利用函数性质判定方程解的存在教案

《利用函数性质判定方程解的存在》教案

教学目标

1.理解函数的零点，通过类比归纳，帮助学生提高数学抽象素养；

2.理解函数零点存在性定理，通过合作交流，体验由直观想象到数学抽象的核心素养；

3.会判断函数零点的个数和所在区间，帮助学生树立严谨的数学运算素养。 教学重难点

重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点的判定方法。

难点：探究发现函数零点的存在性。

教学方法

启发式讲解，自主探究，合作探究等相结合

教学过程

一， 问题情境

1.从图片上你看到了什么，有何启示？

2.方程062ln =-+x x 有解吗？有几个呢？

二，新课探究

自主探究：从不同的角度看12-=x y 先让学生从形和数的角度看等式，接着当0=y 时，引导学生求出结果，再让学生从不同角度看0.5.

T ：引导学生画图回答问题，师生共同总结，得出零点的概念

函数的零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

注意：函数的零点 ? 方程0=y 的根 ? 函数)(x f y =图像与x 轴交点的横坐标. （数的角度） （形的角度）

思考：零点是不是点？函数都有零点？

活动一：学以致用

快速抢答：函数)3)(2)(1()(-+-=x x x x f 零点个数为（）

A.1

B.-2

C.(1,0) ,(-2,0),(3,0)

D.1,-2,3 小试牛刀：用图像法求方程3)2(2-=-x x 的根。

T ：提示学生方程转化为函数角度。

合作探究：小马过河了吗？

观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定

说明小马已经成功过河？

问1：如果将河流抽象成x 轴，将小马前后的两个

位置抽象为A 、B 两点。请问当A 、B 与x 轴满足 怎样的位置关系时，AB 间的一段连续函数图象与x 轴一定有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。

问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？

零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b ）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程

f(x)=0

B

在区间(a,b) 内至少有一个实数解.

思考：1，有零点一定有f （a ）f （b ）<0吗？（定理不可逆）

2，定理中的[a,b]可以改为（a,b ）吗？

T ：引导学生画图解释

活动二：思维提升

简单巩固：判断方程01543=-+x x 在在[1，2]内实数解的存在性。 自我检测：求方程062ln =-+x x 有解吗？求出所在区间；并验证你的结论。 T ：提示学生数与形不分家

三，整体归纳

请小组讨论30秒，这节课学到了什么？在解题方法上你有什么收获？ 四，课后反馈

必做题1．教材119页习题4--1（A 组）第1题；

选做题2．求函数x x f x 22)(-

= 的零点个数，指出其零点所在的大致区间。

二分法求方程的近似解(教案)

3.1.2 用二分法求方程的近似解 （一）教学目标 1、知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解。2、过程与方法 体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想。 3、情感、态度及价值观 在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力。 （二）教学重点与难点 重点：用二分法求方程的近似解； 难点：二分法原理的理解 （三）教学过程 1、复习引入 （1）知识回顾 （a）函数的零点及其等价关系。 ＊对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

（b ）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法： ＊如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c ∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 （2）引例 （a ）从学校电房到学校食堂的电缆有5个接点。现在某处发生故障，需及时修理。为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少2次？ （b ）猜数字游戏，看谁先猜中 从1～1000这1000个自然数随机抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？10次以内猜出，你们能做到吗 ？ 2、新课内容 设疑：一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？ 函数：f(x)=Lnx+2x-6有零点 方程：Lnx+2x-6=0有解。 1、你能找出零点落在下列哪个区间吗？ 2、你能继续缩小零点所在的区间吗？ 解方程：Lnx+2x-6=0 找函数： f(x)=Lnx+2x-6的零点所在区间 逐步缩小函数： f(x)=Lnx+2x-6零点所在范围 3、几何画板演示缩小范围 ()()()()54433221,.,.,.,.D C B A

北师大版(2019)高一数学必修第一册第五章第一节方程解的存在性及方程的近似解 教案

第1节方程解的存在性及方程的近似解 5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性 本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。 (1)知识目标： 理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。 (2)核心素养目标： 通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。 重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。 难点：方程实数解的存在区间的求解。 多媒体课件 一、知识引入 函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。

