线性代数主要知识点
《线性代数》的主要知识点
第一部分 行列式 概念：
1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；
②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列；
③每一项的符号为（列）行）ττ+-()1(
2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j
i ij M )1(A +-=
3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则
2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)
第二部分 矩阵
1． 矩阵的乘积
注意：①不满足交换率（一般情况下BA AB ≠）
②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ）
③由AB=0不能得出A=0或B=0
④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵
2．矩阵的转置
满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)(
3．矩阵的多项式 设n
n x a x a a x +++= 10)(?，A 为n 阶方阵，则
n
n A a A a E a A +++= 10)(?称为A 的n 次多项式。
对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：
（1）如果 1-Λ=P P A ，则n
n A a A a E a A +++= 10)(?
1
1
11
0---Λ++Λ+=P
Pa P
Pa EP
Pa n n = 1
)(-ΛP
P ?
（2）若),,(21n a a a diag =Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ???? =Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?；
n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价；
?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零
求法：①伴随矩阵法：*
1
1A A
A
?=
-
②初等变换法：()()1
,,-???→?A E E A 初等行变换或???
?
?????→?????
??-1A E E A 初等列变换， E 是单位矩阵 性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的
（2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(
②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )()(11--= ③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且1
11)(--=
A
k kA
④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB 5．方阵A 的行列式：
满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数）
①A A T = ②A A n
λλ= ③B A AB =
6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵
????
??
?
?
?
=
nn n
n
n n A A A A A A A A A A
212221212111*
，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==*
*
常见的公式有：①1
*
-=n A A ②1
*-?=A
A A ③A A
A 1)
(1
*=
- ④=-1*)(A *1)(-A 等
7．初等矩阵：由单位矩阵E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：
（1）),(j i E （互换E 的第i 、j 列）
（2）))((k i E （E 的第i 行乘以不为零的数k ） （3）))((k ij E （把E 的j 行的k 倍加到第i
行上）
初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且),()
,(1
j i E j i E =-、)]([)]
([1
1
--=k
i E k i E 、)](,[)]
([1
k j i E k ij E -=-；
初等矩阵的行列式分别是 -1，k, 1。
8．矩阵的初等变换：初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： ①对调两行； 记为 j i r r ? 对换第j i 与行
②以数0≠k 乘某一行中的所有元素； 记为 k r i ? 第i 行乘k
③把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去；记为 j i kr r + 第j 行k 倍加到第i 行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换
矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A 是一个n m ?矩阵，则
① 对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；
② 对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
9．矩阵的等价：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与矩阵B 等价。 且若矩阵A 经过有限次初等行变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与B 行等价； 若仅经过初等列变换，就称A 与B 列等价。 设B A ,为n m ?矩阵
①A 与B 行等价??m 阶可逆矩阵P ，使得B PA = ②A 与B 列等价??n 阶可逆矩阵Q ，使得B AQ =
③B A ,等价??m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q ，使得B PAQ = 利用矩阵的初等变换解矩阵方程
B AX =，B A X 1-=，可以： )(B A ???→?初等行变换
)(1B A E -
B XA =，1-=BA X ，可以： )(T T B A ???→?初等行变换
)(T X E ，从而解出X 。 10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为）（或A R )A (r
求法：A ???→?初等行变换
行阶梯形矩阵B ，）（A R =B 的非零行的行数。 相关公式：①若A 是n m ?矩阵，则},min{)(0m n A R ≤≤
②)()(A R A R T
= ③B A ~?)(A R =)(B R
④若设A 为n m ?矩阵， n m Q P ,均为可逆矩阵，则)(A r )(PAQ r = ⑤，则)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤ ⑥若B A ,均为n m ?矩阵，则)()()(B R A R B A R +≤+
⑦))(),(min()(B R A R AB R ≤ ⑧若 O B A t n n m =??，则 n B R A R ≤+)()(
11．分块矩阵：主要记住：
（1）分块对角矩阵：设.A 为n 阶方程，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块， 其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即??????
?
?
?O O =s A A A A
2
1. 其行列式与逆矩阵具有下述性质： ①s i A A A A 2=
②若),,2,1(,0s i A i =≠，则0≠A ，故A 可逆，并有:??????
? ?
?O O =----11
2
111
.
s A A A A
③设A 是m 阶方阵, B 是n 阶方阵,,且b B a A ==,,则
()
ab O
B
A O mn
1-=
另有：（2）设有分块矩阵??
?
?
??=B O
C A
H ，其中B A ,分别为m 阶、n 阶可逆矩阵，则矩阵H 可逆且??
????-=-----1
1
111
B
O
CB
A A H
（3）设有分块矩阵??
?
?
??=B C
O A
H ，其中B A ,分别为m 阶、n 阶可逆矩阵，则 矩阵H 可逆且??
?
