矩阵多项式与多项式矩阵

§8矩阵多项式与多项式矩阵

设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有

一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）

Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即

0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）

注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设????

? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=?

解：A 的特征多项式为

12)(23+-=-=λλλλA E f

取多项式432)(2458-++-=λλλλλ?

)()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+=

余项103724)(2+-=λλλr

由上定理0)(=A f ????

? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ?

Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(

Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

②矩阵A 的最小多项式是唯一的

Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。

由此可得，求最小多项式的一个方法：

设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=

则A 的最小多项式必具有如下形式：

ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=

其中s i k n i i ,,2,1 =≤

eg 2.求????

? ??----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E f

A ∴的最小多项式,只能是：

)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =

经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：

Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。

下面定理给出了求最小多项式的另一种方法：

Th 5.设A 是n 阶矩阵，)(1λ-n D 是特征矩阵A E -λ的n -1阶行列式因子，则A 的最小多项式为)()

()()(1λλλλn n n E D D m ==-——n 阶不变因子。 eg 3.求????

? ??--=012024012A 的最小多项式

3)(λλ=n D λλ=-)(1n D 2)()(λλλ==∴n E m

二、多项式矩阵：——在线性控制系统理论中有着重要的应用。

Df 1.称n m ij a A ?=))(()(λλ为λ矩阵，或多项式矩阵，其中)(λij a 是λ的多项式。 Df 2.若n 阶多项式矩阵)(λA 的行列式0)(≠λA （非零多项式），则称)(λA 是满秩的（秩=n ）或非奇异的。

Df 3.若)(λB ?使E A B B A ==)()()()(λλλλ，则称)(λA 是可逆的，或称)(λA 是单模矩阵，记为)()(1

λλ-=A B 。

注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。

Th 1.n 阶多项式矩阵)(λA 可逆?)(det λA 为非零常数。

注：)(λA 也可象A 一样，进行初等变换。

①互换的任意两行（列）

②以非0数c ()P ∈乘以)(λA 的一行（列）

③以多项式)(λ?乘)(λA 的某一行（列）并加到另一行（列）

Df 4.由单位阵E ，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。

Df 5.多项式矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，若)(λA 经过有限次初等变换能变为)(λB 记为)()(λλB A ?

亦具有自反性，对称性，传递性。

Th 2.对任一非零多项式矩阵)(λA ，有：

??????????

? ??=?000)(0)()()()(21 λλλλλr d d d J A 其中1≥r 是)(λA 的秩，),,2,1()(r i d i =λ是首项系数为1的多项式，且

1,,2,1)()(1-=+r i d d i i λλ

称)(λJ 为)(λA 的更密斯（Smith ）标准形，称)(λi d 为)(λA 的不变因子。

同数字矩阵一样，也可以定义)(λA 的k 阶行列式因子与初等因子。

eg1.求多项式矩阵：

????? ?

?+-+-=200100)1(0)(λλλ

λλλA 的Smith 标准形。 解：利用初等变换可得： )()2()1(0

000

001)(λλλλλλJ A =????

? ??--?

且有1)(1=λd ,λλ=)(2d ,)2)(1()(3--=λλλλd

Th3.若)()(λλB A ?，则)(λA 与)(λB 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。 Th4. ??)()(λλB A )(λA 与)(λB 具有相同的行列式因子，或不变因子。

利用多项式矩阵与Smith 标准形等价还可以求出一个矩阵A 的Jordan 标准形。

eg2.求：????

? ??-----=411301621A 的Jordan 标准形。

解：)()1(000100

0141131

6212λλλλλλλJ A E =????? ?

?--→????? ??---+=- )2)(1()()(1)(321--===∴λλλλλλλd d d

∴ 初等因子为2)1(,1--λλ，故

????