你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？ 依据定义找到函数零点： -1,1,3。 1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？ 零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x 轴。（零点即交点） 2、零点两侧的附近区间内自变量x 对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0） 3、此类零点称为变号零点。 作出函数x y 1 图像确定函数有没有零点？ 能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？ 得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b ）上。 零点的判断方法： （1）几何法：函数y=f(x)图像与x 轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。 （2）代数法：零点存在定理 ①函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。 ②满足f(a)f(b)﹤0 则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。 如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。 二、例题解析 例1 方程3x -x 2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？

北师大版高中数学必修一-4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 教案

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在 教学目标 1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在 2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想 3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想 教学重难点 重点：利用函数性质判定方程解的存在 难点：方程实数解的存在区间的求解 教学过程 问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析） y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0 概括总结： 函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点 等价关系：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与X轴有交点?函数y=f(x)有零点 示例·练习

问题探究2 概括总结 零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。思考下列问题： 问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。 问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。 总结出函数零点存在性定理注意事项： （1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线 （2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆 （3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点 示例·练习

课后小结 1.什么是函数的零点？ 2.如何使用函数性质判定方程解得存在？ 作业：P116.第3题 []实数解？为什么？ 内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。 上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。 上是否存在实数解， 在判定2,101543=-+x x

函数的性质专题教案

函数专题（二） 函数的性质 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增 区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说 在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2 ()1 f x x = -在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =

考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么 f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 考点3 函数的最值 【例】求函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值和最小值：

指数函数的性质的应用教案

2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 ； 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 (≠ ２．函数)1 a =a y a x． (≠ ,0 > ; 当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ１， 若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１； 当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ１，

若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １． ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 ) 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区 间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)211 1(+=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。

高中数学教材必修一《用二分法求方程的近似解》教学设计

用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位． 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程． 五、教学重点和难点 1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 六、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题 问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发

利用函数性质判定方程解的存在

利用函数性质判定方程解的存在 【学习目标】 1.正确认识方程0)(=x f 的实数解与函数)(x f 的零点的关系。 2.会结合函数图像性质判断方程解的个数。 3.会用多种方法求方程的解和函数的零点。 【学习重点】 方程的解与函数零点的关系、函数零点的应用。 【学习难点】 函数零点的应用 【课前预习案】 一、课本助读 阅读课本115—116页，然后完成。 （一）函数与方程的关系 1.求方程2230x x --=的根，画函数223y x x =--的图像。 2.观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x 轴交点的横坐标有什么 关系？ 3.归纳函数的零点的概念 我们把函数()y f x =的图像与 _______交点的_________ 称为这个函数的 ___________。 总结：方程()0f x =有实根?函数()y f x =的图像与______有交点?函数 ()y f x =有_______. （二）函数零点的判断 4.如何判断二次函数零点的个数，如何判断一元二次方程根的个数，它们之 间有什么关系？ 分析：观察二次函数()26f x x x =--的图像，我们发现函数()26 f x x x =--在区间(4,0)-和()0,4有零点，计算)4(),0(-f f ，发现()()04f f -______0，函数

()26f x x x =--在(4,0)-内有零点__________,它就是方程()26f x x x =--的一 个根，同样地，()()04f f _____0，函数()26f x x x =--在()0,4内有零点________, 它就是方程()26f x x x =--的另一个根。我们可以用学过的解方程的方法来验证 这个结论。 5.判断函数有零点的方法.（函数零点的存在性定理） 若①函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是______曲线，②并且在区间端 点的函数值符号_________，即____________，则在区间(),a b 内，函数_______ 有______零点，即相应的方程()0f x =在区间(),a b 内__________实数解. 二、预习自测 1.函数223y x x =--的零点有 。 2.判断下列函数在给定的区间上是否有零点： （1）()3x f x e x =--在区间[1,2]上； (2) 2()32f x x x =-+在区间[0,3]上 【课堂探究案】 一、 探究问题 1.在零点存在性定理中， ①为什么要是连续曲线？能举出反例吗？ ②若0)()(>?b f a f 则函数)(x f y =在区间()b a ,内存在零点吗？ 2. 为什么说函数)(x f y =“至少有一个”零点？函数零点的存在性定理能 否判断函数零点的个数？试举例说明. 3.单调函数满足函数零点的存在性定理的两个条件，能否判断函数零点的个 数？试举例说明. 4.)(x f y =在区间()b a ,内存在零点，则满足0)()(

