1 【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练
附参考答案
一、解答题 1.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是棱长为2的正方形,侧面PAD 为正三角形,且面PAD ⊥面ABCD ,E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点. (1)求证:EF ∥平面PAD ; (2)求三棱锥B-EFC 的体积; (3)求二面角P-EC-D 的正切值.
2.如图,三棱柱ABF-DCE 中,∠ABC=120°,BC=2CD ,AD=AF ,AF ⊥平面ABCD .
(Ⅰ)求证:BD ⊥EC ;
(Ⅱ)若AB=1,求四棱锥B-ADEF 的体积.
3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AA 1=2,E 为棱CC 1的中点. (1)求证:B 1D 1⊥AE ;
(2)求三棱锥A-BDE 的体积.
4.如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥底面ABCD ,且△PAD 是边长为2的等边三角形,PC= ,M 在PC 上,且PA ∥面MBD . (1)求证:M 是PC 的中点; (2)求多面体PABMD 的体积.
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5.已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 为菱形,∠ABC=60°,△PAB 是等边三角形,AB=2,PC= ,AB 的中点为E.
(1)证明:PE ⊥平面ABCD ; (2)求三棱锥D-PBC 的体积.
6.一块边长为10cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器.
(1)试把容器的容积V 表示为x 的函数.
(2)若x =6,求图2的主视图的面积
.
7.如图,矩形ABCD 中,BC=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD ,BE ∥PA ,BE=
PA ,F 为PA 的中点.
(1)求证:PC ∥平面BDF .
(2)记四棱锥C-PABE 的体积为V 1,三棱锥P-ACD 的体积为V 2,求
的值.
8.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点,AA 1=AC=CB=2,AB=2 .
(Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD ;
(Ⅱ)求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E、F分别为AB和PC的中点,连接EF、BF.
(1)求证:直线EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥F-PBE的体积.
10.如图,梯形FDCG,DC∥FG,过点D,C作DA⊥FG,
CB⊥FG,垂足分别为A,B,且DA=AB=2.现将△DAF沿DA,△CBG沿CB翻折,使得点F,G重合,记为E,且点
B在面AEC的射影在线段EC上.
(Ⅰ)求证:AE⊥EB;
(Ⅱ)设=λ,是否存在λ,使二面角B-AC-E的余弦值为?
若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.
11.在四边形ABCD中,对角线AC,BD垂直相交于点O,且OA=OB=OD=4,OC=3.
将△BCD沿BD折到△BED的位置,使得二面角E-BD-A的
大小为90°(如图).已知Q为EO的中点,点P在线段AB 上,且.
(Ⅰ)证明:直线PQ∥平面ADE;
(Ⅱ)求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值.
12.如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=.
(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
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13.如图在三棱锥A-BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD= ,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD ⊥BC ;
(2)求二面角B-AC-D 的余弦值; (3)点E 在直线AC 上,当直线ED 与平面BCD 成30°角若时,求点C 到平面BDE 的距离.
14.如图所示,在边长为 的正方形ABCD 中,以A 为圆心画一个扇形,以O 为圆心画一个圆,M ,N ,K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.
15.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,
∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M 为PC 的中点,点N 在线段AD 上.
(I )点N 为线段AD 的中点时,求证:直线PA ∥BMN ; (II )若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为
,求平面PBC 与平面BMN 所成角θ的余弦值.
16.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是CC 1的中点,求证: (1)AC 1⊥BD ;
(2)AC 1∥平面BDE .
17.如图,棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, (1)求证:AC ⊥平面B 1D 1DB ; (2)求三棱锥B-CD 1B 1的体积.
18.在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠APD=90°,
PA=PD=AB=a,ABCD是矩形,E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC
(2)求证:PB⊥AC.
19.如图,已知平面ADC∥平面A1B1C1,B为线段AD的中点,△ABC≈△A1B1C1,
四边形ABB1A1为正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1,A1C1=A1A,
∠C1A1A=,M为棱A1C1的中点.
(I)若N为线段DC1上的点,且直线MN∥平面ADB1A1,试确定点N的位
置;
(Ⅱ)求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值.
20.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,E为BC的
中点.
(1)求证:直线AE∥平面BDC1;
(2)若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱,AB=2,AA1=4,求平面
BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值.
