新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析

选择性必修第一册全册课后练习题

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第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -

1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -

1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -

1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -

1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -

1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -

1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -

1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -

1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -

章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -

2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -

2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -

2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -

2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -

2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -

2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -

2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -

2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -

2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -

2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -

2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -

2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -

2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -

章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -

3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -

3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -

3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -

3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -

3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -

3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -

3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -

章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -

第一章 空间向量与立体几何

1.1.1空间向量及其线性运算

一、选择题

1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →

等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]

2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →

，则四边形ABCD 是( )

A ．平行四边形

B ．空间四边形

C ．等腰梯形

D ．矩形

A [∵AO →＋O

B →＝DO →＋O

C →，∴AB →＝DC →

. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]

3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )

A ．OM →＝OA →＋O

B →＋O

C → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →

D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →

，

可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →

＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.

所以AM →与BM →，CM →

在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →

，其中m ＋n ＝1，则( )

A ．P ∈A

B B ．P ∉AB

C ．点P 可能在直线AB 上

D ．以上都不对

A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nO

B →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →

)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →

共线． 又AP →，AB →

有公共起点A ，

所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]

5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →

＝( )

A ．AA 1→＋12A

B →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →

C ．12AA 1→＋16AB →＋16A

D → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →

D [如图所示，AF →＝13A

E →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→

，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13

AA 1→＋16AB →＋16AD →

，故选D.]

二、填空题

6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →

＋λOC →

确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.

2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]

7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→

＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →

＝________.

12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －1

2b ＋c .]

8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →

的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)

平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →

) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →

)．] 三、解答题

9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →

，并在图中标出化简结果的向量．

[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，

∴GE →＝13BE →.

又12AC →＝12(DC →－DA →)

＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →

＝AG →＋GE →－FE →＝AF →

(如图所示)．

10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →

共面．

[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→

， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →

)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→

＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →

共面．

11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →

C.AB →＋CA →＋BD →

D.AB →－CB →＋CD →－AD →

BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →

＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →

表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]

12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →

，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →

，则A ，B ，C 三点共线

C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋1

10e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0

BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →

，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；

因为AB →∥AC →且AB →，AC →

有公共点A ，所以B 正确；

由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋1

10e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]

13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →

，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →

＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．

－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →

＋nOC →＝0得OA →

＝－m λOB →－n λOC →

由A ，B ，C 三点共线知－m λ－n

λ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]

14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →

＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．

－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →

＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4

k ，

所以k ＝－8.]

15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．

(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；

(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，

∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，

∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.

由题意知四边形MNQR 是平行四边形，

∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →

)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．

又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．

(2)平行．证明如下：

由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →

， ∴EG →

∥平面ABCD .

又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，

∴平面EFGH 与平面ABCD 平行

1.1.2空间向量的数量积运算

一、选择题

1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±

32 D ．1

A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2

＋(2λ－3)a ·b －2b 2

＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]

2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )

A ．a 2

B ．12a 2

C ．14a 2

D ．34a 2

C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12A

D →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →

)＝

14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2

.]

3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →

B ．BD 1→·A

C →

C ．AB →·A

D 1→ D ．BD 1→·BC →

D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →

＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]

4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →

所成的角为( )

A ．60°

B ．150°

C ．90°

D ．120°

D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →

|＝2a .

∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →

〉＝－a 22a ·2a ＝－12.

∴〈BA 1→，AC →

〉＝120°.]

5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )

A ．13

B ．23

C ．33

D ．43

B [∵A

C ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，

∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2

＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×9

2＝23，

∴|AC ′→

|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题

6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.

18

[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝1

2.

又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]

7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．

60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，

∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →

〉＝CD →·AB →

|CD →||AB →|＝12，

∴异面直线a ，b 所成角是60°.]

8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．

(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩

⎨⎧

(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧

(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·

(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，

得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题

9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →

＝b ，AP →

＝c .

