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2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

专题03 函数的几何综合问题

例1.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=

3

3

x-

3

3

与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边三角

形A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3,…,则点A2017的横坐标是____________.

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型1.1 如图,直线l:y=x+1交y轴于点A1,在x轴正方向上取点B1,使OB1=OA1;过点B1作A2B1⊥x轴,交l于点A2,在x轴正方向上取点B2,使B1B2=B1A2;过点B2作A3B2⊥x轴,交l 于点A3,在x轴正方向上取点B3,使B2B3=B2A3;…记△OA1B1面积为S1,△B1A2B2面积为S2,△B2A3B3面积为S3,…则S2017等于

()

A.24030

B.2

4031

C.2

4032

D.2

4033

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型1.2 如图,已知直线l:y=

3

3

x,过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B,过点B作直

线l的垂线交y轴于点A1;过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1,过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2;…;按此作法继续下去,则点A4的坐标为

()

A.(0,128)B.(0,256)C.(0,512)D.(0,1024)

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型1.3 如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =

3

3

x +1交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,过点A 作AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ,过点B 1 作B 1A 1 ⊥x 轴交直线l 于点A 2 …依次作下去,则点B n 的横坐标为____________.

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

例2.高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ,甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发,匀速行驶,甲车从A →B →C ,乙车从C →B →A ,甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系图象如图所示.观察图象,给出下列结论:①A 、C 之间的路程为690千米;②乙车比甲车每小时快30千米;③4.5小时两车相遇;④点E 的坐标为(7,180),其中正确的有_________(把所有正确结论的序号都填在横线上).

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A 地前往B 地,甲车以a 千米/时的速度匀速行驶,途中出现故障后停车维修,修好后以2a 千米/时的速度继续行驶;乙车在甲车出发2小时后匀速前往B 地,比甲车早30分钟到达.到达B 地后,乙车按原速度返回A 地,甲车以2a 千米/时的速度返回A 地.设甲、乙两车与A 地相距s (千米),甲车离开A 地的时间为t (小时),s 与t 之间的函数图象如图所示.下列说法:①a =40;②甲车维修所用时间为1小时;③两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25;④当t =3时,两车相距40千米,其中不正确的个数为 ( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h ,并且甲车途中休息了0.5h ,如图是甲乙两车行驶的距离y (km )与时间x (h )的函数图象.则下列结论:

(1)a =40,m =1;(2)乙的速度是80km/h ;(3)甲比乙迟7

4

h 到达B 地;

(4)乙车行驶94 小时或19

4

小时,两车恰好相距50km .正确的个数是 ( )

A .1

B .2

C .3

D .4

同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发,沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆,甲先跑一段路程后,乙开始出发,当乙超出甲150米时,乙停在此地等候甲,两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆.如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y (米)与甲出发的时间x (秒)的函数图象.则下列四种说法:①甲的速度为1.5米/秒;②a =750;③乙在途中等候甲100秒;④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米.其中正确的个数是 ( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

例3.如图,已知动点P 在函数y = 1

2x

(x >0)的图象上运动,PM ⊥x 轴于点M ,PN ⊥y 轴于点N ,线段

PM 、PN 分别与直线AB :y =-x +1交于点E ,F ,则AF ﹒BE 的值为 ( )

A .4

B .2

C .1

D .1

2

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型3.1 如图,在反比例函数y = 3

2x 的图象上有一动点A ,连接AO 并延长交图象的另一支于点B ,

在第二象限内有一点C ,满足AC =BC ,当点A 运动时,点C 始终在函数y = k x

的图象上运动,若tan ∠CAB =2,则k 的值为

( )

A .-3

B .-6

C .-9

D .-12

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同类题型3.2 如图,在平面直角坐标系中,点A 在x 轴的正半轴上,点B 在第一象限,点C 在线段AB 上,

点D 在AB 的右侧,△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形,∠OAB =∠BCD =90°,若函数y = 6

x

(x >0)的

图象经过点D ,则△OAB 与△BCD 的面积之差为( ) A .12 B .6 C .3 D .2

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型3.3 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =kx (k >0)分别交反比例函数y = 1x 和y = 9

x

在第一象限的图象于点A ,B ,过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ,交y = 1

x

的图象于点C ,连结A C .若△ABC 是等

腰三角形,则k 的值是___________.