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案 北师大版必修1

2019-2020年高中数学 4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在教案北师 大版必修1 一、教学目标： 1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.让学生了解函数的零点与方程根的联系； 3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用； 4。培养学生动手操作的能力。 二、教学重点、难点 重点：零点的概念及存在性的判定； 难点：零点的确定。 三、复习引入 分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其 图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0, f(4)>0,f(-4)>0 由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此， 点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线 必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点 X1使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至 少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两 个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解 定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x 抽象概括 ●y=f(x)的图像与x ●若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零 点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。 f(x)=0有实根（等价与y=f(x)）与x轴有交点（等价与）y=f(x)有零点 所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点 注意：1、这里所说“若f(a)f(b)<0,则在区间（a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出 了方程f(x)=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解； 2、若f(a)f(b)<0,且y=f(x)在（a,b）内是单调的，那么，方程f(x)=0在（a,b）内 有唯一实数解； 3、我们所研究的大部分函数，其图像都是连续的曲线； 4、但此结论反过来不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)>0, f(4)> 0，f(-2) f(4) >0； 5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)<0但没有 零点。 四、知识应用 例2:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么? 解：f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为 f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0, 所以f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解 练习：求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点？

高中数学第二章 反函数性质的应用 教案(北师大版必修1)

反函数性质的应用 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 ⒈利用反函数的定义求函数的值域 例1：求函数y= 1 21 x x - +的值域。 分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y= 1 21 x x - +得y(2x+1)=x-1 ∴(2y-1)x=-y-1 ∴x= 1 21 y y -- - ∵x是自变量，是存在的， ∴2y-1≠0，∴y≠1 2。 故函数y= 1 21 x x - +的值域为：{y│y≠ 1 2}。 点评：形如y=ax b cx d + +的函数都可以用反函数法求它的值域。 ⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例2：已知f(x)=4x-21x+，求f1-(0)。 分析：要求f1-(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。 解：令f(x)=0，得4x-21x+=0，∴2x（2x-2）=0， ∴2x=2或2x=0（舍）， ∴x=1。 故f1-(0)=1。 点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。 ⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用

例3：求函数y= 2 1 x x+（x∈(-1，+∞)）的图像与其反函数图像的交点。 分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。 解：由 2 1 x y x y x ? = ? + ? ?= ?得 x y = ? ? = ?或 1 1 x y = ? ? = ? ∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。 点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。 ⒋原函数与反函数的单调性相同的应用 例4：已知f(x)=2x+1的反函数为f1-(x)，求f1-(x)<0的解集。 分析：因为f(x)=2x+1在R上为增函数，所以f1-(x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f1-(x)中的x的范围就是f(x)的范围。 解：由f(x)=2x+1>1得f1-(x)中的x>1。 又∵f1-(x)<0且f(x)=2x+1在R上为增函数， ∴f 1() f x - ?? ??