(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →

； (2)求BM 的长．

[解] (1)∵M 是PC 的中点，

∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .

(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，

由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝1

2(－a ＋b ＋c )，

|BM →

|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.

∴|BM →

|＝62，∴BM 的长为62.

10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．

(1)求证：CE ⊥A ′D ；

(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→

＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →

＝－c ＋12b －12a .

∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫b ＋12c ·

⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →

，即CE ⊥A ′D .

(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →

|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·

⎝ ⎛

⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →

〉＝12|a |2

2×52|a |2＝1010.

∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为10

10.

11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →

的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|

AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；

A 1C →·(A 1

B 1→－A 1A →)＝A 1

C →·AB 1→＝0；

AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →

的夹角为120°；

正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →

|.故选AB.]

12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →

( )

A ．重合

B ．平行但不重合

C ．垂直

D ．无法确定

C [AC 1→＝AB →＋A

D →＋AA 1→，C

E →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡

⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→

2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，

故AC 1→⊥CE →

.]

13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →

所成角的大小为________．

1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →

所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.

法二：根据向量的线性运算可得

B 1

C →·A 1P →＝(A 1A →＋A

D →)·⎝

⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2

＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →

，A 1P →

〉＝60°.]

14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．

6

3 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝2

3AM ，

∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →

)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]

15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .

(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；

(2)求〈DM →，AO →

〉．

[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →

＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝1

6(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝1

6(a ＋b －5c )，

所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2

)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，

所以AO →⊥BO →，

即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．

(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →

|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2

＝12. 又|AO →|＝

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

16(b ＋c －5a )2

＝22，

DM →·AO →＝1

6(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝

14， 所以cos 〈DM →，AO →

〉＝

14

12×22＝22. 又〈DM →，AO →

〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →

〉＝π4.

1.2空间向量基本定理

一、选择题

1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a

－b 构成空间的另一个基底的向量是( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．a ＋b

C [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋1

4q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －1

2q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －1

4q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]

2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →

可表示为( )

A ．12a ＋1

2b ＋c

B ．12a －1

2b ＋c

C ．－12a －1

2b ＋c

D ．－12a ＋1

2b ＋c

D [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →

) ＝－12a ＋1

2b ＋c ，故选D.]

3．若向量MA →，MB →，MC →

的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →

成为空间一个基底的关系是( )

A ．OM →＝13OA →＋13O

B →＋13O

C → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →

D ．MA →＝2MB →－MC →

C [若MA →，MB →，MC →

为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →

，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →

，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选

项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]

4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →

＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →

为( )

A ．12a －23b ＋12c

B ．－23a ＋12b ＋12c

C ．12a ＋12b －23c

D ．23a ＋23b －12c

B [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(O

C →－OB →

)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]

5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→

两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→

|等于( )

A ．5

B ．6

C ．4

D ．8

A [在平行六面体ABCD -A 1

B 1

C 1

D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →

＋AA 1→

所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →

|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]

二、填空题

6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →

＝________.(用a ，b ，c 表示)

12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →

)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]

7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另

一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．

4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )

则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5

3z ＝9，

解得⎩⎨⎧

x ＝4y ＝－1

z ＝3.

则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →

＝________.

23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →

＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →

＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题

9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→

＝c .

(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→

；

(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →

.

[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→

＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →

＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋1

2(a ＋b ＋c ＋c ) ＝1

2(c －b )．

法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →

) ＝1

2(c －b )．

10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →

＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.

[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →

.

由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →

＝a ＋b ， MA →

＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→

＝b －c ，

故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →

＝b －1

3(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －1

3(b －c ) ＝1

3(－a ＋b ＋c )．

11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )

A ．2a ，a －b ，a ＋2b

B ．2b ，b －a ，b ＋2a

C ．a,2b ，b －c

D ．c ，a ＋c ，a －c

ABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋2

3(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量

共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋2

3(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－1

2(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它

们不能构成一个基底，故选ABD.]

