三次样条插值与多项式拟合的关系

三次样条插值与多项式拟合的关系

《三次样条插值与多项式拟合的关系》

一、简介

在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。三次样条

插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。

二、三次样条插值的原理与方法

三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三

次插值多项式的方法。它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。这样可以保证整个插值

曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接

点处有相同的函数值和导数值。三次样条插值不仅可以实现较高的插

值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。

三、多项式拟合的原理与方法

多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。常见的拟合

方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。

四、三次样条插值与多项式拟合的关系

在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。

五、个人观点和理解

在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。

六、总结与回顾

三次样条插值和多项式拟合是数学建模和数据分析中常见的方法，它们都有着自己的特点和优势。在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的技术，并且深入理解它们的原理和关系，才能更好地处理和分析数据。希望本文能够对读者有所帮助，更好地理解三次样条插值和多项式拟合的关系。

以上是我为您撰写的有关“三次样条插值与多项式拟合的关系”的文章，希望能够帮助您更好地理解这个主题。如果您有其他文章需求，还请告诉我，我会继续尽力为您撰写高质量的中文文章。七、应用领域

三次样条插值和多项式拟合在不同的领域有着广泛的应用。在工程领域，三次样条插值常常用于曲线拟合、图像处理和数值仿真等方面。在汽车制造领域，可以利用三次样条插值来对汽车的曲线进行拟合，从而实现车身造型的设计和优化。而在电子设备制造领域，三次样条插值也可以用于对图像进行处理和重建，提高图像的清晰度和质量。而多项式拟合则常用于数据的趋势分析和预测。在市场营销领域，可以利用多项式拟合来对销售数据进行分析，预测产品的销售趋势和发展方向。

八、优缺点比较

三次样条插值和多项式拟合各有其优缺点。三次样条插值能够保证插值曲线在每个小区间内都是光滑的，并且能够避免龙格现象和振荡问题。但是在数据量较大的情况下，由于需要构造大量的三次插值多项式，计算量会比较大。而多项式拟合则可以通过最小二乘法来得到最佳拟合多项式，计算量相对较小。但是在插值区间较大的情况下，多项式拟合可能会出现过拟合的问题，导致对数据的拟合不够精确。在实际应用中需要综合考虑数据量、插值区间和精度要求等因素，选择合适的方法来进行插值和拟合。

九、发展趋势

随着科学技术的不断发展，三次样条插值和多项式拟合的方法也在不断优化和完善。针对大数据处理的需求，一些新的插值和拟合算法不断涌现，以提高插值和拟合的计算效率和精度。在人工智能和机器学习领域，也在探索如何结合插值和拟合技术，从大量的数据中挖掘出隐藏的规律和趋势。未来，三次样条插值和多项式拟合的应用领域还将不断扩展，为更多领域的数据处理提供更加精确和有效的方法。

十、结语

三次样条插值和多项式拟合作为数据处理的重要方法，在数学建模、数据分析和科学研究中有着广泛的应用。通过深入理解它们的原理和

方法，我们可以更好地选择合适的技术来处理不同类型的数据，提高数据处理的精度和效率。希望本文能够帮助读者更好地理解三次样条插值和多项式拟合的关系，并更加灵活地应用于实际工作中。祝愿读者在数据处理和分析方面取得更好的成绩和进步。

三次样条插值与多项式拟合的关系

三次样条插值与多项式拟合的关系 《三次样条插值与多项式拟合的关系》 一、简介 在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。三次样条 插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。 二、三次样条插值的原理与方法 三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三 次插值多项式的方法。它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。这样可以保证整个插值 曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接 点处有相同的函数值和导数值。三次样条插值不仅可以实现较高的插 值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。 三、多项式拟合的原理与方法 多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。常见的拟合

方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。 四、三次样条插值与多项式拟合的关系 在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。 五、个人观点和理解 在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。

