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届高三文科数学平面向量专题复习

2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ）

第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记

1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r

（3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r

，方向任意.

（5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加减法

①共起点的向量的加法：平行四边形法则

②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点.

如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量

④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r

是平面内两个不共线的

向量，a r

为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得

1122a e e λλ=+u r u u r r

，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2. 平面向量的坐标运算??

①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r

r ；

()()1111,,a x y x y λλλλ==r

，

②(),B A B A AB x x y y =--u u u r

，AB =

u u u r

③(),a x y =r ，则a =r

3. 平面向量的数量积

①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r

与b r 的夹角，[]0,θπ∈）

； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r

r ；

③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr

（θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r

与b r 不

反向；

θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r

与b r 的夹角）.

4.向量的平行：

① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r

∥b r 1221x y x y ?=

5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r

r r

第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.

考点1：平面向量的有关概念例1．给出下列命题：

①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相反或者相同；②ABC ?中，必有

0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r

③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB DC =u u u r u u u r

④若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a 、b 之一方向相同．

其中正确的命题为________． ②③

变式训练： 1.给出下列命题：

①向量AB u u u r 与向量BA u u u r 的长度相等，方向相反；②0AB BA +=u u u r u u u r r ；③a r

与b r 平行，则a r

与b r 的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB u u u r

与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线.其中不正确的个

数是（）

A .2

B .3

C .4

D .5

2.已知下列命题：①若k R ∈，且0kb =r r ，则00k ==r r

或b ；②若0,=00a b a b ==r r r r r r

g 则或；③若不平行的两个非零向量a b r r ，，满足=a b r r ，则

(

)()

+-0a b a b =r r r r ；④若a r r 与b 平行，则a a b =r r r r g b ，其中真命题的个数是（）

A .0

B .1

C .2

D .3

3.给出下列命题：①若=a b r r

，则=a r r b ；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若=,a c =r r r r

b b ，则a

c =r r ；④a=r r b 的充要条件是=a b r r 且a r ∥r b ；⑤a r ∥r b ，r

b ∥

c r ，则a r ∥c r .其

中正确命题的序号是（）

A .②③

B .①②

C .③④

D .④⑤

考点2：平面向量的线性运算

例2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是______．

①AB →=DC → ②AD →＋AB →＝AC → ③AB →－AD →＝BD → ④AD →＋CB →＝0

例3.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →，在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →.DC

与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.

解因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12

(OB →＋OC →)，

即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；

DC →＝OC →－OD →＝OC →－23

OB →

D C

＝2a －b －23b ＝2a －5

b .

例4.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =u u u r u u u r ，1,

CD CA CB λ=+u u u

r u u u r u u u r 则λ＝_______.

解析由图知CD CA AC =+u u u r u u u r u u u r

CD CB BD =+u u u r u u u r u u u r 且A D →

＋2BD →＝0.

①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23

变式训练：

4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，

2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r

，则（）

A.0PA PB +=u u u r u u u r r

B.0PC PA +=u u u r u u u r r

C.0PB PC +=u u u r u u u r r

D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r

5.如图1， D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中

点，则（）

A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r

B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r

C ．0A

D C

E C

F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r

6.若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）

A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r

B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r

C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r

D ．EF OF O

E =--u u u r u u u r u u u r

①

②

7. 已知ABC ?所在平面上有一点P 满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

,则P 与ABC ?的

位置关系是（）

A ．P 是AC 边上

B ．P 在AB 边上或其延长线上

C ．P 在ABC ?的内部

D ．P 在ABC ?的外部

8.在ABC △中，AB c =u u u r ，AC b =u u u r ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r

=（）

A ．2

133

b c +

B ．5233

c b -

C ．2133

b c -

D ．1233

b c +

9.（2010湖北文理数）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r

.若存在实m

使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r

成立，则m =（）

考点3：平面向量的基本定理及坐标表示

例5.已知()()()2,4,3,1,3,4A B C ----且3CM CA =u u u u r u u u r ，2CN CB =u u u r u u u r

，求点,M N 及MN u u u u r

的坐标.

