三次样条插值法原理

三次样条插值法原理是利用插值函数在每个子区间上都是三次多项式，且保证在每个区间上插值函数是连续的、一阶导数连续的、二阶导数连续的，从而得到一条平滑的函数曲线。

三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于处理离散的数据点，通过插值得到连续的函数曲线。

matlab三次样条插值例题解析

文章标题：深度解析Matlab三次样条插值 1. 前言 在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。 2. 三次样条插值概述 三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。 3. 三次样条插值的基本原理 在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。 4. Matlab中的三次样条插值实现 在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。spline函数

也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。 5. 三次样条插值的适用范围和局限性 虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。 6. 个人观点和总结 通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。 通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。7. 三次样条插值的优缺点 三次样条插值方法作为一种常用的插值技术，在Matlab中有着广泛的应用。它具有很多优点，比如可以在数据点不连续、噪音较大或数据点密度不均匀的情况下进行插值，同时插值结果平滑且具有高度的局部逼近性。另外，三次样条插值还可以在使用较少的插值点情况下

三次样条插值与多项式拟合的关系

三次样条插值与多项式拟合的关系 《三次样条插值与多项式拟合的关系》 一、简介 在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。三次样条 插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。 二、三次样条插值的原理与方法 三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三 次插值多项式的方法。它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。这样可以保证整个插值 曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接 点处有相同的函数值和导数值。三次样条插值不仅可以实现较高的插 值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。 三、多项式拟合的原理与方法 多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。常见的拟合

方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。 四、三次样条插值与多项式拟合的关系 在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。 五、个人观点和理解 在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。

三次样条插值法公式

三次样条插值法公式 在实际应用中，我们经常需要根据已知数据点的函数值，来估计其他位置的函数值。例如，在地理信息系统中，我们可能需要根据已知的地理坐标点，来估计其他位置的高程值。在这种情况下，我们可以使用三次样条插值法来实现。 三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内使用一个三次多项式来逼近原函数。具体而言，我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。然后，我们在每个小区间内构造一个三次多项式，使得这个多项式在该区间内与原函数的函数值和导数值都相等。 为了简化计算，我们通常使用自然边界条件来确定每个小区间的三次多项式的边界条件。自然边界条件要求在插值区间的两个端点处，三次多项式的二阶导数为零。这样一来，我们只需要求解一个关于未知系数的线性方程组，就可以得到所有小区间的三次多项式的系数。 具体而言，假设我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。我们用S(x)表示在插值区间上的样条函数，用S''(x)表示样条函数的二阶导数。我们可以得到以下线性方程组： h1*S''(a) + 2*(h1+h2)*S''(a+h1) + h2*S''(a+2h1) = 6/h1*(y2-

y1) h2*S''(a+h1) + 2*(h2+h3)*S''(a+2h1) + h3*S''(a+3h1) = 6/h2*(y3-y2) ... h(n-1)*S''(a+(n-2)h1) + 2*(h(n-1)+hn)*S''(a+(n-1)h1) + hn*S''(a+nh1) = 6/hn*(yn-y(n-1)) 其中，y1, y2, ..., yn分别表示插值区间上的已知函数值。通过求解这个线性方程组，我们可以得到S''(a), S''(a+h1), ..., S''(a+nh1)的值。然后，我们可以通过插值条件求解出S(x)的系数，从而得到整个样条函数。 三次样条插值法具有很好的平滑性和局部逼近性。由于每个小区间使用的是一个三次多项式，这样的插值函数在插值区间内是连续可导的。因此，三次样条插值法可以很好地逼近原函数，并且在插值点附近的误差较小。 除了插值外，三次样条插值法还可以用于数据的平滑和曲线拟合。通过调整插值区间的个数和插值点的位置，我们可以得到不同程度的平滑效果。此外，三次样条插值法也可以用于曲线的拟合，即通过已知数据点，构造出一条平滑的曲线，以尽可能地拟合这些数据点。 在实际应用中，三次样条插值法广泛用于地理信息系统、图像处理、