? ??=100110001~J A

由上述重要结论：B E A E B A -?-?λλ~，——J A ~的主要理论依据。

§9.矩阵的分解

Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积，即。 若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵，非奇异矩阵，单位上三角矩阵的乘积，即。

实对称（正定）矩阵可分解成，其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。 实对称（正定）矩阵可分解为，其中为正交矩阵。

若为矩阵，则存在酉矩阵，使。其中。

若为非奇异的阶复矩阵，则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵，使。

（舒尔）。若为非奇异的阶实矩阵，则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵，使。

本定理称为矩阵的分解。

设求的分解。

解：是非奇异的阶实矩阵。

由知：存在分解。

矩阵的特征多项式与特征根

矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根． 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量． 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量． 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0． ② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．

矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？ 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ

一种多项式矩阵列既约分析方法

一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp 的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 ∑== p i ci s M s M 1 )()(det deg δ 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑=p i ci s M 1 )(δ 。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 )(det s M ，npn p p p p i a a a a a s M ...)1()(det 4433221 1∑-= ，其中p1p2p3p4…pn 为从1到n 所有整数的某 种排列结果，i 为p1p2p3p4…pn 的逆序数。找出该多项式的最高指数 )(det deg s M ，然 后与前面所得到的 ∑=p i ci s M 1 )(δ 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。

三、程序流程图 四、使用说明 1.运行程序project1.exe； 2.按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3.点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列；4.进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上；

特征多项式

特征多项式 特征多项式是多项式的左手边特征方程 (1) 在哪里是一个方阵和是单位矩阵相同的维度。萨缪尔森的公式允许特征多项式计算递归没有分歧。一个矩阵的特征多项式可以计算的吗Wolfram语言作为CharacteristicPolynomial[m x]。 a的特征多项式矩阵 (2)在特别好的形式可以改写 (3)在哪里是矩阵的迹的和是它的行列式. 同样,a的特征多项式矩阵是 (4)在哪里爱因斯坦总结已经使用,也可以书面明确的痕迹 (5)一般来说,特征多项式的形式 (6)在哪里是矩阵的迹矩阵的和和的总和吗划船对角矩阵的未成年人雅各布森(1974,p . 109)。 勒威耶计算图的特征多项式的算法(Balasubramanian Trinajsti?1984;1988;Ivanciuc Balaban 2000,p . 89)可以作为线性系统的解决方案制定 (7)在哪里 (8) , . 由于Balasubramanian计算算法使用方程 (9)在哪里 (10) Balasubramanian(1985、1985、1991;Ivanciuc Balaban 2000 p。90;错误纠正)和 . a的特征多项式图的特征多项式的定义是邻接矩阵并且可以计算的Wolfram语言使用CharacteristicPolynomial[AdjacencyMatrix[g],x]。一个命名图的预先计算的特征多项式的一个变量还可以获得使用吗GraphData[图,“CharacteristicPolynomial”][x]。

特征多项式不诊断图的同构,即,两个nonisomorphic图表可能共享相同的特征多项式。这样的例子发生上述两图5节点上,这两个特征多项式。不同的简单无向图的特征多项式的数量,2,…节点1、2、4,11日,33岁,151年,988年,11453年……(OEIS A082104),给复制的数量特征多项式为0,0,0,0,1,5,56岁,893年,27311年,.... 下表总结了特征多项式的一些简单的图形。 完全图 完全图 完全图 循环图 循环图 循环图 轮图 轮图 参见:

矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用

中图分类号： O151.2 本科生毕业论文（设计） （申请学士学位） 论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用 作者姓名 专业名称数学与应用数学 指导教师 2011年5月1日

学号： 论文答辩日期：年月日 指导教师：（签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 年月日

目录 摘要 (1) Abstract (1) 绪论................................................................................................................ 错误！未定义书签。1矩阵最小多项式与特征多项式................................................................. 错误！未定义书签。 1.1相关符合及定义................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2矩阵最小多项式................................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.1最小多项式的定义 ................................................................ 错误！未定义书签。 1.2.2有关定理及推论 .................................................................... 错误！未定义书签。 1.3矩阵特征多项式 (5) 1.3.1特征多项式定义 (5) 1.3.2特征多项式性质 (6) 1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6) 1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9) 1.5.1Frobenius块 (9) 1.5.2若挡块 (10) 2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11) 3定理应用 (13) 3.1相等情形下的三个推论.............................................................. 错误！未定义书签。 3.2定理与推论的应用....................................................................... 错误！未定义书签。参考文献......................................................................................................... 错误！未定义书签。致谢. (18)

