5-3 正定二次型与正定矩阵
５－３ 正定二次型与正定矩阵
复习：５．２．４： ｎ元二次型
ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｒｙｒ２
（ＡＴ
＝Ａ） 其中：ｄｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｒ≤ｎ。 ｎ元二次型经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为如下标准形：
ｆ＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）ｙ＝ｄ１ｙ１２＋…＋ｄｐｙｐ２－ｄｐ＋１ｙｐ＋１２－…－ｄｒｙｒ２
（ＡＴ
＝Ａ） 其中：ｄｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｒ；ｒ＝秩（Ａ），０≤ｐ≤ｒ≤ｎ。 再作满秩线性变换：
?????
?????
???====++n
n r r r
r
r z y z y z d y z d y 1111
1
11，
化ｆ为规范形：ｆ＝ｚ１２
＋…＋ｚｐ２
－ｚｐ＋１２
－…－ｚｒ２
，０≤ｐ≤ｒ≤ｎ，ｒ＝秩（Ａ）。
一、正定二次型与正定矩阵的概念
定义５．３［Ｐ205：－３行至P206：１行］换个方式讲
设ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ
＝Ａ）是一个ｎ元实二次型，如果对每一个非零ｎ维
实列向量Ｘ０＝（ｃ１，ｃ２，…，Ｃｎ）Ｔ，都有Ｘ０Ｔ
ＡＸ０＞０，则称ｆ为正定二次型，称Ａ为正定矩阵。 思考题（１）［Ｐ２０９］： 作业：Ｐ２１６：１２（讲）：如果Ａ、Ｂ为同阶正定矩阵，则Ａ＋Ｂ也是正定矩阵。 Ｐ２６３：证明题：２
二、二次型为正定二次型的充要条件（五个）： １、定理５．３ ｎ元实二次型ｆ为正定二次型 ?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ
［即：ｆ的正惯性指数ｐ＝ｆ的秩ｒ＝ｆ的变元个数ｎ］
?ｆ的规范形为：ｚ１２＋ｚ２２＋…＋ｚｎ２
。
作用：化实二次型为标准形，据系数为正的平方项的个数判断ｆ的正定性。 例：P202例５．４中，３元实二次型ｆ的标准形为：２ｙ１２
＋３ｙ２２
＋
3
5ｙ３２
，ｆ的正惯性指数为３，所以ｆ正定。
例：P203例５．５中， ３元实二次型ｆ的标准形为：ｚ１２－ｚ２２
，ｆ的正惯性指数为
１＜３，所以ｆ不正定。
证明［不讲］：设ｎ元实二次型ｆ经满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化为标准形：
ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）＝ＸＴＡＸ＝ｙＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋……＋ｄｎｙｎ２（１）必要性：如果ｆ是正定的，来证ｄ１，…，ｄｎ都大于零，从而正惯性指数ｐ＝ｎ。
（反证法）假如存在某一个ｄｉ≤０（１≤ｉ≤ｎ），则取
Ｙ０＝（ｙ１，…，ｙｉ－１，ｙｉ，ｙｉ＋１，…，ｙｎ）Ｔ＝（０，…，０，１，０，…，０）Ｔ，因为Ｙ０≠０，所以Ｘ０＝ＣＹ０≠０，将Ｘ０，Ｙ０代入（１）式，得
ｆ（Ｘ０）＝Ｙ０Ｔ（ＣＴＡＣ）Ｙ０＝ｄ１０＋…＋ｄｉ－１０＋ｄｉ×１＋ｄｉ＋１０＋…＋ｄｎ０
＝ｄｉ≤０
这与ｆ正定矛盾，故ｄ１，…，ｄｎ都大于零，从而正惯性指数ｐ＝ｎ。
充分性：如果ｄ１，…，ｄｎ都大于零，来证ｆ正定。
对于每一个Ｘ＝（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ）Ｔ≠０，因为Ｃ可逆，对应的Ｙ＝Ｃ－１Ｘ＝（ｙ１，ｙ２，…，，…，ｙｎ）Ｔ≠０，将Ｘ、Ｙ的值代入（１）式，得ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ）＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２＞０，
由Ｘ的任意性得，ｆ正定。
２、推论１：实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）正定（即实对称矩阵Ａ正定）
?Ａ的所有特征值都大于零。
证明：据定理５．１，ｎ元实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ可经过正交变换Ｘ＝ＰＹ化为标准形：ｆ＝ＸＴＡＸ＝λ１ｙ１２＋λ２ｙ２２＋…＋λｎｙｎ２，