三次样条插值实验报告

三次样条插值实验报告 以下是一份关于三次样条插值实验的报告。 一、实验目的 本实验的目的是通过使用三次样条插值方法，在给定的离散点上拟合出一个平滑的曲线，并通过对比与实际曲线的偏差来评估插值结果的准确性。 二、实验原理 三次样条插值是一种在小区间上使用多项式拟合的方法。它通过使用三次多项式拟合每个小区间，并满足一定的条件，使得整个插值曲线在给定的离散点上平滑连续。具体来说，三次样条插值要求插值曲线在每个小区间上满足三个条件：函数值相等、一阶导数相等和二阶导数相等。 三、实验步骤 2.计算插值曲线的系数：使用三次样条插值的公式，根据离散点的数据计算出每个小区间上的拟合多项式的系数。 3.构建插值曲线：将每个小区间上的拟合多项式组合在一起，形成整个插值曲线。根据小区间上的系数和数值进行插值计算，得到插值曲线上的点坐标。 4.绘制插值曲线：根据计算得到的插值点坐标，使用绘图工具将插值曲线绘制在坐标轴上。 5.评估插值结果：通过对比插值曲线与实际曲线的偏差，评估插值结果的准确性。

四、实验结果 在本次实验中，我们使用三次样条插值方法来拟合给定的离散点。通 过计算得到的插值曲线，我们可以看到其与实际曲线之间的偏差相对较小，插值曲线在给定的离散点上表现出了较好的平滑性和连续性。 五、实验讨论 在实验过程中，我们注意到在一些情况下，三次样条插值可能会出现 插值曲线的振荡问题，即在一些小区间上插值结果可能会出现较大的误差。这可能是由于离散点的取样不均匀或数据噪声的存在所导致的。为了减少 这种问题的影响，可以采用其他插值方法或对数据进行平滑处理。 六、实验总结 通过本次实验，我们学习了使用三次样条插值方法来进行曲线拟合的 基本原理和步骤。实验结果表明，三次样条插值能够在给定的离散点上得 到一个平滑的曲线，并且与实际曲线的偏差较小。然而，在实际应用中需 要注意插值方法的选择，并根据具体情况对数据进行预处理，以确保插值 结果的准确性和可靠性。

三次样条算法

一、实验目的和要求 （1） 掌握三次样条方法的原理，加深对插值方法的理解。 （2） 理解三次样条在高次差值的逼近效果比多项式的优越性！ （3） 能构造出正确的算法结构并能实现具体问题的计算。 二、实验内容和原理 实验内容： 三次样条插值 解决具体问题：对于函数 ，取等距节点5,0,1,,10i i i x =-+= ， 设已给出节点上的函数值以及左右两个端点的一阶导数值，按上述算法进行样条插值。 实验原理： （1）、三次样条的定义： 设在[a,b]上有n+1个节点，f(xi)= yi,i=0,1,2,…,n 。若S3(x)满足 1) S3(x)在每个[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是不高于三次的多项式； 2) S3(x)， ， 在[a,b]上连续； 3) S3(xi)=yi(i=0,1,…,n)。 则称S3(x)为f(x)关于节点x0,x1,…,xn 的三次样条插值函数。 （2）、三次样条插值函数的边界条件： 待定系数个数：4n 已知条件： 补充条件：这两个条件通常在区间[a,b]的两个端点给出，称为边界条件 （3）、三次样条插值函数的求法： 21()1 f x x =+)('3x s )(' '3x s 3333333(),(0,1,)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)i i i i i i i i S x y i n S x S x i n S x S x i n S x S x i n ==??-=+=-??''-=+=-??''''-=+=-? 3011011i i+1i i i+1 20 212 021()()()()()...(1)h =x -x , x x x ()(1)(21)()(23) ()(1)()(1) i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y h m h m h h h h x x x x x x x x x x x x ??ψψ??ψψ++----=+++≤≤=-+=-+=-=-

