解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词孤立奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算

前言

在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。

在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和

统一。

本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。

正文

一、孤立奇点的定义及类型

（一）定义

如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。

如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点，则必存在正数 R ，使得)(z f 在点a 的去心邻域 R a z a K <-<-0:}{ 内可展成洛朗级数。 （二）孤立奇点的类型

如0z 为)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在点0z 的去心邻域 R z z z K <-<-000:}{内可展成洛朗级数0

(z)(z )

n

n

n f z c ∞

=-∞

=-∑。其中称负幂部分01

(z )n n n z c ∞

--=-∑为)

(z f 在点0z 的主要部分。

孤立奇点按函数在0z 的去心邻域内的洛朗展开式中负幂项的个数分类： 1.可去奇点：展开式中不含0z z -的负幂项；

()()()2

01020f z c c z z c z z =+-+-+

2.极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；

()(1)21

010201

000()()()()()

m m

m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=++

+

++-+-+

---

()

0,()

m

g z z z =

- 其中()1(1)01000()()()m m m m g z c c z z c z z c z z -----=+-+

+-+-+

在0z 解析，

且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；

3.本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项； ()1

010000()()()

()

m m

m m

c c f z c c z z c z z z z z z --=

+

++

++-+

+-+

--

二、孤立奇点类型的判别方法

（一）可去奇点

如果)(z f 在0z z =的洛朗级数中不含0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 是

)(z f 的可去奇点。

以下三个条件是等价的：

（1）0z z =是)(z f 的可去奇点?)(z f 在0z 的洛朗级数不含0z z -的负幂项； （2）0z z =是)(z f 的可去奇点?0

lim (z)z z f →存在；

（3）0z z =是)(z f 的可去奇点?)(z f 在0z 的某去心邻域内有界. （二）极点

如果)(z f 在0z 的洛朗级数中只有（0z z -）的有限个负幂项，则孤立奇点0

z 称为极点。若负幂的最高项为0(z z )m --，则0z 称为m 级极点。

与之等价的条件是：

0z 是)(z f 的极点?0

lim (z)z z f →=∞.

零点和极点的关系： 不恒等于零的解析函数)(z f 若能表示为 0(z)(z z )(z)m f ?=-，

其中(z)?在0z 解析，且0(z )0?≠，m 为一正整数，则称0z 为)(z f 的m 级零点.

（1） 若)(z f 在0z 解析，则0z 为)(z f 的m 级零点的充要条件是 (n)0(z )0f =， 0,1,2,

,1n m =-；(m)0(z )0f ≠.

（2） 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.

（3） 若0z 是)(z f 的m 级极点，则0z 是

1

(z)

f 的m 级零点.反之也成立. 下面的定理说明了怎样由m 级零点得到m 级极点. 定理1 假设

（i ）两个函数p 和q 在点0z 解析； （ii ）0(z )0p ≠,0z 是q 的m 级零点. 则0z 是

(z)

(z)

p q 的m 级极点. 定理2 设两个函数p 和q 在0z 解析.如果 0(z )0p ≠，0(z )0q = 和 0(z )0q '≠， 则0z 是商

(z)

(z)

p q 的简单极点且 )

()

()()(Re 000

z q z p z q z p s

z z '==. （三）本质奇点

如果)(z f 在0z 的洛朗级数中含有（0z z -）的无穷多个负幂项，则孤立奇点0z 称为本质奇点。

与之等价的条件是：

0z 是)(z f 的本质奇点?0

lim (z)z z f →不存在且不等于∞.

在本质奇点的邻域内，复变函数)(z f 具有以下性质：

（1）维尔斯特拉斯定理 若0z z =是)(z f 的本质奇点，则对于任一复数0ω及任给的0ε>，任意的0r >，在区域00z z r <-<中必存在一点z '，使得

εω<-'0)(z f .

推论 在任意一个圆环域00z z r <-<中，必存在序列{}n z ，使得

0lim (z)n z z f ω→=.

（2）皮卡定理 解析函数)(z f 在本质奇点0z z =的任何邻域内，能够取任意一个有限值（复数）无穷次，至多有一个值例外. （四）函数在无穷远点的性态

如果)(z f 在无穷远点z =∞的去心邻域z R <<+∞内解析，则称点∞是)(z f 的孤立奇点.

作变换1

t z

=

（规定把扩充z 平面上的无穷远点z =∞映射为扩充t 平面上的点0t =），把扩充z 平面上的邻域0R z z <-<+∞映射成扩充t 平面的去心邻域

1

0t R

<<

，且有)(z f =1()f t =(t)?.于是，可以把在z R <<+∞上对)(z f 的研究化

为在1

0t R

<<内对(t)?的研究.