三次样条插值法公式

三次样条插值法公式 在实际应用中，我们经常需要根据已知数据点的函数值，来估计其他位置的函数值。例如，在地理信息系统中，我们可能需要根据已知的地理坐标点，来估计其他位置的高程值。在这种情况下，我们可以使用三次样条插值法来实现。 三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内使用一个三次多项式来逼近原函数。具体而言，我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。然后，我们在每个小区间内构造一个三次多项式，使得这个多项式在该区间内与原函数的函数值和导数值都相等。 为了简化计算，我们通常使用自然边界条件来确定每个小区间的三次多项式的边界条件。自然边界条件要求在插值区间的两个端点处，三次多项式的二阶导数为零。这样一来，我们只需要求解一个关于未知系数的线性方程组，就可以得到所有小区间的三次多项式的系数。 具体而言，假设我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。我们用S(x)表示在插值区间上的样条函数，用S''(x)表示样条函数的二阶导数。我们可以得到以下线性方程组： h1*S''(a) + 2*(h1+h2)*S''(a+h1) + h2*S''(a+2h1) = 6/h1*(y2-

y1) h2*S''(a+h1) + 2*(h2+h3)*S''(a+2h1) + h3*S''(a+3h1) = 6/h2*(y3-y2) ... h(n-1)*S''(a+(n-2)h1) + 2*(h(n-1)+hn)*S''(a+(n-1)h1) + hn*S''(a+nh1) = 6/hn*(yn-y(n-1)) 其中，y1, y2, ..., yn分别表示插值区间上的已知函数值。通过求解这个线性方程组，我们可以得到S''(a), S''(a+h1), ..., S''(a+nh1)的值。然后，我们可以通过插值条件求解出S(x)的系数，从而得到整个样条函数。 三次样条插值法具有很好的平滑性和局部逼近性。由于每个小区间使用的是一个三次多项式，这样的插值函数在插值区间内是连续可导的。因此，三次样条插值法可以很好地逼近原函数，并且在插值点附近的误差较小。 除了插值外，三次样条插值法还可以用于数据的平滑和曲线拟合。通过调整插值区间的个数和插值点的位置，我们可以得到不同程度的平滑效果。此外，三次样条插值法也可以用于曲线的拟合，即通过已知数据点，构造出一条平滑的曲线，以尽可能地拟合这些数据点。 在实际应用中，三次样条插值法广泛用于地理信息系统、图像处理、

三次样条插值实验报告

三次样条插值实验报告 以下是一份关于三次样条插值实验的报告。 一、实验目的 本实验的目的是通过使用三次样条插值方法，在给定的离散点上拟合出一个平滑的曲线，并通过对比与实际曲线的偏差来评估插值结果的准确性。 二、实验原理 三次样条插值是一种在小区间上使用多项式拟合的方法。它通过使用三次多项式拟合每个小区间，并满足一定的条件，使得整个插值曲线在给定的离散点上平滑连续。具体来说，三次样条插值要求插值曲线在每个小区间上满足三个条件：函数值相等、一阶导数相等和二阶导数相等。 三、实验步骤 2.计算插值曲线的系数：使用三次样条插值的公式，根据离散点的数据计算出每个小区间上的拟合多项式的系数。 3.构建插值曲线：将每个小区间上的拟合多项式组合在一起，形成整个插值曲线。根据小区间上的系数和数值进行插值计算，得到插值曲线上的点坐标。 4.绘制插值曲线：根据计算得到的插值点坐标，使用绘图工具将插值曲线绘制在坐标轴上。 5.评估插值结果：通过对比插值曲线与实际曲线的偏差，评估插值结果的准确性。

四、实验结果 在本次实验中，我们使用三次样条插值方法来拟合给定的离散点。通 过计算得到的插值曲线，我们可以看到其与实际曲线之间的偏差相对较小，插值曲线在给定的离散点上表现出了较好的平滑性和连续性。 五、实验讨论 在实验过程中，我们注意到在一些情况下，三次样条插值可能会出现 插值曲线的振荡问题，即在一些小区间上插值结果可能会出现较大的误差。这可能是由于离散点的取样不均匀或数据噪声的存在所导致的。为了减少 这种问题的影响，可以采用其他插值方法或对数据进行平滑处理。 六、实验总结 通过本次实验，我们学习了使用三次样条插值方法来进行曲线拟合的 基本原理和步骤。实验结果表明，三次样条插值能够在给定的离散点上得 到一个平滑的曲线，并且与实际曲线的偏差较小。然而，在实际应用中需 要注意插值方法的选择，并根据具体情况对数据进行预处理，以确保插值 结果的准确性和可靠性。