三次样条插值法matlab程序

三次样条插值法 引言 在数学和计算机科学领域中，插值是一种常见的技术，用于通过已知数据点的值来估计在这些数据点之间的未知数据点的值。三次样条插值法是一种广泛应用的插值方法，它通过使用三次多项式来逼近原始数据，从而实现对未知数据点的估计。本文将介绍三次样条插值法的原理、实现和应用。 原理 三次样条插值法的基本原理是通过在每个相邻数据点之间使用三次多项式来逼近原始数据。这些多项式在每个数据点处具有相同的值和导数，从而保证了插值函数的平滑性。具体而言，对于给定的数据点集合{ (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) }，三次样条插值法将在每个相邻数据点之间构造一个三次多项式，即 S(x) = a_i(x - x_i)^3 + b_i(x - x_i)^2 + c_i(x - x_i) + d_i 其中，i 表示数据点的索引。为了确定这些多项式的系数 a_i, b_i, c_i 和 d_i，需要满足以下条件： 1.在每个数据点处，插值函数的值与原始数据点的值相等：S(x_i) = y_i 2.在每个相邻数据点之间，插值函数的一阶导数连续：S’(x_i) = S’(x_i+1) 3.在每个相邻数据点之间，插值函数的二阶导数连续：S’‘(x_i) = S’’(x_i+1) 通过求解这些条件，可以得到一个线性方程组，并确定三次样条插值法的插值函数。 实现 三次样条插值法的实现可以通过以下步骤完成： 1.根据给定的数据点集合，计算相邻数据点之间的差值：h_i = x_i+1 - x_i 2.构建一个三对角矩阵 A，其中主对角线元素为 2(h_i + h_i+1)，上下对角 线元素为 h_i 和 h_i+1 3.构建一个向量 B，其中元素为 6 * ((y_i+1 - y_i)/h_i+1 - (y_i - y_i- 1)/h_i)，其中 y_i 为原始数据点的值 4.解线性方程组 A * C = B，其中 C 为包含S’’(x_i) 的向量

三阶样条插值数学推导

三阶样条插值数学推导？ 答：三阶样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种数学方法，用于在给定数据点集合上插值出连续的平滑曲线。 假设给定了一组有序的x、y数据点，可以使用三阶样条插值来插值出一条连续的平滑曲线。 首先，需要将数据点分成n个小区间，每个小区间的两个端点为xi、xi+1，对应的函数值为yi、yi+1。 对于每个小区间，假设插值函数为f(x)，则有以下条件： 1. f(xi) = yi 2. f(xi+1) = yi+1 3. f''(xi) = 0 （一阶导数连续） 4. f''(xi+1) = 0 （一阶导数连续） 5. f'''(xi) = 0 （二阶导数连续） 6. f'''(xi+1) = 0 （二阶导数连续） 其中，f''表示函数的一阶导数，f'''表示函数的二阶导数。 根据以上条件，可以构造出一个线性方程组，用于求解每个小区间的插值函数。 具体来说，对于第i个小区间，可以设： f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 根据条件，可以得到以下方程： 1. f(xi) = yi => a + bxi + cxi^2 + dxi^3 = yi 2. f(xi+1) = yi+1 => a + b(xi+1) + c(xi+1)^2 + (xi+1)^3 = yi+1 3. f''(xi) = 0 => 2cxi + 6dxi^2 = 0 4. f''(xi+1) = 0 => 2c(xi+1) + 6d(xi+1)^2 = 0

5. f'''(xi) = 0 => 6dxi = 0 6. f'''(xi+1) = 0 => 6d(xi+1) = 0 通过解这个线性方程组，可以得到a、b、c、d的值，从而得到第i个小区间的插值函数。

