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线性代数详细知识点

线性代数第一章行列式

§1 二阶和三阶行列式

一、二元一次线性方程组与二阶行列式

结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222

a x a x

b a x a x b +=??+=?

的解为

122122*********

b a a b x a a a a -=

-，1121212112121

a b b a x a b b a -=

-。

定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为

111221

a a a a 。称

111221

a a a a 为二阶行列式

有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为

122221111221

b a b a x a a a a =

，11

11222111221

a b a b x a a a a =

二、三阶行列式与三元一次线性方程组

定义：11

121321

222331

a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---

定理：如果111213

222331

0a a a D a a a a a a =≠，则*

123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解 11112213312112222332311

3223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

++=??

++=??++=?

当且仅当

1x =1

1213

22233

3233

/b a a b a a D b a a ,*

2x =11113

2122331

/a b a a b a D a b a ,*

3x =11121

2122231

/a a b a a b D a a b 其中11

1213

222331

a a a a a a a a a 为系数行列式。证明：略。

性质1：行列式行列互换，其值不变。即11

1213

2131

222312223231

a a a a a a a a a a a a a a a a a a =。

性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如

111213

222321222311121331

a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如

111213

121321222321222331

a a a a a a k a k a k a k a a a a a a a a a = 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

推论：行列式有一行全为零，其值为零。性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。

性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如

111213

1213

12132121

2222

232321

222321222331

a a a a a a a a a a

b a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+ 性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。例如

111213

12132111

2212

231321

222331

a a a a a a a k a a k a a k a a a a a a a a a a +++=

性质7：行列式按某一行展开

111213

2223212321222122231112

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+

定理的证明：用

222332

a a a a 乘第一个方程1111221331a x a x a x

b ++=，得

222322232223222311

11221331

3233

a a a a a a a a a x a x a x

b a a a a a a a a ++=①

用

121332

33a a a a 乘第一个方程2112222332a x a x a x b ++=，得

12131213121312132112222332

a a a a a a a a a x a x a x

b a a a a a a a a ++=②；

同理，有

121312131213121331

132

233

a a a a a a a a a x a x a x

b a a a a a a a a ++=③。

①+（-1）②+③，得

22231213121311

1323332332223()a a a a a a a a a x a a a a a a -+

222312131213122232

2323332332223()a a a a a a a a a x a a a a a a +-+

222312131213132333

332

3233

2223

()a a a a a a a a a x a a a a a a +-+

2223121312131

a a a a a a

b b b a a a a a a =-+

利用性质7，得

111213

1213

12132122231222223223222332222331

a a a a a a a a a

b a a a a a x a a a x a a a x b a a a a a a a a a a a b a a ++= 从而

111213

1213

21222312222331

a a a

b a a a a a x b a a a a a b a a =。

定理：111122133211222233311

322333000

a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=??

++=??++=?有非零解当且仅当系数行列式0D =。

证明：必要性：若齐次方程组有非零解，如果0D ≠，由前面的定理，矛盾。

充分性：若0D =，注意

111213

21222331

a a a a a a a a a =222321

2321

22111213

3331

a a a a a a a a a a a a a a a ??+?-

+ ???

把22232123212232

313331

(

)a a a a a a a a a a a a -

带入第2和第3个方程，容易验证它是方程组的解。

因此，如果

22232123212232

3133

32,,

a a a a a a a a a a a a -

不全为零，则定理得证。

如果

22232123212232

0a a a a a a a a a a a a ===，则

23212231

a a a a a a =

。原方程组实际上

等价于111122133211

2222330

0a x a x a x a x a x a x ++=??++=?。而该方程组一定有非零解（为什么？自己讨论）。

§2 全排列及其逆序数

定义：1,2,,n ???的一个排列是指这n 个数组成的一个有序组。

定义（逆序与逆序数）：设12n i i i ???是1,2,,n ???的一个排列，如果j k <，而j k i i >，则称(,)j k i i 构成一个逆序对，排列12n i i i ???的所有逆序对的个数叫做置换排列12n i i i ???的逆序数，记为12()n i i i π???。12()