解 ∵A (－2,4)、B (3，－1)、C (－3，－4)，

6,12(2),24,3()(3),

3,6(),8,1(====∴==∴ 设M （x ，y ），则有CM =（x+3，y+4），

∴??

x ＋3＝3

y ＋4＝24

，∴??

x ＝0y ＝20

，∴M 点的坐标为(0,20)．同理可求得N

点坐标为(9,2)，因此=（9，-18），故所求点M 、N 的坐标分别为(0,20)、(9,2)，的坐标为(9，－18)．

变式训练：

10.【2012高考广东文理3】若向量BA u u u r

=（2,3），CA u u u r =（4,7），则BC uuu r =( )

A ．（-2,-4）

B ． (3,4)

C ． (6,10)

D ． (-6,-10)

11.已知()()1,2,2,8A B -，11,33

AC AB DA BA ==-u u u r u u u r u u u r u u

u r ,则C 点的坐标为

___________；

D 点的坐标为___________；CD uuu r

点的坐标为___________.

12.设向量,a b r r 满足||(2,1),a b ==r r

且a b r r 与的方向相反，则a r 的坐标

为．

考点4：平面向量的平行与垂直问题

例 6.已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c ===r r r .若λ为实数，()

a b λ+r r ∥c r

，则

λ=( )

A ． 14

B ．12

C ．1

D ．2

例7.已知向量2411()()，，

，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．变式训练：

13.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（）

（A ）17

- （B ）17

（C ）16- （D ）16

14.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（）

A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

15.在平面直角坐标系中，i ，j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向

量，O 为坐标原点，设向量OA u u u r ＝2i ＋j ，OB uuu r

＝3i ＋k j ，若A ，O ，B 三点

不共线，且△AOB 有一个内角为直角，则实数k 的所有可能取值的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 16.

设

,e e u r u u r 是两个不共线的向量，已知

1228AB e e =-u u u r u r u u r ,123CB e e =+u u u r u r u u r ,122CD e e =-u u u r u r u u r

（1）求证：A 、B 、D 三点共线；（2）若123BF e ke =-u u u r u r u u r

，且B 、D 、F 三

点共线,求k 的值.

17.在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段

AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

考点5：平面向量的的数量积

例8.在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝a ，AB →＝c ，AC →＝b ，则a·b ＋

b·c ＋c·a ＝______________________.

例9．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是________．π

例10.已知||4a =r ，||2b =r

，且a r 与b r 夹角为120°求

（1）(2)()a b a b -?+r r r r ；（2）|2|a b -r r

；（3） a r 与a b +r r 的夹角。例11.（2010湖南理数）在Rt ABC ?中，C ∠=90°,4AC =，则AB AC ?u u u r u u u r

等

于（）

A 、-16

B 、-8

C 、8

D 、16

变式训练：

18. 若非零向量,a b r

r 满足a b =r r ，()

20a b b +?=r r r ，则a r 与b r 的夹角为（）

A. 300

B. 600

C. 1200

D. 1500

19.平面向量a r 与b r 的夹角为0

60，()2,0a =r , 1b =r ，则2a b +r r ＝（）

（A ）3 （B ）23 （C ）4 （D ）12

20.（2013年高考湖北卷（文理））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,

则向量AB u u u r

在CD u u u r 方向上的投影为（

） A ．

32 B ．

315 C ．32

D ．315

21.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=

（A ）150°（B ）120° （C ）60° （D ）30°

22.（2010天津文理数）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，

3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u u

r ，则AC AD ?u u u r u u u r

=（）

（A ）23 （B ）

32 （C ）3

（D ）3

23.（2011江西文11）已知两个单位向量12,e e r r

的夹角为

，若向量1122b e e =-r r r ，21234b e e =+r r r

，则12b b ?r r =___.（若12,b b r r 的夹角为θ，则cos θ= ）

24.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若

2AB AF =u u u r u u u r g ，则AE BF u u u r u u u r

g 的值是 ▲ ．【答案】2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由2AB AF =u u u r u u u r

g cos 2AB AF FAB ∠=u u u r u u u r

g g cos =AF FAB DF ∠u u u r g 。 ∵2AB =22DF =1DF =。∴21CF 。

记AE BF u u u r

u u u r 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

g g g g g g g

(

)

=cos cos sin sin =122

212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?u u u r u u u r u u u r u u u r

g g g g g

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

考点6：平面向量与其他知识的综合应用

例12.（全国新课标理10）已知,a b r

r 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四

个命题

12:||1[0,

)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈

13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π

θπ->?∈

其中真命题是（）

（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p

变式训练：

25.（2009宁夏海南卷）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，

,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，

N ，P 依次是ABC ?的（）

A.重心外心垂心

B.重心外心内心

C.外心重心垂心

D.外心重心内心

26. 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+?-a b a b 的图象是一条直线，则必有（） A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

27.（2013北京卷文14）已知点)1,2(),0,3(),1,1(C B A -，若平面区域D 由所有满足AC AB AP μλ+=（10,21≤≤≤≤μλ）的点P 组成，则D 的面积为。3

28.已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.

