n n k n k C ==∑ 故()P A 的元素个数是2n 。 人们常常给有限集A 的子集编码，用以表示A 的幂集的各个元素。具体方法是： 设12{,,,}n A a a a =L ，则A 子集B 按照含i a 记1、不含i a 记0(1,2,,)i n =L 的规定
离散数学教学大纲(本科)
《离散数学》课程教学大纲 一、《离散数学》课程说明 课程英文名称：Discrete mathematics 课程类型：考试课 课程性质：专业技术基础课 总学时： 72学时 适用对象：计算机科学与技术专业本科生 先修课程：高等数学线性代数 （一）课程简介 离散数学，是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素。 《离散数学》内容主要包括:集合、映射与运算，关系，命题逻辑，谓词逻辑，代数结构，图论，以及几类特殊的图和组合计数.通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力，是计算机专业的必修课。 （二）课程性质、目的和任务 《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。是学习后续专业课程不可缺少的数学工具，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。 教学的目的是进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。并为后续课程的学习打下良好的基础。 （三）与其他课程的联系 除要求学生具有矩阵和矩阵运算方面的一些知识外，离散数学基本上是一门体系独立自行封闭的基础数学课程，但由于它内容抽象，理论性较强，因此它需要学生先期有较好的数学思维的训练。最好将此课程安排在高等数学和线性代数课程之后。
小学二年级趣味数学教案设计
二年级趣味数学活动设计 快乐运算 青岛华侨国际小学袁蓉蓉 活动目标： 1、通过独立思考，初步培养学生的逻辑维能力。 2、通过有趣的数学题，引起学生对数学的兴趣，开发学生智 力、提高学生探究问题的积极性，从而提高学生的逻辑思考能力。 3、学生通过练习掌握一定的数学方法，并体验到学习数学的 乐趣。 活动重点与难点： 通过解答例题引导学生思维方向，让学生学会善于思考。 活动过程： 一、数学故事： 师：今天，老师给同学们带来一个非常有趣的故事，大家想听吗？生：想？！ 出示《小狐狸的故事》：从前，山上住着一只粗心的小狐狸。这一天，妈妈让它背着8块马铃薯到外婆家去。一接到这个任务，小狐狸高兴得一蹦三尺高，马上背起马铃薯出发了。一路上，它哼着歌往前走。可是，走着走着，小狐狸觉得有点不对劲，怎么越背越轻了。它赶紧停下脚步，打开袋子一看，怎么只剩下3块
马铃薯了？原来，小狐狸背的袋子破了一个洞，马铃薯就从这个破洞掉下去的。后来，小狐狸到了外婆家。小朋友，你能猜猜看，小狐狸可能背了几块马铃薯到外婆家呢？ 生：0块，小狐狸很粗心继续往前走，马铃薯都丢光了。 生：3块，小狐狸绑好破洞，带着剩下的马铃薯到了外婆家。生：8块，小狐狸绑好了破洞，又回去捡丢掉的5块马铃薯。生：6块，小狐狸捡回3块，还有2块被小兔捡走了。 生：5块，小狐狸在路上碰到一只饿了的小狗，就送给它3块。师：刚才几个同学说的都有道理，其实如果从不同角度去想，用多种角度去思考问题，还可以说出更多、更精彩的原因。同学们，你们认为像这样从多种角度来想问题，有趣吗？ 师：这节课就让我们都来开动脑筋，从多种角度去想问题（板书课题）
最新人教版二年级数学下册的教案设计(全册)
二年级数学下册教学进度
教学计划 一、本学期教学的指导思想 1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。 二、教材分析 本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。 三、教学目标: 1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。 4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。
7、通过一系列的猜测、比较、推理等活动，使学生感受简单推理的过程，找出简单事物的排列数与组合数。 四、情感态度: 1、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作和创新精神。 2、培养学生认真观察，独立思考等良好的学习习惯。 3、通过观察操作活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手能力，学会欣赏数学美。 4、让学生在学习中体验到成功的喜悦，增强学生学好数学家的信心。 5、使学生在解决实际问题的过程中，培养学习兴趣和敢于探索的科学精神。训练学生养成认真审题，仔细验算的良好习惯。 6、进一步学习用具体的数学描述生活中的事物，经历与他人交流活动，培养学习数学的兴趣和自信心。 五、教学措施: 1、从整体上把握教学目标。不光凭经验，过去看样提，现在也怎样提；也不能搬课本，凡是课本上有的内容，都不作统一的教学要求，而应该根据教学指导纲要，结合教学进行适当的调整。 2、要尊重学生，注重学法渗透。在学习中，不包办代替和以讲代学，把课堂中更多的时间留给学生探索，交流和练习。 3、注意培养学生的数学概括能力和逻辑思维能力。重视学生获取知识的思维过程。 4、注重培养学生的计算能力和解答应用题的能力。鼓励学生动用所学的知识解答日常生活和学习中的简单实际问题。激发学生的兴趣，培养学以致用的意识。 5、注意教学的开放性，培养学生的创新意识和实践能力。课本中的一些例题和习题的编排突出思考过程。在教学时，引导学生暴露思维过程，鼓励学生多角度思考问题。 6、渗透德育，注重培养学生良好的学习习惯和独立思考克服困难的精神。
