小概率事件原理及其应用

本科学生毕业论文（设计）

题目（中文）：小概率事件原理及其应

用

(英文)：Principle of the Little Probability

Events and Its Application

姓名 XXX

学号 200805002231

院（系）数学与计算科学系

专业、年级信息与计算科学2008级

指导教师 XXX

2012年4月28日

目录

绪论

1.小概率事件原理

1.1概率论与小概率事件

1.2小概率原理及其推断方法

1.2.1 小概率原理

1.2.2 小概率推断方法

1.3小概率事件和不可能事件之间的区别

2.小概率事件原理的应用

2.1 经典的小概率事件研究

2.2 小概率事件原理在商场管理中的应用

2.3 小概率事件原理在保险中的应用

2.4 小概率事件原理在日常生活中的应用

2.5小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用

2.6 小概率事件原理在假设检验中的应用

3.小概率事件原理的更多具体应用

3.1有趣的小概率事件的应用

3.2近期的小概率事件分析

结束语

参考文献

致谢

小概率事件原理及其应用

摘要

小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义；其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值.

【关键词】小概率事件假设检验原理

Principle of the Little Probability Events and Its Application

Abstract

The principle of small probability event is a basic principle of probability and mathematical statistics. It is meaningful to understand it and its inference method correctly, and so it is with analyzing, processing and applying the principle dialectically. The paper discusses around the little probability event. First of all, it discusses the origin of probability theory and the definition of the small probability

event. Secondly, it introduces the principle of the small probability event and its inference method in detail, and describes the relation and difference between the little probability events and impossible events. Finally, the article makes a deep-level instruction for the small probability event applied in the life and production practices, and gives a couple of interesting examples to interpreter its practical value.

【Key words】Little Probability Event Hypothesis testing Principle

绪论

小概率事件是有可能发生的,只是发生的可能性很小而已,并且没有规律可循.人们的生活中也能看见小概率事件的存在,而且经常应用到小概率事件的实际不可能原理,因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生,对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生,整日处于杞人忧天或守株待兔的境界.本文通过实例,用辩证思维方法来阐述小概率事件原理的应用,只要我们能充分的认识和把握它,并加以很好的应用,就会给我们的生活带来意想不到的收获.如我们应该树立一种正确的态度对待小概率事件,不要过于忧患小概率事件从而影响我们的生活,也不要认为小概率事件不可能发生而不去关注它,我们要该避免的避免,该防范的防范,该忽略的忽略,这样才会更有利于我们的生活.

目前,国内外对于这个课题的研究颇多,如：张艳艳的《小概率事件原理的应用》[1]、王东梅,王晓丽的《概率在生活中的一些简单应用》[2],都利用小概率事件原理对日常生活中常见的小概率事件进行了分析和探讨,揭示了小概率事件发生现象背后所隐藏的真实背景,并在这一原理分析的基础上通过几个实例介绍了其在其它生活领域的应用.孙荣恒的《应用数理统计》[3]、陈希孺的《概率论与数理统计》[4]、魏文元的《概率论与数理统计》[5]、茆诗松,程依明,濮晓龙的《概率论与数理统计教程》[6]、魏宗舒的《概率论与数理统计教程》[7]分别从概率与统计上说明了小概率事件关系.王梓坤的《马尔科夫过程和今日数学》[8]则具体论述了小概率事件在当今数学中的应用.最后同济大学《工程数学——概率统计简明教程》[9]则更从更直观的介绍概率论和数理统计中的基本概念、基本原理和基本方法,强调直观性.

小概率事件原理是概率论中具有实际应用价值的基本理论,以生活中常见问题和典型事例出发,介绍了小概率事件及其相关性质,说明了小概率事件和不可能事件的区别与联系以及小概率事件发生的必然性,在小概率事件原理分析的基础上分析解决此类问题,并通过几个实例介绍了小概率事件原理在日常生活中、假设检验等几个方面的应用.我们从实质上把握小概率事件的原理,了解小概率事件,便能更好的应用于实际生活.

本文共分三个大的章节,第一章主要介绍小概率事件原理的基础知识,其中包括什么是小概率事件、小概率原理及其推断方法、小概率事件与不可能事件之间的区别和联系；第二章为小概率事件原理的应用,主要从经典的小概率事件原理研究、小概率事件原理在日常生活中的应用、小概率事件原理在假设检验中的应用三个方面来阐述；第三章则为小概率事件原理的更多应用.

1.小概率事件原理

1.1概率论与小概率事件

概率论的起源最早追溯到赌博问题.在17世纪中叶,由法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.deFermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”,因此产生了概率论.18世纪到19 世纪,当人们注意到某些社会现象与机会游戏之间有着很大的相似性时,人们人开始概括并总结出一些规律,从而概率论被广泛应用到各个领域中,也极大地推动了概率论体系的发展.瑞士数学家贝努利建立了概率论中的第一个大数定律,随后,大量数学家们通过不断深入的研究,促使概率论的理论逐渐成熟.而概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等各个方面也越来越广泛的被应用,尤其是现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系.

概率论是专门研究随机现象统计规律的学科.概率是用来刻画随机事件发生可能性的大小的数量指标.随机事件A 发生的概率我们一般用来表示,并规定.对于概率值很接近于1 的事件,其对立事件的概率必然很接近于0 .

而在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件.

那么多大的概率值算小概率呢？

这就要根据具体情况而确定：比如对于某些非常重要的试验,事件的发生会产生很严重的后果（如飞机失事、雷电伤人等）时,那么概率就应选得小一些,如

0.0001,甚至更小一些；否则可以相对大一些,一般多采用0.01或0.005 这两个阈

值：即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件我们称之为小概率事件.而这两个值称为小概率标准.

1.2小概率原理及其推断方法

1.2.1小概率原理

定理(贝努利大数定律）：在次独立重复试验中,记事件发生的次数为

,是事件Ａ发生的概率.则对于任意正数＜ 0 ,有

或

根据贝努利大数定律可得,事件发生的频率/ 依概率收敛于事件发生的概率,即当的取值为很大时,事件发生的频率与概率相接近的可能性非常大.如某事件发生的概率很小,根据实际推断原理,在实际应用中,当试验次数的取值为很大时,我们便可以用事件发生的频率来代替概率.假设某事件发生的概率很小,则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小.

例如,若＝0.001,则大概在1000次试验中,事件才能发生1 次.因此,概率很小的事件在一次试验中不太可能发生.而在概率论的应用中,我们称之为实际不可能事件.实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的,即小概率原理,也称做小概率的实际不可能性原理.它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据,也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理.

但小概率事件终究还是会发生的.小概率事件在一次试验中实际上是不会发生,这并不代表着它永远都不会发生,如果永远都不会发生,那么它就是不可能事件了.小概率事件终究会发生是指无限增多独立试验的次数,那么小概率事件就将会发生.如在随机试验中,设事件出现的概率为, 表示“在第次试验中出现”,则,,在前次相互独立的试验中一次都不出现的概率为：

那么在前次相互独立的试验中至少出现一次的概率为：

,

无论的取值如何小,只要时,那么,这说明小概率事件迟早会发生.

1.2.2小概率推断方法

推断小概率原理的方法主要是利用概率性质的反证法,其步骤依次为提出假设、根据一次试验的结果进行计算、按照一定的概率标准作出判断三个步骤.若其中有导致不合理现象出现,也就说明小概率事件的发生,则拒绝假设；若未导致不合理现象出现,即小概率事件未发生,则不拒绝假设.

小概率原理在概率论中是一个简单、基本并且具有实用意义的原理,同样在我们的日常生活中被广泛的应用.小概率原理常在不经意间指导着我们的实际生活.因为人们坚持这样一个正确的认识：小概率事件在一次试验中是不会发生的.但真发生了,也绝不会认为是必然现象,而是认为一定有着某些偶然因素导致的.这就是人们为什么在明知道有飞机失事的存在,仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因.

但也有一部分人们更愿意承认小概率事件的发生.如在体育彩票、福利彩票等发行过程中,尽管人们知道中大奖的机会微乎其微,接近于0 ,但人们却依然热衷购买.也许有人们愿意为体育事业、福利事业献出一片爱心,但人们购买彩票更主要的原因是人们期望中大奖的侥幸心理作祟.