（1）若5=c ，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.

29.已知向量()()3,1,1,AB AC a ==-u u u r u u u r

，a R ∈

（Ⅰ）若D 为BC 的中点，(),2AD m =u u u r

，求a 、m 的值；

（Ⅱ若ABC ?为直角三角形，求a 的值.

30.已知33cos ,sin

,cos ,sin 2222a b θθ

θθ????==- ? ??

???r r ，且0,3πθ??

∈????

. (1)若1a b +=r r

，试求θ的值；(2)求a b a b

?+r r r r 的最值.

第三步：巩固与提高——熟能生巧，触类旁通. 1. 如图，正六边形ABCDEF

中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r

（D ）

（A ）0 （B ）BE u u u r （C ）AD u u u r

（D ）CF u u u r

2.（2013辽宁卷理3）已知点)3,1(A ，)1,4(-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为( )

.A )54,53(- .B )53,54(- .C )54,53(- .D )5

,54(-

3.（2013福建卷文理7）在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则

该四边形的面积为（）

.A 5 .B 52 .C 5 .D 10

4.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r

，

那么（）

Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r

5.【2012年辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足a b a b +=-r r

r r ，则下面

结论正确的是（）

(A) a r

∥b r (B) a b ⊥r r (C){}0,1,3 (D) a b a b +=-r r r r

6.下列命题中正确的是（）

A .若+=0,==0a λμλμr r b 则；

B . 0a ?=r r b ，则a r 与r

b 共线； C .若a r ∥r b ，则a r 在r

b 上的投影是a r ；D .若a ⊥r r b ，则()

2a a ?=?r r r r b b .

7.【2012高考四川理7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||

a b a b =r r

r r

成立的充分条件是（）

A 、a b =-r r

B 、//a b r r

C 、2a b =r r

D 、//a b r r 且

||||a b =r r

8.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ,AD ∥BC ,已知

()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ,则D 点的坐标为___________.

9.【2012高考安徽文11】设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若

b c a ⊥+)(，则=||a ______.2

10.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，

AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r

，其中,R λμ∈则λμ+= _________。

11.（2013江苏卷10）设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，

AB AD 21=，BC BE 3

=，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r （21λλ，为实数）

，则21λλ+的值为．

12.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的

中点,则AE BD ?=u u u r u u u r

________.

13.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则

（Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量b-3a 与向量a 夹角的余弦值为____________。【答案】（Ⅰ）31010,??

???

；（Ⅱ）25

14.（2013北京卷理13）向量,,a b c r r r

在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+r r r （R ∈μλ,），在=μ

λ________.

第四步：考点集训——练速度，练抓分技巧，轻松过关.

1.（2013大纲理3）已知向量(1,1)m λ=+u r ，(2,)n λλ=+r ，若()()m n m n +⊥-u r r u r r

，

则=λ（）

.A 4- .B 3- .C 2- .D 1-

2.【2012高考全国文9】ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ?=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r

（）

（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r

3.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =,点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ,则()

AP PB PC ?+=u u u r u u u r u u u r

( A )

A ． 49

B ．43

C ．43

D ．49

4.已知向量,a r r

b 和实数λ，下列式子中错误的是（）

A . a r

B . =a a b ?r r r r b

C . ()

=a a λλ??r r r r b b D . a a b ?≤r r r r b .

5.（2010四川文理数）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，

216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

则AM ∣∣=u u u u r （）

（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）1

6.【2012高考浙江理5文7】设,a b r

r 是两个非零向量。则下面结论正确的是（）

A.若a b a b +=-r

，则a b ⊥r r

；B. 若存在实数λ，使得b a λ=r

，则

a b a b +=-r r r r

C .若a b a b +=-r r

r r ，则存在实数λ，使得b a λ=r r ；D. 若a b ⊥r r ，则

a b a b +=-r r r r

7.（2013陕西卷理3）设a r ，b r 为向量，则“a b a b ?=?r r r r

”是“a r ∥b r ”的

（）

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也

不必要条件

8.已知向量()()1,1,1,m n t ==r

，若3m n ?=r r

，则向量m r

与n r

的夹角的余弦值为（）

C. D .

9.（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()()30,0,0,,,O A b B a a ，若ABC ?为直角三角形，则必有（） A ．3b a =

B ．31b a a

C ．()3310b a b a a

??---= ??

