二次型和正定矩阵

二次型

2007-029-8

设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。 2007-029-9

已知二次曲面方程为222

123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1）

求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？

2007-008-8

已知矩阵????

?

?

???

???----=8111181111811118A (1)求二次型????

??

?

??=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ;

(2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型;

(3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基.

(4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积)

2007-021-7

121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差.

2007-012-2

求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。

2007-001（A ）-1

化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.

2007-030-2（3）（填空题）

已知实二次型3132212

32221321222),,(x ax x x x x x ax x x x x f --+++=的正负惯性指数都

是1，则a = .

2007-030-3（6）（计算与证明题）

设A 是n 级实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明A 是可逆矩阵。

2007-031-6

设A 为n 阶正定矩阵，n ααα,,,21 为实n 维非零列向量，当j i ≠时有0'=j i A αα，证明： n ααα,,,21 线性无关.

2007-031-9

用正交线性替换将二次型

32212322213214432),,(x x x x x x x x x x f --++=

化为标准型.

2007-032-1（3）（判断题）

两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。

2007-032-6

设A 是n 阶正定矩阵，证明它的行列式A A ≤的主对角线元素之积，等式成立当且仅当A 的对角阵。

2007-032-7

设12,,,n ααα 是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的

Gram 矩阵()ij A a =可逆，其中(,)ij i j a αα=。

2007-033-3

给出将121314232434222222x x x x x x x x x x x x +--++化为标准形的正交线性替换。

2007-034-4

设A 为n 阶正交矩阵且-1不是A 的特征值。证明1()()n n B A I A I -=-+是反对称矩阵且

1()()n n A I B I B -=+-。

2007-034-6

设A 为n 阶实正定对称矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵。证明A B +的行列式

det()0A B +>。

2007-035-1（14）（选择、是非及填空题）

设320222021A -??

?

=-- ? ?-??

，则使A tE +正定的实数t 的取值范围是 。

2007-035-2（20）（计算与证明题）

设A B B D ?? ?'??

为正定矩阵，其中A 为m 阶方阵，D 为n 阶方阵，B 为m n ?矩阵。证明：,A D 与1D B A B -'-都是正定矩阵。

2007-035-2（22）（计算与证明题）

设A 为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B ，使2B A =。

2007-036-4

设()f x X AX '=为实二次型，且存在12,X X ，使12()0,()0f X f X ><，请证明：存在

30X ≠，使得3()0f X =。

2007-019-4

证明任意n 阶实可逆阵A 可以表成一个正定阵S 与一个正交阵Q 之积。

2007-037-7

设A 为n 阶实对称矩阵，证明必存在数a 使得A aI +为半正定而非正定，这里I 表示n 阶单位矩阵。

2007-037-11

（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：

222

1234124121314232434(,,,)2442222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++

（2）t 取什么值时，二次型

222

123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++

为正定的？

2007-038-3

用正交化二次型222

123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形。并写出所作

的正交变换。

2007-038-8

若A 是实对称矩阵，证明：存在对称矩阵B ，使得3A B =。并对二阶方阵13141413-??

?-??。

求出一个满足上面条件的矩阵B 。

2007-040-6

试将222

12312313(,,)2Q x x x ax bx ax cx x =+++划为标准形，求出变换矩阵，并指出,,a b c 满

足什么条件时，Q 正定。

2007-040-7

设,A B 都是正定实对称矩阵，证明：（1）AB 正定的充要条件是AB BA =。（2）如果A B -正定，则11B A ---也是正定。

2007-041-6

设,A B 均是n 阶实对称矩阵，且B 正定，证明（ⅰ）B A λ-的根是实数;（ⅱ）设

0B A λ-=的根为i λ，1,2,,i n = 且12n λλλ≥≥≥ ，则()f X X AX '=（X '是X 的转置）

在约束条件下1X BX '=下的最大值和最小值分别为1,n λλ。

2007-041-8

设2

11

1

n

n

i i n i i i f a x b x x -+===+∑∑，其中,a b 是实数，问,a b 满足什么条件时，二次型f 是正定

的？

2007-043-4

设一个二次曲面在直角坐标系[;,,]O x y z 下的方程为

2222323828824x y z xy xz yz ++-+-=，求一个正交直角坐标变换T ：

x u y T v z w ????