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例4.如图,一次函数y =x +b 的图象与反比例函数y = k x

的图象交于点A (3,6)与点B ,且与y 轴交于点C ,若点P 是反比例函数y = k x

图象上的一个动点,作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ,连结BN 、

CM .若S △ACM =S △ABN ,则AP

AN

的值为__________.

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同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时,函数y =-2x +b 的图象上至少有一点在函数y = 1

x

的图象下方,则b 的

取值范围为 ( )

A .b >2 2

B .b < 92

C .b <3

D .2 2<b < 9

2

同类题型4.2 方程x 2

+3x -1=0的根可视为函数y =x +3的图象与函数y = 1x

的图象交点的横坐标,

那么用此方法可推断出方程x 2

+2x -1=0的实数根x 0 所在的范围是

( )

A .-1<x 0 <0

B .0<x 0 <1

C .1<x 0 <2

D .2<x 0 <3

例5.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-x 2+2mx -m 2

-m +1交y 轴于点为A ,顶点为D ,对称轴与x 轴交于点H .当抛物线顶点D 在第二象限时,如果∠ADH =∠AHO ,则m =__________.

同类题型5.1 已知抛物线y = 14

x 2

+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F (0,2)的距离与到

x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为( 3 ,3),P 是抛物线y = 14

x 2

+1上一个动点,则△PMF

周长的最小值是 ( )

A .3

B .4

C .5

D .6

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

同类题型5.2 抛物线y =ax 2

+bx +3(a ≠0)经过点A (-1,0),B ( 32

,0),且与y 轴相交于点C .

设点D 是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E 在线段AC 上,且DE ⊥AC ,当△DCE 与△AOC 相似时,求点D 的坐标.

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同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A ,出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上,点A 至出水管BD 的距离为12cm ,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ,则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__________cm .

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参考答案 例1.如图,在平面直角坐标系中,直线l :y = 33x - 3

3

与x 轴交于点B 1 ,以OB 1 为边长作等边三角

形A 1OB 1 ,过点A 1 作A 1B 2 平行于x 轴,交直线l 于点B 2 ,以A 1B 2 为边长作等边三角形A 2A 1B 2 ,过点A 2 作A 2B 3 平行于x 轴,交直线l 于点B 3 ,以A 2B 3 为边长作等边三角形A 3A 2B 3 ,…,则点A 2017 的横坐标是____________.

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:由直线l :y =

33x -33 与x 轴交于点B 1 ,可得B 1 (1,0),D (0,-33

),

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∴OB 1 =1,∠OB 1 D =30°,

如图所示,过A 1 作A 1A ⊥OB 1 于A ,则OA =12OB 1=1

2

即A 1 的横坐标为12=21-1

2

由题可得∠A 1B 2B 1=∠OB 1 D =30°,∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1 O =60°,

∴∠A 1B 1B 2 =90°, ∴A 1B 2=2A 1B 1 =2,

过A 2 作A 2B ⊥A 1B 2 于B ,则A 1B =1

2A 1B 2 =1,

即A 2 的横坐标为12+1=32=22

-1

2 ,

过A 3 作A 3C ⊥A 2B 3 于C ,

同理可得,A 2B 3=2A 2B 2 =4,A 2C =1

2A 2B 3 =2,

即A 3 的横坐标为12+1+2=72=23

-1

2

同理可得,A 4 的横坐标为12+1+2+4=152=24

-1

2 ,

由此可得,A n 的横坐标为2n

-1

2 ,

∴点A 2017 的横坐标是22017-1

2

同类题型1.1 如图,直线l :y =x +1交y 轴于点A 1 ,在x 轴正方向上取点B 1 ,使OB 1=OA 1 ;过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴,交l 于点A 2 ,在x 轴正方向上取点B 2 ,使B 1B 2=B 1A 2 ;过点B 2 作A 3B 2 ⊥x 轴,交l 于点A 3 ,在x 轴正方向上取点B 3 ,使B 2B 3=B 2A 3 ;…记△OA 1B 1 面积为S 1 ,△B 1A 2B 2 面积为S 2 ,△B 2A 3B 3 面积为S 3 ,…则S 2017 等于( )

A .24030

B .24031

C .24032

D .24033

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:∵OB 1=OA 1 ;过点B 1 作A 2B 1 ⊥x 轴,B 1B 2=B 1A 2;A 3B 2 ⊥x 轴,B 2B 3=B 2A 3 ;… ∴△△OA 1B 1 ,△B 1A 2B 2 ,△B 2A 3B 3 是等腰直角三角形, ∵y =x +1交y 轴于点A 1 , ∴A 1 (0,1), ∴B 1 (1,0), ∴OB 1=OA 1 =1,

∴S 1=12×1×1=12×12 ,

同理S 2=12×2×2=12×22 ,S 3=12×4×4=12×42

;…

∴S n =12

×22n -2=22n -3 ,

∴S 2017=22×2017-3=24031

, 选B .