高精度三次样条插值算法及其在数据拟合中的应用研究

高精度三次样条插值算法及其在数据拟合中 的应用研究 在现代社会，大量的数据被生成和存储。如何从这些数据中提取有效信息是一 项极具挑战性的任务。其中一项常见的任务是对数据进行拟合。在拟合数据的过程中，一个常见的策略是使用插值算法。插值算法是一种数值分析的方法，通过已知数据来推断其他未知数据的值。 三次样条插值是一种常见的插值算法。这种算法利用三次多项式来逼近原始数据，并通过一系列的约束条件来确保插值的平滑性和连续性。在数据拟合中，三次样条插值算法被广泛应用。 三次样条插值算法有很多种不同的变体。其中一种是高精度三次样条插值算法。这种算法由于对三次多项式系数的精度要求更高，所以相对于普通的三次样条插值，其计算复杂度和内存使用量都更高。但同时，它也能提供更高的插值精度、更优秀的数值稳定性和更好的自适应性能。 高精度三次样条插值算法涉及到的主要问题是三次多项式系数的确定和插值节 点的选择。最常用的确定系数的方法是通过求解一个三对角线系统，它的系数矩阵是一个对角线主副对角线元素都为正的五对角矩阵。插值节点的选择有多种方法，包括等距节点、Chebyshev节点、自适应节点等。其中，自适应节点是一种比较新 颖的方法，它通过对插值区间内函数的局部变化情况进行估计，来自适应的选择插值节点，既能保证插值的精度，又能提高计算效率。 高精度三次样条插值算法在数据拟合中的应用具有广泛的意义。通过选择合适 的插值节点和确定多项式系数，高精度三次样条插值算法可以精确地拟合各种类型的数据。同时，它也适用于除常规数据外的其他非常规数据。例如，对于噪声数据，高精度三次样条插值算法通过其平滑插值的特性，可以有效地滤除噪声数据，并恢复真实的数据趋势。

多项式插值和三次样条插值

已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量,用多项式插值和三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线的图形, 试计算并比较在不同方法下的2005 思想算法：多项式插值采用牛顿多项式插值法，该算法可以克服多项式插值和拉格朗日插值法的缺点，即：当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的，必须全部重新计算。而牛顿插值法可以克服这一缺点。 三次样条插值不仅在节点增多使子区间减少时，误差随之减少，也使曲线具有足够的光滑性。 Matlab程序如下 程序一：牛顿插值法 源程序名称Newton.m clear all; x=0:10:110; y=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.50 5,251.525,291.854,325.433]; n=length(x);syms t; for k=2:n for i=n:-1:k y(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-k+1)); end; end; N=y(1); for i=2:n W=1; for j=1:(i-1) W=W*(t-x(j));

end; N=N+y(i)*W; end; N=expand(N); ezplot(N,[0,120]); hold on; format short; Q=[]; for i=0:120 Q(i+1)=subs(N,t,i); end; T=0:120; plot(T,Q,'^'); title('产量随时间变化曲线'); xlabel('T/时间'); ylabel('Q/产量'); N105=subs(N,t,105); N115=subs(N,t,115); 程序二：三次样条插值 源程序名称SPLINEM.m clear all; x=0:10:110; y=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.50 5,251.525,291.854,325.433]; n=length(x);syms t; for i=1:n p(i)=y(i); end; for k=2:3 for i=n:-1:k p(i)=(p(i)-p(i-1))/(x(i)-x(i+1-k)); end; end; h(2)=x(2)-x(1); for i=2:(n-1) h(i+1)=x(i+1)-x(i); c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); a(i)=1-c(i); b(i)=2; p(i)=6*p(i+1); end; p(1)=0;p(n)=0;c(1)=0;b(1)=2;b(n)=2;a(n)=0;

基于多项式插值与三次样条插值曲线拟合的比较

《数值分析》课外课堂大作业 论文题目：基于多项式插值与三次样条插值曲线拟合的比较姓名： 学号： 学院： 专业方向: 联系方式：（QQ号） （手机号） 导师姓名： 完成人（亲笔）签字