? ?= ? ? ? ?????

使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。

2007-043-4

设A 为一个n 阶正定矩阵，B 为一个n 阶反对称矩阵，即B 满足：T B B =-。

1. 证明：存在n 阶实可逆矩阵T 使得T A TT =，其中T T 表示矩阵T 的转置矩阵。

2. 证明：B 的特征值或者是0或者是纯虚数。

3. 证明：A B +为可逆矩阵。

2007-044-7

设A 是一个n n ?实对称矩阵，λ是A 的最大特征值。证明：,1

1n

ij i j a n λ=≤∑。

2007-013-2

（1）证明：任意n 阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；

（2）设A 是n 阶实方阵，且对任意的非零列向量α，都有0A αα'>。证明：存在正定矩阵B 和反对称矩阵C 使得A B C =+。

2007-018-3

设1241102

4130041712

07A ??

?

?

= ?

?--??

，1234(,,,)X x x x x =，()f X X AX '=。问()f X 是否是一个正定二次型，为什么？

2007-018-6

设n 阶矩阵A 对于任意的n 维列向量X 满足0X AX '=。（ⅰ）证明当A 为对称矩阵时0A =，（ⅱ）如果矩阵A 不是对称的，A 未必是零矩阵。

2007-018-9

设0001001001001000A ??

? ?

?= ? ? ???

为21n +阶实对称矩阵，试求正交矩阵P ，使得1P AP D -=为

对角形矩阵，并求D 。

2007-018-10

证明（1）n 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2）n 阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。

2007-013-9

证明下述1n +阶实矩阵A 是正定矩阵：2312

34212321222223122222

34222221

2321n n n n n n n A n n n n n ++++++?? ?+ ? ?

?=+ ?

?

?

?

?++++??

2007-007-1（9）（填空）

设A 是n 级实对称矩阵，则A 为正定矩阵的充分必要条件是 。

2007-007-7

设实二次型12(,,,)n f x x x 的系数矩阵为A ，若0A <，证明：必存在一组实数

12,,,n a a a ，使12(,,,)0n f a a a < 。

2007-046-7

设()ij n n A a ?=为一实对称阵，若A 是半正定的，则A 的一切主子式0k A ≥其中

1112

121

2

2212k k k k k k i i i i i i i i i i i i k i i i i i i a a a a a a A a a a ??

?

?

??

=????

????

且11k i i n ≤≤≤≤ 。 2007-004-5

设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。

2007-004-7

设二次型222

123121323224f x x x ax x x x bx x =+++++通过正交变换化为标准形22

23

2f y y =+，求参数,a b 及所用的正交变换。 2007-047-1（5）（填空）

复数域上C 上n 阶对称矩阵按合同关系分类，共有 类。

2007-048-8（5）

假设n n ?实对称矩阵,A B 以及A B -均是正定矩阵，证明：11B A ---也是正定矩阵。

2007-026-10

讨论二次型222

123123121323(,,)25484f x x x tx x x x x x x x x =+++--何时正定。

2007-024-1（7）（判断题）

任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。

2007-024-1（8）（判断题）

设()ij A a =为正定矩阵，则在A 的所有元素中，绝对值最大者必在A 的主对角线上。

2007-024-2（2）（填空题）

设实二次型11231232

3121(,,)(,,)000323x f x x x x x x x x ???

? ???

= ??? ???????

，则123(,,)f x x x 的矩阵为 ，符号差 。

2007-024-2（3）（填空题）

实二次型222

123123121323(,,)52422f x x x x x x x x x x x x λλ=+++--是正定二次型当且仅当λ

满足条件 。

2007-024-4

设112013221A ??

?

= ? ???

，把A 分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

2007-024-7

设A 是n 级正定矩阵，B 是n 级实矩阵并且0不是B 的特征值，证明：A B B A '+>。

2007-010-1（3）（填空题）

已知二次曲面2222221x y z ax xz byz +++++=经过正交变换x x y Q y z z '????

????'=????'????????