1.3小概率事件和不可能事件之间的区别

概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件. 通常用0来表示不可能事件发生的可能性.不可能事件的概率为0,但概率为0的事件未必一定是不可能事件,也有可能是小概率事件.

有些人经常将小概率事件与不可能事件混淆.但两者从本质上来讲,既有区别又有联系.所谓小概率事件是指发生的可能性小,但仍有机会发生的事件,而不可能事件是指完全不可能发生,概率为零的事件.随着社会的进步和发展,人们的素质不断提高,有些看似不可能事件可能会转变成为小概率事件.比如,2012年3月,还在读大四的刘路被聘为中南大学“正教授”,他经过自己的努力,作出了拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究,彻底的解决了英国数理逻辑学家Seetapun于90年代提出“西塔潘猜想”,这一向被人认为是不可能事件,但是刘路通过自己的努力做到了,把一个不可能事件转变成为一个小概率事件.

而在人们生活中往往会产生这样一个观点：小概率事件在一次试验中与不可能事件的效果是相同的,即不会发生.如果小概率事件在偶尔的几次试验中奇迹般发生了,人们可能会理解为该事件的前提条件发生了变化,或者怀疑该事件是不是随机发生的,有可能是有人在搞鬼等等,此概率为小概率原理的一个应用.但是,我们知道,不管小概率事件A的概率如何小,如果将实验不断独立的重复下去,那么事件A迟早

必然会发生,无限重复该实验,那也必然会出现任意多次.而不可能事件是指无论我们将实验重复做多少次,事件A都不会发生.这就表明了小概率事件与不可能事件之间的区别.

2.小概率事件原理的应用

2.1 经典的小概率事件研究

例1 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”.游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同,光滑程度一致的玻璃球.其中8个红色、8个白色.游戏者从中一次摸出8个,8个球中.当红白两种颜色出现以下比数时.摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：

A (8:0)

B (7:1)

C (6:2)

D (5:3)

E (4:4)

结果（比

数）

奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2

表2-1

（注：表中“-2”表示受罚2元）

解：这个游戏看上去非常有吸引力,5种可能出现的结果中有4种可中奖,而只有一种情况受罚,且最高奖达10元,罚金只是2元,大家认为输赢不是很多,也就几块钱,因此很多人想来试下运气,尤其吸引了许多人好奇的青少年参加,可是玩的人中赢家屈指可数,到底是什么原因呢？其实这是一个概率知识的具体应用：其实就是从16个球中任取8个.所有可能的取法为种,事件总数是一个固定值,并且是随机的抽取,是个可能性的事件,是典型的古典概型问题.由概率计算公式．很容易得到上述5种结果,其对应的概率分别是：

假设进行了1000次摸球试验, 5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次,经营游戏者预期可得：

2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487) =593.6（元）这个例子的结果可能会使我们很惊讶,没想到中头奖的概率竟是如此小,他的概率只有0.0001554,明显是一个小概率事件,可以说这是一个陷阱,在我们的生活中,也有很多类似的例子,如彩票,很多人喜欢买彩票,并因此一夜暴富,成为千万富翁.我们都知道买彩票中奖是小概率事件,我们来看一个报道,河南省安阳市一位彩民用172元购买2注44倍投注的“6+1”双色球彩票,竟然一次中88注409.07万（每

注一等奖）,共获奖金3.599亿.有人计算过,中双色球一等奖的概率为

0.0000000564,二等奖的概率为0.0000008464,三等奖的概率为0.0000091417.可见,中一等奖的概率几乎接近于零,属于典型的小概率事件.

既然买彩票中最大奖的概率是如此的小,为什么还会有人中大奖呢？这是因为全国买彩票的总人数是一个相当大的数值,这样就大大增加了中大奖的概率,就必然会产生大奖了.为了发展公益事业,我国发行了多种彩票,有些彩票的最高奖高达数百万元,但是在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的,买一张彩票就中最高奖的概率近似为零.尽管中最高奖的概率微乎其微,但毕竟是公益事业,我们买彩票的时候一定要怀着造福社会奉献爱心的态度,中奖当然是好事,不中也应该泰然处之.

2.2小概率事件原理在商场管理中的应用

例2商场某电器部门有12台电器,由于种种原因,每台电器有时需要开,有时

需要关,每台电器的开或关是相互独立的.由以往的统计数据,每台电器在一个工作日内关闭的概率为,为了了解该部门的用电情况,需要计算其在一天之内恰有k台电器处于关闭状态的概率是多大?

解：这是一个简单的Bernoulli概型问题．每个工作日内处于关闭状态的电器数X 服从参数为n=12,=1/3 的二项分布,容易算出X 的分布列,见2-2.

0 0.007707 5 0.190757 10 0.000497

1 0.046244 6 0.111275 11 0.000045

2 0.127171 7 0.047689 12 0.000002

3 0.211952 8 0.014903

4 0.238466 9 0.003312

表2-2 X的二项分布图

由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:

而关闭台数超过7台的概率为:

由此可见,若取小概率标准为0.05,则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7 台”均属小概率事件.根据小概率原理,可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2～7台之间,进而可计算实际用电量.反之,还可以利用小概率原理,通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值=1/3是否正确.

如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1 台或超过7台,则表明上述两个小概率事件竟然发生了,因此可以认为这是不正常的．如果没有其他原因,就可以认为将关闭概率估计为1/3 是不正确的.

这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的.如果这时仍是这12台电器,设每台电器出现故障时需要维修的概率为=0.05,假设各台电器间是否出现故障是相互独立的,而每一名维修工人维修能力是有限的,假定每次每名工人只能修一台.那么,为了及时修复设备,商场应配备几名维修工人以保证电器得到及时的修复？

同一天内出现故障车的床台数服从二项分布～ (12,0.05).

不难算出: 1,

至少2台出现故障的概率

椐此,可以考虑只配备1名维修工,因为超过1台出现故障的概率是小概率.

2.3小概率事件原理在保险中的应用

保险是近代一个频率较高的词汇,生活中处处都要和这个行业打交道.我们在购买保险前先要弄清楚的重要问题之一就是我们需要什么样的保险方案.对于我们来说,保险的基本功能是用来保障生活中小概率事件的产生.而在生活里存在着各种各样的风险,我们应对的方法也是不一样的.

对于损失小的事件,无论事件发生的概率高还是低,我们一般都采用任之发生的方式,也就是自己承担损失.比如说锁门的锁头坏了,那么我们只要就去商场里从新买把就可以了,没有谁说再到保险公司买一个锁头险.即便你想要买,关键是也没有保险公司卖.这类的事件便是没有保险地意义的事件.

如果是发生频率高且损失也高的风险,我们经常采用的办法是有意的避免它.如果买这类的保险,保费会非常昂贵（这里保费昂贵的含义是,保费和保障额度相差不大）,保险公司一般也不承保.如战争,特大传染病,危险运动（蹦极,跳伞,攀岩等等）.

我们转移给保险公司的一般来说是低概率,高损失的风险.如财产,人身安全,疾病等等.由于其发生的概率比较低,一旦发生将会给我们带来难以承受的损失.正是由于这些事件极低的概率性,使得其保费相对于保障额度来说比较低.这是什么原因呢？一般的保费的计算方法是保险事故发生的概率和保障额度的乘积再加上保险公司的费用.

如我们可以统计出一名35岁男性在一年内死亡的概率是万分之五,不考虑其他因素的话,如果购买100万保额的一年期定期寿险,那么纯保费将是500元；假设保险公司的费用率是纯保费的一半,那么总保费就是750元.750元的保费和100万元意外收益差别巨大,这就使得这类风险具有了保险的意义.

我们接下来分析一下这位男士要购买一份一年期的两全险,也就是不管他在一年内死亡与否,保险公司在一年后都要支付给他100万元,那么纯保费就是100%×100万=100万,因为保险事故（生或死）发生的概率是100%.假定保险公司的费用率是纯保费的10%,这位男士最后缴纳的保费是110万元.投保的费用居然超过了保额！必然不会有人会买这种保险,也不会有保险公司设计并出售这类保险,因而这样的高概率险就失去了保险的意义.