自考离散数学教材课后题第五章答案
习题参考答案 1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。 阮允准同学提供答案: 解：设度数小于3的结点有x个，则有 3×4＋4×3＋2x≥2×16 解得：x≥4 所以度数小于3的结点至少有4个 所以G至少有11个结点 2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。 阮允准同学答案： 证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。 若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。 若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。 由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。 3、证明：简单图的最大度小于结点数。
阮同学认为题中应指定是无向简单图. 晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n. 4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。阮同学给出证明如下： 证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。所以结论成立。 5、试证明下图中两个图不同构。 晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。 6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。 解：如下图所示：(晓津与阮同学答案一致)
离散数学实验指导书
离散数学实验指导书2015 年3月6 日
绪言 通常对离散数学教学的认识就是上课老师讲述一个个概念、定理、公式和例题，学生背概念、公式，理解基础上记忆定理，然后据此做证明题、计算以及解题。实质上离散数学不仅仅是这些，还有实验。在理论教学过程中，学生的活动只是“智力活动”，或更为直接地说是解题活动，教师在上面讲离散数学，而学生则每天在课堂上听课并在纸上做题目。这样，对多数学生而言，离散数学的发现探索活动没有能够真正开展起来。 离散数学实验教学，通常由教师提出问题，让学生在计算机上做实验，利用小组合作学习或者组织全班讨论，开展研究性学习活动；实验过程中，依靠计算机，让学生主动参与发展、探究、解决问题，从中获得离散数学研究、解决实际问题的过程体验、情感体验，产生成就感，进而开发学生的创新潜能，因而对离散数学实验课程教学进行研究具有重要意义。 利用计算机进行离散数学实验教学，不仅是开展离散数学研究性学习的一种有效方式，而且也为数据结构及程序设计课程教学的开展提升了层次。知识经济时代对创新人才的需求与离散数学教育中忽视学生创造性能力培养的矛盾日益凸显。在教学中倡导研究性学习，开展离散数学实验课程教学的研究与探索，与当前社会对离散数学教学的需求是一致的。 目前国内外很少有人对离散数学实验课程教学进行研究，尤其是国内进行这方面研究的人员更少，人们更重视离散数学理论课程教学的研究，忽视了离散数学实验课程对理论课程教学的辅助与促进作用，也忽视了离散数学实验课程与数据结构等课程的有机联系。因而本学期离散数学课程组依据“2014培养方案”准备进行离散数学实验课程教学的研究与探索，以便更好的做好离散数学课程的教学改革工作。 主要包括四个部分：集合与关系、数理逻辑、代数系统、图论。要求学生了解算法，理解运用C或C++语言（也可以是其他高级程序设计语言）把书中的部分内容的算法编写出能在计算机上运行的程序的思想，掌握实现离散数学部分算法程序设计的基本编程技术。
人教版小学二年级数学教学设计
教案示例一 教学目标： 1．创设真实有趣的教学情景，引导学生用探索的方式学好2的乘法口诀． 2．让学生在探索的过程中体验规律，经历编写的过程． 3．要注意课堂气氛，组织好活动，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：创设真实有趣的教学情景，引导学生用探索的方式学好2的乘法口诀． 教学难点：让学生在探索的过程中体验规律，经历编写的过程． 教学过程： 活动一：放筷子 1．我们每个小组都是一个小小家庭，每张桌子上都有一个圆片当碗，小棒当筷子，每人给大家放一次筷子，比一比哪组放的快？每放一次，其他同学都算算一共有几根筷子？ 2．两组合并组织一个新家庭，每人给大家放一次筷子，比一比哪组放的快？每放一次，其他同学都算一下一共有几根筷子？ 3．填一填． 活动二：探索2的乘法口诀 （黑板上竖放着主题图，对应着9道整齐的乘法算式．） 师：刚才，我们根据放筷子活动整理出了这9个乘法算式．看着这些算式，你有什么想法？ 生：他们的得数很有趣，我很想记熟这些得数． 师：你能连算式也记住吗？ 生：（摇摇头）那就难多了． 师：好，咱们一起来解决这个问题吧．自己先动脑想一想，然后各小组商量商量，看谁有好 办法记住这些算式和得数．
（各小组认真讨论） 生1：多读一读，读的遍数多了就记住了． （学生议论：太费劲，太麻烦．） 生2：想着图来记．．．．．．． 生3：根据乘法的意义来记．一个二等于二，二个二等于四，三个二等于六．．．．．． 师：如果说的简单一点呢？ 生4：可以说成：想5的乘法口诀．．．．．．这样记，我们觉得挺方便．．．．．．． 师：大家的讨论很精彩，我也很受启发．现在提个建议供给大家研究：一二得二，二二得四，二三得六 …… 活动三：对口令（15页练习1题） 1．我说二三、谁跟我对：生:得六 2．二九十八谁跟我对乘法算式：2×9＝18 或9×2＝18 3．师生对练同伴对练小组选代表对练 男女生对练 活动四：比一比谁画圈画得最快．（15页练习2题） 1．生独立完成． 2．小组交流你是怎么想的？为什么这样填写． 3．观察我们圈出的数有什么特点？ 注意：可以告诉学生圈出的数都是双数，其余都是单数． 活动五：看图列式（15页练习5题） 1．学生独立完成． 2．与小组交流你是怎么想的？为什么这样填写．