(1)

n i i i π???-叫做排列12n i i i ???的符号，记为12()n s g n i i i ???。

12()1n s g n i i i ???=的排列叫做偶排列，12()1n s g n i i i ???=-的排列12n i i i ???叫做奇排列。

定理 3.2.1：设12n i i i ???，12n j j j ???是1,2,,n ???的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换把是12n i i i ???变成12n j j j ???。例：排列7523146包含的逆序对有

75、72、73、71、74、76； 52、53、51、54； 21；

31。

故逆序数为12。

§3 n 阶行列式的定义一、n 阶行列式的正式定义

定义：数域K 上的n 阶行列式定义为

n n n n a a a a a a a a a

2222111211121

12()

12(1)

n n

j j j j j n j

j j j a a a π???????=

-???∑

。

其中对任意的,1,2,,i j n =???，ij a K ∈。通常记之为A 。

例1：00010

020123424

300400

=???=。

例2：

1000

1010

例3：121421

24323343

0000?0

a a a a a a a =

例4：。123451

2121

00000000

a a a a a

b b b b b

c c

d d

e e =。例5：

1112122

21122

n n

n n n n

a a a a a a a a a =

§5、行列式的性质

性质1：行列式行列互换，其值不变。即

1112121

212n n

n n n n a a a a a a a a a 1121112

12n n n n n n

a a a a a a a a a =。

性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

推论：行列式有一行全为零，其值为零。

性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。

性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。

性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。

§6 行列式按行展开

定义1：在

12121

212n n

n n n n

a a a a a a a a a

中，把位于i 行，j 列的元素划去后留下的1n -行列式叫做ij a 的余子式，记为ij M 。而

(1)

i j

ij ij

A M

+=-叫做ij a 的代数余子式。

引理：

121111210

n n n n n

n n n n n n

a a a a A a a a a ---?????????=?。

证明：注意121n j j j n -???的逆序数与121n j j j -???的逆序数的关系，其中121n j j j -???是

1,2,,(1)n ???-的一个排列。

引理：在n 阶行列式A 中，若0ij a ≠，而对所有的k j ≠，0ik a =。则ij ij A a A =?。

定理3：

1112121

2112212n n

i i i i in in n n n n

a a a a a a a A a A a A a a a =++???+

推论：如果i k ≠，则11220i k i k in k n a A a A a A ++???+= 例13：

行列式的计算

1）一般方法：把它化为上三角行列式。 2）递推法

例7：

112513*********

------

例8：

111131111311

例9：

例10：111221

2211

12111213212221222331

000000a a a a c c b b b c c b b b c c b b b

例：计算下面行列式的值

00100

000n n αβ

αβαβ

αβα

αβ

++++-=

+-+

例：计算下面行列式的值

01121

100100010

n n n n n a a x a x a x

a a a x

------???-??????

????????????=++???+???-???

解

：

011

20221

10010010010

100

1000100100010

n n n n n a a x a x a x x D a a a a x

a x

-----???-???-???-???-???-???=

???????????????=+?????????????????????????????????-???-???-???

???

01n n a x D --=+

例12：

例10：

补充拉普拉斯定理

1．方阵中某k 阶子式的余子式和代数余子式

定义1：在11

12121

12n n

n n n n

a a a a a a D a a a =

中，选取位于1i 、2i 、…、k i 行，1j 、2j 、…、k

j 列的元素构成的行列式1212(,,,;,,,)k k D i i i j j j ??????叫做原行列式的k 阶子式。划去这些行列的元素后余下的元素按照原来的位置组成的行列式称为该子式的余子式。记为

1212(,,,;,,,)

k k M i i i j j j ??????。

定义：121212121212(,,,;,,,)(1)

(,,,;,,,)

k k

i i i j j j k k k k A i i i j j j M i i i j j j ++???++++???+???=-???叫做原

子式的的代数余子式。

2．拉普拉斯(Laplace)定理定理：设在n 阶行列式D 中任意取定k 行，则由这k 行元素组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D 。即

2121212121212(,,,;,,,)(1)(,,,;,,,)k k

i i i j j j k k k k j j j D D i i i j j j M i i i j j j ++???++++???+<

????-???∑

3. 拉普拉斯(Laplace)定理的应用

例1：例2：计算

11121212221211121212221

000000000100100

n n n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a

b b b b b b b b b ??????????????????????????????????????????-?????????-?????????????????????????????????

