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大学高等数学第二章习题及答案

习题2—1（A ）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；

（2）求分段函数(),,

()(),x x a f x x x a

?φ

≥?在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；

（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在；（4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．

（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)

()(00-

-'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00+

+'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．

（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．

（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如

x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．

2．设函数2

x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.

解：1lim 1

lim

)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．

3．设函数y 10=x 点处的导数．解：2

11lim 11lim

)1(11

=+=--='→→x x x y x x ． 4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．

解：x

x x x x x x y x x x x x x 1

e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim

100==?+=?-?+='?→?→?． 5．对函数x x x f 2)(2

-=，分别求出满足下列条件的点0x ：（1）0)(0='x f ；（2）2)(0-='x f ．

解：22)22(lim )

2()](2)[(lim

)(0220-=+-=--+-+='→→x h x h

x x h x h x x f h h ，（1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ；（2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为2

1gt s =

，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ．解：速度为gt h

gt h gt h t g t s t v h h =+=-+='=→→)2

(lim 2/2/)(lim

)()(0220，加速度为g g h

h t g t v t a h h ==-+='=→→00

lim )(lim

)()(． 7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程．解：切线斜率11

)1(1

'==x x

y k ，

切线方程为：)1(10-?=-x y ，即01=--y x ；法线方程为：)1(1

0--=

-x y ，即01=-+y x ． 8．若函数)(x f 可导，求下列极限：

（1）x x f x x f x ?-?-→?)()(lim

000

；（2）x x f x )

(lim 0→（其中0)0(=f ）；

（3）h h x f h x f h )()(lim

000

--+→；（4）x x f f x )

sin 1()1(lim 0--→．

解：（1）=?--?--=?-?-→?→?x

x f x x f x x f x x f x x )

()(lim )()(lim 000000

)(0x f '-．

（2）=--=→→0

)

0()(lim )(lim

x f x f x x f x x )0(f '．（3）h

h x f h x f h )

()(lim

000

--+→

='+'=---+-+=→→)()()

()(lim )()(lim

00000000

x f x f h x f h x f h x f h x f h h )(20x f '．（4）=?'=?---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim )sin 1()1(lim

f x

x x f x f x x f f x x )1(f '． 9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：

（1）3x y =，在0=x 点；

（2）?????

=≠=，，

，

，0001arctan )(2x x x

x x f 在0=x 点；（3）2,1,

(),1,

x x f x x x ?≥=?

解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，

因为+∞==--→→3203

lim 00lim

x x x x （极限不存在）

，所以3x y =在0=x 点不可导．（2）因为21arctan lim 00)/1arctan(lim

2020π==--→→x

x x x x x ，所以?????=≠=，，，，0001arctan )(2x x x

x x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续．（3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(2

=====+

-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1

f x f x =→，所以，2,1,

(),1,

x x f x x x ?≥=?

又2)1(lim 11

lim )1(111lim )1(1

211=+=--='=--='-

--→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ，所以，2,1,

(),1,

x x f x x x ?≥=?

10．设函数???≥<=，

，，

，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．

解：因为e 1

e lim )1(e 11e lim e 1e e lim )1(1111=--='=--=--='---→+

-→→-x x f x x f x x x x x ，，所以=')1(f e ． 11．设函数??

?≥+<=，

，，

，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．

解：当0

当0>x 时，22lim )

12(1)(2lim

)12()(00==+-++='+='→→h h h

x h x x x f ，

当0=x 时，由20

12lim )0(001cos lim )0(00

=--+='=--='+

→+→-x x f x x f x x ，，于是函数在0=x 点不可导，所以?

??><-='.020sin )(x x x x f ，，

，

习题2—1（B ）

1．有一非均匀细杆AB 长为20 cm ，M 为AB 上一点，又知AM 的质量与从A 点到点M 的

距离平方成正比，当AM 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度；（2）全杆的平均线密度；（3）求点M 处的密度．

解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2

)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，

所以，2

2)(x x m =，x h x h

x h x x m h h 4)24(lim 2)(2lim

)(02

20=+=-+='→→ g/cm ．（1）AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==2

2)2(m 4 g/cm ．（2）全杆的平均线密度为

==20

800

20)20(m 40 g/cm ．（3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．

2．求b a ，的值，使函数??

?≥+<=0

0e )(x b ax x x f x ，，

，在0=x 点可导．解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．

而1e lim )0(0

==-→-x x f ，b b ax f x =+=+

→+

)(lim )0(0

，b f =)0(，由)0()0()0(f f f ==+

-，得1=b ，此时1)0(=f ．

又11

e lim )0(0=-='-→-x

f x x ，a x ax f x =-+='+

→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ．所以，当11==b a ，时，函数??