同类题型1.2 如图,已知直线l :y = 3

3

x ,过点A (0,1)作y 轴的垂线交直线l 于点B ,过点B 作直

线l 的垂线交y 轴于点A 1 ;过点A 1 作y 轴的垂线交直线l 于点B 1 ,过点B 1 作直线l 的垂线交y 轴于点

A2;…;按此作法继续下去,则点A4的坐标为()

A.(0,128) B.(0,256) C.(0,512) D.(0,1024)

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:∵直线l的解析式为;y=

3

3

x,

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∴l与x轴的夹角为30°,∵AB∥x轴,

∴∠ABO=30°,

∵OA=1,

∴OB=2,

∴AB= 3 ,

∵A1B⊥l,

∴∠ABA1=60°,

∴A1O=4,

∴A1(0,4),

同理可得A2(0,16),

∴A4纵坐标为44

=256,

∴A4(0,256).选B.

同类题型1.3 如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=

3

3

x+1交x轴于点B,交y轴于点A,过点A

作AB1⊥AB交x轴于点B1,过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去,则点B n的横坐标为____________.

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:由直线l :y =

3

3

x +1交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,可得A (0,1),B (- 3 ,0),

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∴tan ∠ABO =

3

3

,即∠ABO =30°, ∴BA =2AO =2,

又∵AB 1 ⊥AB 交x 轴于点B 1 ,AO =1,

∴AB 1=2

3

3 ,

∴Rt △BAB 1 中,BB 1=4

3

3 ;

由题可得BA 1=8

3 ,

∴A 1B 2=8

9

3 ,

∴Rt △BA 1B 2 中,BB 2=16

9

3 ;

由题可得BA 2=32

9 ,

∴A 2B 3=32

27

3 ,

∴Rt △BA 2B 3 中,BB 3=64

27

3 ,

以此类推,BB n =(43)n

3 ,

又∵BO = 3 ,

∴OB n =(43

)n

3- 3 ,

∴点B n 的横坐标为(43

)n

3- 3 .

例2.高速公路上依次有3个标志点A 、B 、C ,甲、乙两车分别从A 、C 两点同时出发,匀速行驶,甲车从A →B →C ,乙车从C →B →A ,甲、乙两车离B 的距离y 1 、y 2 (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数关系图象如图所示.观察图象,给出下列结论:①A 、C 之间的路程为690千米;②乙车比甲车每小时快30千米;③4.5小时两车相遇;④点E 的坐标为(7,180),其中正确的有_________(把所有正确结论的序号都填在横线上).

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:①450+240=690(千米).

故A、C之间的路程为690千米是正确的;

②450÷5-240÷4

=90-60

=30(千米/小时).

故乙车比甲车每小时快30千米是正确的;

③690÷(450÷5+240÷4)

=690÷(90+60)

=690÷150

=4.6(小时).

故4.6小时两车相遇,原来的说法是错误的;

④(450-240)÷(450÷5-240÷4)

=210÷(90-60)

=210÷30

=7(小时),

450÷5×7-450

=630-450

=180(千米).

故点E的坐标为(7,180)是正确的,

故其中正确的有①②④.

同类题型2.1 甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地,甲车以a千米/时的速度匀速行驶,途中出现故障后停车维修,修好后以2a千米/时的速度继续行驶;乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地,比甲车早30分钟到达.到达B地后,乙车按原速度返回A地,甲车以2a千米/时的速度返回A地.设甲、乙两车与A地相距s(千米),甲车离开A地的时间为t(小时),s与t之间的函数图象如图所示.下列说法:①a=40;②甲车维修所用时间为1小时;③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25;④当t=3时,两车相距40千米,其中不正确的个数为()

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:①由函数图象,得

a=120÷3=40

故①正确,

②由题意,得

5.5-3-120÷(40×2),

=2.5-1.5,

=1.