三次样条插值法例题计算

三次样条插值法例题计算 三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于对给定的一组离散数据点进行插值计算。它利用多项式函数的连接性和平滑性特点，将整个插值区间分为多个小区间，并对每个小区间进行插值计算。 假设我们需要对以下离散数据点进行插值计算：（1, 3）、（2, 5）、（3, 2）、（4, 6）、（5, 1）。我们可以使用三次样条插值法来计算在x等于2.5的位置的插值值。 首先，我们需要确定每个小区间的插值多项式。根据三次样条插值法的原理，我们可以得到以下方程组： (1) S_0(x) = a_0 + b_0(x - x_0) + c_0(x - x_0)^2 + d_0(x - x_0)^3 (2) S_1(x) = a_1 + b_1(x - x_1) + c_1(x - x_1)^2 + d_1(x - x_1)^3 (3) S_2(x) = a_2 + b_2(x - x_2) + c_2(x - x_2)^2 + d_2(x - x_2)^3 (4) S_3(x) = a_3 + b_3(x - x_3) + c_3(x - x_3)^2 + d_3(x - x_3)^3 其中，S_i(x)表示第i个小区间的插值多项式，a_i、b_i、c_i、d_i为待求系数，x_i为第i个数 据点的x坐标。 然后，我们需要确定每个小区间内插值多项式的系数。由于我们需要保证插值函数在每个数据点处通过，可以得到以下方程： (5) S_0(x_0) = y_0 (6) S_0(x_1) = y_1 (7) S_1(x_1) = y_1 (8) S_1(x_2) = y_2 (9) S_2(x_2) = y_2 (10) S_2(x_3) = y_3 (11) S_3(x_3) = y_3 (12) S_3(x_4) = y_4 其中，y_i为第i个数据点的y坐标。 最后，我们需要确定边界条件。通常我们可以采用自然边界条件，即在第一个小区间和最后一个小区间的边界点处，二阶导数为零： (13) S_0''(x_0) = 0 (14) S_3''(x_4) = 0 通过解以上方程组，我们可以确定每个小区间内插值多项式的系数a_i、b_i、c_i、d_i。然后，我们就可以根据插值多项式计算在x等于2.5的位置的插值值了。 综上所述，三次样条插值法是一种常用的数值分析方法，用于对离散数据点进行插值计算。它通过建立小区间内插值多项式，并满足插值函数在数据点处的通过性和平滑性，可以准确地估计插值值。

样条插值法原理

样条插值法原理 样条插值法是一种常用的数值计算方法，主要用于通过已知数据点来估计未知数据点的值。它的原理基于样条函数的概念，即通过一系列多项式函数的拼接来逼近真实的函数曲线。 让我们了解一下什么是样条函数。样条函数是由多个局部多项式函数组成的函数，每个局部多项式函数在相应的区间上是连续且光滑的。这种构造方式使得样条函数能够更好地逼近复杂的曲线。在样条插值法中，我们使用的是三次样条函数，即每个局部多项式函数是三次多项式。 样条插值法的核心思想是通过已知数据点的函数值和导数值来确定每个局部多项式函数的系数。具体而言，我们需要满足以下条件： 1. 样条函数在每个数据点上的函数值等于已知数据点的函数值。 2. 样条函数在每个数据点上的一阶导数等于已知数据点的导数值。 3. 样条函数在首尾两个数据点之外的区间上的二阶导数为0，即函数是光滑的。 为了满足以上条件，我们需要求解一个线性方程组。假设有n个数据点，那么就会有n个未知数，即每个局部多项式函数的系数。而方程组的个数则由条件2和条件3决定。通过求解这个线性方程组，我们可以得到每个局部多项式函数的系数，从而确定整个样条函数。当我们获得了样条函数之后，就可以使用它来估计未知数据点的值。

对于给定的x值，我们可以根据x所在的区间选择相应的局部多项式函数，然后代入x计算出对应的函数值。由于样条函数的光滑性，我们可以得到比较准确的估计值。 除了样条函数的构造和插值估计外，样条插值法还有一些其他的应用。例如，它可以用于图像处理中的图像放大和缩小。通过在原图像的像素点上构造样条函数，然后在新图像的像素点上计算出相应的函数值，就可以实现图像的放大和缩小效果。 总结一下，样条插值法是一种通过构造样条函数来逼近复杂曲线的数值计算方法。它的原理基于样条函数的概念，通过满足一定的条件来确定样条函数的系数，并利用样条函数来估计未知数据点的值。样条插值法在数值计算和图像处理等领域有着广泛的应用。它是一种强大而灵活的工具，能够帮助我们处理各种实际问题。