-???

定理：

1112121

n n

n n n n

c c c c c c c c c =1112121

212n n

n n n n a a a a a a a a a ?1112121

212n n

n n n n

b b b b b b b b b

这里1122ij i j i j in n j c a b a b a b =++???+。证明：构造

11121212221211121212221

000000000100100

n n n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a

b b b b b b b b b ??????????????????????????????????????????-?????????-?????????????????????????????????

-???

§7 克拉默法则

线性方程组的有关概念

定理7.1：克拉默法则

推论：齐次线性方程组1111221211222211

2200

n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++???+=??

++???+=????????

?++???+=?（1）有非零解当且仅当系数行列

式为零。

证明：必要性。若齐次线性方程组有非零解，由克拉默法则，系数行列式为零。充分性。若系数行列式为零，利用归纳法。当2n =时，结论成立。

假设1k n ≤-时，结论成立。现在证明k n =时，结论成立。

不妨设110a ≠。把方程化为

111122112222122000

n n n n n n n n a x a x a x x b x b x x b x b x ++???+=??

?++???+=??

??????

??++???+=?

（2）。其系数行列式为

12122

220

n n

n n n

a a a

b b b b

注意方程2222322322

n n n n n n n n b x b x b x b x b x b x +???+=??

+???+=????????

?+???+=? （3）的系数行列式

2223232

323n n

n n n n b b b b b b b b b 1112121

2120

n n

n n n n

a a a a a a a a a ==。

所以（3）有非零解，从而（2）有非零解。因此（1）有非零解。

推论7.3：在齐次线性方程组1111221211222211

220

............

n n n n m m m n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++???+=??

++???+=???

?++???+=?（1）中，若m n <，则它

有非零解。

例1：求一个二次多项式()f x ，使得(1)1f =，(1)9f -=，(2)3f =。

例2：若111122333144

211

222333244311322333344

411

422433

444

0000

a x a x a x a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x a x

a x a x

+++=??+++=??

+++=??+++=

?的系数行列式为零，证明111x A =，212x A =，

313x A =，414

x A =是它的一个解。

第二章矩阵

§1 矩阵

1．矩阵的定义

定义1：数域K 上的m n ?矩阵为m 行n 列的数表

11121212221

.....................

n n

m m m n a a a a a a a a a ??

? ? ?

? ???

记为{}ij m n A a ?=或者m n A ?。

ij a 叫做矩阵m n A ?的第i 行j 列的元。对角元素。当m =n ，矩阵n n A ?叫做n 阶方阵。

实矩阵与复矩阵。

[矩阵的相等]m n ?矩阵()ij A a =与()ij B b =是相等的，若ij ij

a b =（1,2,...,,1,2,...,i m j n ==）。

[零矩阵] 若0ij a =（1,2,...,,1,2,...,i m j n ==），则称矩阵()ij A a =为零矩阵。 [负矩阵] ()ij m n a ?-叫做矩阵()ij A a =的负矩阵，记为A -。

[上三角矩阵] 形如1112112222......0 0

...

m n m n

m m

m n a a a a a a a a a ??

? ? ? ??

和11121222...0...............00...00...0 0

...

0n n

n n a a a a a a ?

? ? ? ?

? ? ? ? ??

的矩阵叫做上三角矩阵。

[对角矩阵] n 阶方矩阵11220...00 0

...

n n a a E a ?

? ? ?= ? ? ??

叫做n 阶对角矩阵。

[单位矩阵] 10...001 0

...

E ?? ? ?= ? ? ???