化成椭圆柱面22()2()1y z ''+=，则常数a 与b 应满足的条件是 。

2007-010-1（5）（填空题）

已知222

12312132355266f x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则参数c = 。

2007-010-4

设A 为正定矩阵。证明：存在可逆矩阵B 使得2A B =。

2007-010-8

用非退化线性变换化下列二次型为规范形，并写出所作的线性变换：

1

21

32

(1,2,3)422f x x x x x

x x x x

=-

++

。

二次型和正定矩阵

二次型 2007-029-8 设mn A 是实矩阵，E 为n 级单位矩阵。已知矩阵.B E A A λ'=+ 证明：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵。 2007-029-9 已知二次曲面方程为222 123121323255448 1.x x x x x x x x x +++--=（1） 求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形；（2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？ 2007-008-8 已知矩阵???? ? ? ??? ???----=8111181111811118A (1)求二次型???? ?? ? ??=432143214321),,,(),,,(x x x x A x x x x x x x x f ; (2)用正交线性替换化二次型),,,(4321x x x x f 为标准型; (3)证明βαβαA T =),(定义了4R 上的内积,其中βα,是4R 的列向量,T α是α的转置,并求在该内积下4R 的一组标准正交基. (4)求实对称矩阵B 使得A B k =,其中k 为正整数(只要写出B 的表达式,不必计算其中的矩阵乘积) 2007-021-7 121234212(,,...,)...n n n f x x x x x x x x x -=+++求二项式的秩和正负惯性指数之差. 2007-012-2 求实二次型 3241312143212422),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的规范形及符号差。 2007-001（A ）-1 化二次型()123122313,,222f x x x x x x x x x =-+为标准型,并给出所用的非退化线性替换.

正定二次型的性质及应用

摘要............................................. 错误!未定义书签。关键词............................................. 错误!未定义书签。Abstract.......................................... 错误!未定义书签。Keywords.......................................... 错误!未定义书签。前言............................................... 错误!未定义书签。1预备知识........................................ 错误!未定义书签。二次型定义........................................ 错误!未定义书签。正定二次型定义.................................... 错误!未定义书签。 2 正定二次型的性质............................... 错误!未定义书签。 3 正定二次型的应用 (7) 正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 正定二次型在分块矩阵中的应用...................... 错误!未定义书签。正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用........ 错误!未定义书签。正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）错误!未定义书签。 正定二次型在解线性方程组中的应用.................. 错误!未定义书签。正定二次型在物理力学问题中的应用.................. 错误!未定义书签。结束语.. (13) 参考文献.......................................... 错误!未定义书签。

5-3 正定二次型与正定矩阵

５－３ 正定二次型与正定矩阵 复习：５．２．４： ｎ元二次型 ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形： ｆ＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋…＋ｄｐｙｐ２－ｄｐ＋１ｙｐ＋１２－…－ｄｒｙｒ２ （ＡＴ ＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换： ????? ????? ???====++n n r r r r r z y z y z d y z d y 1111 1 11， 化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１２ ＋…＋ｚｐ２ －ｚｐ＋１２ －…－ｚｒ２ ，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。 一、正定二次型与正定矩阵的概念 定义５．３［Ｐ205：－３行至P206：１行］换个方式讲 设ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ ＝Ａ）是一个ｎ元实二次型，如果对每一个非零ｎ维 实列向量Ｘ０＝（ｃ１，ｃ２，…，Ｃｎ）Ｔ，都有Ｘ０Ｔ ＡＸ０＞０，则称ｆ为正定二次型，称Ａ为正定矩阵。 思考题（１）［Ｐ２０９］： 作业：Ｐ２１６：１２（讲）：如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，则Ａ＋Ｂ也是正定矩阵。 Ｐ２６３：证明题：２ 二、二次型为正定二次型的充要条件（五个）： １、定理５．３ ｎ元实二次型ｆ为正定二次型 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ ［即：ｆ的正惯性指数ｐ＝ｆ的秩ｒ＝ｆ的变元个数ｎ］ ?ｆ的规范形为：ｚ１２＋ｚ２２＋…＋ｚｎ２ 。 作用：化实二次型为标准形，据系数为正的平方项的个数判断ｆ的正定性。 例：P202例５．４中，３元实二次型ｆ的标准形为：２ｙ１２ ＋３ｙ２２ ＋ 3 5ｙ３２ ，ｆ的正惯性指数为３，所以ｆ正定。 例：P203例５．５中， ３元实二次型ｆ的标准形为：ｚ１２－ｚ２２ ，ｆ的正惯性指数为