∴甲车维修的时间为1小时;

故②正确, ③如图:

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∵甲车维修的时间是1小时, ∴B (4,120).

∵乙在甲出发2小时后匀速前往B 地,比甲早30分钟到达. ∴E (5,240).

∴乙行驶的速度为:240÷3=80, ∴乙返回的时间为:240÷80=3, ∴F (8,0).

设BC 的解析式为y 1=k 1t +b 1 ,EF 的解析式为y 2=k 2t +b 2 ,由图象,得 ?

????120=4k 1+b 1240=5.5k 1+b ,,?????240=5k 2+b 20=8k 2+b 2 解得?????k 1=80b 1=-200 ,?

????k 2=-80b 2=640 ,

∴y 1 =80t -200,y 2 =-80t +640, 当y 1=y 2 时,

80t -200=-80t +640, t =5.25.

∴两车在途中第二次相遇时t 的值为5.25小时, 故弄③正确,

④当t =3时,甲车行的路程为:120km ,乙车行的路程为:80×(3-2)=80km , ∴两车相距的路程为:120-80=40千米, 故④正确, 选A .

同类题型2.2 甲、乙两车从A 地驶向B 地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h ,并且甲车途中休息了0.5h ,如图是甲乙两车行驶的距离y (km )与时间x (h )的函数图象.则下列结论: (1)a =40,m =1;

(2)乙的速度是80km/h ;

(3)甲比乙迟7

4 h 到达B 地;

(4)乙车行驶94 小时或19

4

小时,两车恰好相距50km .

正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:(1)由题意,得m =1.5-0.5=1. 120÷(3.5-0.5)=40(km/h ),则a =40,故(1)正确; (2)120÷(3.5-2)=80km/h (千米/小时),故(2)正确;

(3)设甲车休息之后行驶路程y (km )与时间x (h )的函数关系式为y =kx +b ,由题意,得 ???40=1.5k+b 120=3.5k+b

解得:???k =40b =-20

∴y =40x -20,

根据图形得知:甲、乙两车中先到达B 地的是乙车, 把y =260代入y =40x -20得,x =7, ∵乙车的行驶速度:80km/h ,

∴乙车的行驶260km 需要260÷80=3.25h ,

∴7-(2+3.25)=7

4 h ,

∴甲比乙迟7

4

h 到达B 地,故(3)正确;

(4)当1.5<x ≤7时,y =40x -20.

设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的解析式为y =k 'x +b ',由题意得 ???0=2k ′+b ′120=3.5k ′+b ′

解得:???k ′=80b ′=-160

∴y =80x -160.

当40x -20-50=80x -160时,

解得:x=9

4

当40x -20+50=80x -160时,

解得:x=19

4

∴94-2=14 ,194-2=11

4

. 所以乙车行驶小时14 或11

4

小时,两车恰好相距50km ,故(4)错误.

选C .

同类题型2.3 甲、乙两人从科技馆出发,沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆,甲先跑一段路程后,乙开始出发,当乙超出甲150米时,乙停在此地等候甲,两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆.如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y (米)与甲出发的时间x (秒)的函数图象.则下列四种说法:①甲的速度为1.5米/秒;②a =750;③乙在途中等候甲100秒;④乙出发后第一次与甲

相遇时乙跑了375米.其中正确的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个

D .4个

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:①根据图象可以得到:甲共跑了900米,用了600秒,则

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

甲的速度是:900÷600=1.5米/秒,故①正确;

②甲跑500秒时的路程是:500×1.5=750米,故②正确;

③CD 段的长是900-750=150米,时间是:560-500=60秒,则 乙速度是:150÷60=2.5米/秒;

甲跑150米用的时间是:150÷1.5=100秒,则 甲比乙早出发100秒.

乙跑750米用的时间是:750÷2.5=300秒,则

乙在途中等候甲用的时间是:500-300-100=100秒,故③正确; ④甲每秒跑1.5米,则

甲的路程与时间的函数关系式是:y =1.5x , 乙晚跑100秒,且每秒跑2.5米,则 AB 段的函数解析式是:y =2.5(x -100), 根据题意得:1.5x =2.5(x -100), 解得:x =250秒.

∴乙的路程是:2.5×(250-100)=375(米).