保险事业是最早使用概率的部门之一,它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理.

例3某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002.每个参加保险的人在1 月1 日付12 元保险费,

而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000 元.求：此保险公司亏本的概率.

解：我们以一年来算,1月1日,公司收入为25001230000 元,假定死亡人,则保险公司一年付出2000元,亏本指：200030000, 15,即.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验,于是 (,2500,0.002).利用泊松定理可得:

“保险公司赔钱”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本.事实上可以计算该保险公司在本年的获利少于10000 元的概率仅为0.014,也该公司本年度的收益不会少于10000 元.

综上所述,保险公司实际上正是应用小概率事件的原理,提前预测出亏本的概率极小,在保险业中最大的赢家其实是保险公司.但人们不能因为意外事件发生的概率小和取得收益的概率小而不去投保,这里我们更要说明小概率事件并不是不可能事件,我们万万不能忽视,应该正视保险业.而对于保险业来说,所谓的小概率,什么情况下才会有意义？那便是对一个足够大的样本、群体才具有意义！

2.4小概率事件原理在日常生活中的应用

我们在生活中也经常会遇到小概率事件,例如：如一个人成为国家领导人的概率固然非常小,但上亿人中至少还会有几个国家领导人就几乎是必然的了.人的一生有许多机会,聪明的人善于抓住好机会,避免机会流失.从而抓住了好机会就是我们所谓小概率中的“小”.

我们研究小概率事件的目的是掌握其发生的条件,为我们所用,目的是使它朝着有利于我们的方向发展,避免具有破坏性不利于我们的小概率事件的发生,接下面我们通过实例来举例说明小概率事件原理在日常生活中的应用.

例4 某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g,标准差为20g的正态分布,即,现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问:是否有理由怀疑生产线存在故障?

解：根据正态分布的“3—原则”

若,则

所以：

不难看出, 的值几乎以概率1落在,区间内,也就是说,

的值以很小的概率落在之外.

由正态分布的“3—原则”, 袋装盐质量应以概率1落在（1000-3×20,1000+3×20）即(940,1060)之内,现在被抽取的这袋盐为1080g,落在此区间的外部,即小概率事件竟然在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障,需要检修.

例5 个人的生日全不相同的概率为多大？

解：把个人看成个球,将一年365天看成是=365个盒子,则“个人的生日全不同”就相当于“恰好有（）个盒子各有一球”,所以个人的生日全部相同的概率为：

上式看似很简单,但其具体计算式繁琐的,对此可以用一下方法做近似计算：

（a）当较小时,右边中各因式的第二项之间的乘积都可

以忽略,于是有近似公式

（b）当较大时,因为对小的正数,有,所以由公式得

例如当=10时,由公式给出的近似值为0.884,而精确值为；

当=30时,近视之为0.3037,精确值为.

这个数值结果是令人吃惊的,因为许多人会认为：一年365天,30个人的生日全不同的可能性是较大的,至少会大于1/2.甚至有人认为：100个人的生日全不相同的可能性也是较大的.对一些不同的值,下表列出近似公式计算的值.

10 20 30 40 50 60

0.8840 0.5942 0.3037 0.1180 0.0349 0.0078

0.1160 0.4058 0.6963 0.8820 0.9651 0.9922

表2-3

表中最后一行是对立事件“个人中至少有两个人生日相同”的概率.当=60时, =0.9922表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过

,这是出乎人们意料的.分析可得,“当大于60个人的生日全不相同”是小概率事件.如果在一次观察中小概率事件“当大于60个人的生日全不相同”竟出现了,这是有反常规的,可以怀疑是不是有双胞胎或者故意安排的.

例6假设某篮球运动员投篮的命中率为0.7,如果比赛开始后其连续投篮5次,命中次数不超过1次,可否认为该运动员尚未进入状态,试为教练提供理论依据.

解：可假定5次投篮为相互独立的5次试验,用表示命中的次数,则：,其概率分布为,则5次命中0

次得概率为,5次命中一次的概率为：

,

综上可知命中次数不超过一次的概率为：

这是一个小概率事件,几乎是不可能发生的,而在一次试验中发生了,所以我们有理由认为该运动员不在状态,此时,他的命中率要小于0.7.

例7有52张洗均匀的扑克牌,把牌分给4个人.如果某人断言这4个人在一次发牌中每人将得到13张同一花色的牌,你认为这正常吗？

解：事实上,将52张牌分给4个人,每人得到13张同一花色的牌的概率为

想要得到这个数值那是非常困难的,因为其概率是小的惊人,此事件便是小概率事件,如果此人断言这样的小概率事件在一次发牌时就会出现,那必然是不正常的,我们应该怀疑他肯定在捣鬼,作了手脚.因此也借此警告赌徒们：赌局危险,回头是岸！

2.5小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用

例8下面是英国统计学家Savage曾考察的两个著名的统计实验

A:一位常饮牛奶的女士称她能辨别先倒入杯子里的是茶还是牛奶，对此做了十次试验她都答对了。

B：一个音乐家声称他能从一页乐谱辨别是Haydn还是Mozart的作品，十次试验中他都能正确辨别。

在这两个统计实验中，假如认为被实验者是在猜测，每次成功的概率为0.5，那么十次都猜中的概率为。这是一个很小的概率事件，是几乎不可能发生的，所以此假设应该被拒绝。被实验者每次成功的概率要比0.5大得多，

这就不是猜测，而是他们的经验帮了他们的忙，可见经验——先验假设是一种在推断中不可忽视的重要手段，我们应该加以利用。

贝叶斯统计就是基于总体信息、样本信息和先验信息这三种信息进行统计推断的统计学,通过小概率原理可知,先验信息在统计推断中起着非常重要的作用.贝叶斯统计重视使用总体信息和样本信息的同时,即重视对先验信息的收集、挖掘和加工,使之数量化,形成先验分布,参加到统计推断中来,从而提高了统计推断的质量.

2.6小概率事件原理在假设检验中的应用

利用小概率事件来做假设检验:在假设下设计一个小概率(如1%)事件. 在一次试验中,这个一般不出现；但如果它居然出现了,便使人不得不怀疑假设的

正确性,因此否定.

例 9某厂有一批产品,共有200件,经检验合格才能出厂. 按国家标准,次品

率不得超过1% ,今从中任抽5件,发现这5件中含有次品. 问这批产品是否能出厂?

解：设这批产品的次品率为,问题化为:如何根据抽样的结果来判断不等式“”是否成立?

要检验的假设是“”. 首先,我们假定成立,此时, 200件中最

多有2件次品,从中任取5件,令A“没有取到次品”,由古典概型知

显然,

从而,任抽5件,出现次品的概率= 1-1-0.95=0.05

上述结果可说明,当“”,那么平均每100回抽样中,事件=“任取5件,出现次品”,最多出现5回, 而在一次抽样中就遇到事件A发生的概率很小. 由小概率原理可知,小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的,如果只在个别一次试验中,小概率事件竟然发生了,那么就判定这是一种反常现象. 但现在的事实是在一次具体的抽样实践中,事件A竟然真的发生了,这就是“反常”的. 怎么会出现这种反常情况呢?其原因正是由于我们假定了,因此“”的假设是

不能接受的.这只能说明该产品次品率不止0.01,故判断不能出厂.

由于小概率事件在一次试验中实际上是有可能会发生的,故采用上述方法将可能会判断失误. 假设检验中可能会产生的两类错误. 其中,第一类错误是当实际上成立的条件下,被我们判断为不成立,即犯了“弃真”的错误. 显然,犯“弃真”错误的概率就是显著性水平. 第二类错误是当实际上不成立时,反而被我们判断为成立,即犯了“采伪”的错误. 就我们的主观愿望来说,自然是希望犯这两类错误的概率都尽可能的小,即二者都是小概率事件. 然而可以证明,当样本容量确定之后,犯两类错误的概率不可能同时减小,减小其中一个,另一个往往就会增大. 若要它们同时减小,只有增加样本容量.在实际问题中,因人们常把“弃真”看得比“采伪”更重要些,一般总是控制犯第一类错误的概率,这就是数理统计中的“显著性检验”.