（1）如果0t =是(t)?的可去奇点、m 级极点或本质奇点，则z =∞是)(z f 的可去奇点、m 级极点或本质奇点.

（2）若)(z f 在z R <<+∞内可以展开为洛朗级数，那么，在)(z f 的洛朗级数中，如果：

不含正幂项，则z =∞为)(z f 的可去奇点； 含有限个正幂项，则z =∞为)(z f 的极点； 含无穷多正幂项，则z =∞为)(z f 的本质奇点.

三、留数定理及留数计算方法

（一）留数定义 若0z z =是解析函数)(z f 的一个孤立奇点，)(z f 在0z 的去心邻域内解析，C 为0z 邻域内任一简单闭曲线，则称dz z f i

C ?)(21

π为)(z f 在0z 处的留数，记作]),([Re 0z z f s ，即 10)(21

]),([Re -==

?c dz z f i z z f s C

π. 1-c 是)(z f 在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中10)(--z z 项的系数.

（二）留数定理 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点1z ，2z ，…，n z 外

处处解析，C 是D 内包围诸奇点的一条简单闭曲线，则 ∑?==n

k k C

z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π.

利用定理，可以将求沿封闭曲线C 的积分，转化为求被积函数在C 内各孤立奇点处的留数.

（三）留数的计算与极点处留数的计算规则.计算留数最基础的依据是定义 10)(21

]),([Re -==

?c dz z f i

z z f s c π, C 为0z 某去心邻域内一条简单闭曲线，1-c 是以0z 为中心某邻域内洛朗级数

10)(--z z 项的系数.即，可通过求积分dz z f i C

?)(21

π的值或求洛朗级数10)(--z z 项系数来计算留数，所以

若0z 为)(z f 的可去奇点，则0]),([Re 0=z z f s . 若0z 为)(z f 的本质奇点，则10]),([Re -=c z z f s . 若0z 为)(z f 的极点，则有以下规则： 规则I 若0z 是)(z f 的一级极点，有

)()(lim ]),([Re 000

z f z z z z f s z z -=→.

规则II 若0z 是)(z f 的m 级极点，有

)]()[(lim )!1(1]),([Re 011

00z f z z dz

d m z z f s m m m z z --=

--→. 规则III 当)

()

()(z Q z P z f =

，)(z P 和)(z Q 都在0z 解析，如果0)(0≠z P ，0)(0=z Q ，0)(0≠'z Q ，则0z 为)(z f 的一级极点，且有

)

()

(]),([Re 000z Q z P z z f s '=

. 实际计算时，可以用规则，也可以用定义求洛朗级数的1-c ，或计算

?C dz z f i

)(21

π.

（四）若函数)(z f 在z R <<+∞解析，C 为圆环域内绕原点的任何一条正向简

单闭曲线，则称积分

?C dz z f i

)(21

π为)(z f 在∞点的留数，记为 ?--==∞C c dz z f i

z f s 1)(21

]),([Re π. 定理 如果函数)(z f 在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，则)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数总和比等于零.

规则IV ]0,1

)1([Re ]),([Re 2z

z f s z f s ?-=∞.

以上定理和规则提供了计算复变函数沿闭曲线积分的一种方法，这些方法使用恰当的话会使计算更简便.

四、孤立奇点类型的判别及其在留数计算中的应用相关例题

例1 指出下列函数在零点z=0的级： （1）)1(2

2

-z e

z

（2）)6(sin 66

33-+z z z .

解（1）用求导数验证：记

0)0(,)1()(2

2

=-=f e z z f z ，不难计算

,0)0(,)(22)(2

3='++-='f e z z z z f z ,0)0(,2)2104()(2

24=''-++=''f e z z z f z

,0)0(,)24368()(2

35='''++='''f e z z z z f z

,24)0(,)2415611216()()4(24642

=+++=f e z z z z f z ）（ 即 0)0(,0)0()0()0()0()

4(=='''=''='=f

f f f f

故0=z 为函数)1(2

2-z e z 的四阶零点. 由泰勒展式：由展开式 )(!

1

!2112422

+∞<++++

+=z z n z z e n z 可知 )()!

21()1(44

2

22

2

z z z z z e z z ?=++

=- 其中)(!

1

!211)(222+∞<++++

=-z z n z z n 在 ?内解析，10=）

（?.

故0=z 为函数)1(2

2-z e z 的四阶零点. （2）由展开式

)()!

12()

1(!51!31sin 361593

3

+∞<++-+-+-=+z n z z z z z n n

可知)6(sin 6633-+z z z

3

93615936)!12()1(!51!316z z n z z z z n n -+???? ??++-+-+-=+ )(15z z ?=

其中 ???

? ??++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z n n

? 在+∞

0≠=！

）

（?.故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点.