叫做n 阶单位矩阵。

§2 矩阵的运算

【矩阵的加法】

11121212221

.....................

n n m m m n a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ???+11

121212221

.........

............

n n m m m n b b b b

b b b b b ?? ? ? ? ? ???=1111

1212112121

2222

2211

..................

...

n n n n

m m m m m n m n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++??

+++ ? ? ?

?+++??

【矩阵与数的标量乘法】

11121212221

.....................

n n m m m n a a a a a a k a a a ?? ? ??

? ? ???11

12121

212

.....................

n n

m m m n k a k a k a k a k a k a k a k a k a ?????

???

?= ?

?????

命题：对数域K 上的任意m n ?矩阵A 、B 、C ，以及任意的,k l K ∈，有 1）()()A B C A B C ++=++ 2）A B B A +=+

3）0A A += 4）()0A A +-= 5）()()k l A k l A ?=?? 6）()k l A k A l A +=?+? 7）()k A B k A k B +=?+? 8）1A A ?=。

【矩阵的乘法】

定义：对数域K 上的任意m n ?矩阵()ij A a =，n r ?矩阵()ij B b =，定义()ij A B c ?=。其中1122...ij i j i j in n j c a b a b a b =+++（1,2,...,,1,2,...,i m j r ==）。

命题：1）矩阵的乘法满足结合律：()()A B C A B C =；

2）()A B C A B A C +=+()A B C A C B C +=+ 3）()()()A B A B A B λλλ== 4）A E E A A ?=?=（A 为n 阶方阵）

矩阵的方幂

【矩阵的转置】

定义：n m ?矩阵1121112222

12.....................

m m n

m n a a a a a a a a a ??

? ?

? ??

叫做m n ?矩阵()ij A a =的转置矩阵，记为T A 。

命题：1）()T

A A =

2）()T

A B A B +=+； 3）()T

k A k A =?； 4）()T

A B B A =。

【方阵的行列式】

定义：行列式

121212221

.....................

n n n n n n

a a a a a a a a a 叫做n 阶方阵()ij A a =的行列式。记为A 。

命题：1）T A A =

2）n

A A λλ

=；

3）A B A B =； 4）()T

A B B A =。

§3逆矩阵

1．矩阵的定义

定义：数域K 上的m n ?矩阵为m 行n 列的数表

11121212221

.....................

n n

m m m n a a a a a a a a a ??

? ? ?

? ???

记为{}ij m n A a ?=或者m n A ?。

ij a 叫做矩阵m n A ?的第i 行j 列的元。对角元素。当m =n ，矩阵n n A ?叫做n 阶方阵。

行列式

11121212221

.....................

n n n n n n

a a a a a a a a a 叫做n 阶方阵()ij A a =的行列式。记为A 。

[矩阵的相等]m n ?矩阵()ij A a =与()ij B b =是相等的，若ij ij

a b =（1,2,...,,1,2,...,i m j n ==）。

[零矩阵] 若0ij a =（1,2,...,,1,2,...,i m j n ==），则称矩阵()ij A a =为零矩阵。 [负矩阵] ()ij m n a ?-叫做矩阵()ij A a =的负矩阵，记为A -。

[上三角矩阵] 形如1112112222......0 0

...

m n m n

m m

m n a a a a a a a a a ??

? ? ? ??

和11121222...0...............00...00...0 0

...

0n n

n n a a a a a a ?

? ? ? ?

? ? ? ? ??

的矩阵叫做上三角矩阵。

[对角矩阵] n 阶方矩阵11220...00 0

...

n n a a E a ?

? ? ?= ? ? ??

叫做n 阶对角矩阵。

[单位矩阵] 10...001 0

...

E ?? ? ?= ? ? ???

叫做n 阶单位矩阵。 [转置矩阵] n m ?矩阵1121112222

12.....................

m m n

m n a a a a a a a a a ??

? ?

? ??

叫做m n ?矩阵()ij

A a =的转置矩阵，记

为T A 。

2．矩阵的运算 [矩阵的加法]

11121212221

.....................

n n m m m n a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ???+11

121212221

.........