假设检验的基本方法无非就是以抽取的样本值为依据,通过观察记录一个“小概率事件”在一次抽样中是否发生来判断原来对总体X的某种“看法”(原假设)是否正确. 具体做法是：为了检验某个假设是否成立,首先假设成立,如果由此导出了一个小概率(小于某个数,即为显著性水平,通常取=0.05, 0.01等)事件发生,则认为是“反证法”推出了矛盾,从而应否定 ,否则接受.

3.小概率事件原理的更多具体应用

3.1有趣的小概率事件的应用

假设检验的推断过程运用了小概率事件的反证法：第一步是对原问题提出原假设.第二部是在原假设成立的条件下,来判断发生的事件是不是一个小概率事件（可以提前规定小于如0.005的概率才算是小概率）,如若是小概率事件,则拒绝原假设；若不是小概率,则接受原假设.另外假设检验不会随便拒绝原假设,但是这样的解释仍然让人很难理解.

我们以《乐府民歌》的《上邪》这首浪漫的爱情民歌来帮助我们解释,这首民歌原文是“上邪,我欲与君相知,长命无绝衰.山无陵,江水为竭,冬雷震震,夏雨雪,天地合,乃敢与君绝.”

从这首歌来说这是一首描写一个女子对爱人的忠贞的爱情民歌,该女子是为了证明自己多么爱这个男人,我们可以认为这是她的原假设为：我是爱君子的；那么备择假设（除了原来假设以外的可能）就是：我是不爱君子的.为了要证明自己有多么爱君子的方式很多,但卿卿我我之类的语言都不足以表达该女子爱之深的程度,

但是该女子选择了一种捷径,那就是从不爱君子的角度来说明她会在什么样的情况下,不会再爱君子呢？以下分别是这样几种情况：“山无陵,江水为竭,冬雷震震,夏雨雪,天地合”.这几种情况中每种情况都是小概率事件,更何况是综合在一起几乎是不可能的,是一个更加小的小概率事件,这几种现象出现的可能很低,我们假设在0.05％（显著性水平）,生活中这几种情况一起发生的几乎为零,明显低于我们假设水平,既然这几种情况不会发生,我们可以断定该女子肯定是爱君子的.也许现实中这几种现象真的发生了,用统计学上的语言来说,就是这几种现象发生的概率大于0.05％,那么该女子就“乃敢与君绝”,也就否定了原假设条件,我们才可以理解为该女子不爱君子了.古人这些优美生动的辞藻来表达忠贞不渝的爱情,但是这种浪漫的表现手法却生动的帮助了我们理解假设检验的思想.

3.2近期的小概率事件分析

美国南加州大学校园附近于11号凌晨发生枪击案,一男一女中国留学生遭枪击身亡.警方初步怀疑是一起抢劫未遂案.事发在当地时间11号凌晨1点多.两名中国留学生在南加大校园附近的雷蒙德街靠近27街的位置遭枪击.

这起案件是近年来南加大附近传出的第一起中国留学生遭枪击身亡案件.许多留学生对事件感到震惊.中国留学生在美国有10万多人,此事件属于小概率事件,枪击事件包括校园枪击在美国偶有发生,对于留学生来说,学会保护自己的个人安全很重要,学生和家长无需过度惊慌.中国留学生在洛杉矶被枪杀事件再次警惕留学生要注意个人安全意识,深夜不要在外逗留.对此次事件我们应该重视,但不应惊慌,毕竟此事件属于极小的概率事件,新生最好选择住在校内,如果在校外租房,尽量选择安全区域.

下面我们来看一下假设每周发生一起枪击华人事件,每次枪击的概率十万分之一,且每周被枪击是独立的,你坚持十年（每年52周）,你从未被枪击的概率是多少？

按假设,每次被枪击的华人的可能性,于是每次不被枪击的华人概率为.十年一共死于枪击的华人有520个,每次都是相互独立的,相当进行了520次独立重复实验.记为“第i次没被枪击”,i=1,2,…,520,则相互独立,由此的十年你从未被枪击的可能性是：

那么被枪击的概率为：

1-0.9948=0.0052

这个只是说明在外国的华人留学生不被枪击是很正常的事件,而被枪击是个小概率事件.

但是,这个事件给所有留学生以警醒,无论在哪个国家,一定要注意加强个人安全意识,深夜不要在外逗留.要注意避免夜归,还有平日不要露富,最好优先选择住在校园内的学生宿舍,一方面比较安全,另外还可以充分利用学校的教学设备,增进同学友情.如果学生要在校外租房,一定要选择治安条件比较好的区域,或者住在学校附近.

对于类似这种的小概率性事件,我们有的时候可以避免,即使不能避免,我们也能让其发生的概率比相对的低,这样不仅能保护我们平时的人身安全,也能让犯罪分子无几会对我们实施犯罪,与其我们把机会给犯罪分子,不如我们多加采取防范措施,这样我们就利用了小概率事件从实际生活上保护了我们的生命健康.

结束语

虽然小概率事件在一次试验中不可能发生,但我们也不能忽视小概率事件,事件重复的次数多了,小概率事件迟早也会发生.但我们也不需要过分惧怕小概率事件,把注意力集中在极端个别的现象,那样我们只会处处担心,导致无法正常学习和生活.由本文的讨论可知,小概率事件应用广泛,不仅是我们解决概率论中很多生活问题的理论依据,还是我们统计学中假设检验的理论依据,所以说小概率事件原理是概率论的精髓,是统计学存在和发展的理论基础.

参考文献

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[4]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥：中国科技大学出版社,1992.

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[7]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2004.

[8] 王梓坤.马尔科夫过程和今日数学[M].长沙：湖南科学技术出版社,1999.

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致谢

在论文即将完成的过程中，首先我要感谢我的导师XXX老师，是她悉心地教

导我，经常帮我指导论文中要注意的事项，并监督我的论文进度，我的论文才进

展如此顺利。她严谨的治学态度、广博的见识、丰富的知识面、敏锐的洞察力在

我对论文选题，乃至整篇论文的完成也起了至关重要的作用，她精益求精的工作

作风,深深地感染和激励我，论文的字里行间无不渗透着她的汗水。感谢她整个毕业论文写作过程中对我认真负责的指导，为人为学，终身受益。在这段时间里，

我不仅重新温故了很多专业知识，而且学会了怎样去学习与研究，为我以后的自

我学习奠定了基础。

我还要感谢大学四年教导过我、帮助过我的老师。在各位老师平时认真的授课,使我能够掌握专业知识，并在论文中得以体现，他们严谨细致、一丝不苟的作风

一直是我工作、学习中的榜样；他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无

尽的启迪。

正是老师、同学们长期不懈的支持和帮助才使我的毕业论文最终顺利的完成有，使他们给了我无言的帮助和鼓励，在这里请接受我诚挚的谢意！

小概率大概率事件

大概率事件即指出现可能性较大的随机事件 大概率事件与小概率事件相对，在概率论中很少研究，主要是利用小概率事件原理来做统计分析，而大概率事件实际应用不大，故不提及。 小概率事件： “小概率事件”是个数学概念，在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。当然并不是说完全为零，只不过发生的几率很低而已。小概率事件分两种，一种是事情发生的几率本身就很小。还有一种情况，是一件事发生的可能性本身不算低，但很多件这种事正好同时发生，这种几率就也很低了。 由于发生的可能性极小(把发生可能性很小的事件称为小概率事件),而忽视了它的存在,其实利用小概率事件可以解决一些看似很难的问题.因此有必要对小概率事件作全面而正确的认识。 需要注意，小概率事件在一次试验中发生的机会非常小，但是，如果做了许多次试验，它必然发生。 “小概率事件”是个数学概念，指的是概率几乎接近于零的事件。 小概率事件是有可能发生的，只是发生的可能性很小而已，并且没有规律可循.因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有- 大概率事件，就是该发生而没有发生的事件； 小概率事件，就是不该发生而发生了的事件。