例2 判断下列函数的奇点类型如果是极点，指出它的级数. （1）

22)1(1+z z ； （2）3sin z z ； （3）1

1

23+--z z z ；

（4）z

z )1ln(+； （5）)1)(1(2z e z z π++； （6）1

1

-z e ；

（7）)

1(1

2-z e z ； （8）n

n z z +12（n 为正整数）. 解 （1）令0)1(22=+z z ，得i z z ±==,0。因函数2

2)1(1

)(+=

z z z f 在点0=z 及

i z ±=处无定义，所以i z z ±==,0是此函数的奇点，且都是孤立奇点。

又由i z z ±==,0分别是函数

2222)()()1()

(1

i z i z z z z z f -+=+= 的一级零点，二级零点，故0=z 与i z ±=分别是)(z f 的一级极点与二级极点。

（2）显然0=z 是3

sin )(z z

z f =

的孤立奇点。 由于)(z f 在点0=z 处的洛朗展开式为

,!

5!311sin )(2

23 -+-==z z z z z f +∞<

故0=z 是)(z f 的二级极点。

（3）令0123=+--z z z ，即0)1()1(2=+-z z ，得1±=z 为1

1

)(23+--=z z z z f 的奇点，且均为孤立奇点。

由于1-=z 与1=z 分别是函数

)1()1()

(1

2+-=z z z f 的一级与二级零点，故1-=z 与1=z 分别为)(z f 的一级与二级极点。

（4）显然0=z 是z z z f )1ln()(+=的孤立奇点。且由1)

1ln(lim

0=+→z

z z 知，0=z 是)(z f 的可去奇点。

另外，1-=z 也是z z z f )

1ln()(+=

的奇点，但它不是孤立奇点。因为)1ln(+z 在负实轴（1-=z 的左侧）上处处不解析（即在1-=z 的无论多小的邻域内总有

)(z f 的不解析点）。

（5）令0)1)(1(2=++z e z π，即012=+z 或01=+z e π，得 i k z )12(+=（,2,1,0±±=k …）。 故)

1)(1()(2z e z z

z f π++=

的奇点分别为i k z )12(+=（,2,1,0±±=k …）。

对于i z =，由于i z =是z

e i z z )

1)((π++的零点，且

0])1()1([])1)(([

2≠+++-='++==i z z z i z z e z

i

e z i z e i z ππππ 所以i z =是z

e i z z )1)((π++的一级零点，从而可知i z =是)(1

z f 的二级零点，故i

z =

是)(z f 的二级极点。

对于i z -=，用类似的方法可知，它也是)(z f 的二级极点。 对于i k z )12(+=（,2,1,0±±=k …），由于

i k z z i k z z

e z z

f )12(2)12(])

1)(1([])(1[

+=+='++='π 0])1()1)(11[()12(2≠++++-

=+=i k z z

z e z z

e z πππ 所以i k z )12(+=（，3,2,1,0±±±=k …）都是)

(1

z f 的一级零点，故它们都是)(z f 的一级极点。

（6）显然1

1)(-=z e z f 只有一个奇点1=z 。

由于1

1)(-=z e

z f 在1=z 的去心邻域+∞<-<10z 内的洛朗展开式为

+-++-+-+

==-n

z z n z z e

z f )1(!1)1(!21111)(21

1

其中含有无数多个)1(-z 的负幂项，故1=z 是)(z f 的本质奇点。

（7）令0)1(2=-z e z ，得。),2,1,0(2 ±±==k i k z π因此，)

1(1

)(2-=x e z z f 的

奇点分别是),2,1,0(2 ±±==k i k z π，且是孤立奇点。

对于0=z ，由于它是1)(-=x e z ?的零点，且 01)(0

0≠=='==z z

z e z ?

所以0=z 是1)(-=x e z ?的一级零点，从而可知0=z 是)()

(1

2z z z f ?=的三级零点，故0=z 是)(z f 的三级极点。

（8）令01=+n z ，即1-=n z ，得 n

i

k e

z π)12(+=，1,2,1,0-=n k

故n

n

z z z f +=1)(2共有n 个孤立奇点)1,1,0()12(-==+n k e

z n

i

k π。

由于它们都是函数

)

(1

z f 的零点，且易知 0)12(])(1[

≠+'=n

i k z f e z π 所以它们都是n n

z z z f 21)(1+=的一级零点，因此可知它们都是)(z f 的一级极点。

例 3 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(z f 在

R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）.

分析 由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1≥m ，使0)()()()

1(==='=-a f a f a f m ，0

)()

(≠a f

m （否则独所有m ，0)()

(=a f

m ，由泰勒定理0)(!

)

()(0

)

(≡-=∑

∞

=m m m a z m a f

z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论.

证 （不妨设）a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m ?-=?，其中

R a z z <-在)(?内解析，0)(≠a ?.