用二分法求方程的近似解教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计 广州市铁一中学 黄建武 一、学与教的基本面分析 1、学习内容及分析 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学（人教A 版）必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解。 用二分法求方程的近似解的理论基础是函数零点存在性定理。 函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，函数与方程思想是本节课要渗透的重要思想。 二分法在必修3算法一章中是贯穿整个一章的重要范例，为必修3的算法作准备，也为学生进入大学后进行计算方法的学习提供了初步认识。基于此，本节课的重点内容是二分法基本思想的理解，要求学生结合函数图象，通过数形结合处理方程的方法，用二分法求方程的近似解。 2、学生学习的起点知识与技能分析 学生在学习本节课内容之前已学习了函数的零点，理解方程的根与函数零点之间的关系，有一定的数形结合思想能力，在此基础上让学生了解算法这一数学思想以及逐渐逼近的数学思想，培养学生数形结合的能力。但学生对于合理运用科学计算器，将现代信息技术与数学课堂的整合缺乏一定的认识，这些都给学生用逼近法求方程的近似解造成一定困难。因此在教学过程中，为学生创设熟悉的问题情境，多处启发学生，让学生领会二分法思想和归纳二分法的步骤。 3、该专题的学习特点及分析 本节课在学习函数的零点的基础上，学习求方程近似解的方法——二分法，教学中要侧重以下几点： （1）、二分法求近似解的条件 学习本节课后，有可能有学生会问是不是所有的方程都可以用二分法来求近似解？用二分法求方程近似解的条件：对于在[]b a ,上连续函数)(x f y =，若0)()(。 （2）、初始区间的确定 若第一步初始区间完成了，接下来只需要迭代，也就是循环运算的过程，具体表现为不断“二分”搜索区间。教材中都是通过图象观察而得到方程的解的初始区间，因此如何作出函数图象是解决问题的前提。 （3）、二分法的终止 解题过程中，区间的“长度”被逐步缩小，直到区间符合精确度要求，我们就得到方程的近似解。 二、学与教的目标定位 本节课在教学内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，学生在学习了上一节的内容后，已初步

北师大版高中数学必修一4.1.1 利用函数性质判断方程解的存在说课稿

各位评委老师好，我是，今天我说课的题目是《利用函数性质判定方程解的存在》，下面，我将从说教材、说教学目标、说教学重难点、说教法、说学法和说教学过程六个方面来进行说课。 一、说教材 《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版数学必修一第四章第1节第1课时的内容。在此之前，学生已经学习了一次函数、二次函数等基本函数的图像和性质，也能够对一次方程、二次方程等常见的方程进行求解。这些基础为本节课的学习打下基础。在本节课中，学生将学习函数与方程的关系，以及用函数求解方程或判断方程解的个数的常用方法，这些知识会为以后学习二分法求方程的近似解打下基础，也能够培养学生利用函数与方程相结合的方法解决函数和方程问题的基本思想，为以后的学习打下基础。因此，本节课的学习在整个知识体系中起到了承上启下的作用；作为高考的必考内容，为学生成绩的提高有极大的裨益；还通过培养学生用相互联系的观点看待问题的思想，为学生后续的发展铺垫了坚固的基石。 二、说教学目标 根据本节课的内容和学生的认知结构及心理特征，我指定了以下的教学目标： 1.知识与技能：在本节课的学习中，需要先让学生了解到公式法解方程的不足，从而引起学生探索新知的兴趣，继而理解函数和方程的关系，并能够利用函数的图像和性质确定方程解的个数和有解区间。因此，本节课的知识与技能目标是了解公式法求方程解的局限性，理解函数零点的概念及零点与相应方程的解的关系，能通过作图判断函数零点的个数。 2.过程与方法：本节课的过程与方法目标是经历函数与方程关系的讨论过程，经历利用函数性质判定方程解的过程，经历函数值与零点之间关系的讨论过程，经历单个函数图像零点变化为两个函数交点的过程。体会数形结合、利用函数解决方程问题、转化与化归等数学思想和方法。通过这些过程，体会这些方法，可以让学生更加深入的了解函数与方程的关系，对函数图像有更深层次的认识，为以后的学习打下基础。 3.情感态度与价值观：体会函数在数学中和核心作用，感受数学知识之间的密切联系，提高数学学习的兴趣。 三、说教学重难点 在本节课的学习中，主要突破以下重难点： 教学重点：体会函数与方程之间的关系，根据区间端点函数值确定解的存在。函数与方程思想在整个函数的学习生涯中都占据着重要地位，因此，通过本节课的学习，为学生认识函数与方程的关系打下基础。而根据区间端点函数值确定解的存在，则是判断区间内有解的一个重要方法，也与后续所学的二分法求方程的近似解做好了铺垫。这两个问题都要作为重点，让学生牢固掌握。 教学难点：方程解的个数及所存在的区间。方程解的个数问题，是利用函数性质判定方程解的存在的一类特殊情况，有可能与函数图像、单调性等问题综合考察，因此，要作为难点突破。 四、说教法 在本节课中，重要结论将由师生讨论得出，因此用到讨论法；当重要知识点讲解完毕，为了学生更好的掌握，也应使用练习法；在知识的探索过程中，设计多个循序渐进的问题，然后在分别予以解决，体现了任务驱动法。总体来说，本