............

n n m m m n b b b b

b b b b b ?? ? ? ? ? ???=1111

1212112121

2222

2211

..................

...

n n n n

m m m m m n m n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++??

+++ ? ? ?

?+++??

[矩阵与数的标量乘法]

1112121

2221

.....................

n n m m m n a a a a a a k a a a ?? ? ?? ? ? ???11

12121

212

.....................

n n

m m m n k a k a k a k a k a k a k a k a k a ?????

???

?= ?

?????

命题：对数域K 上的任意m n ?矩阵A 、B 、C ，以及任意的,k l K ∈，有 1）()()A B C A B C ++=++ 2）A B B A +=+

3）0A A += 4）()0A A +-= 5）()()k l A k l A ?=?? 6）()k l A k A l A +=?+? 7）()k A B k A k B +=?+? 8）1A A ?=。

矩阵的乘法

定义：对数域K 上的任意m n ?矩阵()ij A a =，n r ?矩阵()ij B b =，定义()ij A B c ?=。其中1122...ij i j i j in n j c a b a b a b =+++（1,2,...,,1,2,...,i m j r ==）。

命题：1）矩阵的乘法满足结合律：()()A B C A B C =； 2）()A B C A B A C +=+()A B C A C B C +=+ 3）()T

A B A B +=+

4）()T

k A k A =? 5）()T

A B B A =。

6）A E E A A ?=?=（A 为n 阶方阵）

3．矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换初等行变换：1）交换两行的位置；

2）用一个数乘以某一行；

3）用一个数乘以某一行后加到另一行。

§4 矩阵分块法

1．矩阵的定义

定义：数域K 上的m n ?矩阵为m 行n 列的数表

11121212221

.....................

n n

m m m n a a a a a a a a a ??

? ? ?

? ???

记为{}ij m n A a ?=或者m n A ?。

ij a 叫做矩阵m n A ?的第i 行j 列的元。对角元素。当m =n ，矩阵n n A ?叫做n 阶方阵。

行列式

11121212221

.....................

n n n n n n

a a a a a a a a a 叫做n 阶方阵()ij A a =的行列式。记为A 。

[矩阵的相等]m n ?矩阵()ij A a =与()ij B b =是相等的，若ij ij

a b =（1,2,...,,1,2,...,i m j n ==）。

[零矩阵] 若0ij a =（1,2,...,,1,2,...,i m j n ==），则称矩阵()ij A a =为零矩阵。 [负矩阵] ()ij m n a ?-叫做矩阵()ij A a =的负矩阵，记为A -。

[上三角矩阵] 形如1112112222 0

(00)

...

m n m n

m m

m n a a a a a a a a a ??

? ? ? ??

和11121222...0...............00...00...0 0

...

0n n

n n a a a a a a ?

? ? ? ?

? ? ? ? ??

的矩阵叫做上三角矩阵。

[对角矩阵] n 阶方矩阵11220...00 0

...

n n a a E a ?

? ? ?= ? ? ???

叫做n 阶对角矩阵。 [单位矩阵] 1

0...001 0

...

E ?? ? ?= ? ? ???

叫做n 阶单位矩阵。 [转置矩阵] n m ?矩阵1121112222

12.....................

m m n

m n a a a a a a a a a ??

? ?

? ??

叫做m n ?矩阵()ij

A a =的转置矩阵，记

为T

A 。

2．矩阵的运算 [矩阵的加法]

11121212221

.....................

n n m m m n a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ???+11

121212221

.........

............

n n m m m n b b b b

b b b b b ?? ? ? ? ? ???=1111

1212112121

2222

2211

..................

...

n n n n

m m m m m n m n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++??

+++ ? ? ?

?+++??

[矩阵与数的标量乘法]

1112121

2221

.....................

n n m m m n a a a a a a k a a a ?? ? ?? ? ? ???11

12121

212

.....................

n n

m m m n k a k a k a k a k a k a k a k a k a ?????

???

?= ?

?????