三次b样线条曲线原理

三次b样线条曲线原理 B样条曲线是一种广泛使用的光滑曲线，用于在计算机图形和机器人技术中。这些曲线允许设计师以柔和的方式绘制这些曲线，而不会出现锐角或棱角。这种曲线的特点是平滑，而且较易于计算，容易生成。 B样条曲线是由一组最小的有序点（称为控制点）插值产生的。插值的目的是用一个式子来代表这些点并且提供平滑过渡。B样条曲线基于控制折线的特性设计。控制折线是连接控制点的连续线。B样条曲线可以理解为对这条连接线的逐段分段进行插值之后，用一个整体较为平滑的曲线来代替控制折线。整个过程需要选用适当的函数作为内插函数，但是通常我们选用Bezier函数或者B样条函数来完成求解过程。 B样条曲线的一般形式为： C(u) = Σi=0,n-1Wi,PiNi(u) 0≤u≤1 其中，n为控制点的数量；Wi是权重，可以理解为控制点的强度；Pi是控制点，表示曲线通过该点；Ni(u)是基函数，控制曲线的形状。 B样条曲线的基函数选择很重要，常用的选择有三次B样条基函数。三次B样条基函数是一种常用的基函数，它的形式如下： N1(u) = (3u³ - 6u² +4) / 6 这个公式中，u的范围是0到1，表示曲线的参数。在三次B样条基函数中，只有四个基函数，当n>4时，需要使用递推关系式计算。 B样条曲线是由若干条分段组成的，每条分段是一个三次B样条曲线，每个分段是由连续的四个控制点确定的。第一个分段的第一个控制点，和最后一个分段的最后一个控制点，是每个分段共享的两个控制点。这样，如果想要添加新的控制点，在已经创建的B样条曲线上添加就可以了，可以保证曲线的连续性和光滑性。 总之，三次B样条曲线具有平滑性和高精度特征，在3D建模、图形处理、CAD等领域中被广泛应用。它使用控制点和权重向量，并通过插值和基函数确定曲线的形状，从而使曲线更具有自然的美感和现实感。

常见的插值方法及其原理

常见的插值方法及其原理 1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation） 拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。具体的计算公式如下： L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n 其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为： lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k 拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。 2. 牛顿插值法（Newton Interpolation） 牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。差商的定义如下： f[x0]=y0 f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0) f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1) ... f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1) 利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：

N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn) 牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。 3. 样条插值法（Spline Interpolation） 样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。 三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。为了保证插值函数的平滑性，对于连续插值函数，每个小区间内使用的多项式有以下形式： S(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)^2 + di(x - xi)^3 通过计算每个小区间的系数ai、bi、ci和di，并满足插值条件，可以得到满足要求的插值函数。 样条插值法的优势在于可以有效地平滑插值函数，在处理曲线拟合和插值问题时较为常用。 总结： 常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法。拉格朗日插值法通过构造一个通过已知点的n次多项式来近似未知函数，牛顿插值法通过递推计算差商得到插值多项式，样条插值法则通过使用分段

实验四三次样条插值

实验四三次样条插值的应用 一、问题描述 The upper portion of this noble beast is to be approximated using clamped cubic spline interpolants. The curve is drawn on a grid from which the table is constructed. Use Algorithm 3.5 to construct the three clamped cubic splines. 二、模型建立 三次样条插值 给定一个列表显示的函数 yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。该区间

的线性插值公式为： (3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。 因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。 做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。 进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用 注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数

三次样条插值的MA AB实现

MATLAB 程序设计期中考查 在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法： 对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点 i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上 是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件 则称()x S 为三次样条插值函数。 三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下. 求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在 插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。这就需要推导三次样条插值公式： 记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式： ()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。为了得到这个公式需要n 4个条件： (1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数 连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()n n m x S m x S ='=' 00

三次样条插值

三次样条插值

三次样条插值 分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现 缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。 三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。 从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。 我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。 一、三次样条插值函数的定义： 给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值 ),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0() (n i y x S i i ==； （2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。 二、边界问题的提出与类型 单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如 ],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++= 其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。 由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连