基于多项式插值与三次样条插值曲线拟合的比较 摘要：在数值计算中经常要计算函数，当函数只在有限点集上给定函数值要包含改点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这就涉及在已知区间上用简单函数逼近已知复杂函数问题。本文为了解决这类问题就采用多项式插值与三次样条插值两种插值法并利用MATLAB数值分析软件进行编程，实现相应数据的曲线拟合以获得最佳曲线模型与相应数据的曲线拟合，选出最优的插值法以解决所给数据的曲线拟合问题。 关键词：函数；多项式插值；三次样条插值；曲线拟合；MATLAB Abstract:In numerical analysis ,the function value is often calculated .when the function is only given a function point set ,the simple expression of the function is given by the interval .which involves the use of a simple function to approximate the known complex function .in order to solve this problem ,we use polynomial interpolation and cubic spline interpolation tow kind of interpolation method and use MATLAB numerical analysis software to program ,to achieve the curve fitting of the corresponding date to obtain the best cure fitting ,and to choose the best interpolation method to solve the problem of curve fitting to the date. Keyword: Function ; Polynomial interpolation ; Cubic spline interpolation ; Fitting of a curve ; MATLAB

三次样条拟合算法

三次样条拟合算法 前言 三次样条拟合算法是在数值分析中常用的一种插值方法，用于在给定一组数据点的情况下，通过构建一条光滑的曲线来拟合这些数据点。三次样条函数具有一阶和二阶导数连续的特点，因此能够更好地反映数据的特征，并且拟合出的曲线也比较平滑。在本文中，我们将详细介绍三次样条拟合算法的原理和实现方法。 三次样条函数的定义 三次样条函数是由多个三次多项式组成的复合函数。在给定一组数据点(x i,y i)的情况下，我们希望构造一条曲线S(x)来拟合这些数据点。假设数据点的个数为n，则 曲线S(x)由n−1段三次多项式组成，每一段三次多项式的表达式为： S i(x)=a i+b i(x−x i)+c i(x−x i)2+d i(x−x i)3 其中，x i和x i+1是相邻数据点的横坐标，a i、b i、c i和d i是需要求解的系数。 插值条件 为了决定每一段三次多项式的系数，我们需要满足以下插值条件： 1. 插值条件一：S i(x i)=y i，即曲线通过给定的数据点。 2. 插值条件二：S i(x i+1)=y i+1，即曲 线通过相邻数据点。 3. 插值条件三：S′i(x i+1)=S′i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据 点处一阶导数连续。 4. 插值条件四：S″i(x i+1)=S″i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据点处二阶导数连续。其中，S′i(x)和S″i(x)分别表示曲线S i(x)的一阶和二阶导数。矩阵方程的求解 通过将插值条件转化为矩阵方程，可以求解出每一段三次多项式的系数。令ℎi= x i+1−x i，则有： 1. a i=y i，由插值条件一可得。 2. c i=1 3ℎi (y i+1−y i)− 1 6ℎi(b i+1+2b i)，由插值条件二和插值条件三可得。 3. b i=y i+1−y i ℎi − ℎi 6(2c i+c i+1)，由插值条件二和插值条件三可得。 4. d i=c i+1−c i 6ℎi ，由插值条件四 可得。

插值法和拟合实验报告(数值计算)

插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作 出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11 )(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数) ,(i i y x 和 拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验

∏ ∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验 四、 实验内容

三次样条拟合范例

1设计目的、要求 对龙格函数2 2511 )(x x f += 在区间[-1,1]上取10=n 的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出)(x f 及各逼近函数的图形，比较各结果。 2设计原理 （1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项 式，即： 01,,...,n x x x 表示待插值函数的1n +个节点， ()()n n j k k j j k L x y l x y ===∑，其中0,1,...,j n =； 011011()...()()...() ()()...()...()...() k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----= ---- （2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条 件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法： 00'()'S x f = '()'n n S x f = （3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是 利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n= 10，故有11个点，以这11个点的x 和 y 值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为 23432xi i i i p a a x a x ax =+++，该拟合曲线只需2[]xi i p y -∑的值最小即可。 3采用软件、设备 计算机、matlab 软件

4设计内容 1、多项式插值： 在区间[]1,1-上取10=n 的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab 软件建立m 函数，画出其图形。 在matlab 中建立一个lagrange.m 文件，里面代码如下： %lagrange 函数 function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 建立一个polynomial.m 文件，用于多项式插值的实现，代码如下： %lagrange 插值 x=[-1:0.2:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.02:1]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25*x0.^2); plot(x0,y0,'--r') %插值曲线 hold on %原曲线 plot(x0,y1,'-b') 运行duoxiangshi.m 文件，得到如下图形：

