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刘竞琰数论(5)余数问题(1)

教案

教师：__王鑫___学生：_刘竞琰上课时间：学生签字：____________

数论(五)余数问题

【知识点概述】

一、带余除法的定义及性质：

1.带余除法的定义：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有

a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；

(1)当0

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)

性质1：余数小于除数

性质2：=?+

被除数除数商余数

除数（被除数-余数）商

=÷

商（被除数-余数）除数

性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

?除以5的余数等于例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)

313

?=。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)?除以5的余数等于

3412?=除以5的余数，即2.

【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，

对于我们求一个数的n 次方除以一个数的余数时非常的有用。

二、数的同余

1.同余定义

若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模m 同余，用式子表示为：a≡b (mod m )

同余式读作：a 同余于b，模m

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b (mod m )，

那么一定有a－b＝mk,k 是整数，即m|(a－b)

这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。

例如：（1）15365(mod 7)≡，因为36515350750

-==?（2）5620(mod 9)≡，因为56203694

-==?（3）900(mod10)≡，因为90090910

-==?由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod )a m ≡例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod 2)a ≡,

表示b为一个奇数，可以写为1(mod 2)

b ≡我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。）

性质1：a≡a（mod m）（反身性）

性质2：若a≡b (mod m ),那么b≡a (mod m )（对称性）

性质3：若a≡b (mod m )，b ≡c(mod m )，那么a≡c (mod m )（传递性）

性质4：a≡b (mod m ),c≡d (mod m ),那么a±c≡b±d (mod m )（可加减性）

性质5：若a≡b (mod m )，c≡d (mod m ),那么ac≡bd (mod m )

（可乘性）性质6：若a≡b (mod m )，那么a n ≡b n (mod m),（其中n 为自然数）欢迎关注奥数轻松学公众号余老师薇芯：69039270

性质7：若ac≡bc(mod m)，（c，m）＝1,那么a≡b(mod m)

三.弃九法

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

++++=

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边

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和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式5678953

++++=时，

5除以9的余数为5，6除以9的余数为6，7除以9的余数为7，8除以9的余数为8，9除以9的余数为0，余数的和为26，除以9的余数为8，等式右边的和53除以9的余数也为8，虽然余数相同，但是很容易发现5678935

++++=，所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九

法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理

1.中国古代趣题：

欢迎关注奥数轻松学公众号余老师薇芯：69039270中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，

剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋

朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个

问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下

面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问

物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为

2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7

的公倍数。

先由5735

?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，

那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270

?=是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然

21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求

的自然数可以这样计算：

270321245[3,5,7]233[3,5,7]k k ?+?+?±=-，其中k 是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23?+?+?-?=得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.

【习题精讲】

【例1】（难度级别※）

一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【例2】（难度级别※）

有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

【例3】（难度级别※）

求478×296×351除以17的余数。

【例4】（难度级别※）

求12644319÷的余数欢迎关注奥数轻松学公众号余老师薇芯：69039270

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【例5】（难度级别※）

用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的

和是933，求这2个自然数各是多少？

【例6】（难度级别※）

用弃九法检验乘法算式5483×9117＝49888511是否正确。

【例7】（难度级别※※）

已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？

【例8】（难度级别※※）

号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【例9】（难度级别※※）

一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？

【例10】（难度级别※※）

一堆糖果，如果每2块分一堆剩1个，每3块分一堆剩1个….每10个分一堆也剩1个，且这堆糖果的个数在99－5000之间，求这堆糖果的个数？

【例11】（难度级别※※※）

求自然数100101102234++的个位数字。

【例12】（难度级别※※※）

自然数672

222...21????- 个的个位数字是多少?

【例13】（难度级别※※※）

若有一数介于300与400之间，以3除剩1，以8除剩5，以11除剩4。问此数为何？

【例14】（难度级别※※※）

有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?

【例15】（难度级别※※※）

一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【例16】（难度级别※※※※）

将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?

【例17】（难度级别※※※※）

已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。那么，最小的一个自然数是多少？

【例18】（难度级别※※※※）

已知19191919

19191919...1919n 个，求n 被9整除后所得的商的个位数字是几？

【例19】（难度级别※※※※※）

对于任意7个不同的整数，证明：其中一定存在2个数的和或差是10的倍数。

【例20】（难度级别※※※※※）

有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和

【作业】

1、求19992000÷7的余数

2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。（四中小升初选拔试题）

3、用弃九法检验算式运算是否正确：1144192613÷28997＝39459

4、有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数的可能范围。

5、一个两位数除以13的不完全商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

6、有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数

恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？

7、若a 为自然数，证明1985194910|()a a -8、2008222008+除以7的余数是多少（2008年101中学考题）

9、某个自然数被187除余52，被188除余52，那么这个自然数被22除的余数是多少？

高中数学竞赛中数论问题的常用方法

高中数学竞赛中数论问题的常用方法数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相

数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案

数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位

数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定

能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.