21.如图所示,已知长方体ABCD中,AB=4,AD=2,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得AD⊥BM.
(1)求证:平面ADM⊥平面ABCM;
(2)若点E为线段DB的中点,求点E到平面DMC的距离.
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22.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是棱DD 1的中点. (1)若正方体的棱长为1,求三棱锥B 1-A 1BE 的体积;
(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ,使B 1F ∥面A 1BE ?若存在,试确定点F 的位置,并证明你的结论.
23.如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BC ⊥平面AA 1C 1C ,BC=CA=AA 1=2,∠CAA 1=60°.
(1)求证:AC 1⊥A 1B ;
(2)求直线A 1B 与平面BAC 1所成角的正弦值.
24.在图所示的几何体中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,EC ∥PD ,且PD=AD=2EC=2,N 为线段PB 的中点. (1)证明:NE ⊥平面PBD ; (2)求四棱锥B-CEPD 的体积.
25.已知梯形ABCD 中AD ∥BC ,
∠ABC=∠BAD=
,AB=BC=2AD=4,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,EF ∥BC ,AE=x .沿EF 将梯形AEFD 翻折,
使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图).G 是BC 的中点.
(1)当x =2时,求证:BD ⊥EG ;
(2)当x 变化时,求三棱锥D-BCF 体积的最大值.
26.如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.
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27.在如图所示的多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为正方形,底面ABFE 为直角梯形,∠ABF 为直角, ,
,
平面ABCD ⊥平面ABFE . (1)求证:DB ⊥EC ;
(2)若AE=AB ,求二面角C-EF-B 的余弦值.
28.如图,四棱锥P-ABCD 中,AD ⊥平面PAB ,AP ⊥AB . (1)求证:CD ⊥AP ; (2)若CD ⊥PD ,求证:CD ∥平面PAB .
29.如图所示,四棱锥P-ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形,底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形,M 为PC 的
中点,PC= .
(Ⅰ)求证:PC ⊥AD ;
(Ⅱ)求三棱锥M-PAB 的体积.
30.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边
形,∠ADC=45°,
AD=AC=2,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD 且PO=6,M 为BD
的中点.
(1)证明:
AD ⊥平面PAC ; (2)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.
31.如图,多面体EF-ABCD 中,ABCD 是正方形,AC 、BD 相交于O ,EF ∥AC ,点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面ACF ;
(Ⅱ)若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°,求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值.
32.如图,三棱锥P-ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,∠BCA=90°,且BC=CA=2,PC=PA .
(1)求证:PA ⊥BC ;
8 (2)当PC 的值为多少时,满足PA ⊥平面PBC ?并求出此时该三棱锥P-ABC 的体积.
33.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=AB ,AB ⊥BC ,且N 是A 1B 的中点.
(1)求证:直线AN ⊥平面A 1BC ;
(2)若M 在线段BC 1上,且MN ∥平面A 1B 1C 1,求证:M 是BC 1的中点.
34..如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,点P 为DD 1的中点. (1)求证:直线BD 1∥平面PAC (2)求证:平面PAC ⊥平
面BDD 1B 1.
35.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,∠ADC=90°,平面PAD ⊥底面ABCD ,
Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA=PD=2,BC=
AD=1,CD= . (1)求证:平面MQB ⊥平面PAD ; (2)若二面角M-BQ-C 大小的为60°,求QM 的长.
36.如 图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 、G 分别为 AB 、BB 1、B 1C 1 的中点. (1)求证:A 1D ⊥FG ;
(2)求二面角 A 1-DE-A 的正切值.
37.四棱锥P-ABCD 的直观图与三视图如图,PC ⊥面ABCD
(1)画出四棱锥
P-ABCD 的侧视图(标注长度) (2)求三棱锥A-PBD
的
9 体积.
38.如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,AA 1=2,点P 为棱DD 1上一点.
(1)求证:平面PAC ⊥平面BDD 1B 1;
(2)若P 是棱DD 1的中点,求CP 与平面BDD 1B 1所成的角大小.
39.如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ∥CD ,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA= ,∠ACB=90°,M 是线段PD 上的一点(不包括端点).
(Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅱ)求二面角D-PC-A 的正切值; (Ⅲ)试确定点M 的位置,使直线MA 与平面PCD 所成角θ的正弦
值为
.
40.已知四棱锥P-ABCD 中,AD=2BC ,且AD ∥BC ,点M ,N 分别是PB ,PD 中点,平面MNC 交PA 于Q . (1)证明:NC ∥平面PAB
(2)试确定Q 点的位置,并证明你的结论.
41.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和
体
10 积.
42.如图,四棱锥P-ABCD 的底面是正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC ∥平面
BDE ; (Ⅱ)证明:
BD ⊥CE .
43.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、G 、H 分别是BC 、C 1D 1、AA 1、的中点.
(Ⅰ)求异面直线D 1H 与A 1B 所成角的余弦值
(Ⅱ)求证:EG ∥平面BB 1D 1D .
44.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB=AD=AP=2CD=2,M 是棱PB 上一点. (Ⅰ)若BM=2MP ,求证:PD ∥平面MAC ; (Ⅱ)若平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,求证:PA ⊥平面ABCD ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角B-AC-M 的余弦值为
,求 的值.
45.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA 1=4点D 是AB 的中点. (1)求证:AC 1∥平面B 1DC ;
11 (2)求三棱锥A 1-B 1CD 的体积.
46.如图,以正四棱锥V-ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ,其中O x ∥BC ,O y ∥AB ,E 为VC 中点,正四棱锥的底面边长为2a ,高为h ,且有
cos <
, >=-
. (1)求
的值;
(2)求二面角B-VC-D 的余弦值.
47.如图1,四边形ABCD 为直角
梯形,
AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=1,BC=2,E 为CD 上一点,F 为BE 的中点,且DE=1,EC=2,现将梯形沿BE 折叠(如图2),使平面BCE ⊥ABED .
(1)求证:平面ACE ⊥平面BCE ;
(2)能否在边AB 上找到一点P (端点除外)使平面ACE 与平面
PCF 所成角的余弦值为
?若存在,试确定点P 的位置,若不存在,请说明理由.
48.如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1,∠B 1A 1A=∠C 1A 1A=60°,AA 1=AC=4,AB=1. (Ⅰ)求证:A 1B 1⊥B 1C 1;
(Ⅱ)求三棱锥ABC-A 1B 1C 1的侧面积.
49.在四棱锥中P-ABCD ,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PA=PD=
AD 、E 、F ,分别为PC 、BD 的中点. (1)求证:EF ∥平面PAD ;
(2)若AB=2,求三棱锥E-DFC 的体积.
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50.如图,四棱锥P-ABCD 中,△PAD 为正三角形,AB ∥CD ,AB=2CD ,∠BAD=90°,PA ⊥CD ,E 为棱PB 的中点 (Ⅰ)求证:平面PAB ⊥平面CDE ;
(Ⅱ)若直线PC 与平面PAD 所成角为45°,求二面角A-DE-C 的余弦值.
51.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,BC 的中点,将△AED ,△DCF 分别沿DE ,DF 折起,使A ,C 两点重合于P .
(Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面BFDE ; (Ⅱ)求四棱锥P-BFDE 的体积.
【答案】
1.(1)证明:取PD 中点G ,连结GF 、AG ,
∵GF 为△PDC 的中位线,∴GF ∥CD 且
, 又AE ∥CD 且
,∴GF ∥AE 且GF=AE ,
13 ∴EFGA 是平行四边形,则EF ∥AG , 又EF ?面PAD ,AG ?面PAD , ∴EF ∥面PAD ;
(2)解:取AD 中点O ,连结PO ,
∵面PAD ⊥面ABCD ,△PAD 为正三角形,∴PO ⊥面ABCD ,且 , 又PC 为面ABCD 斜线,F 为PC 中点,∴F 到面ABCD 距离
,
故
;
(3)解:连OB 交CE 于M ,可得R t △EBC ≌R t △OAB , ∴∠MEB=∠AOB ,则∠MEB+∠MBE=90°,即OM ⊥EC .
连PM ,又由(2)知PO ⊥EC ,可得EC ⊥平面POM ,则PM ⊥EC , 即∠PMO 是二面角P-EC-D 的平面角,
在R t △EBC 中,
,∴
, ∴
,即二面角P-EC-D
的正切值为
.