概率也叫机率、或然率，是对可能发生也可能不能发生的随机事件，出现可能性大小的度量，由此可见，大概率事件即指出现可能性较大的随机事件，反之亦然。墨菲定律根本内容是：如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。墨菲定律的原句是：如果有两种或两种以上的方式去做某件事情，而其中一种选择方式将导致灾难，则必定有人会做出这种选择。 很小小概率事件是一个事件的发生概率，那么它在一次试验中是几乎不可能发生的，但在多次重复试验中是必然发生的。

浅谈小概率事件原理及其应用

学号20100502050535 密级 ______________ 兰州城市学院本科毕业论文 浅谈小概率事件原理及其应用 学院名称：数学学院 专业名称：数学与应用数学 学生姓名：魏健龄 指导教师：姚淑霞 二〇一四年五月

BACHELOR’S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Principle and Application of the Small Probability Event College: Mathematics College Subject: Mathematics and Applied Mathematics Name: Wei Jianling Directed by: Yao Shuxia May 2014

郑重声明 本人呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、资料真实可靠.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位. 本人签名：日期：

摘要 本文从小概率事件的原理及推断方法出发，通过对生活中的一些有关小概率事件的分析，包括彩票、交通、保险、体育中的小概率事件问题来认识它们发生的原理及其重要性，以此来引导我们面对这些小概率事件时，如何做出准确的分析和判断，进而做出合理的决策. 关键词：小概率事件；原理；推断；彩票

ABSTRACT In order to understand the principle and the importance of the small probability event, by the theory and method of inferring small probability event,we analyzed the using of some small probability events in life, i ncluding the small probability event in lottery, traffic, insure, sports problem. The purpose of this paper was to guide us how to make analysis and judgment when we face these small probability event, and then make a reasonable decision. Key words：s mall probability event; principle; deduce; lottery

小概率事件中的大道理

小概率事件中的大道理 王世昆 在概率论中，把事件发生概率接近于“零”的事件称为小概率事件。小概率事件可分为正面小概率事件（如中大奖）和负面小概率事件（如地震、爆炸、火灾、安全事故等）。虽然小概率事件发生的几率比较小，但如果防范不到位、处理不及时，负面小概率事件一旦发生，往往会造成严重后果，甚至由“偶然”变为“必然”，由小概率变为大几率。因此，如何减少甚至有效规避负面小概率事件的发生，维护和谐稳定，确保经济又好又快发展，是摆在每一位领导干部面前的重要课题。 小概率大问题 当前，我国正处于改革开放关键期，大量社会矛盾集中出现，“触点”增多，“燃点”降低，稍有不慎，小矛盾就可能造成大冲突，小问题就可能酿成大事端。近年来，我国接连发生了上海在建楼整体倾覆、晋州“风斩塔”、四川内江服用预防药品集体中毒等一系列小概率事件。这些负面小概率事件不但给企业和国家带来不同程度的损失，而且带来了许多负面影响。 负面小概率事件高发，有客观原因，有改革发展中难以避免的因素，但根本原因还是人的原因，多数并非“天灾”，而是“人祸”。美国安全工程师海因里希经过大量的研究，认为存在着“88∶10∶2”规律，即在100起事故中，有88起是纯属人为的，有10起

是人为和物的不安全状态造成的，只有2起是难以预防的，即所谓“天灾”、小概率事件。因此，小概率事件看似“偶然”，实则“必然”，透视它们的发生、发展过程，我们不难从中发现一些共性原因。 原因之一：重视程度不够高是负面小概率事件发生的思想根源。千里之堤毁于蚁穴。任何一点细微的疏漏都有可能导致事故的发生，任何侥幸麻痹、投机取巧的想法都可能造成不可挽回的后果。今年以来发生的王家岭煤矿透水事故、河南伊川煤矿瓦斯爆炸事故、伊春“8〃16”重大爆炸事故等，给我们再次敲响警钟。事故发生有多方面的原因，究其根源还是事故单位和事故责任者长期以来主观上轻视、麻痹大意、疏漏细节、安全意识淡薄、违章操作所造成的。一些地方、部门和企业领导干部对安全发展的科学理念认识不深刻，对安全工作的极端重要性认识不到位，不能时刻绷紧安全生产这根弦，习惯于以文件传达文件，以会议贯彻会议，对上级安排部署认识不深，落实不力，执行不严，总认为没有问题，结果出了大事。 原因之二：隐患处理不及时是负面小概率事件发生的直接因素。小概率事件从“隐性”到“显性”往往有一个过程，多数群体性事件由小到大几乎都有征兆，社会上有“风声”，信访上有反应。“海因里希理论”认为，一起重大安全事故背后会有29起事故征兆，每个征兆后面有10起事故苗头。反过来说这29起征兆和10起事故苗头都有发生事故的几率。看到事故苗头，如果能果断处

小概率事件特点、原理及其应用

小概率事件特点、原理及其应用 概率是衡量事件本身发生可能性的大小。一个任意事件是否发生主要取决于它本身，它是事件本身的一种属性，人们是否认识它或者是否能计算出它都不会影响这种属性的存在，是客观的。概率论中，把概率非常小或者说概率接近于零的事件称为小概率事件。那么，到底小概率事件的概率要小到什么程度才能算是小概率事件呢？概率论中没有具体规定，而是在不同的情况有着不同的指标，由事件本身性质而定，大多是用0.01、0.05这两数值。即一般情况下，事件发生的概率小于或者低于0.01或0.05，就是小概率事件，这两个数值就是小概率标准。在很多情况下，人们都认为它发生的概率非常小而忽视了它，但是运用小概率事件可以帮助我们解决一些难题，因此我们必须正确认识小概率事件。 一、小概率事件原理 小概率事件发生的概率很小，那么它在一次试验中实际几乎是不会发生的。在数学上，我们称这个原理为小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少数次实验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。 虽然在一次实验中小概率事件几乎不可能发生，但这并不说明它永远不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，

那么小概率事件就会发生。小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批商场产品中有1%的次品却无妨大碍。在比较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。 二、小概率事件的应用 小概率事件原理在日产生活中的应用十分广泛，它在不经意地指导人们的实际生活，目前，小概率原理在经济、医学、体育、交通、气象等各种与人们生活息息相关的领域中也有解释的空间，下面我们举出几个例子对小概率事件的原理做出探讨： （一）对交朋友的概率问题研究 我们对现实的交朋友概率做个初步的研究，探讨在生活中我们每个人交到朋友的概率是多少。假设：我们平均每天遇到100人（包括在我们眼前路过的陌生人），平均一年就有36500人，如果我们从一般意义上的朋友说，按每年遇到25人算，那么我们每一个从一般意义上讲的朋友大概是在碰到1460人之后的那个人。而在地球上有60亿人，而且这个数目还将不断上升，相遇是如此小概率的事件。按平均每年遇到5个好朋友人算，那么我们需要碰到7300个人，才能交到这样一位好朋友。

九上概率的进一步认识知识点复习

第三章 概率的进一步认识 一、本章知识结构图 树状图或表格求概率 专题一 用树状图和列表法计算事件发生的概率 1. 一个不透明的口袋中有4个除标号外完全相同的小球，这4个小球分别标号为1,2,3,4． （1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率； （2）随机摸取一个小球记下标号然后放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小 球的标号的和为3的概率． 2. 甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1 个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球 的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍. （1）求乙盒中蓝球的个数； （2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率. 现实生活中存在大量的随机事件件 随机事件发生的可能性有大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算 概率的应用 理论计算 试验估算 只涉及一步实验的随机事件发生的概率 涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的的概率 列表法 树状图法

专题二 概率的应用 3.（2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积． （1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率； （2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平． 4.小婷和小英做游戏,她们在一个盒子里装了标号为1、2、3、4的四个乒乓球,现在小婷从盒子里随机摸出一个乒乓球后,小英再从盒子里剩下的三个乒乓球中随机摸出第二个乒乓球,如果摸出的乒乓球上的数字和为4或5,则小婷获胜,否则小英获胜,你认为这个游戏对她们公平吗？请说理由. 【知识要点】 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 【方法技巧】 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结果是完全不一样的. 1 2 4 3