因)(z ?在a 处解析，则有0)()(lim ≠=→a z a

z ??，可取)(a ?ε=，存在着0>δ，

当δ<-a z 时，)()()(a a z ?ε??=<-，由三角不等式

)()()(z a a z ????-≥-）（

便知当δ<-a z 时

)()()()(a a z z a ?ε????=<-≤-）（ 即有0)(>z ?，故在a 的δ邻域内使0)(≠z ?. 例4 判断点∞是不是下列函数的奇点：

（1）z tan ； （2）21ln

--z z ； （3）b z a z e z --ln ； （4）)1sin(1

sin z

.

解 （1）z

z

z cos sin tan =

，ππk z k +=2（,1,0±=k …）是z tan 的一级极点.当∞

→k 时，∞→k z ，所以∞是)(z f 的极点的极限点，不是孤立奇点.

（2）函数在复平面除去1=z ，2=z 和连接它们的线段外单值解析.又

0)2

1

(ln

lim =--∞→z z z ，所以∞是)(z f 的可去奇点.

（3）∞=z 是z e 的本质奇点，又是b

z a

z --ln 的可去奇点，所以是)(z f 的本质奇点.

（4）因为)]1

sin 1

[sin(lim z z ∞→不存在，所以∞是)(z f 的本质奇点.

例5 求下列函数)(z f 的有限奇点处的留数：

（1）z z z 212-+；（2）42-1z e z ；（3）2

24)

1(1++z z ；（4）z z cos ；（5）z -11cos ；（6）z z 1sin 2

；（7）

z z sin 1；（8）chz

shz

. 解： （1）因为)2(22-=-z z z z ，所以2.0=z 为)(z f 的一级极点，故依规则I ，有

2

1

21lim 21lim ]0),([Re 020

-

=-+=-+?

=→→z z z z z z z f s z z ， 2

3

)2(12-lim

]0),([Re 0

=-+?=→z z z z z f s z ）（.

(2)0=z 是分母四级零点，分子一级零点，因而是)(z f 的三级极点，于是依规则II ，有

3

4

]1[lim !21]0),([Re 423220-=-=→z e z dz d z f s z z .

(3)因3332)()()1(i z i z z -+=+，所以i z ±=为)(z f 的三级极点，于是，依规则II ，有

i i z z dz d z z i z dz d i z f s i z i z 8

3)(1212lim !21])1(1)[(lim !21]),([Re 5222324

322-=++-=++-=→-→ .

i z z i z dz d i z f s i z 8

3])1(1)[(lim !21]),([Re 324322=+++=--→. (4)),1,0(2

±=+

=k k z k π

π是z cos 一级零点，所以是)(z f 的一级极点，

于是依规则III ，有

)2()1()2

sin(2)(cos ]),([Re 1πππππ

π+-=++

-

='=

-=k k k z z z z f s k z z k k . (5)因为，在+∞<-<10z 内，有 --+--=-4

2)1(!41)1(!21111cos

z z z ， 故 0]1,11

[cos Re 1==--c z

s . (6)因为，在+∞<

)!51

!311(1sin

5322 -+-=z

z z z z z , 故 6

1

]0,1sin [Re 12-==-c z z s .

（7）0=z 是)(z f 二级极点，),2,1( ±±==k k z k π是)(z f 一级极点.依规则II 和规则III ，有

0]sin 1

[lim

]0),([Re 20==→z

z z dz d z f s z ， .,2,1,)1()sin (1]),([Re ±±=-='=

=k k z z k z f s k

z z k ππ （8）),2,1,0()2

1

( ±±=+=k i k z k π为一级极点，依规则III ，有

1)(]),([Re ='==k

z z k chz shz

z z f s .

例6 用多种方法求)

1(2

5)(--=

z z z z f 的留数.

解 1,0==z z 和∞是)(z f 的一级极点. 方法1 用洛朗展开法.

)11

(2)1(5)(25)1(25220 ++++++++-=--=--∑∞=z z z z z z z z z z z n n ，10<

∑∞

=---+=-+?-+-=--0

)1()1()135()1(11)1(3)1(5)1(25n n n z z z z z z z z

])1(11

1

[

3])1()1(1[52 --++-++-+--=z z z z ，+∞<

∑∞=++=-=--=--02223

5)1()25(111)25()1(2n n z

z z z z z z z z z z ，+∞<

3]1),([Re 1==-c z f s ， 5]),([Re 1-=-=∞-c z f s . 方法2 用极限法（规则I ）. 2)1(25lim ]0),([Re 0

=--=→z z z z

z f s z ， 3)

1(2

5)1(lim ]1),([Re 1=---=→z z z z z f s z .