2.(Ⅰ)证明:三棱柱ABF-DCE 中,AF ⊥平面ABCD .∴DE ∥AF ,ED ⊥平面ABCD ,
∵BD ?平面ABCD ,∴ED ⊥BD , 又ABCD 是平行四边形,∠ABC=120°,故∠BCD=60°. ∵BC=2CD ,故∠BDC=90°.故BD ⊥CD . ∵ED∩CD=D ,∴BD ⊥平面ECD . ∵EC ?平面ECD , ∴BD ⊥EC ;
(Ⅱ)解:由BC=2CD ,可得AD=2AB ,∵AB=1,∴AD=2,作BH ⊥AD
于H ,
∵AF ⊥平面ABCD ,∴BH ⊥平面
ADEF ,又∠ABC=120°, ∴BH=
,
∴
.
3.
解:(1)证明:连接BD ,则BD ∥B 1D 1, ∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD . ∵CE ⊥面ABCD , ∴CE ⊥BD . 又AC∩CE=C , ∴BD ⊥面ACE . ∵AE ?面ACE , ∴BD ⊥AE ,
∴B 1D 1⊥AE .-----------(6分)
(2)S △ABD =2 △
.-----------(12分) 4.证明:(1)连AC 交BD 于E ,连ME .
14
∵ABCD 是矩形,∴E 是AC 中点.
又PA ∥面MBD ,且ME 是面PAC 与面MDB 的交线, ∴PA ∥ME ,
∴M 是PC 的中点. 解:(2)取AD 中点O ,连OC .则PO ⊥AD , 由平面PAD ⊥底面ABCD ,得PO ⊥面ABCD ,
∴ , ,∴ , ∴ , ,
∴
.
5.证明:(1)由题可知PE ⊥AB ,CE ⊥AB . ∵AB=2,∴PE=CE= .
又∵PC= ,∴PE 2+EC 2=PC 2
, ∴∠PEC=90°,即PE ⊥CE . 又∵AB ,CE ?平面ABCD , ∴PE ⊥平面ABCD ;
解:(2)S △BCD =
×
22×sin 120°= ,PE= . 由(1)知:PE ⊥平面ABCD ,
V P-BCD =
?S △BCD ?PE=1.
∵V D-PBC =V P-BCD ,
∴三棱锥D-PBC 的体积为1. 6.解:(1)设所截等腰三角形的底边边长为x cm . 在R t △EOF 中,EF=5cm ,OF=
x cm ,所以EO=
. 于是V=
x 2
(cm 3).
依题意函数的定义域为{x |0<x <10}.
(2)主视图为等腰三角形,腰长为斜高,底边长=AB=6,
底边上的高为四棱锥的高=EO=
=4,
S=
=12(cm 2)
7.(1)证明:连结BF ,连接BD 交AC 与点O ,连OF , 依题得O 为AC 中点,又F 为PA 的中点, 所以OF 为△PAC 中位线,所以
OF ∥PC
因为OF ?平面BDF ,
PC ?平面BDF 所以PC ∥平面BDF . ∴V 1=
梯形 =
(2)解:设BE=a ,则PA=2BE=2a , V 2=
△ =
(a +2a )×1×2=a . =
. ∴
.