???-=-----11
1
1
1
B CA
B O A H
第三部分 向量组
1． 线性组合：给定向量组A ：m ααα,,,21 ，对于任意一组实数，称向量
m m k k k ααα ++2211为向量组的一个线性组合，m k k k ,,,21 称为该线性组合的系数。
给定向量组A ：m ααα,,,21 和向量β，如果存在一组数m λλλ,,,21 ，使得 β=m m αλαλαλ ++2211
则向量β是向量组A 的线性组合，也称向量β可以由向量组A 线性表示 向量β能由向量组A 线性表示?方程组βααα=++m m x x x 2211 有解
?矩阵A=（m ααα,,,21 ）的秩等于矩阵B=(m ααα,,,21 ，β)的秩
2．等价：设有两个向量组A ：m ααα,,,21 及B ：s βββ,,,21 ，若B 中的每个向量都可以由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示。若向量组A 与向量组B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为：（m ααα,,,21 ）≌（s βββ,,,21 ） 主要结论：
（1）矩阵A 与B 若行等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价； 若矩阵A 与B 若列等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价
（2）向量组B ：l b b b ,,21能由向量组A:m a a a ,,21线性表示?存在矩阵K ，使得
B=AK ?方程AX=B 有解 ?),()(B A R A R =
（3）向量组A: m a a a ,,21与向量组B ：l b b b ,,21等价? ),()()(B A R B R A R ==，
其中，A,B 是向量组构成的矩阵
（4）向量组B ：l b b b ,,21能由向量组A:m a a a ,,21线性表示，则 R(l b b b ,,21)≤R(m a a a ,,21) 3．线性相关与线性无关
对向量组A ：m ααα,,,21 ，如果存在不全为零的一组数m k k k ,,,21 ，使得：
02211=++m m k k k ααα 则称向量组A 是线性相关的，否则称为线性无关， 也就是说当且仅当m k k k ,,,21 都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则m ααα,,,21 线性无关。 主要结论：
（1）向量组m ααα,,,21 线性相关?齐次线性方程组有非零解?它所构成的矩阵A =（m ααα,,,21 ）的秩小于m ；
同样 线性无关?仅有零解?m A R =)(
（2）n 个n 维向量()n a a a 112111,,, =α，
),,,(222212n a a a =α),,(21nn n n n a a a =α线性相关?行列式
02
1
2222111211
=nn
n n n n a a a a a a a a a
， 线性无关?行列式0≠
（3）m 个n 维向量，当维数m n <时，向量组一定线性相关。特别地，1+n 个n 维向量必线性相关；
（4）若向量组A ：m ααα,,,21 线性相关?向量组B: 121,,,,+m m αααα 一定线性相关；
反之，向量组B 若线性无关?向量组A 线性无关
或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；
（5）若向量组A ：m ααα,,,21 线性无关，而向量组B: m ααα,,,21 ,β线性相关?β必能由向量组A 线性表示，且表达式唯一
（6）若r 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则在每一个向量上再添加r n -个分量所得到的n 维向量组1
1
21
1,,,m ααα 也是线性无关的
（7）向量组A ：m ααα,,,21 线性相关?其中至少有一个向量是其余1-m 个向量的线性组合 ；线性无关?每一个向量都不能由其余向量线性表示。
（8）如果向量组A ：s ααα,,,21 可由向量组B: t βββ,,,21 线性表示，并且t s >?向量组A ：s ααα,,,21 线性相关；
（逆否命题: A ：s ααα,,,21 线性无关且可由向量组B t βββ,,,21 线性表示?t s ≤） 4．最大（极大）线性无关组：设有向量组A ，如果在A 中能选出r 个向量r ααα,,,21 ，满足（1）向量组0A ：r ααα,,,21 线性无关；
（2）向量组A 中任意1+r 个向量（如果A 中有1+r 个向量的话）都是线性相关的 那么称r ααα,,,21 是向量组A 的一个最大（极大）线性无关部分组
条件（2）也可以改为：向量组A 中任意一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示， 结论:
①一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个 ②一个向量组的极大无关组不是唯一的
③向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的 ④若向量组s ααα,,,21 线性无关，其极大无关组就是其本身 ⑤任一向量组和它的极大无关组等价
⑥向量组s ααα,,,21 中任意两个极大无关组等价
5．向量组的秩：向量组s ααα,,,21 中极大无关组所含向量的个数r 称为向量组A 的秩。 记为：r （s ααα,,,21 ）
主要结论：（1）如果向量组 s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 等价，则它们的秩相等 （2）如果向量组 s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，且
r r s =),,,(21ααα ，p r t =),,,(21βββ ，则p r ≤ （3）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
6．向量空间：设V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称V 为向量空间。
（1）设βα,是两个已知的n 维向量，则集合{}R x V ∈+==μλμβλα, 是一个向量空间。称为由向量βα,所生成的向量空间。
（2）向量空间的基---设V 为向量空间，如果r 个向量V r ∈ααα,,,21 ，且满足①
r ααα,,,21 线性无关；② V 中任何一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示
则称向量组r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间。
（3）在3R 中取定一个基321,,a a a ，再取一个新基321,,b b b ，设=A （321,,a a a ）， =B （321,,b b b ），则P =1
-A B 称为从旧基到新基的过渡矩阵
7．向量的内积： (1) 设有n 维向量?