D ．331

0b a b a a

-+--

= 10.（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD 中, 1AD =, 60BAD ?∠=,

E 为CD 的中点. 若·

1AC BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为______.12

11.设向量a r 与b r 的夹角为θ，且()()3,3,21,1a b a =-=-r r

r ，则

tan θ=____________. 1

12.（2013年高考四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与

BD 交于点O ,AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r

,则λ=_____________.

13.【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为______

14.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂

足为P ，3AP =且AP AC u u u v u u u v

g = .

15．（2013安徽文13）若非零向量,a b r r 满足32a b a b ==+r r r r ，则,a b r r 夹角的

余弦值为_____.

26.已知向量)a =

，()0,1b =-r ，(c k =r .若2a b -r r 与c r

共线，则

k =___________.

17.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知两个单位向量a ,b 的夹角为

60o ,(1)=+-c ta t b ,若0?=b c ,则t =

18.【2012高考新课标文15】已知向量,a b r r 夹角为45? ，且1,2a a b =-=r r r ；

则_____b =r

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

高考文科数学真题汇编平面向量高考题老师版

【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=. 23.（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，AB= ，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若=，则的值是． 24.（2014江苏）如图，在□ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的值是．【简解】AP AC -u u u r u u u r =3(AD AP -u u u r u u u r ),14AP AD AB =+u u u r u u u r u u u r ;34 BP AD AB =-u u u r u u u r u u u r ;列式解得结果22 25.（2015北京文）设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 26.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 27.（2015年安徽文）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρρ+=→2，则下列结论中正确的是 ①④⑤ 。（写出所有正确结论得序号） ①a ρ为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。 28.（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【简解】如图建系: 由题意AD=1，ο60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,2 12(-x B ， 13(2,)22AC x =+u u u r ,13(,)22BE x =-u u u r 由题意 .1AD BE =u u u r u u u r 得：14 3)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为2 1。 29．（2012福建文）已知向量)2,1(-=→ x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ D ） A ．2 1-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 30．（2012陕西文）设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（ C ）

2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2．在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______．考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

高三数学平面向量知识点与题型总结(文科)

知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ?=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八平面向量 1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可．由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ，所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________．【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ，下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ，由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ．一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

高考文科数学双向细目表

模块知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合函数概念与基本初等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体

结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计基本初等函数2平面解析几何初步算法初步

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

高考文科数学：平面向量

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（） A ．3 455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A B C ．D ． 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,= m n m n m n λλλ =+=++⊥-若则（） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ．____ （） A 1- B C 1 D 2 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（） A ． B C ． D ．0 7 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形 ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（） A ．5 B ．52 C ．5 D ．10

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（Ａ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9）设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10）设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

高考数学平面向量及其应用习题及答案百度文库

一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八

高三文科数学一轮复习之平面向量

数学讲义之平面向量【主干内容】 1．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是． 2．平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且||＝． 3．平面向量的坐标运算：若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R，则：＋＝－＝ λ＝ 4. 向量的数量积的几何意义： |b |cos θ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角)． ·b 的几何意义是，数量·b 等于． 5．向量数量积的运算律： ·b ＝； (λ)·b ＝＝·(λb )；(＋)·c ＝总结：在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。【题型分类】题型一：向量的概念与几何运算〖例1==； ②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件； ③若 ==,，则=； ④==∥； ⑤若∥，∥，则∥。其中，正确命题的序号是____________ 答案：②③。

〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) 图1－2 A ．0 B ． BE → C ．.A D → D ．CF → 【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D. 〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |a |，则a + b 与a –b 的夹角为（） A ．30? B ．60? C ．120? D ．150? 答案：B 〖例4〗已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e ===== ，设t R ∈，如果3,2,a c b d == ()e t a b =+ ，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+ ，,,C D E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD = ，即(3)32t a tb ka kb -+=-+ ，整理得(33)(2)t k a k t b -+=- . ①若,a b 共线，则t 可为任意实数； ②若,a b 不共线，则有33020 t k t k -+=??-=?，解之得，65t =. 综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65 t =. 【小结】： 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明． 2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行． 3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥即可． 4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算〖例1〗设＝(ksin θ, 1)，b ＝(2－cos θ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示 3、多边形法则原理已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示运算律交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

2020-2021年高考数学试题汇编平面向量(精华总结)

2021年高考数学试题汇编平面向量（北京4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（Ａ）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （Ｄ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，（福建4）

对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（Ａ）Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（Ｂ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r

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