12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )

A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底

B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底

C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →

不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面

D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底

ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →

，BN →共面．又BA →，BM →，BN →

过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下

新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册优秀学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析)

人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案 第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 - 1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 - 1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 - 1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 - 1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 - 1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 - 1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 - 1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 - 1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 - 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 - 第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 - 第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 - 1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 - 章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 - 2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 - 2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 - 2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 - 2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 - 2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 - 2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 - 2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 - 2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 - 2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 - 2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 - 2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 - 2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 - 2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 - 2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 - 2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 - 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 - 2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 - 2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 - 章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 - 3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 - 3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 - 3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 - 第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 - 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 - 3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 - 3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -

新教材人教A版数学选择性必修第一册练习：3.1.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析

第三章 3.1 3.1.1 请同学们认真完成练案 [21] A 组·素养自测 一、选择题 1．(2020·山西太原市高二期末)椭圆x 225＋y 2 16＝1的焦距为( C ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．9 [解析] 因为椭圆的方程为x 225＋y 2 16＝1，所以a 2＝25，b 2＝16，因此c 2＝a 2－b 2＝9，所以 c ＝3，所以焦距为2c ＝6．故选C ． 2．已知椭圆x 29＋y 2 4＝1的两个焦点是F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△ AF 1B 中，若有两边之和是8，则第三边的长度为( B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [解析] 由椭圆的定义得? ???? |AF 1|＋|AF 2|＝6， |BF 1|＋|BF 2|＝6，两式相加得|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝12， 因为在△AF 1B 中，有两边之和是8，所以第三边的长度为12－8＝4． 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 2 2＝1 B ．y 24＋x 2 2＝1 C ．y 216＋x 2 4 ＝1 D ．x 216＋y 2 4 ＝1 [解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)， ∴????? 16m ＝1 4n ＝1，∴??? m ＝ 1 16 n ＝14 ， 故选D ．

4．已知椭圆x 2 25＋y 2 9＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是( B ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．32 [解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝1 2 |MF 1|＝4． 5．(2020·房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A ) A ．m ＞n ＞0 B ．n ＞m ＞0 C ．mn ＞0 D ．mn ＜0 [解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 2 1n ＝1，若方程表示焦点在y 轴 上椭圆，则等价为1n ＞1 m ＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ． 二、填空题 6．若椭圆x 225＋y 2 16＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 __4__． [解析] 由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 2|＝10－|PF 1|＝10－6＝4． 7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 2 3 ＝1__． [解析] 由题意可得????? a ＋c ＝3a －c ＝1，∴????? a ＝2 c ＝1 ． 故b 2 ＝a 2 －c 2 ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1． 8．(2020·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大

高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：空间向量基本定理(课后习题)【含答案及解析】

空间向量基本定理 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中 与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-1 2a +1 2b +c B.1 2a +12b +c C.-1 2a -12b -c D.-12 a -12 b +c 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12 a -12 b - c . 2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1 B.1,1 2 C.12,12 D.12 ,1 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12 .故选C . 3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.2 3a +1 2b -2 3c B.2 3a -1 2b +2 3c C.-1 3a +1 2b -2 3c D.1 3a +1 2b -1 3c

新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析

选择性必修第一册全册课后练习题 本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！ 第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 - 1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 - 1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 - 1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 - 1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 - 1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 - 1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 - 1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 - 1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 - 章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 - 2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 - 2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 - 2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 - 2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 - 2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 - 2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 - 2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 - 2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 - 2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 - 2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 - 2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 - 2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 - 2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 - 章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 - 3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 - 3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 - 3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 - 3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 - 3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 - 3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 - 3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 - 章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -

新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习 一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含 x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养． 例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2 ＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对 答案 C 解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5. ∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．

∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线． (2)在圆x 2 ＋y 2 ＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点 M 满足PD →＝2MD → ,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程． 解 方法一 由PD →＝2MD → ,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )． 因为点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝4上, 所以x 2 ＋(2y )2＝4, 所以曲线C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD → ,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2 ＋y 2 ＝4上, 所以x 2 0＋y 2 0＝4,(*) 把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2 ＋4y 2 ＝4, 所以曲线C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决． (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决． 跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2 ＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲 线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2 －y 2 3 ＝1 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪ ⎧ c ＝2，c a ＝2，解得⎩⎪⎨ ⎪⎧ a ＝1，c ＝2， 则b 2＝c 2－a 2 ＝3, 因此双曲线方程为x 2 －y 2 3 ＝1. (2)点P 是抛物线y 2 ＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标． 解 抛物线y 2 ＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.

人教版高中数学选择性必修第一册单元测试题及答案解析

人教版高中数学选择性必修第一册单元测试题及答案解析 第一章 空间向量与立体几何 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列说法中正确的是（ ） A ．直线的方向向量是唯一的 B ．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 C ．直线的方向向量有两个 D ．平面的法向量是唯一的 【答案】B 若直线上的向量e 以及与向量e 共线的非零向量都可以作为直线的法向量，故A 、C 错； 表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α时，则向量n 是平面α的法向量，则D 选项错. 故选：B. 2．三棱锥A-BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB CD ⋅等于( ) A ．－2 B ．2 C ．- D ．【答案】A () ····022cos602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=- 3．已知点A 在基底{,,}a b c 下的坐标为(8,6,4)，其中a i j =+，b j k =+，c k i =+， 则点A 在基底{,,}i j k 下的坐标是 A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10) D ．(4,3,2) 【答案】A ∵点A 在基底{,,}a b c 下的坐标为(8,6,4)， ∴OA =864a b c ++8()6()4()121410i j j k k i i j k =+++++=++， ∴点A 在基底{,,}i j k 下的坐标是(12,14,10)。 故选：A 。 4．有下列命题：①若p xa yb ＝，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p xa yb ＝；③若M M yMB P x A =+，则P M A B ，，， 共面；④若P M A B ，，，共面，则M M yMB P x A =+.其中真命题的

2019版新教材高中数学A版选择性必修第一册全册同步练习(课后练习、含答案解析单元测试卷等)

【2019统编版新教材】 高中数学A版选择性必修第一册课后同步练习（含答案解析） 目录

1.1.1空间向量及其运算——线性运算 1.给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ,a b 满足a b =，则a b =；③若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；④空间 中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列条件，能说明空间不重合的,,A B C 三点共线的是( ) A.AB BC AC += B.AB BC AC -= C.AB BC = D.AB BC = 3.在直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA CB CC ===a b c ，则1A B =( ) A.+-a b c B.-+a b c C.-++a b c D.--b a c 4.有下列命题：①若向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面；②若p 与,a b 共面，则p xa yb =+；③若MP xMA yMB =+，则,,,P M A B 四点共面；④若,,,P M A B 四个点共面，则 MP xMA yMB =+.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图所示，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点.若11A B a =， 11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是( ) A.11 22a b c - ++ B. 11 22 a b c ++ C.11 22 a b c -+ D.11 22 a b c --+

高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：直线的点斜式方程(课后习题)【含答案及解析】

直线的方程 直线的点斜式方程 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.直线y-4=-√3(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是( ) A.30°,(-3,4) B.120°,(-3,4) C.150°,(3,-4) D.120°,(3,-4) k=-√3,过定点(-3,4). 2.过点(0,1)且与直线y=1 2(x+1)垂直的直线方程是 ( ) A.y=2x-1 B.y=-2x-1 C.y=-2x+1 D.y=2x+1 y=1 2(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C . 3.直线y=ax+1a (a ≠0)的图形可能是( ) y=ax+1a (a ≠0)的斜率是a ,在y 轴上的截距是1a .当a>0时,直线在y 轴上的截距1a >0,此时直线y=ax+1 a 过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y 轴上的截距1 a <0,此时直线y=ax+1 a 过第二、三、四象限,只有选项B 符合. 4.斜率为2的直线经过(3,5),(a ,7)两点,则a= . (3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a ,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4. 5.直线l 与直线y=-x+2垂直,且它在y 轴上的截距为4,则直线l 的方程为 . l 的方程为y=x+m ,又它在y 轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l 的方程为y=x+4. 4