由留数和定理知

5]1),([Re ]0),([Re ]),([Re -=--=∞z f s z f s z f s . 方法3 用柯西公式（积分）.

?==?--=

21212521]0),([Re z z dz z z i z f s π， ?=-=?-=2

1132521]1),([Re z z dz

z z i z f s π. 同极限法，有5]),([Re -=∞z f s .注意，C 内只有一个奇点. 方法4 用求导法（规则III ）. 2])1([25]0),([Re 0='--=

=z z z z z f s ， 3])1([25]1),([Re 1

='--==z z z z z f s .

同极限法，有5]),([Re -=∞z f s .

例7 求下列函数在∞=z 的留数.

（1）2

1

z e ； （2）z z sin cos -； （3）2

32z z

+； （4）12-z e z ；

（5）

)

4()1(1

4-+z z z .

解 （1） +++

=4

21!21112

z z e z ，不含正幂项，因而点∞是可去奇点，所以 0]),([Re =∞z f s

（2） -++--=-!

4!3!21sin cos 4

32z z z z z z ，含无穷多正幂项，所以点∞本

质奇点，有

.0]),([Re =∞z f s

（3）

)9

31(23112)31(123242

22222 -+-=+?=+=+z z z z

z z z z z z ++-=5318

62z z z ，+∞<

所以 2]),([Re -=∞z f s . （4）因为1±=z 是)(z f 的一级极点，且

21lim

]1),([Re 1e z e z f s z z =+=→， 1121

1lim ]1),([Re --→-=-=-e z e z f s z z ， 所以 2

)(21]1),([Re ]1),([Re ]),([Re 11

e e e e z

f s z f s z f s -=--=---=∞--.

（5）)

4()1(1

)(4

-+=

z z z z f 只有三个有限远奇点，40==z z ，是一级极点，1-=z 是四级极点，其留数分别为 4

1

)4()1(1lim

)(lim ]0),([Re 400

-=-+==→→z z z zf z f s z z

4

44

4

541

)1(1lim

)()4(lim ]4),([Re ?=+=-=→→z z z f z z f s z z

])

4(1[lim 61])()1[(lim !31]1),([Re 141'''-='''+=

--→-→z z z f z z f s z z ]141[41lim 611'''--=-→z z z ]6)4(6[lim 241441z

z z +--=

-→ 4

5

41

41?-= 故

]1),([Re ]4),([Re ]0),([Re ]),([Re ----=∞z f s z f s z f s z f s 0=

结论

本文通过对资料，及相关文献的研究分析，总结了解析函数孤立奇点的判别方法并对函数在无穷远处的性态进行分析，并通过对具体实例的研究分析进一步论述了孤立奇点在留数计算中的应用使得孤立奇点的知识更加系统、全面，对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。但本文中的例题并未包含此部分的全部类型，如不能求出极点的级数的类型题，本文并未涉及，遇到此类型提示还需进一步探讨。

参考文献

[1]钟玉泉，复变函数论，第三版，北京：高等教育出版社，2004 [2]钟玉泉，复变函数学习指导书，北京：高等教育出版社，1995

[3]（美）布朗（Brown,.）等著；邓冠铁等译，,复变函数及应用，第七版，北京：机械工业出版社，2005

[4]孙清华 孙昊，复变函数疑难分析与解题方法，第二版，武汉：华中科技大学出版社，2010 [5]谭欣欣 刚家泰，复变函数习题全解全析，大连：大连理工大学出版社，2004

复变函数 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 第一阶 解析函数的罗朗展式 一、双边幂级数 212 00102002 00()()()()() n n n n n c c c z z c c z z c z z c z z z z z z ∞ --=-∞ -=+-+-+-+ ++--∑L L 定理 双边幂级数 () n n n c z z ∞ =-∞ -∑的收敛圆环为:H r z a R <-<，则该级数满足 （1） 在H 内绝对且内闭一致收敛于函数()f z 。（2）函数()f z 在H 内解析 （2） 在H 内可逐项求导 （4）可沿H 内的曲线逐项积分。 定理 在圆环:H r z a R <-<内解析的函数()f z 可展为双边幂级数 () n n n c z z ∞ =-∞ -∑，其中 11() 2() n n f c d i a ζζπζ+Γ= -? （0,1,2,n =±±）Γ为圆环内的圆周a ζρ-=，并且展式是唯一的。 例如 将函数1 ()(1)(2) f z z z = --在以下三个圆环内展成罗朗展式 （1）1z <， （2）12z << （3）21z <<+∞。 解11()21 f z z z = --- （1）10 111111()()(1)2112212 n n n f z z z z z z ∞ +== -=-=-----∑。 （2）1101011111111111()()1212222112n n n n n n n n n z z f z z z z z z z z z ∞∞∞∞ -+===== -=-=-=-----∑∑∑∑。 （3）1002111111121121()212111n n n n n n n n f z z z z z z z z z z z z -∞∞∞ ===-=-=-=-=----∑∑∑。 二、 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式 定义 如果函数()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内解析，点a 是奇点，则称a 是()f z 的孤立奇点。 如果z a =为()f z 的孤立奇点，则必存在正整数R ，使得()f z 在z a =点的去心邻域0z a R <-<内展为罗朗展式。

浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断

浅谈复变函数中有限孤立奇点的类型判断 桂林电子科技大学!王会勇 !摘!要"本文就工科复变函数课程中有关孤立奇点类型判断的教学提出了建议" !关键词"极点!判断!解析 !!留数与留数定理是复变函数课程中的重要内容!同时也是 一个难点"在实际的教学中!笔者发现!很多学生在完成’留数 定理在定积分计算上的应用(部分的学习后!对本章内容感觉 很生涩!并难于下手解题"笔者调查发现!多数同学反映此部 分的难点在于对孤立奇点的类型的判断和计算极点处的留数 两方面"这与现行通用教材%如文献#和文献)&中对该部分的 总结和选取有关"根据实际的教学经验!并参考相关文献!笔 者建议该部分教学内容和顺序简列如下$

简捷报数起卦 佛山科学技术学院!谭伟良 !摘!要"本文介绍一些报数快速起卦的八卦预测方法!文中透露了一些起卦等预测方面的奥妙" !关键词"易!起卦!预测!占卜 #C什么是报数起卦 本文重点介绍报两数起卦$要起卦时!想一下有关要预测的事!然后报或想出两个数!其中小的数除以E余数作外%上&卦!大的数除以E余数作内%下&卦!报或想出的两个数的和除以Q余数作动爻位"报数起卦法还有一数时辰法#两数时辰法和二数多数法" "C报数起卦法的特点和注意事项 报数起卦法不用知方向!纯两数起卦法则连时间也不用知道#不用时辰的运算!相当吸引人"用两数时辰法计算变爻位的方法设定了所问事物的存在值由所报两数和时辰三部分的组成!而纯两数起卦法则设定了所问事物的存在值分别由报出的两数组成"由于各个人的敏感点不一定相同!因工作或体育爱好而习惯腰#身转动的人!可能容易体会到转动身体起卦!%用多方向或方位起卦时!如果提问包含的时间和空间太长#太大或界定不太清楚!则变数很多!身体转很多次)一个多爻变的卦相当于一口气起了多个卦!可根据变爻出现先后分为多个卦&!方向和报数两种方法灵活运用也行"天机不可泄露!就像还没有到站的时候不要下车一样!什么时候出现什么都有一定的规则或惯性或过程!所以知道某些预测结果时!不要轻易泄露!以知而不太知#不太执着等技巧调整自我!以保安全!请参考本人其他文章" )C介绍某些重要原理 %#&设定原理$设起卦的方法为

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词孤立奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和

解析函数的孤立奇点

..解析函数的孤立奇点

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第五章 教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型； 2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理； 3、归纳奇点的所有情况； 4、充分理解关于本性奇点的两大定理。 教学重点：孤立奇点的三种类型 教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。 教学过程： 1、解析函数的孤立奇点： 设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-

复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)

复变函数的孤立奇点及其应用 数学科学学院 数学与应用数学专业 指导教师： xxx 摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是 )(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2 孤立奇点的判别方法 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1 z f s i dz z f n k a z C k ∑?===π.一般 来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的 洛朗级数中1 01---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求 留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数 法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则 )()(lim ]),([Re 000 z f z z z z f s z z -=- 法则2：设) () ()(z Q z P z f = ，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的

解析汇报函数地孤立奇点类型判断及指导应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究容可以对以后学习此部分容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 （一）定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。 如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点，则必存在正数 R ，使得)(z f 在点a 的去心邻域 R a z a K <-<-0:}{ 可展成洛朗级数。

§2解析函数的孤立奇点解读

§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求： 掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点：解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法： 讲授、练习 四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7 §2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型 若为 的孤立奇点，则 在点的某去心邻域 内可以展开成 Laurent 展式 。 定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点： (1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent 展式不含负幂项），则称点a 为)(z f 的可去奇点； (2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为 0,) ()(1 1 )1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级（阶）极点； (3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a 为)(z f 的本性奇

点． 依定义，点0=z 为z z sin 的可去奇点，点0=z 为2e z z 的二级极点，点1=z 为z z -1sin 的本性奇点． 2. 可去奇点 定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： (1) 在点 的主要部分为0； (2) (3) 在点 的某去心邻域内有界。 证 由于 且 在 内解析，从而连续，故 。 由于 ,故 取 ，则 , 即得。 设 ， 考虑 在 的 主要部分 则