命题：对数域K 上的任意m n ?矩阵A 、B 、C ，以及任意的,k l K ∈，有 1）()()A B C A B C ++=++ 2）A B B A +=+

3）0A A += 4）()0A A +-= 5）()()k l A k l A ?=?? 6）()k l A k A l A +=?+? 7）()k A B k A k B +=?+? 8）1A A ?=。

矩阵的乘法

定义：对数域K 上的任意m n ?矩阵()ij A a =，n r ?矩阵()ij B b =，定义()ij A B c ?=。其中1122...ij i j i j in n j c a b a b a b =+++（1,2,...,,1,2,...,i m j r ==）。

命题：1）矩阵的乘法满足结合律：()()A B C A B C =； 2）()A B C A B A C +=+()A B C A C B C +=+ 3）()T

A B A B +=+

4）()T

k A k A =? 5）()T

A B B A =。

6）A E E A A ?=?=（A 为n 阶方阵）

3．矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换初等行变换：1）交换两行的位置；

2）用一个数乘以某一行；

3）用一个数乘以某一行后加到另一行。

第一章向量代数

§1向量的线性运算

一．向量的基本概念

1．向量的概念、有向线段、向量的表示

2．向量的长度或模、单位向量、零向量、负向量

二．向量的运算

1．向量的加法

定义——平行四边形法则、三角形法则

加法的性质

2．向量的减法

3．向量的标量乘法

标量乘法的定义，标量乘法的性质

§ 2 向量的共线与共面

1．共线与共面的含义

2．共线与共面的判断和性质

命题2.1（1）如果存在实数k，使得a k b

=?，则a与b共线；（2）如果a与b共线并且0

=?。

b≠，则存在唯一的实数k，使得a k b

命题2.4如果存在实数,k m，使得c k a m b

=?+?，则a、b、c共面。

命题 2.5如果a、b、c共面，并且a与b不共线，则存在唯一的实数对,k m，使得=?+?。

c k a m b

3．线性相关与线性无关

线性相关与线性无关的定义

命题2.1、2.4、2.5的等价描述。

问题：若一组向量线性相关，再加进一个向量后还是否线性相关？

若一组向量线性无关，去掉一个向量后还是否线性无关？

4．自由向量、位置向量、空间点与向量的一一对应

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质定义记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

线性代数必考知识点归纳

线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式（一）要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则（二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点 1、矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

数三线性代数必考知识点

线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法：

①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

线性代数必考知识点

2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

《线性代数》的主要知识点

《线性代数》的主要知识点第一部分行列式概念： 1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半； ②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列）行）ττ+-() 1( 2．元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-= 3．行列式的性质计算方法： 1．对角线法则 2．行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理) 第二部分矩阵 1．矩阵的乘积注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠） ②不满足消去率（由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵 2．矩阵的转置满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)( 3．矩阵的多项式设n n x a x a a x +++=Λ10)(?，A 为n 阶方阵，则 n n A a A a E a A +++=Λ10)(?称为A 的n 次多项式。对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果 1 -Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(? 11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ?

（2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ????Λ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?； n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价； ?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零求法：①伴随矩阵法：*1 1 A A A ?= - ②初等变换法：()() 1,,-???→?A E E A 初等行变换或??? ? ?????→????? ??-1A E E A 初等列变换， E 是单位矩阵性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的（2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且A A =--1 1)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )() (11 --= ③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--= A k kA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111 )(---=A B AB 5．方阵A 的行列式：满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n λλ= ③B A AB = 6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵 ???? ?? ? ??=nn n n n n A A A A A A A A A A Λ M M M ΛΛ212221212111* ，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==* *

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

线性代数知识点总结汇编

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式 1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

考研线性代数知识点归纳

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

线性代数详细知识点

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结汇总

线性代数必考知识点归纳

线性代数知识点总结

线性代数总结归纳

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳,超详细

数三线性代数必考知识点

线性代数必考知识点

《线性代数》的主要知识点

线性代数知识点归纳

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点总结汇编

考研线性代数知识点归纳

《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理