∴甲出发250秒和乙第一次相遇,此时乙跑了375米,故④正确. 选D .

例3.如图,已知动点P 在函数y = 1

2x

(x >0)的图象上运动,PM ⊥x 轴于点M ,PN ⊥y 轴于点N ,线段

PM 、PN 分别与直线AB :y =-x +1交于点E ,F ,则AF ﹒BE 的值为( )

A .4

B .2

C .1

D .1

2

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:作FG ⊥x 轴,

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∵P的坐标为(a,1

2a

),且PN⊥OB,PM⊥OA,

∴N的坐标为(0,1

2a

),M点的坐标为(a,0),

∴BN=1-1

2a

在直角三角形BNF中,∠NBF=45°(OB=OA=1,三角形OAB是等腰直角三角形),

∴NF=BN=1-1

2a

∴F点的坐标为(1-1

2a ,

1

2a

),

同理可得出E点的坐标为(a,1-a),

∴AF 2

=(1-1+

1

2a

2

+(

1

2a

2

1

2a

2

,BE

2

=(a)

2

+(-a)

2

=2a

2

∴AF 2

﹒BE

2

1

2a

2

﹒2a

2

=1,即AF﹒BE=1.

选C.

同类题型3.1 如图,在反比例函数y=3

2x

的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,

在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=k

x

的图象上运动,若tan∠CAB

=2,则k的值为()

A.-3 B.-6 C.-9 D.-12

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:如图,连接OC,过点A作AE⊥y轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F,

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∵由直线AB与反比例函数y=3

2x

的对称性可知A、B点关于O点对称,

∴AO =BO . 又∵AC =BC , ∴CO ⊥A B .

∵∠AOE +∠AOF =90°,∠AOF +∠COF =90°, ∴∠AOE =∠COF ,

又∵∠AEO =90°,∠CFO =90°, ∴△AOE ∽△COF ,

AE CF =OE OF =AO CO

, ∵tan ∠CAB =OC

OA

=2,

∴CF =2AE ,OF =2OE .

又∵AE ﹒OE =3

2

,CF ﹒OF =|k |,

∴k =±6.

∵点C 在第二象限, ∴k =-6, 选B .

同类题型3.2 如图,在平面直角坐标系中,点A 在x 轴的正半轴上,点B 在第一象限,点C 在线段AB 上,

点D 在AB 的右侧,△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形,∠OAB =∠BCD =90°,若函数y= 6

x

(x >0)的

图象经过点D ,则△OAB 与△BCD 的面积之差为( ) A .12 B .6 C .3 D .2

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:∵△OAB 和△BCD 都是等腰直角三角形,

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∴OA =AB ,CD =B C .

设OA =a ,CD =b ,则点D 的坐标为(a +b ,a -b ),

∵反比例函数y =6

x

在第一象限的图象经过点D ,

∴(a +b )(a -b )=a 2-b 2

=6,

∴△OAB 与△BCD 的面积之差=12a 2-12b 2=1

2

×6=3.

选C .

同类题型3.3 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =kx (k >0)分别交反比例函数y = 1x 和y = 9

x

在第一象限的图象于点A ,B ,过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ,交y = 1

x

的图象于点C ,连结A C .若△ABC 是等

腰三角形,则k 的值是___________.

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:∵点B 是y =kx 和y =9x 的交点,y =kx =9

x

解得:x =

3

k

,y =3k ,

∴点B 坐标为(

3

k

,3k ),

点A 是y =kx 和y =1x 的交点,y =kx =1

x

解得:x =

1

k

,y =k ,

∴点A 坐标为(1

k

,k ),

∵BD ⊥x 轴, ∴点C 横坐标为

3

k

,纵坐标为

13k

=k

3

, ∴点C 坐标为(

3

k

k

3

),

∴BA ≠AC ,

若△ABC 是等腰三角形,

①AB =BC ,则(3k -1k )2+(3k -k )2

=3k -k 3 ,

解得:k =37

7 ;

②AC =BC ,则(3

k

1k

)2+(k -k 3)2=3k -k 3 ,

解得:k =

15

5

; 故答案为k =377 或15

5

例4.如图,一次函数y =x +b 的图象与反比例函数y = k x

的图象交于点A (3,6)与点B ,且与y 轴交于点C ,若点P 是反比例函数y = k x

图象上的一个动点,作直线AP 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ,连结BN 、

CM .若S △ACM =S △ABN ,则AP

AN

的值为__________.