复变函数论 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 §1 解析函数的洛朗展式 教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的证明. 课时：2学时 定义5.1 级数 1 01()()()n n n n n C C C z a C C z a z a z a +∞ --=-∞ -=???+ +???+++-+???--∑(5.1) 称洛朗()Laurent 级数，n C 称为(4.22)的系数. 对于点z ，如果级数 01() ()()n n n n n C z a C C z a C z a +∞ =-∞ -=+-+???+-+???∑ (5.2) 收敛于1()f x ，且级数 1 ()()n n n n n C C C z a z a z a +∞ --=-∞ -=???+ +???+ --∑ (5.3) 收敛于2()f x ，则称级数(4.22)在 点z 收敛，其和函数为1()f x +2()f x 当0n C -=(1,2,)n =???时，(5.1)即变为幂级数. 类似于幂级数，我们有 定理5.1 设()f z 在圆环12:D R z a R <-<12(0)R R ≤<<+∞内解析，则在D 内 ()()n n n f z C z a +∞ =-∞ = - ∑ (5.4) 其中1 1() 2()n n f z C dz i z a π+Γ= -? (0,1, )n =±??? (5.5) :z a ρΓ-=，且12R R ρ<<，系数n C 被()f z 及D 唯一确定. (5.4)称为()f z 的洛朗展式. 证明：对:z H ?∈作1:1z a ρΓ-=，2:2z a ρΓ-=，（其中12r R ρρ<<<） 且使z D ∈：12z a ρρ<-<，（如图5.1）由柯西积分公式，有

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内，可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内 则不能，例如函数 在点，现在我们考虑挖去了奇点的圆 环 ，并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数——Laurent （罗朗）级数。 它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。 Taylor级数与Laurent级数都是研究解析函数的有力工具。 第一节解析函数的罗朗展式 教学课题：第一节解析函数的洛朗展式 教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质； 2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系； 3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数 教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边幂级数 在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数 ... ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 + - + + - + - + - - - - - - n n n z z z z z z β β β β 其中,... ,..., , , 1 0n z - - β β β是复常数。此级数可以看成变量 1 z z- 的幂级数；设这幂级数的收敛半

径是R 。如果0R <<+∞，那么不难看出，此级数在R z z 1 ||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在R z z 1 ||0< -内发散。同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在0z z =没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在 0||)0(1 ||010>-+∞<<=> -z z R R R z z 及内收敛于一个解析函数。 2、解析函数的洛朗展式: 更一般地，考虑级数 ,)(0 ∑+∞ -∞ =-n n n z z β 这里0,(0,1,2,...)n z n β=±± 是复常数。当级数 ,)()(1 00 0∑∑-∞ -=+∞ =--n n n n n n z z z z ββ 及 都收敛时，我们说原级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0 β收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。 设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。又设21R R <，那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0β在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解 析函数。我们称级数∑+∞ -∞ =-n n n z z ) (0 β为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析 函数，我们也有 定理5.1 （洛朗定理）设函数f (z )在圆环：)0(||:21201+∞≤<≤<-

复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质

万方数据

万方数据

万方数据

复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质 作者：何彩香， 张晓玲， HE Caixiang， ZHANG Xiaoling 作者单位：大理学院数学与计算机学院,云南大理,671003 刊名： 大理学院学报 英文刊名：JOURNAL OF DALI UNIVERSITY 年，卷(期)：2010，09(4) 被引用次数：0次 参考文献(12条) 1.钟玉泉复变函数论 2003 2.西安交通大学高等数学教研室复变函数 2005 3.何彩香复函数极点的运算性质 2004(5) 4.张元林积分变换 2006 5.何彩香.姚恩瑜.葛浩带有宵禁限制的动态最短费用路问题 2008(4) 6.何彩香.姚恩瑜带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的讨论 2007(4) 7.何彩香.姜秀燕.施冰有宵禁限制的时间最短路 2006(6) 8.何彩香.胡竞湘.李汝烯有宵禁限制的成本最短路问题 2006(3) 9.顾作林.闫心丽.方影高等数学 2008 10.毛宗秀.姚金华高等数学 2005 11.何彩香.寸仙娥带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问题的讨论 2008(8) 12.Cai-Xiang He.Shao-Ming Wang The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 2008(2) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/2d10424731.html,/Periodical_dlxyxb201004003.aspx 授权使用：中国科学技术大学(zgkxjsdx)，授权号：8e5f20b4-183e-47d1-8915-9df800c027a2 下载时间：2010年9月21日

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 （一）定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。