函数的性质的应用教学设计

§1.3函数的基本性质的应用 教学设计 一、课标分析 1．本内容是在高中数学人教社A版必修1讲完1.2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。 2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。 3．通过函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。 4．通过对函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。 5．渗透转化等数学思想方法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。 二、教材分析 函数的性质与应用位于高一数学教材必修1，且贯穿于整个高中学习。在高考中，函数的性质是命题的主线索，并且考察的类型较多，涉及到函数的单调性、单调区间、奇偶性、周期性、最值、图象，函数与导数、不等式的联系等，在选择、填空和解答题中都有体现。其中函数的单调性、奇偶性和周期性更是重中之重。而学生对函数各性质的掌握和应用能力还不够。

“用二分法求方程的近似解”教学设计

《用二分法求方程的近似解》>教学设计 一、教材分析： 本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 本节内容是课标教材中新增的内容。在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。 二、设计意图与学情分析: 学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点”这一环节的理解上相对比较困难，对精确的理解耶比较困难。同时在运算过程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻碍，在课前应给学生提前预习，以做好思想准备。 学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论. 三、教学目标： （1）理解二分法的基本思想，能够借助计算器用二分法求给定方程满足一定精确度的近似解； （2）引导学生通过观察和计算体会二分法，感受函数与方程的思想，使学生在学习过程中体会近似思想、逼近思想、算法思想； （3）帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，形成正确的数学观，通过生活实例培养学生的数学应用意识，激发学生的学习兴趣。 四、教学重点：

利用函数性质判定方程解的存在教案

《利用函数性质判定方程解的存在》教案 教学目标 1.理解函数的零点，通过类比归纳，帮助学生提高数学抽象素养； 2.理解函数零点存在性定理，通过合作交流，体验由直观想象到数学抽象的核心素养； 3.会判断函数零点的个数和所在区间，帮助学生树立严谨的数学运算素养。 教学重难点 重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点的判定方法。 难点：探究发现函数零点的存在性。 教学方法 启发式讲解，自主探究，合作探究等相结合 教学过程 一， 问题情境 1.从图片上你看到了什么，有何启示？ 2.方程062ln =-+x x 有解吗？有几个呢？ 二，新课探究 自主探究：从不同的角度看12-=x y 先让学生从形和数的角度看等式，接着当0=y 时，引导学生求出结果，再让学生从不同角度看0.5.

T ：引导学生画图回答问题，师生共同总结，得出零点的概念 函数的零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. 注意：函数的零点 ? 方程0=y 的根 ? 函数)(x f y =图像与x 轴交点的横坐标. （数的角度） （形的角度） 思考：零点是不是点？函数都有零点？ 活动一：学以致用 快速抢答：函数)3)(2)(1()(-+-=x x x x f 零点个数为（） A.1 B.-2 C.(1,0) ,(-2,0),(3,0) D.1,-2,3 小试牛刀：用图像法求方程3)2(2-=-x x 的根。 T ：提示学生方程转化为函数角度。 合作探究：小马过河了吗？ 观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定 说明小马已经成功过河？ 问1：如果将河流抽象成x 轴，将小马前后的两个 位置抽象为A 、B 两点。请问当A 、B 与x 轴满足 怎样的位置关系时，AB 间的一段连续函数图象与x 轴一定有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。 问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？ 零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b ）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程 f(x)=0 B