?≥+<=0

0e )(x b ax x x f x ，，

，在0=x 点可导． 3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．

解：1tan lim 0tan lim )0(00

-=-=-='--

→→-x x x x f x x ，1tan lim 0tan lim )0(00==-='++→→+

x x f x x 因为)0()0(+-

'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导． 4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数．证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-，因为)()

()(lim )()(lim

)(00

x f h

x f h x f h x f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，

所以)(x f '是奇函数．

（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-，因为)()()(lim )()(lim

)(00

x f h

x f h x f h x f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→，所以)(x f '是偶函数．

5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．

证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2

f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ．

因为h

x f h f x f h x f h x f h h )

()()(lim )()(lim

00-=-+→→

)()0()()

0()(lim )(1)(lim

)(00x af f x f h

f h f x f h h f x f h h ='=-=-=→→，所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='．

6．求曲线x

x y 1

+=上的水平切线方程．解：h

x x h x h x h x y h x y x y h h )

/1()]/(1[lim )()(lim )(00+-+++=-+='→→

1])(11[lim x

h x x h -=+-+

=→

，

由0)(='x y ，得±=x ，

当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ；当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．

7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程．解：对21x y -=，导函数为：

x h x h

x h x h x y h x y x y h h h 2)2(lim )

1(])(1[lim )()(lim )(02200-=+-=--+-=-+='→→→，

设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ，根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-，切线方程为：)2

(143+?=-

x y ，即0544=+-y x ． 8．已知曲线2

ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．

解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.

由两曲线在0x x =时相切，有???==.

/12ln 00,02

0x ax x ax 得21

ln 0=x ，即e 0=x ，

此时，e 21=

a ，210=y ，公切线斜率为e

=k ，公切线方程为)e (e 121-=-

x y ，化简得021

1=+-x y . 习题2—2（A ）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；

（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ?'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关；（3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．

答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈?+=?；

后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ?==?．

（2）不正确．因为x x f x f x x ?'==)()

(d 00

，可见0

)

(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自

变量x 在该点的增量x ?有关．

（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：

（1）x y ln =；（2）3x y =（0≠x ）；（3）x

y 1=

（0≠x ）；（4）22x x y +=．

解：（1）因为x y 1=

'，所以x

y d d =．（2）因为3222332033

031

)()(1lim lim )(x

x h x x h x h x h x x y h h ?=++++=-+='→→，

所以，3

3d d x

x y ?=

．

（3）因为x x h x x x xh

x h h x x h x h x x y h h h 21

1lim 1lim /1/1lim

)(0200-

=++-=++-=-+='→→→，所以，x

x x y 2d d -

=．

（4）因为)1(2)22(lim )

2(])()(2[lim

)(0220x h x h

x x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→，所以x x y d )1(2d +=．

3．求下列函数在0x x =点处的微分0

d x x y =：

（1） x y cos =，2

0π

x ；（2）x

x y 1

=，10=x ．解：（1）因为x y sin -='，所以x x x y

x x d d sin d 2/2

/-=?-===ππ．

（2）因为21

y -='，所以0d 0d ]1

1[d 121

=?=?-

===x x x

y x x ． 4

．设函数y 10=x ，1.0=?x 时函数的微分y d ．

解：因为x x h x h x h x y h h 21

1lim lim

++=-+='→→，所以05.02d 1

.01

.01=?==?==?=x x x x x

x y

．

5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：

（1）0330sin '

；（2）05.1；（3）002.1ln ．

解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得 5076.05000.00076.02

7203213606c o s 0330sin =+≈+=+?

≈'ππ

．

（2）取105.1)(0===

x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，

由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02

05.1=+?≈

．（3）取)1ln(

)(x x f +=，当1<

)1ln(lim

)0()(00=--+='='→x x f x f x ，

由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-?≈+0)0(1)1ln(

，利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(

002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性：

（1）3

)(x x f =；（2）x x x f =)(；（3）???≥<=.

0sin 0)(3x x x x x f ，，

，

解：（1）因为∞==--→→303

201

lim 00lim x

x x x x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，

所以32)(x x f =在0=x 不可微．（2）因为0lim 0

0lim

==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，

所以x x x f =)(在0=x 点可微．

（3）因为10

sin lim )0(000lim )0(030=--='=--='+-→+

→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ，得???≥<=0

sin 0)(3x x x x x f ，，

，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微．

习题2—2（B ）

1．已知单摆的振动周期g

T π

2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？解：

02244.02020

lim 220/202/2lim

d d 202020

≈=

+=--=→→=g

l g l g g l l

T l l l π

πππ

由l T T ?'≈?)20(，得23.202244

.005

.0)20(≈≈'?≈

?T T l ，

即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．

2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小．解：设圆钢的截面积为4/)(2

D D A A π==，

)2(l i m 44/]4/)([l i m )(0220D

h D h D h D D A h h ππππ=+=-+='→→；

2/)(D D D D A A ??=?'≈?π，

当05.003.60≤?=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈??≤?A mm 2，所以绝对误差大约为4.715 mm 2；