?
?
??
?
?
??=n
x x x x 2
1
，????
??
?
??=n y y y y 2
1
，令[]n x y x y x y x +++= 2211,， []y x ,称为向量x 与y 的内积. 当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T
=
,.
(2) 内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）：
① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=；
③ [][][]z y z x z y x ,,,+=+. ④当o x =时，[]o x x =,；当o x ≠时，[]o x x >, ⑤施瓦茨（Schwarz ）不等式[][]],[,,2
y y x x y x ?≤
(3) 向量的长度：x =
[]2
2221,n
x x x x x ++=
，x 称为n 维向量x 的长度。（范数）.
(4) 向量的正交----当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交. (5)正交向量组----两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组的性质
若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关.
（6）施密特（Schimidt ）正交化过程：设r a a a ,,21是线性无关的：
取11a b =；[]
[]
1112122,,b b b a b a b -
=，
…[][][]
[]
[]
[]
11112
2221111,,,,,,-------
=r r r r r r r r r b b b a b b b b a b b b b a b a b
.
r b b b ,,,21 两两正交，且r b b b ,,,21 与r a a a ,,21等价
第四部分 线性方程组 1． 解的判定：
线性方程组??
???
??=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2121
12
222212*********其系数矩阵与增广矩阵分别记为：
()
??????? ??==?mn m m n n
n
m ij
a a a a a a a a a a A
2
1
2222111211
，A 或（A,b ）=??
??
?
?
?
??m mn m m n n b a a a b a a a b a a a
2
1
222221
1
11211 则方程组的矩阵表示形式为：b Ax =
若记：???????? ??=121111m a a a α，?
?
?
??
?
??
??=2
22
12
2m a a a
α???
??
?
?
?
??=mn
n n n
a a a
21,α，?
??????? ??=m b b b b 21，则方程组的向量形式为：
b x x x n n =++ααα 2211
判定定理：n 元非齐次线性方程组b x A n m =?有解?)()(A r A r = 且有唯一解?n A r A r ==)()( ，有无穷多解?n A r A r <=)()(
对应的齐次线性方程组??
???
??=+++=+++=+++0
2121
122221*********n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ，称谓原方程组的导出组。
有结论：①n 元齐次线性方程组仅有零解?系数矩阵的秩n A r =)(
n 元齐次线性方程组有非零解?系数矩阵的秩n A r <)(
②若系数矩阵A 为方阵，则有：n 元齐次线性方程组仅有零解?0A ≠ n 元齐次线性方程组有非零解?0A =
2．基础解系：设s ηηη 21,都是齐次线性方程组0=Ax 的解，且：
①s ηηη 21,线性无关 ②0=Ax 的任意解都可以由s ηηη 21,线性表示 则称s ηηη 21,是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系
实际上，齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系就是它的解集的一个最大无关组 结论：①当系数矩阵的秩n r A r <=)(时，齐次线性方程组0=Ax 有基础解系，并且它的任一个基础解系中解向量的个数为r n -
②若0ξ是b Ax =的一个特解，r n -ηηη 21,是O Ax =的一个基础解系，则b Ax =的通解为0ξ+r n r n c c c --++ηηη 2211
第五部分 矩阵的特征值（特征向量）与二次型 1．
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式 §1 二阶和三阶行列式 一、二元一次线性方程组与二阶行列式 结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=??+=? 的解为 122122*********b a a b x a a a a -= -，112121 2112121 a b b a x a b b a -=-。 定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为 11122122a a a a 。称1112 2122 a a a a 为二阶行列式 有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为 1 122221111221 22 b a b a x a a a a = ，111 122 2111221 22 a b a b x a a a a = 二、三阶行列式与三元一次线性方程组 定义：11 121321 222331 32 33 a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 定理：如果11 1213 21 22233132 33 0a a a D a a a a a a =≠，则***1 23(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解
111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=? 当且仅当 *1x =1 12132 22233 3233 /b a a b a a D b a a ,* 2x =111132122331 3 33 /a b a a b a D a b a ,* 3 x =111212122231 32 3 /a a b a a b D a a b 其中11 1213 21 222331 32 33 a a a a a a a a a 为系数行列式。 证明：略。 性质1：行列式行列互换，其值不变。即11 121311213121 222312 223231 32 33 13 23 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =。 性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如 11121321222321222311 121331 32 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 推论：行列式有两行相同，其值为零。 性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如 11121311121321222321 222331 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。 推论：行列式有一行全为零，其值为零。 性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。 性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如
线性代数知识点归纳同济第五版
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数必考知识点
2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
考研线性代数知识点归纳
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）