离散数学教案范本
《离散数学》教案 课目：第一章命题逻辑 教师：熊建英 学时： 12课时
Ⅰ教学提要 一、教学对象（人数） 学生：信息安全专业本科二年级学生50人 二、教学目标（任务） 各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握) 三、教学要求 （一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。 （二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。 四、教官分工 主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。
五、本章重点 1、利用联接词构造复合命题公式 2、真值表的构建 3、等值演算 4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法 5、推理证明 六、本章难点 1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断 2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式 3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式 七、教学方法 采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。 八、课时分配 1.1 命题及联接词2课时； 1.2 命题公式及其赋值2课时； 1.3 等值式2课时； 1.4 析取范式与合取范式2课时； 1.5 推理理论与消解法2课时； 1.6 命题逻辑应用案例2课时； 九、场地器材 多媒体教室 十、参考书目 1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。 2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。 3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。
Ⅱ教学进程 1.1 命题及联接词（2课时） 一、教学内容 1、命题的概念表示与分类 2、五种基本的联接词的逻辑关系 3、复合命题的符号化 4、复合命题的真值判断 二、课程时间安排 1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟） 2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟） 3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟） 4、联结词与复合命题（35分钟） 5、本次课小结（10分钟） 三、教学实施 （一）创设意境、导入课程（10分钟） 目的 体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。 1、从生活应用中理解逻辑推理作用，及离散数学学习意义； 如：犯罪推理、电路设计、人事安排的最优方案、网络中最优路径等； (1)逻辑推理问题范例（PPT展示一个犯罪推理案例） (2)离散数学是一门可以对逻辑推理规律建立相应的符号运算系统，解决此类问题的科学。 2、离散数学与其他专业课程的联系； (1) 涉及多门计算机专业中很多专业课程，如：编程语言、数据结构、操作系统、数据数据加密。
(二年级数学教案)(数一数)教学设计
（数一数)教学设计 二年级数学教案 教学内容 北师大版二年级上册第一单元“数一数与乘法”第一课时“数一数”。 教材分析 本节课“数一数”是第一单元“数一数与乘法”的起始课，为体会学习乘法的必要性，理解乘法的意义奠定基础。学生经历从数数的问题中抽象出相同加数的连加算式的过程，体验这种相同加数的连加运算与生活的联系。 学生分析： 在教学设计前我设计了三个前测问题： 1、观察方阵图,让学生说说一共有多少个图形,你是怎么列式的,说说为什么这么列,我出示的是每排6个,有4列,通过调查孩子的列式有三种方法, （1）6+6+6+6= 4+4+4+4+4+4=(我横着看一行是6个,竖着看每行是4个) （2）只列出了6+6+6+6=(我横着看一行是6个) （3）6+12+6=(第一行是6个,第二行和第三行一共是12个第三行是6个) 2、你知道乘法吗？并用自己的语言讲一讲。（知道乘法，但是说不清楚。）
3、会背诵乘法口诀吗？（共同的答案不会.） 通过前测，我发现学生在数物体的时候，不一定有序的按照排和列来数，所以在课的伊始，我想应该给学生一个空间，让他们自己感到应该有序的数，多角度的数。 我们班的学生思维活跃，课堂上经常有灵动的思维火花闪现。所以我在教学中努力为学生创设主动思考的空间，从而使学生积极主动地参与到知识的获取中。 教学目标 1、结合数数的具体情境,经历相同加数连加算式的抽象过程，感受这种运算与日常生活的联系，以便进一步体会学习乘法的必要性。 2、会用两种不同的方法（一排一排或一列一列地）数方阵排列的物体的个数，相应列出两个不同的连加算式。 3、在具体情境中，体会生活中存在着大量的相同加数连加的问题，为学习 乘法奠定基础。 教学重点：感受相同加数连加与日常生活的联系，体会学习乘法和必要性。 教学难点：用两种方法数方阵排列物体的个数，并列出两个不同的连加算式。 教学过程： 一、创设情境，引入新知