判断矩阵的最大特征值

项目六 矩阵的特征值与特征向量 实验1 求矩阵的特征值与特征向量 实验目的 学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201??? ?? ??--=A 的特征值与特值向量. (1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvalues[A] 则输出A 的特征值 {-1,1,1} (2) 求矩阵A 的特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A] 则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013??? ? ? ??????? ??- (3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A] 则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. 例1.2 求矩阵??? ? ? ??=654543432A 的特征值与特征向量.

输入 A=Table[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A] (1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入 Eigenvalues[A] 则输出 {0, 426-,426+} (2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入 Eigenvalues[N[A]] 则输出 {12.4807, -0.480741, -1.34831610-?} (3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入 Eigenvectors[A]//MatrixForm 则输出 (4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入 Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm 则输出 (5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果 (6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入 NullSpace[A] 则输出 {{1,-2,1}} (7) 调入程序包<

矩阵多项式与多项式矩阵

§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=

矩阵多项式的逆矩阵求法

矩阵多项式的逆矩阵求法 李春来 （玉溪师范学院理学院数学系 2008级2班 2008011215 ） 指导教师：张丰硕 摘 要 矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中的都有所涉及，但是对于矩阵多项式的逆矩阵的计算都没有给出一般的计算方法，本文结合多项式的最大公因式理论与矩阵的相关知识，得到了求解一般的矩阵多项式逆矩阵的方法。 关键词 矩阵；多项式；逆矩阵 一、引言 矩阵多项式的定义：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 是关于未知数x 的 n 次多项式，A 是方阵，E 是A 的同阶单位矩阵，则称 E a A a A a A a A f n n n n ++++=--1110)( 为由多项式 n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 形成的矩阵A 的多项式，记作)(A f 。 例如523)(23++-=x x x x f ，??? ? ??=1011A , 则???? ??-=++-=5015523)(2 3E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。 当然矩阵多项式也是矩阵。 矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，)(A f 是矩 阵A 的多项式，如果存在矩阵多项式][)(x P A g ∈，使得()()()()f A g A g A f A = E =，则称矩阵多项式)(A f 是可逆的，又称矩阵多项式)(A g 为矩阵多项式)(A f 的逆矩阵。 当矩阵多项式)(A f 可逆时，逆矩阵)(A g 由矩阵多项式)(A f 唯一确定，记 为1)]([-A f 。

数学论文 多项式的矩阵表示

多项式的矩阵表示 前言 本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。 另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。 本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。

预备知识 设F 是一个给定的数域，Z + 为正整数集，Z n m +∈,，以F n m ?表示F 上 n m ?型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。 设A F A t n m ,?∈表示A 的转置。 定义 1 设()F a a A n n ?∈=11,, ，()11,,m m b b B F ?=∈若B A ,满足 下列条件之一 （1）当n m =时，B A = （2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11 F U S n n ?∞ ==则S 中元素的等效关系是等价关系。 证明 任取S A ∈，则有Z n + ∈，适合F A n ?∈1，由定义1中的（1）， 可知A A ≈ 若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F B F A m n ??∈∈则由定义1的（1） 推出A B = ，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似， 若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈ 。故总有A B ≈。 对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果, ,11F B F A m n ??∈∈F C l ?∈1有l m n ,,彼此不等的情况， 可以分出6种情形讨论。 （1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >>

数学论文 多项式的矩阵表示

XX大学 毕业论文 多项式的矩阵表示 院系名称： 专业： 学生姓名： 学号： 指导老师： XX大学制 二〇一年月日

前言 本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。 另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。 本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。