如何理解统计学中的“小概率事件”

如何理解统计学中的“小概率原理”？ 朱继民博士 统计学是一门处理数据的收集、整理与分析的艺术，是指导人们如何对科学探索活动进行严密地设计、获取可靠的数据、正确地归纳分析与推理判断的科学。医学统计学在医学研究中帮助揭示疾病或现象发生、发展规律，为预防疾病、促进健康提供客观依据。 学过统计学的同学多有这样的体会：刚刚开始的前前几节课感觉很轻松，可是学着学着就开始犯糊涂了，晕车现象较为严重。原因在哪里呢？许多人给出的答案是数学基础差，而我却认为症结不在这里。统计学的概念与统计思维较为抽象，不易理解；方法丰富、适用范围与对数据的要求不尽相同，掌握起来困难，实际应用时常有无从下手的困惑；统计学内容的连贯性很强，环环相扣，而且前一环恰是下一环的基础；如果中间环节脱落，对后面内容的学习往往会有超出想象的影响。 现从统计学中的一个概念谈谈如何理解统计学的概念，并从应用层面看其与其他知识点的融合。 概率是统计学的一个重要的基本概念，它反映事件或现象发生可能性的大小，用P 表示；当P＝1时，表示肯定发生，即为必然事件，P＝0时，肯定不会发生，即为不可能事件，P介于0与1之间，可能发生也可能不发生，即为随机事件。统计学重点关注的是随机事件在一次试验中发生的概率。掷币的结果有两种可能，要么正面朝上，要么反面朝上，概率均为0.5；如果只进行一次掷币试验，那么在掷币前我们无法确定掷币的结果到底是哪种情况，即朝上的面是正还是反。掷币的结果就是一种随机事件。 小概率事件即发生概率很小的事件（通常指P≤0.05或0.01）在统计学中有着重要的应用。对于小概率事件，很容易理解；即这样的事件理论上可以发生但发生的概率较小，在一次试验中发生的可能性则几乎为零。如买彩票中大奖就是典型的小概率事件。也许每一期均会有大奖开出（概率超低），但对于某一个彩民来说他买一注就中大奖的可能性（小概率事件在一次试验中就发生的概率）几乎没有。其实这就是小概率事件在统计学上应用的重要理论依据——小概率原理，即小概率事件在一次试验中发生的可能性很小，如果真的发生了，统计学则怀疑其真实性。统计学依据小概率原理作出结论的正确性很高，但也存在犯错误的风险（较低）。现以一个例子来看统计学是如何对待小概率事件的：不透明箱子里装有大小、形状、质地均相同的小球100个，其中白色球95个，红色球5个。现在如果由某个人从该箱子中摸球，每次只允许摸1个球；那么，在球被摸出之前，我们知道白球和红球均有被摸到的可能，只是被摸到的概率不同，分别是0.95和0.05。在试验中，如果摸到的是白球，统计学会承认球是从该箱子中摸出的；如果摸到的是红球，统计学则否认球是从该箱子中摸出的。统计学这样判定结果的依据

小概率事件原理及其应用

本科学生毕业论文（设计） 题目（中文）：小概率事件原理及其应 用 (英文)：Principle of the Little Probability Events and Its Application 姓名 XXX 学号 200805002231 院（系）数学与计算科学系 专业、年级信息与计算科学2008级 指导教师 XXX 2012年4月28日 目录 绪论 1.小概率事件原理 1.1概率论与小概率事件 1.2小概率原理及其推断方法 1.2.1 小概率原理 1.2.2 小概率推断方法 1.3小概率事件和不可能事件之间的区别

2.小概率事件原理的应用 2.1 经典的小概率事件研究 2.2 小概率事件原理在商场管理中的应用 2.3 小概率事件原理在保险中的应用 2.4 小概率事件原理在日常生活中的应用 2.5小概率事件原理在贝叶斯统计中的应用 2.6 小概率事件原理在假设检验中的应用 3.小概率事件原理的更多具体应用 3.1有趣的小概率事件的应用 3.2近期的小概率事件分析 结束语 参考文献 致谢 小概率事件原理及其应用 摘要 小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义；其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值. 【关键词】小概率事件假设检验原理 Principle of the Little Probability Events and Its Application Abstract The principle of small probability event is a basic principle of probability and mathematical statistics. It is meaningful to understand it and its inference method correctly, and so it is with analyzing, processing and applying the principle dialectically. The paper discusses around the little probability event. First of all, it discusses the origin of probability theory and the definition of the small probability

北师大九年级上册数学《第三章概率的进一步认识》检测卷含答案

第三章检测卷 时间：120分钟 满分：150分 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题(每小题3分，共45分) 1．同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ） A.12 B.13 C.14 D.15 2．有一新娘去商店买新婚礼服，购买了不同款式的上衣2件，不同颜色的裙子3条，则搭配衣服所有可能出现的结果为（ ） A ．2种 B ．3种 C ．5种 D ．6种 3．在抛掷一枚硬币的试验中，某小组做了1000次试验，最后出现正面的频率为0.496，此时出现反面的概率约为（ ） A ．0.496 B ．0.504 C ．0.500 D ．不能确定 4．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是（ ） A.13 B.23 C.1 4 D.12 5．在数据1，－1，4，－4中，任选两个数据，均是一元二次方程x 2－3x －4＝0的根的概率是（ ） A.16 B.13 C.12 D.14 6．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．12个 7．两道单选题都含A 、B 、C 、D 四个选项，瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率是（ ） A.12 B.14 C.18 ` D.116 8．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ） A.12 B.13 C.14 D.16 9．如图的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A.825 B.625 C.425 D.1925 第9题图 10．有两双大小、质地相同、仅有颜色不同的拖鞋(分左右脚，可用A 1、A 2表示一双，用B 1、B 2表示另一双)放置在卧室地板上．若从这四只拖鞋中随机取出两只，恰好配成相同颜色的一双拖鞋的概率是（ ）

小概率事件的应用

小概率时间的原理与应用 侯志飞 地信 201114430116

对小概率事件的认识 概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。一个随机事件发生的可能性大小是由它自身决定的，是它自身的一种属性，不受你是否认识到或者是否计算出来的影响，它是客观存在的。在概率论问题中，一般把概率很小很接近于零的事件称为小概率事件。那么，具体概率小到何种程度才算小概率事件呢？概率论中不作具体规定，而是指出不同场合有不同的标准，视事件的重要性而定，一般多采用0.01、0.05这两个值，即事件发生的概率在0.01或0.05以下的事件成为小概率事件，这两个值称为小概率标准。当事件的发生会产生严重后果（如雪崩、山洪、沉船等）时，那么小概率事件的阀值应选得比这两个值更小一些，否则可以选得大一些。 小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A 为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A 居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A 不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A 的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A 迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A 不出现的概率为1-ε，前n 次A 都不出现的概率为()1n ε-，因此前n 次试验中A 至少出现一次的概率为1-()1n ε-。当n →∞时概率趋于1，这表示A 迟早会出现1次的概率为1。出现A 以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A 必然再次出现。 由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景

第三章 概率的进一步认识知识点复习

第三章 《概率的进一步认识》知识点复习 姓名：_______ 知识点1：求“连续两次完成某事件”的概率 1、有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为________． 2、抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是________． 3、盒子里放有三张分别写有整式a ＋1，a ＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是________． 4、“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 5、一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ） A.21 B. 31 C. 41 D. 6 1 6．若从长度是3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能构成三角形的概率是( ) A. 21 B.43 C.31 D.41 7．在x 2□4x □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的整式中，恰好是完全平方式的概率是( ) A ．1 B.21 C.31 D.4 1 8．假定鸟蛋孵化后，雏鸟为雌与雄时概率相同，如果三枚蛋全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是( ) A.61 B.83 C.85 D.3 2 9．我市辖区内景点较多，李老师和刚高中毕业的儿子准备从A ，B ，C 列三个景点去游玩．如 果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站，那么他们都选择B 景点的概率是_ _． 10．从甲地到乙地有A 1，A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1，C 2两条路线，一个人任意选了一条从甲地经乙地、丙地到丁地的路线，求他选到B 2路线的概率． 11．一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一 个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( ) A.161 B.163 C.41 D.16 5 12．一枚质地均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，两次点数相同的概率是( )