其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。所以
Ａ的所有特征值都大于零
?用正交变换化ｆ为标准形后，正平方项的个数为ｎ个
?ｆ的正惯性指数ｐ＝ｎ
?实二次型ｆ正定。
作用：求出ｎ阶实对称矩阵Ａ的所有特征值，可判断ｆ是否正定。
３、推论２：ｎ元实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）正定（即实对称矩阵Ａ正定）?Ａ与ｎ阶单位矩阵Ｅ合同，即存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｅ。
证明：ｎ元实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）正定
?ｆ的规范形为：ｚ１２＋ｚ２２＋…＋ｚｎ２。
?Ａ合同于Ｅ。
作用：由Ａ能否化合同变换化成Ｅ，来判断Ａ是否正定。
４、实对称矩阵Ａ正定?存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴＭ。［Ｐ２１６１３题］证明：必要性：如果Ａ正定，则存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｅ，于是，
Ａ＝（ＣＴ）－１ＥＣ－１＝（Ｃ－１）ＴＣ－１。令Ｍ＝Ｃ－１，则Ｍ是可逆矩阵，使
Ａ＝ＭＴＭ。
充分性：如果Ａ是实对称矩阵，且存在可逆矩阵Ｍ，使Ａ＝ＭＴＭ，即Ａ＝ＭＴＥ
Ｍ，所以（ＭＴ）－１ＡＭ－１＝Ｅ，即（Ｍ－１）ＴＡＭ－１＝Ｅ，其中Ｍ－１是可逆矩阵，
故Ａ与Ｅ合同，从而Ａ正定。
５、用行列式求判断正定性［Ｐ２０７：１４行至Ｐ２０８：６行］
定义：ｎ阶方阵Ａ＝（ａｉｊ）的ｒ阶顺序主子式Δｒ，１≤ｒ≤ｎ。［Ｐ207：15－20行］ ｎ阶方阵Ａ共有ｎ个顺序方子式：Δ１，Δ２，…，Δｎ＝A 。
定理５．４：ｎ元实二次型ｆ＝ＸＴ
ＡＸ（ＡＴ
＝Ａ）正定（即ｎ阶实对称矩阵Ａ正定） ?Ａ的所有顺序主子式都大于零。 推论：若Ａ是正定矩阵，则A ＞０。反之不然。
例５．６［Ｐ２０７：－６行 过手 见书］ 例［Ｐ２１６：９（２）］确定参数λ的值，使以下二次型正定：
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１２＋ｘ２２＋３ｘ３２
＋２λｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３。
解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝????
??????3010112λλ，Ａ的各阶顺序主子式为： Δ１＝２＞０；Δ２＝
1
2λλ＝２－λ２
； Δ３＝301
01
12λ
λ
＝0
35011
2λ
λλ--＝λ
λ351--＝－３（λ２
－35）；
ｆ正定?Ａ正定????
??>-->-0)35(30222λλ???
???<<352λλ?35<λ。 ６、满秩线性变换不改变实二次型的正定性［２１６：１４题 了解］
７、如果ｎ元实二次型ＸＴＡＸ（ＡＴ
＝Ａ）正定［即ｎ阶实对称矩阵Ａ＝（ａｉｊ）正定］，
那么ａｉｉ＞０，ｉ＝１，２，……，ｎ。［Ｐ２１６：１１题］
作用：ａｉｉ＞０［ｉ＝１，２，……，ｎ］是Ａ正定的必要条件，但不充分。可用于
判断Ａ不正定。
三、实二次型的各种类型［了解］
１、定义５．４［Ｐ２０８：７行至－１行］
实二次型??
?
??不定半负定半正定
负定正定
２、负定的充要条件：
ｎ元实二次型ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ
＝Ａ）负定
?－ｆ（Ｘ）＝ＸＴ（－Ａ）Ｘ（ＡＴ
＝Ａ）正定
?ｆ的负惯性指数为ｎ
?Ａ的奇数阶顺序主子式都小于零，且偶数阶顺序主子式都大于零。 例［Ｐ２０８：－８行至－１行］ 四、作业：Ｐ２１６：８（１）、（２０、（３）； ９（１）、（２）； １０（选作）；
１１（选作）； １２； １３（选作）； １４（选作）
Ｐ２１７：２单选题：（２）、（５）； ３计算题：（３）、（４）； Ｐ２１８：４证明题：（２）； Ｐ２１９：１、填空题：（１０）； Ｐ２２０：２、单选题：（１０） 五、补充题：
（１）是否存在数ｋ，使实二次型[]z y
x
??????????k k k k 00001????
?
?????z y x 为正定二次型？为什么？
解１：实二次型ｆ的矩阵为Ａ＝????
?
?????k k k k 00001，对任意实数ｋ，都有第三个顺序主子式Δ３＝A ＝k
k
k k
00
01＝０，所以不存在实数ｋ，使该实二次型为正定二次型。
解２：对任意实数ｋ，该实二次型的矩阵Ａ＝????