三次样条拟合范例

1设计目的、要求 对龙格函数22511)(x x f +=在区间[-1,1]上取10=n 的等距节点,分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合,画出)(x f 及各逼近函数的图形,比较各结果。 2设计原理 （1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法,其主要原理是拉格朗日多项式, 即： 01,,...,n x x x 表示待插值函数的1n +个节点, 0()()n n j k k j j k L x y l x y ===∑,其中0,1,...,j n =； （2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法,在本例中,我们选择第一边界条件 下的样条插值,即两端一阶导数已知的插值方法： 〔3三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利 用已知的数据得出一条直线或者曲线,使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中,n=10,故有11个点,以这11个点的x 和y 值为已知数据,进行三次多项式拟合,设该多项式为23432xi i i i p a a x a x ax =+++,该拟合曲线只需2[]xi i p y -∑的值最小即可。 3采用软件、设备 计算机、matlab 软件 4设计内容 1、 多项式插值： 在区间[]1,1-上取10=n 的等距节点,带入拉格朗日插值多项式中,求出各个节点的插值,并利用matlab 软件建立m 函数,画出其图形。 在matlab 中建立一个lagrange.m 文件,里面代码如下：

%lagrange 函数 function y=lagrange n=length;m=length; for i=1:m z=x; s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*>/-x0>; end end s=p*y0+s; end y=s; end 建立一个polynomial.m文件,用于多项式插值的实现,代码如下：%lagrange插值 x=[-1:0.2:1]; y=1./<1+25*x.^2>; x0=[-1:0.02:1];

东南大学数值分析第四章三次样条插值

第四章 多项式插值与函数最佳逼近 ——曲线拟合之3次样条插值 *****（学号） *****（姓名） 上机题目要求见教材P195,37题。 一、算法原理 题目要求编写第一边界条件的3次样条插值函数的通用程序，同时根据汽车门曲线值点构造三次紧压样条曲线函数()S x 。其基本原理如下 定义 设0{(,)}N k k k x y =有N+1个点， 其中01N a x x x b =<<<<。如果存在N 个 三次多项式()k S x ，系数为,0,1,2,3,,k k k k S S S S 和满足如下性质： 23,0,1,2,3()()()()k k k k k k k k S x s s x x s x x s x x =+-+-+- (1) 111''111''''111(), 0,1,...,()(), 0,1,...,2()(), 0,1,...,2()(), 0,1,...,2 k k k k k k k k k k k k k k S x y for k N S x S x for k N S x S x for k N S x S x for k N +++++++++====-==-==- (2) 则成()S x 为三次样条函数。 现证明其存在： 由于()S x 是分段三次多项式，其二阶导数是在区间0[,]N x x 内是分段线性的。根据线性拉格朗日插值"()"()k S x S x =可以表示为： 11 111"()"() "()k k k k k k k k k x x x x S x S x S x x x x x +++++--=+-- (3) 用111(),()k k k k k k k m S x m S x x x +++''===-和h 代入上式，得 ()()11"()k k k k k k k m m S x x x x x h h ++= -+- (4) 将上式积分两次，会引入两个积分常数，可得到如下形式： ()()33 111()()()66k k k k k k k k k k k m m S x x x x x p x x q x x h h +++= -+-+-+- (5)

插值与拟合试验

实验：插值与拟合 实验目的 1.掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值的结果进行初步的分析。 2.掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。 3.通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 实验内容 选择一些函数，在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，再作比较，由此作初步分析。 y=exp(-x2),-2≤x≤2. 取n=5,m=80用MATLAB计算插值数据比较如下： y是精确值，y1是分段线性值，y2是三次样条法插值，y3是拉格朗日插值由于对称性，只给出x>0的值 程序： function y=lagr(x0,y0,x) %函数输入：n个节点以数组x0，y0输入，m个插值点以数组x输入? %函数输出：输出数组y为m个插值?

n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 结果： x0=-2:0.5:2; y0=exp(-1*x0.^2); x=-2:0.05:2 y=exp(-1*x.^2); y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x);