生活中的小概率事件

生活中的小概率事件 前言: 概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，概率论是指导人们从事物表象看本质的一门科学，本文主要简单介绍了概率论现实生活的部分现象与分析概率知识的广泛应用。 关键字：小概率概率原理应用 正文： 1.小概率事件的原理 小概率事件应从两方面认识它：一方面由实际推断原理知道，小概率事件A在一次实验中几乎是不发生的；另一方面，在不断地独立重复实验中，小概率事件A迟早发生的概率为1。 前者是讲：在实践中，人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”，这一经验称为“实际推断原理”。事实上，“小概率事件”通常是指发生概率在0.01以下或0.05以下的事件。这两个值称为小概率标准，主要是为了查表方便，没有其他特别的含义。对于这类实验来说，在大量重复的实验中，平均每100次或20次才发生一次，所以认为在一次实验中该事件是几乎不可能发生的。后者是讲：尽管“小概率事件”，在一次实验中几乎不发生，但如果实验的次数多了，该事件当然是很可能发生的。 2.小概率事件原理的应用 2.1在一次实验中小概率事件几乎不发生 数学中的小概率原理认为：在一次实验中，概率很小的事件实际上不可能发生。这个“很小”，一般理解为在个别事件中发生的概率小于5?，这样的事件称为小概率事件。小概率事件在一次事件中认为是不可能发生的。如果在一次实验中，某个小概率事件发生了，则认为出现了不合理的现象，由此可以推断原来的条件或假设是错误的。 这个小概率原理就是我们假设检验这一章理论依据。 小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，首先提出假设，继而根据一次实验的结果进行计算，最后按一定的概率标准作出鉴别。 其一般程序是： 第一步：先根据问题的题意提出原假设H0;

《对概率的进一步认识》复习教学设计

第六章对概率的进一步认识 回顾与思考 一、学生知识状况分析 在以前概率学习的基础上，本章进一步研究了理论概率与实验概率之间的关系，并通过几个现实生活模型介绍了随机事件的概率的实验估算方法和涉及两步 及两步以上实验的随机事件理论概率计算的又一种方法——列表法. 本节引导学生回顾本章内容，梳理知识结构，同时，到本章为止，学生基本 完成了义务教育阶段有关概率知识的学习. 二、教学任务分析 在学生充分思考和交流的基础上，教师可引导学生共同回忆有关概率的知识 框架图. 本节课的任务是在本章知识讲完后，需要学生将知识系统化，进一步理 解概率与频率的关系；能进一步体会应用试验的方法估计一些事件的概率；归纳总结求概率的一般方法；合理运用概率的思想，解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节.第一环节：问题引入，复习旧知；第二环节： 重点知识回顾，建立知识架构；第三环节：课堂练习；第四环节：课堂小结；第 五环节：作业布置。 第一环节：问题引入，复习旧知 活动内容：把本章知识习题化，从而引入新课. 活动目的：抽象问题具体化，引入新课，同时对全章知识的系统回顾提供了 铺垫. 活动过程：在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人? 解:根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125. 该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻. 活动效果：学生通过对本环节设计问题的解答，激活学生头脑中原有的知识.

小概率原理在生活中的应用开题报告(1)

毕业论文 题目：小概率原理在生活中的应用学院：汽车与电子工程学院 年级、专业：2006级数学与应用数学学生姓名：谌泽宾 学号：0605101047 指导教师：朱新霞 完成时间：2010.05

毕业论文（设计）开题报告 （理工类） 题目：小概率原理在生活中的应用 学院：汽车与电子工程学院 年级、专业：2006级数学与应用数学 学生姓名：谌泽宾 学号：0605101047 指导教师：朱新霞 日期：2010.03

主要研究内容、研究意义及预期目标： 一研究内容及研究意义 在中学阶段，已经初步接触概率论，而小概率原理只是概率论中一小部分。虽然小概率只是概率论中的一小部分，但是它的原理所发挥的作用却不可忽视。小概率事件在日常生活中有着很广泛的应用。通过分析小概率事件的含义、小概率原理及以实例说明小概率事件在概率论及假设检验中的实际应用,帮助人们对小概率事件树立正确的认识。 1、小概率原理在产品检验中的应用 2、小概率事件在商业生活中的应用 3、小概率原理在森林防火中的应用 4、小概率原理在医学检验中的应用 5、小概率原理在地震中的应用 二预期目标 用概率的原理揭示生活中的现象，为人们生活决策提供理论依据，指导人们应该怎么避免不可能事件的发生。在产品的检验中，为人们节省人力和财力提供理论依据，用小概率原理对西昌历史上7级以上地震的分析中，说明大地震发生的几率性很小，不必杞人忧天。小概率原理在森林防火中的应用则提示人们，在什么时节应该加强森林防火。小概率原理在福利彩票双色球中的应用,则说明：买彩票只能作为娱乐消遣。

拟采用的技术路线、研究方法及步骤： 一研究方法 主要通过文献参考、资料搜集以及导师指导的方法进行初稿，二稿到三稿再定稿四部曲。 二技术路线及步骤 1 回顾知识 2 选定题目 3 参考文献 4 搜集资料 5 整合资料 6 完成初稿 7 参考文献 8 修改初稿 9 完成二稿 10参考文献 11修改二稿 12完成三稿 13参阅意见 14完成论文 总体安排及进度计划： 1、起止时间：2009.12.25～ 2010.05.20 2、查阅资料: 2010.01.13～ 2010.03.10 3、初稿时间：2010.03.14～ 2010.04.13 4、二稿时间：2010.04.14～ 2010.05.05 5、三稿时间：2010.05.05～ 2010.05.13 6、定稿时间：2010.05.13～ 2010.05.20

概率论文之小概率事件

概率统计论文 题目：小概率事件原理及其应用 学院：建筑工程学院 专业：工程管理 班级：２班 姓名： 学号： 2012 年１１月1９日

小概率事件原理及其应用 通过本学期对概率统计科目的学习以及通过学习概率对其他等方面的理解与应用，我感触很多，尤其是对于小概率事件的学习。下面我将谈谈我对小概率事件原理及其应用。 小概率事件，大家并不陌生，在生活中有许多小概率事件，这些事件看起来一点都不起眼，但是很多情况下却起着非常重要的作用，有的可能发生大的事故，如某人因购买彩票而中了大奖，意外发现了金银财宝等那是“天上掉馅饼”；还有“说曹操曹操就到”；还有像雷电伤人，吃饭被鱼刺卡喉，某人因车祸而失去生命，等等，这些小概率事件我们认为几乎是不可能发生的，对有些人来说，或许一辈子也碰不到一次，但是也有一些人可能多次遇到，小概率事件虽然看上去一点也不起眼，但是有时可能带来欢乐和福音，有时也可能带来悲伤与灾难，甚至可能会发生大的事故，如5.12汶川大地震，长江流域百年一遇的洪水，等等，虽然这些事件本身发生的概率极小，但往往具有和大的破坏力，因此说有些小概率事件是不可忽视的，我们只有充分的认识和把握它，并加以很好的应用，小概率事件就会给我们的生活带来意想不到的收获。 小概率事件的原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A 为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A 居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A 不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A 的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A 迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A 不出现的概率为1-ε，前n 次A 都不出现的概率为()1n ε-，因此前n 次试验中A 至少出现一次的概率为1-()1n ε-。当n →∞时概率趋于1，这表示A 迟早会出现1次的概率为1。出现A 以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A 必然再次出现。 再对于像一些生活中的事例子，如众所周知的买彩票的中奖概率，还有赛马、股票等等，我们都可以运用本学期的对概率统计的学习来计算做这些事能够达到目标的几率等等， 例如：”关于买彩票的问题”。 一．玩法和设奖方式 彩票玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票．每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成．每位数字均可填写0、1、…、9这10个数字中的一个；特别号码为0、1、2、3、4中的一个． 每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号──一个6位数号码，另加一个特别号码即0～4中的某个数字．中奖号码规定如下：彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同，而且特别号码也相同──特等奖；6位数完全相同──一等奖；有5个连续数字相同──二等奖；有4个连续数字相同──三等奖；有3个连续数字相同──四等奖；有2个连续数字相同──五等奖．