0017.003.6005.0224

/2/2≈?≤??=??≈?D D D D D A A ππ，所以相对误差大约为0.17%． 3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)

(lim

=→x

x f x ，求0

d =x y ．

解：由1)

(lim

=→x

x f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；

又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0

=→x f x ，

(lim 0)0()(lim

)0(00

==--='→→x

x f x f x f f x x ，x x f y x d d )0(d 0

='==．

4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限y

x d lim 0?→?．

解：由已知，有x y ?=2d ，所以

101]2)(1[lim d )(d lim d lim

000=+=??+=?+=?→?→?→?x x o y x o y y y x x x ．

习题2—3（A ）

1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：

（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；

（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分．答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链

式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．

（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：

（1）32

32++

x y ；（2）)1

x x x y +

=；（3）3

(1)x y x -=；（4）ln y x x =；

（5）x x x y x

sin tan 2-+=；（6）cos 1cos x

y x

=+．解：（1）)3()1(

2)(32'+'+'='x

x y x

x x x

x x 12012-

=+-

=．

（2）25

2323)()(--

-='+'='x x x x y )1

1(233x

x -=．

（3）132)33(2312

-+-

='-+-='--x

x x x x

y ．（4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ．（5）2sin )(sin )(tan )2(x x x x x x y x

'-'-'+'=2

sin cos sec 2ln 2x

x x x x x --+=．（6）2

2)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x x

x x x x x y +-

=+'+-+'=

'． 3．求下列函数在指定点的导数或微分：

（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2

f π

'；

（2）3

523

x x y +-=，求0

d =x y 与2

d =x y

．

解：（1）x x x f sin cos )(+='，

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

《微积分》《高等数学》第二章测试题

《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---

高等数学第二章练习及答案

第二章一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处（） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （） 4. 极值点一定是驻点. （） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？

大学高等数学下考试题库(附答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高等数学第二章复习题及答案

高等数学第二章复习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学习题集及解答第二章一、填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1 ()x f x e -=，则0 _____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________ (ln 2)f '''= 。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________ a = 。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________ ()f x '-=。 9、()(1)(2) ()f x x x x x n =+++，则_________________ (0)f '= 。 10、ln(13)x y -=+，则____________________ y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________00lim (2)() x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy =。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 0x x f x x x λ ?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大学高等数学第一册考试试题+答案

一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是（） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是（） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

大学高等数学下考试习题库(附答案)

欢迎阅读《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b 3. （A ） 6π4.A.=?b a 5.函数z A.2 6.设z =A. 2 2 7. 级数（A 8.幂级数=1n n A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ?____________. 5. .级数 n ∞ 三.1.设z =2.3.计算D ??4. . 一.二.1.2-y x 2.(xy cos 3.62-y x 4. ()n n n n ∑ ∞ =+-01 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin .

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限（1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分（1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ；（2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ；（3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分（1 ）；（2 ）；（3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

14级《高等数学》(第二章)统测试卷答案

上海立信会计学院2014～2015学年第一学期 14级《高等数学》（第二章）统测试卷答案（考试时间90分钟，闭卷）共 4 页一、单项选择题（每题2分，共20分） 1．设周期函数)(x f 在),(∞+-∞内可导，周期为4，又12) 1()1(lim -=--→x x f f x ，则 )(x f y =在点))5(,5(f 处的切线的斜率为 D A .2 1 B .0 C .1－ D .2－ 2．设函数)(x f 在点0=x 处连续，且1) (lim 2 20=→h h f h ，则 C A .0)0(=f 且)0('-f 存在 B .1)0(=f 且)0(' -f 存在 C .0)0(=f 且)0('＋f 存在 D .1)0(=f 且)0(' ＋f 存在 3．设??? ??≤>-=0 ) (0cos 1)(2x x g x x x x x f 其中)(x g '是有界函数，则)(x f 在0=x 处 D A .极限不存在 B .极限存在，但不连续 C .连续，但不可导 D .可导 4．设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数|)(|x f 在点a x =处不可导的充分条件是 A .0)(=a f 且0)(='a f B .0)(=a f 且0)(≠'a f B C .0)(>a f 且0)(>'a f D .0)('x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内 A .0)(<'x f ，0)(<''x f B .0)(<'x f ，0)(>''x f C C .0)(>'x f ，0)(<''x f D .0)(>'x f ，0)(>''x f 9．设函数?? ??? =≠=0 001sin ||)(2 x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处 C A .极限不存在 B .极限存在但不连续 C .连续但不可导 D .可导