预备知识 设F 是一个给定的数域，Z + 为正整数集，Z n m + ∈,，以F n m ?表示F 上 n m ?型矩阵全体构成的集合。[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。 设A F A t n m ,?∈表示A 的转置。 定义 1 设()F a a A n n ?∈=11,, ，()11,,m m b b B F ?=∈ 若B A ,满足 下列条件之一 （1）当n m =时，B A = （2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11 F U S n n ?∞ ==则S 中元素的等效关系是等价关系。 证明 任取S A ∈，则有Z n + ∈，适合F A n ?∈1，由定义1中的（1）， 可知A A ≈ 若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11F B F A m n ??∈∈则由定义1的（1） 推出A B = ，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。类似， 若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈ 。故总有A B ≈。 对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。如果, ,11F B F A m n ??∈∈F C l ?∈1有l m n ,,彼此不等的情况， 可以分出6种情形讨论。 （1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >> 例如当（5）成立时，可设),0(),,0(C B A B ==，从而),0(A C =即C A ≈其

一种多项式矩阵列既约分析方法汇总

一种多项式矩阵列既约分析方法 一、目的与用途 在多项式矩阵分析中，矩阵的既约性是一个很重要的问题，本文介绍了针对pXp 阶多项式矩阵M(s) 的分析方法，并给出了确定其是否列既约的计算机程序。经过输入处理也可实现行既约的分析。 二、数学原理 给定一个pXp的非奇异多项式矩阵M(s)称为是列既约的，如果满足下述条件 p degdetM(s)=∑δi=1ciM(s) 用程序实现时，要先定义一二维数组W[x][x]存放多项式矩阵，矩阵元素为一维整型数组类型，存放多项式的系数和首项次数。通过键盘输入多项式，对所输入的多项式进行分析处理，得到二维数组w[x][x]，每个多项式对应一个一维数组。根据每个多项式对应的一维数组，得到该多项式的最高指数。通过对二维数组 w[x][x]的搜索，得到每一列最高指数的 p 最大值。然后对所得到的最高指数的最大值分别按列进行累加, 得到 ∑δi=1ciM(s)。 其次，求出二维数组w[x][x]所对应的多项式矩阵的行列式的值，即 detM(s)，detM(s)=∑(-1)ai 1p1a2p2a3p3a4p4...anpn，其中p1p2p3p4…pn为从1到n所有整数的某 detM(s)，然种排列结果，i为p1p2p3p4…pn的逆序数。找出该多项式的最高指数deg p 后与前面所得到的∑δi=1ciM(s) 进行比较，从而确定多项式矩阵M(s)的列既约性。 三、程序流程图 四、使用说明 1. 运行程序project1.exe； 2. 按初始化键，输入多项式矩阵的行数和列数； 3. 点击输入窗口可输入相应多项式。输入多项式的格式如下所示： s^6+7s^5+3s^2-4s-125 其中s的最高次数不能超过99，输入时次数由高到低排列； 4. 进行列既约分析；输出结果将显示在屏幕上；

多项式与矩阵

第四章 多项式与矩阵 计划课时: 24学时 (P 159-220). §4.1 带余除法 多项式的整除性 (2学时) 教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质 教学重点、难点： 带余除法及带余除法定理的证明 本节内容分以下四个问题讲授： 一．多项式的定义(P 159定义1) n n n n x a x a x a x a a +++++--1 12 210 注: 在讲多项式的定义时, 重点放在形式表达式上 注意区分零多项式和零次多项式. 二．消去律问题(P 161推论4.1.2) 0)(≠x f ,)()()()()()(x h x g x h x f x g x f =?= 在证这个结论时要强调指出,并不是在上式两端除去)(x f 而得结论, 因为这时我们还没讲多项式的除法. 三．带余除法(p 161定理4.1.3) 0)(,0)(),()()()(=≠+=x r x g x r x q x g x f , 或)(deg x r ＜)(deg x g 这里要强调指出,用多项式)(x g 去除)(x f 时要求0)(≠x g . 注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。 四．整除的定义、性质以及整除的判定 )()()(x g x u x f =注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法,不涉及多项式的除法, 因此由该定义就可得到:零多项式整除零多项式,0)(0?=x g , 所以0|0（而不能用记号0 0）. 作业：P 214，1，2，3，4，5. §4.2 最大公因式 (4学时) 教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法. 教学重点、难点：