概率的进一步认识

第三章概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率(一) 一、学生知识状况分析 七年级下学期学生在学习第六章“概率初步”时，已经通过试验、统计等活动感受随机事件发生的频率的稳定性即“当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近”，了解到事件的概率，体会到概率是描述随机现象的数学模型。本章在此基础上结合具体的情景，让学生经历猜测、试验、收集试验数据、设计试验方案、分析试验结果等活动过程，进一步让学生体会数学在生活中的价值及发展合作意识。 二、教学任务分析 1 本课时介绍两种计算概率的方法——树状图和表格法; 要求会借助树状图和表格法计算简单的事件发生概率．为此建立教学目标如下： 1．知识与技能目标： ①进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率. ②会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率． 2．方法与过程目标： 合作探究，培养合作交流的意识和良好思维习惯. 3.情感态度价值观 积极参与数学活动,提高自身的数学交流水平，经历成功与失败，获得成功感，提高学习数学的兴趣.发展学生初步的辩证思维能力． 教学重点：借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．教学难点：理解两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算

2 涉及两步试验的随机事件发生的概率． 三、教学过程分析 本节设计五个教学环节 第一环节：温故而知新，可以为师矣 第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园 第三环节：会当凌绝顶，一览众山小 第四环节：问渠哪得清如许 为有源头活水来 第五环节：学而时习之，不亦乐乎． 第一环节：温故而知新，可以为师矣 问题再现：小明和小凡一起做游戏。在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜。 （1）这个游戏对双方公平吗？ （2）在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？ 遇到了新问题：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下： 连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。 你认为这个游戏公平吗？（如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大？） 设计目的：使学生再次体会“游戏对双方是否公平”，并由学生用自己的语言描述出“游戏公平吗”的含义是游戏的双方获胜的概率要相同。同时，巧妙的利用一个“如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？”的问题，引发学生的思考及参与的热情，如果学生说出“掷硬币”的方法，自然引出本节课的内容。 第二环节：一花独放不是春，百花齐放春满园

对小概率事件的认识和理解

对小概率事件的认识和理解 小概率事件是影响人们工作生活以及妨碍人们做出选择的一类事件。小概率原理之所以合乎情理，它的理论依据是伯努利大数定律。伯努利大数定律指出：事件A发生的概率与其发生的频率很接近，这样概率很小的事件发生的频率也很小，因而在一次试验中就认为A不会发生。若要研究小概率事件，首先要将小概率事件（一般定义其概率为0.05）与不可能事件概念分开。然而人们在长期的经验中往往更愿意相信两者是等价的，同样都不会发生。若是某小概率事件发生了，人们潜意识里便认为事件发生的条件改变了，例如某种人为原因造成，使它不再是小概率事件。然而，即便一个事件发生的概率再小它也还是存在的，只要将这一试验无限次的重复下去总有一天它会发生并且发生很多次，这便是小概率时间与不可能事件的本质区别。有古语说“有志者事竟成”从一定程度上来说不无道理。那么，你可能会问，多小的概率才能算是小概率事件呢？这要看时间发生的场合与发生后可能造成的后果。例如，一批食品达不到国家安检要求必须为小概率事件，因为它一旦发生就会对大量人的身体健康造成损害；其他影响不大的时间概率可以稍大一点，但一般不超过0.05，统计学认为小概率不应超过0.01或0.05。有关小概率时间的一些应用：尽管前面说过，某些小概率时间发生了人们不愿意承认，但是也有很多情况下人们是宁愿相信小概率事件是存在的。比如博彩，其实买彩票的人们心里的深知中奖概率小到何种程度，但是还是抱着投资很少的钱去赢得这个小概率事件的心态重复投资。以小概率原理来讲，在试验次

数很少的时候，小概率事件是近似等于不可能事件的。。就以购买江苏体彩为例：从0 －9这十个数中任选（可重复）6个数组成6位数,6 位数选定后,还要在0,1,2,3,4 中选一个“特别号”，以兑特等奖用，不难算的中特等奖的概率为五百万分之一。可见中高额奖金率极低,想一夜暴富可以说是天方夜谭。同样的例子有很多，例如保险公司常常获得巨大的利润即利用了小概率原理，充分了解了人们相信小概率事件存在的心理。保险公司亏本概率计算问题例：某一保险公司，有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险，在一年内，每个人死亡的概率为0.002。每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而当它在这一年死亡时，家属可从公司领取保险费2000元。求：此保险公司亏本的概率。按年来算，每年公司的收入为12×2500=30000元，假定死亡x人，则保险公司该年需赔付2000x 元，若保险公司赔本，则需2000x>30000即x>15.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验，2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验，于是x~b(k,2500,0.002).由泊松定理，P(x>15)=0.0069。可见保险公司赔本的概率是非常小的。

第三章 概率的进一步认识综合同步练习题(含答案)

第三章 概率的进一步认识综合同步练习题 1、 在抛一枚质地均匀的硬币的实验中，如果没有硬币，则下列实验不能作为替代物的是（ ） A 、一枚均匀的骰子， B 、瓶盖， C 、两张相同的卡片， D 、两张扑克牌 2、如右图，在这三张扑克牌中任意抽取一张，抽到“红桃7” 的概率是 . 3、密码锁的密码是一个四位数字的号码,每位上的数字都可以是0到9中的任一个,某人忘了密码的最后一位号码, 此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开的概率是______．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开的概率是______． 4、某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 ． 5、从一个装有2黄2黑的袋子里有放回地两次摸到的都是黑球的概率是 . 6、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是……( ) A ．1925 ； B ．1025 ； C ．625 ； D ．525 7、为了估计湖里有多少条鱼，我们从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，通过这种调查方式，我们可以估计出这个湖里有______条鱼. 8、在一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为了估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A 、28个 B 、30个 C 、36个 D 、42个 9、有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。 （1）这个游戏是否公平？请说明理由； （2）如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏 公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏。

小概率事件原理资料

小概率事件原理在生活中的应用 一、摘 要： 概率是研究随机现象的数量规律的科学，它的理论的方法已成为研究国民经济和技术不可缺少的工具，概率最早起源于对赌博问题的研究。十七世纪就出现了概率论，随着社会的发展，概率论在工农生产、国民经济、现代科学技术等方面具有广泛的应用。这既是近年来我国数学课程改革的成果之一，也是实现教育内容现代化的一个重要举措。高中数学的许多知识与概率有着密切的联系，特别是所学的排列、组合等知识在概率中得到了较为充分的应用，同时已经学习了的概率论与数理统计等内容也都以概率初步知识为基础。 小概率事件概率论是研究随机现象统计好规律的科学。在概率论与数理统计已获得当今社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要，小概率事件原理是概率论中实用价值较高，应用范围较广的基本理论，下面我们略举一些实例介绍其在其他生活领域的应用。 关 键 词：概率，骗局，抽签，质量检查，商场管理，相遇问题，假设检验，经济效益， 二、小概率事件的认识： 在n 次独立的重复试验中，事件A 发生的次数设为n μ，P 为事件A 发生的概率。则对ε? ＞0，有 0}P -n {lim n n =≥∞→εμP 或 1}{lim =≤-∞→εμP n P n n 根据伯努力大数定律，在大量重复试验中事件出现的频率接近于概率。假设事件A 发生的概率为0.001，则在1000次试验中，事件A 发生的次数大体为1次。但不管其概率是多么小，其值总是一个确定的正数。该事件随着试验次数的不断增加，迟早会发生的概率趋近于1。事实上，假如在某个随机试验中，事件A 的概率为 P （A ）=ε，ε是一个充分小的正数，则不论ε如何小，只要不断独立地重复这一试验，事件A 总是会发生的（即A 发生的概率为1）。 设以A k 表示事件A 于第k 次试验中发生这一事件，则P （A k ）=ε。