指数函数的性质应用教案解读

指数函数的性质应用教案 ●教学目标 (一)教学知识点 1.指数形式的函数. 2.同底数幂. (二)能力训练要求 1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质. 2.掌握指数形式的函数求定义域、值域. 3.掌握比较同底数幂大小的方法. 4.培养学生数学应用意识. (三)德育渗透目标 1.认识事物在一定条件下的相互转化. 2.会用联系的观点看问题. ●教学重点 比较同底幂大小. ●教学难点 底数不同的两幂值比较大小. ●教学方法 启发引导式 启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较. 在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识 ●教具准备 投影片三张 第一张：指数函数的定义、图象、性质(记作§２.６.２Ａ) 第二张：例题3(记作§２.６.２ B) 第三张：例题4(记作§２.６.２ C) ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下回顾. (打出投影片内容为指数函数的概念、图象、性质)

［师］这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用. Ⅱ.讲授新课 ［例3］求下列函数的定义域、值域 （1）y =114 .0-x (2)y =153-x (3)y =2x +1 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x 的取值范围. 解：(1)由x -1≠0得x ≠1 所以，所求函数定义域为｛x ｜x ≠1｝ 由1 1-x ≠0得y ≠1 所以，所求函数值域为｛y ｜y ＞0且y ≠1｝ 评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令1 1-x =t . 考查指数函数y =0.4t ，并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理. (2)由5x -1≥0得x ≥5 1 所以，所求函数定义域为｛x ｜x ≥5 1｝ 由15-x ≥0得y ≥1 所以，所求函数值域为｛y ｜y ≥1｝ (3)所求函数定义域为R 由2x ＞0可得2x +1＞1 所以，所求函数值域为｛y ｜y ＞1｝ ［师］通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性. ［例4］比较下列各题中两个值的大小 (1)1.72.5,1.73

山东临清三中高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修1

§ 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 【教学目标】 1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解； 2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形 成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】 教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一) 预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 (二) 情景导入、展示目标。 探究任务：二分法的思想及步骤 问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好，解法： 第一次，两端各放________ 个球，低的那一端一定有重球； 第二次，两端各放___________ 个球，低的那一端一定有重球； 第三次，两端各放________ 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球 思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求y In x 2x 6的零点所在区间？如何找出这个零点？ 新知：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)gf(b)<0的函数y f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection). 反思： 给定精度&，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如何呢？ ①确定区间［a,b］，验证f(a)gf (b) 0 ,给定精度「 ②求区间(a,b)的中点x,； ③计算f(x,)：若f(xj 0，则x,就是函数的零点；若f(a)gf(xj 0，则令b x,(此 时零点x o (a,xj)；若f (x,)gf (b) 0 ,则令a x,(此时零点怡(x, ,b))； ④判断是否达到精度「即若|a b| ，则得到零点零点值 a (或b)；否则重复步骤 ②?④. (三) 典型例题 例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程2x 3x 7的近似解. 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。 解：原方程即为2x 3x 7 0,令f(x) 2x 3x 7，用计算器或计算机作出对应 的表格与图象(见课本90页) 则f (2)f(1) 0,说明在区间(1,2)内有零点x0, 取区间(1,2)的中点1.5，用计数器计算得f(1.5) 0.33，因为f(1)f(1.5) 0,所以X。(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点1.25，用计数器计算得f(1.25) 0.87，因为f(1)f(1.5) 0 ,所以x0(1.25,1.5). 同理可得x o (1.375,1.5)x0 (1.375,1.4375) 由于

3.1-函数与方程教学设计教案

3．1-函数与方程教学 设计教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

教学准备 1. 教学目标 1.知识与技能 ①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． ②培养学生的观察能力． ③培养学生的抽象概括能力． 2.过程与方法 ①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法． ②让学生归纳整理本节所学知识． 2．过程与方法 ①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法． ②让学生归纳整理本节所学知识． 3.情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 2. 教学重点/难点 重点：零点的概念及存在性的判定． 难点：零点的确定． 3. 教学用具 投影仪等. 4. 标签 数学，函数的应用 教学过程

(一)创设情景，揭示课题 1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？ 2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出） ①方程与函数 ②方程与函数 ③方程与函数 1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念． 生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ （二）互动交流研讨新知 函数零点的概念：

(完整版)指数函数及其性质教案

2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .

零点存在定理的教案

教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()(