8.解:(Ⅰ)连结AC 1,交A 1C 于点O ,连结DO ,则O 为
AC 1的中点,因为D 为AB 的中点,所以OD ∥BC 1,又因为OD ?平面A 1CD ,BC 1?平面A 1CD ,∴BC 1∥平面A 1CD…(4分) (Ⅱ)由 , ,可知AC ⊥BC ,
以C 为坐标原点,
方向为x 轴正方向, 方向为y
轴正
2019届高三第一轮复习《原创与经典》(苏教版) (理科) 第一章集合常用逻辑用语推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系 第2课时集合的基本运算 第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件 第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第5课时合情推理与演泽推理 第6课时直接证明与间接证明 第7课时数学归纳法 第二章不等式 第8课时不等关系与不等式 第9课时一元二次不等式及其解法 第10课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第11课时基本不等式及其应用 第12课时不等式的综合应用 第三章函数的概念与基本初等函数 第13课时函数的概念及其表示 第14课时函数的定义域与值域 第15课时函数的单调性与最值 第16课时函数的奇偶性与周期性9 第17课时二次函数与幂函数 第18课时指数与指数函数 第19课时对数与对数函数 第20课时函数的图象 第21课时函数与方程 第22课时函数模型及其应用
第四章 导数 第23课时 导数的概念及其运算(含复合函数的导数) 第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值 第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用 第五章 三角函数 第26课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时 二倍角的三角函数 第30课时 三角函数的图象和性质 第31课时 函数sin()y A x ω?=+的图象及其应用 第32课时 正弦定理、余弦定理 第33课时 解三角形的综合应用 第六章 平面向量 第34课时 平面向量的概念及其线性运算 第35课时 平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时 平面向量的数量积 第37课时 平面向量的综合应用 第七章 数 列 第38课时 数列的概念及其简单表示法 第39课时 等差数列 第40课时 等比数列 第41课时 数列的求和 第42课时 等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时 平面的基本性质及空间两条直线的位置关系
2019年高考理科数学全国一卷 一、单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。 1.已知集合M={x |-4<x <2},N={x | -x -6<0},则M∩U = A{x |-4<x <3} B{x |-4<x <-2} C{x |-2<x <2} D{x |2<x <3} 2.设复数z 满足|z -i|=1,z 在复平面内对应的点为(x ,y),则 A B C D 3.已知a =2.0log 2,b =2.02,c =3 .02 .0,则 A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是 ??? ? ??≈称之为黄金分割.618.021 -521-5,著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 1 -5 。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数()][ππ,的-cos sin 2 x x x x x f ++= 图像大致为 A B C D 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”,右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. 165 B.3211 C.3221 D.16 11 7.已知非零向量,满足 ,且 ,则与的夹角为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18.、[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D- AF- E的余弦值. 图1-4 19.、[2014·湖南卷] 如图1-6所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD =O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 19.解:(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一:如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.
不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,OB 1=7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H =OO 1·O 1B 1OB 1=237.而O 1C 1=1,于是C 1H =O 1C 21+O 1H 2 = 1+12 7 = 197 . 故cos ∠C 1HO 1=O 1H C 1H = 23 7197 =25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二:因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直. 如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,于是相关各点的坐标为O (0,0,0), B 1(3,0,2), C 1(0,1,2). 易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则?????n 2·OB →1=0,n 2·OC →1=0,即???3x +2z =0, y +2z =0. 取z =-3,则x =2,y =23,所以n 2=(2,23,-3). 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos 〈,〉|=??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|=2319=25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19. 、、[2014·江西卷] 如图1-6,四棱锥P - ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证:AB ⊥PD .
2019届高三理科数学一轮复习计划
目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) (一)总体要求 (2) (二)要解决的问题 (2) (三)总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) (一)周测 (3) (二)单元测试 (3) (三)月测 (3) (四)备注 (3) 六、课程分类 (4) (一)知识梳理课 (4) (二)能力提高课 (4) (三)章节复习课 (4) (四)试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下 (5)
2019届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析 近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规化,坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当,布局合理的特点,也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养,这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想 在全面推行素质教育的背景下,努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习,让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识,从而培养学生思维能力,激发学生学习数学的兴趣,使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息,更新教育观念,探求新的教学模式,准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求,立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学,针对学生实际,指导学法,着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求 第一轮复习要结合高考考点,紧扣教材,以加强双基教学为主线,以提高学生能力为目标,加强学生对知识的理解、联系、应用,同时结合高考题型强化训练,提高学生的解题能力。为此,确立一轮复习的总体目标:通过梳理考点,培养学生分析问题、解决问题的能力;使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规的良好习惯,为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下: 1、第一轮复习必须面向全体学生,降低复习起点,在夯实双基的前提下,注重培养学生的能力,包括:空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力;以及数学地提出、分析和解决问题的能力,数学表达和交流的能力,发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时,重视数学思想方法的复习。一定要把复习容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中,使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解,而不是单单立足于题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练,课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规的解题训练,对解题过程和书写表达提出明确具体的要求,培养学生良好的解题习惯,提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练,提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规、书写轻重、表达完整等新的要求。