??????k k k k 00001的秩均小于３，Ａ不是可逆矩阵，从而Ａ不可能成为正定矩阵，所以不存在实数ｋ，使该实二次型为正定
二次型。
解３：无论ｋ为什么实数，取ｘ＝０，ｙ＝１，ｚ＝－１是一组不全为零的实数，
使该实二次型的值：
ｆ（０，１，－１）＝１×０２＋ｋ×１２＋ｋ×（－１）２
＋２ｋ×１×（－１） ＝０，
所以不存在实数ｋ，使该实二次型为正定二次型。
（２）设有实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝（ｋ＋１）ｘ１２＋（ｋ－１）ｘ２２
＋（ｋ－
２）ｘ３２
，当 时，ｆ是正定的。
解１：实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）已经是标准形，正惯性指数ｐ＝标准形中系数
为正的平方项的个数，所以
ｆ正定?ｐ＝３???
???>->->+0
20101k k k ????
??>>->211k k k ?ｋ＞２。
解２：ｆ的矩阵为Ａ＝
????
?
?????--+211k k k ，Ａ的所有顺序主子式为：
Δ１＝ｋ＋１，Δ２＝（ｋ＋１）（ｋ－１），Δ３＝（ｋ＋１）（ｋ－１）（ｋ－２）
ｆ正定?Ａ正定??????>--+>-+>+0)2)(1)(1(0)1)(1(01k k k k k k ???
???>->->+020101k k k ????
??>>->211k k k ?ｋ＞２ 六、思考题［Ｐ２０９］
（１）正定矩阵是否都是实对称矩阵？ 是
实对称矩阵都是正定矩阵吗？
不一定。如Ｐ２０８：－７行至－５行的实对称矩阵Ａ。
（２）判别实对称矩阵的正定性有哪些方法？试至少用两种方法判别矩阵
Ａ＝????
??????321221111的正定性，并比较其中哪些方法较易？ 解１：Ａ的全部顺序主子式为： Δ１＝１＞０；Δ２＝
2
111＝１＞０；
Δ３＝321221
1
11＝210110111＝1
001101
11＝１＞０； 所以实对称矩阵Ａ正定。
解２：用配方法化ｆ为标准形，据正惯性指数判别正定性。
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴ
ＡＸ
＝ｘ１２＋２ｘ１ｘ２＋２ｘ１ｘ３＋２ｘ２２＋４ｘ２ｘ３＋３ｘ３２
＝［ｘ１２＋２（ｘ２＋ｘ３）ｘ１＋（ｘ２＋ｘ３）２
］
－（ｘ２＋ｘ３）２＋２ｘ２２＋４ｘ２ｘ３＋３ｘ３２
＝（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）２＋ｘ２２＋２ｘ２ｘ３＋２ｘ３２
＝（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）２＋（ｘ２２＋２ｘ２ｘ３＋ｘ３２）－ｘ３２＋２ｘ３２
＝（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）２＋（ｘ２＋ｘ３）２＋ｘ３２
令??
???=+=++=333223211x y x x y x x x y ，即???
??=-=-=33322211y x y y x y y x ，化二次型f 为标准形：
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｙ１２
＋ｙ２２
＋ｙ３２
。
ｆ的正惯性指数为３，ｆ是正定二次型，故Ａ是正定矩阵。 解３：［用成对的初等变换作合同变换］
Ａ＝??????????321221111→????
??????210110111→??????????210110001→??????????100110001→?????
?????100010001＝Ｅ， Ａ合同于Ｅ，所以Ａ是正定矩阵。
解４：据解３知，令
Ｍ＝111)1),1(2()1),1(3()2),1(3(------P P P ＝)1),1(2()1),1(3()2),1(3(P P P
＝??????????100110001??????????100010101??????????100010011＝??????????100110001??????????100010011＝????
??????100110111， 则Ｍ是可逆矩阵，且
ＭＴ
Ｍ＝??????????111011001??????????100110111＝????
??????321221111＝Ａ，所以Ａ正定。
解５：求出Ａ的全部特征值，判别正定性。
A E -λ＝3
21
22
1
111---------λλλ＝10221
111--------λλλλ＝1
0421
2
11--------λλλλ
＝1
00
4251
2
1
21
2---+-----λλλλλ＝－2
511
212-+----λλλλ
＝1562
3
-+-λλλ＝ｆ（λ）。
如果ｆ（λ）有有理根，只能是±１，但±１都不是ｆ（λ）的根，可见ｆ（λ）没
有有理根，从而难于求出ｆ（λ）的３个实根，此方法行不通。