复变函数第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点知识点总结

第五章解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点 §1.解析函数的洛朗展式 1.双边幂级数 2.（定理5.1）：收敛圆环H， （1）H内绝对收敛且内闭一致收敛于f(z)=f1+f2 （2）函数f在H内解析 （3）f在H内可逐项求导p次 （4）可沿H内曲线C逐项积分 注：对应于定理4.13 3.（定理5.2 洛朗定理）：在圆环内解析的函数f必可展成双边幂级数，其中 c n=1fξ n+1 Γ dξ,(n=0,±1,±2…) Γ为圆周|ξ?a|=ρ, f和圆环唯一决定系数c n 4.泰勒级数是洛朗级数的特殊情形 5.孤立奇点（奇点：不解析点） 注：多值性孤立奇点即支点 6.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得f(z)在点a的去心邻域K-{a}：0<|z-a|

则在单位圆|z|<1内恒有 f z≤z， 且有 f′0≤1 如果上式等号成立，或在圆|z|<1内一点z0≠0处前一式等号成立，则（当且仅当） f z=e iαz（z<1） 其中α是一实常数。 5.（定理5.4）：m阶极点的特征（三点等价） （1）主要部分为有限项（系数c?m≠0） （2）f(z)在点a的某去心邻域内能表示成 f z=λ(z) m 其中λ(z)在点a的邻域内解析，且λ(a)≠0; （3）g z=1 f(z) 以点a为m阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令g(a)=0） 注：f(z)以a为m阶极点?1 f(z) 以点a为m阶零点 6.（定理5.5）：函数f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是 lim z→a f z=∞ 7.（定理5.6）：函数f(z)的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是 lim z→a f z≠ b（有限数） ∞， 即lim z→a f(z)不存在 8.（定理5.7）：若z=a为函数f(z)之一本质奇点，且在点a的充分小去心邻域内部委零，则z=a亦必为1 f(z) 的本质奇点。 9.（定理5.8 皮卡（Picard）定理）:本质奇点的无论怎样小的去心邻域内，函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的） 注：由本质奇点的稠密性，本质奇点仍为倒数的本质奇点 10.（定理5.9 皮卡（大）定理）：如果a为函数的本质奇点，则对于每一个A≠∞，除掉可能一个值A=A0外，必有趋于a的无线点列{z n}，使f(z n)=A. §3.解析函数在无穷远点的性质 分别对应于上节定理5.3-5.6

孤立奇点的类型及判断方1

孤立奇点的类型及其判定方法 摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇 点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用. 关键词: 可去奇点 极点 本质奇点 1.引言 复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便. 2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义 定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点. 2.2 孤立奇点的类型和判断 以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数 )(z f = ∑ ∞ -∞ =-n n n a z c ) (. 我们称非负幂部分∑∞ =-0 )(n n n a z c 为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞ =---1 )(n n n a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上. 定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

解析函数的孤立奇点类型判断及应用 摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着 重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。 关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算 前言 在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。 在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。 本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。 正文 一、孤立奇点的定义及类型 （一）定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-0:}{(即除去圆心a 的某圆)内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点。 如果a 为函数)(z f 的一个孤立奇点，则必存在正数 R ，使得)(z f 在点a 的

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点综述

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 教学重点： 解析函数的洛朗展式与孤立点 教学难点： 解析函数的洛朗展式与孤立奇点的分类 教学基本要求：掌握洛朗定理、解析函数孤立奇点的三种类型和整函数与亚纯函数的概念；能熟练求一个解析函数在其孤立奇点的洛朗展式；能熟练判断各种奇点的类型． §1解析函数的罗朗展式 1 双边幂级数 形如 ? ()()()()2 01212 2 n n n c z a c c z a c z a c c z a z a ∞ =-∞ ---=+-+-+ + ++-- ∑ 的级数称为双边幂级数 ? 正则部分是幂级数，故收敛圆 () 0z a R R -<≤≤+∞ 对于主要部分 () 1 n n n c z a ∞ --=-∑， 可作代换 ()1 z a ξ= -成为一幂级数212C C ξξ--++ 它 的收敛区域为 1 r ξ< ，z a r -> 因此当r R <时，两者有公共的收敛区域即圆环： r z a R <-<　.在此圆环内有 ()()() 12n n n f z f z c z a ∞ =-∞ += -∑. 定理5.1 设双边幂级数() n n n c z a ∞ =-∞ -∑ 的收敛圆环为 () :0,H r z a R r R <-<≥≤+∞ 则（1）（5.1）在H 内绝对收敛且内闭一致收敛于 ()()() 12f z f z f z =+ （2）() f z 在H 内解析 （3） 级数在H 内可逐项求导任意次. 2、解析函数的罗朗展式 定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中 ()() () 11 2012n n f c d i a n ξξπξ+Γ= -=±±? ，，， 且展式唯一. 定义5.1 （5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数. 注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形. 例5.1 将函数 ()()()1 12f z z z = --在下列三个区域内