6.已知直线l 的斜率为16 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的斜截式方程为 . l 的方程为y=16 x+b (b ≠0).当x=0时,y=b ;当y=0时,x=-6b.由题意可得12 ·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l 的方程为y=1 6x+1或y=1 6x-1. y=1 6x+1或y=1 6x-1 7.已知△ABC 的顶点坐标分别是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程. AB 的斜率k AB = -3-03-(-5)=-3 8 ,且直线AB 过点A (-5,0),∴直线AB 的点斜式方程为y=-38 (x+5), 同理:k BC = 2+30-3=-53,k AC =2-0 0+5 =2 5 , ∴直线BC 的点斜式方程为 y-2=-53 x 或y+3=-53 (x-3), 直线AC 的点斜式方程为 y-2=2 5 x 或y=25 (x+5). 8.已知直线l :y=kx+2k+1. (1)求证:对于任意的实数k ,直线l 恒过一个定点; (2)当-3

新教材人教A版数学选择性必修第一册课后作业-1.2-空间向量基本定理-含解析

课后素养落实(三) 空间向量基本定理 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( ) A ．a ,2b ,3c B ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋a C ．a ＋b ＋c ，b ＋c ，c D ．a ＋2b ,2b ＋3c ,3a －9c D [因为{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面．对于A ，B ，C 选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D ：a ＋2b ,2b ＋3c ,3a －9c 满足3a －9c ＝3[(a ＋2b )－(2b ＋3c )]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底．故选D ．] 2.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA → ＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD → 可用a ，b ，c 表示为( ) A ．a －b ＋2c B ．a －b －2c C ．－12a ＋1 2b ＋c D ．12a －1 2b ＋c

D [由AB ＝2CD 得CD →＝12BA →＝12(OA →－OB → )＝12a －12b ， 所以OD →＝OC →＋CD → ＝c ＋12a －12b ，故选D ．] 3．若向量MA →，MB →，MC → 的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC → 成为空间一个基底的关系是( ) A ．OM →＝13OA →＋13O B →＋13O C → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → D ．MA →＝2MB →－MC → C [若MA →，MB →，MC → 为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC → ，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC → ，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C ．] 4．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D 是四边形BB 1C 1C 的中心，且AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AC →＝c ，则A 1D → ＝( ) A ．12a ＋12b ＋1 2c B ．12a －12b ＋12c C ．12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c

高中数学(人教A版)选择性必修一课后习题：圆的标准方程(课后习题)【含答案及解析】

圆的方程 圆的标准方程 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2) ( ) A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 (3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内. 2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29 D.(x-1)2+(y+3)2=116 A (-4,-5), B (6,-1),所以线段AB 的中点为 C (1,-3),所求圆的半径r=1 2|AB|=1 2√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C . 3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆 x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D . 4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1 D.x+32 2+y 2=1 2 M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02 =1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+3 2,y=y 0+0 2, 则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02 =1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.

5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 . -3) √2 6.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 . (x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5. 2+(y+1)2=5 7.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 . 解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,3 2为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=25 4. 答案(x+2)2+y-32 2=25 4 8.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程; (2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围. 设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0, (1-a )2+(-1-b )2 =r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2, 解得{a =1,b =1,r =2, 所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2]. 关键能力提升练 9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.1 2,-4 B.-12,4 C.12,4 D.-12,-4