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

解:把A (3,6)代入到一次函数y =x +b 与反比例函数y =k x

中, 得:b =3,k =18,

∴y =18

x

,y =x +3,

∴C (0,3), 则?????y =18x y =x +3

,解得:?????x 1=3y 1=6 ,????

?x 2=-6y 2=-3 ,

∴B (-6,-3), 分两种情况:

①点P 在第一象限时,如图1,

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∵S △ACM =S △ABN ,

S △MNC -S △ACN =S △ACN +S △BCN , S △MNC =2S △ACN +S △BCN , 12NC ﹒OM =2×12NC ×3+1

2 NC ×6, OM =6+6=12, ∴M (12,0),

直线AM 的解析式为:y =-2

3

x +8,

∴N (0,8),

则?

??y =

18x

y =-2

3

x +8

18x =-2

3

x +8, 解得:x =3或9, ∴P (9,2),

∴AN =32+22=13 ,AP =62+42

=213 , ∴AP AN =21313

=2;

②当点P 在第三象限上时,如图2,

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

∵S △ACM =S △ABN ,

∴S △ACN +S △MNC =S △ACN +S △BCN , S △MNC =S △BCN , 12NC ﹒OM =1

2 NC ×6, ∴OM =6, ∴M (-6,0),

直线AM 的解析式为:y =2

3

x +4,

∴N (0,4),

则?

??y =

18x

y =23

x +4 ,

18x =2

3

x +4, 解得:x =3或-9, ∴P (-9,-2),

∴AN =13 ,AP =122+82

=413 , ∴AP AN =41313

=4, 综上所述,则AP AN

的值为2或4.

同类题型4.1 当12 ≤x ≤2时,函数y =-2x +b 的图象上至少有一点在函数y = 1

x

的图象下方,则b 的

取值范围为( )

A .b >2 2

B .b < 92

C .b <3

D .2 2<b < 9

2

解:在函数y =1x 中,令x =2,则y =12 ;令x =1

2

,则y =2;

若直线y =-2x +b 经过(2,1

2

),则

12 =-4+b ,即b =9

2

; 若直线y =-2x +b 经过(1

2

,2),则

2=-1+b ,即b =3,

∵直线y =-2x +9

2

在直线y =-2x +3的上方,

∴当函数y =-2x +b 的图象上至少有一点在函数y =1

x

的图象下方时,直线y =-2x +b 在直线

y =-2x +92

的下方,

∴b 的取值范围为b <9

2

选B .

同类题型4.2 方程x 2

+3x -1=0的根可视为函数y =x +3的图象与函数y = 1x

的图象交点的横坐标,

那么用此方法可推断出方程x 2

+2x -1=0的实数根x 0 所在的范围是( ) A .-1<x 0 <0 B .0<x 0 <1 C .1<x 0 <2 D .2<x 0 <3

解:方程x 2

+2x -1=0的实数根可以看作函数y =x +2和y =1x

的交点.

函数大体图象如图所示:

2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题

A .由图可得,第三象限内图象交点的横坐标小于-2,故-1<x 0 <0错误;

B .当x =1时,y 1 =1+2=3,y 2=1

1

=1,而3>1,根据函数的增减性可知,第一象限内的交点的横坐

标小于1,故0<x 0 <1正确;

C .当x =1时,y 1 =1+2=3,y 2=1

1

=1,而3>1,根据函数的增减性可知,第一象限内的交点的横坐

标小于1,故1<x 0 <2错误;

D .当x =2时,y 1 =2+2=4,y 2=12 ,而4>1

2

,根据函数的增减性可知,第一象限内的交点的横坐标

小于2,故2<x 0 <3错误. 选B .

例5.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-x 2+2mx -m 2

-m +1交y 轴于点为A ,顶点为D ,对称轴与x 轴交于点H .当抛物线顶点D 在第二象限时,如果∠ADH =∠AHO ,则m =__________.

解:(1)∵y =-x 2+2mx -m 2-m +1=-(x -m )2

-m +1, ∴顶点D (m ,1-m ). ∵顶点D 在第二象限, ∴m <0.

当点A 在y 轴的正半轴上, 如图(1)作AG ⊥DH 于点G ,

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