03.奥数第三讲.除法与余数(答案)

第三讲除法与余数 1．老师带来了12个苹果，要分给4个小朋友，并且想让每个小朋友分得的苹果一样多。那么有几种不同的分法呢？王老师这样分：先拿4个苹果，给每个小朋友一个；又拿出4个苹果，给每个小朋友一个苹果；……这样分下去一直到苹果分完为止。李老师这样分：先拿3个苹果，给第一个小朋友；再拿出3个苹果，给第二个小朋友；……这样一直分到最后一个小朋友为止。请小朋友们想一想，这两种分法效果一样吗？再想一想，你认为那一种方法好呢？请说出自己的理由。提示：“平均分”的除法与“包含”除法，这两者既有区别又有联系，是对立统一的。2．在第1题中的问题中，我们学会了一种平均分配东西的方法，我们给它起一个名字叫做“除法”。我们想一想，如果时光倒转，把我们平均分配物品的过程反过来的话，是怎样的一个问题呢？对了，是一个求几个相同数和的问题，要用乘法来解决。也就是说，除法和乘法是很类似的。除法只不过是把乘法的过程反过来算而已。比如：被除数÷除数=商，反过来的话，商×除数=原来的被除数。这是很有趣的一个规律，请大家牢记。因此，对于比较简单的除法算式，我们可以利用乘法口诀反推出结果！请列式计算： (1) 把10块大白兔奶糖平均分给牛牛和壮壮，他们俩每人可以分到几块大白兔奶糖？ (2) 把21本故事书，平均分给小明、小红和小花，他们每人可以分到几本故事书？ (3) 把48台电脑平均分给六个年级，每个年级可以分到几台电脑？总结：当每份都一样多时：平均分除法——总数÷份数= 每份数；包含除法——总数÷每份数= 份数；而对于除法的逆运算：乘法——每份数×份数= 总数。 3．利用乘法口诀计算： 1÷1 = 2÷1 = 2÷2 = 3÷1 = 3÷3 = 4÷1 = 4÷2 = 4÷4 = 6÷2 = 6÷3 = 8÷4 = 12÷3 = 12÷6 = 15÷5 = 18÷3 = 18÷6 = 18÷9 = 24÷3 = 24÷4 = 30÷5 = 36÷6 = 36÷4 = 32÷4 = 81÷9 = 72÷8 = 42÷7 = 63÷9 = 64÷8 = 49÷7 = 45÷9 = 并观察这些算式，你找到了什么规律呢？提示：既可以联想到乘积不变的性质，也可以联想到商不变的性质。可见，乘法与除法是相互依赖的。还有除以1等于自己的规律，除以自己等于1的规律，等等…… 4．会算除法算式固然很重要，但是懂得除法的意义更加重要，除法的意义可以帮助我们把口诀里没有的算式也能算出来。不信的话，请列式计算以下题目： (1) 把30根铅笔平均分装在两个文具盒中，平均每个文具盒中要装几支铅笔？ (2) 60粒草莓，每20粒装成一袋，一共需要装多少袋？ (3) 学校将50个足球平均分给10个班，请问每个班分到多少个足球？ (4) 100朵鲜花，每10朵扎成一束花，一共可以扎成多少束花？

五年级奥数.数论. 余数性质及同余定理(B级).学生版

一、带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。知识框架余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．一、同余定理 1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

数论知识点之整除与余数

整除一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；余数一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理

七年级数学竞赛讲座数论的方法与技巧(含答案详解)

数学竞赛讲座数论的方法技巧(上) 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得abq+r(0≤r

4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x

六年级下册数学专题练习：数论(五) 余数问题-全国通用无答案

【知识点概述】一、带余除法的定义及性质： 1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b； (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数) 性质1：余数小于除数性质2：=?+ 被除数除数商余数除数（被除数-余数）商 =÷ =÷ 商（被除数-余数）除数性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316) ?除以5的余数等于?=。 313 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319) ?除以5的余数等于?=除以5的余数，即2. 3412 【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。二、数的同余 1.同余定义

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m ) 同余式读作：a同余于b，模m 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。例如：（1）15365(mod7) ≡，因为36515350750 -==? （2）5620(mod9) ≡，因为56203694 -==? （3）900(mod10) ≡，因为90090910 -==? 由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod) ≡ a m 例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod2) a≡, 表示b为一个奇数，可以写为1(mod2) b≡ 我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。 2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。）性质1：a≡a（mod m）（反身性）性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性）性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性）性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性）性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性）性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么a n≡b n(mod m),（其中n为自然数）性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m ) 三.弃九法在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8

小奥数论1_整除和余数知识点总结与经典例题

2.2数的整除的判别法 2.2.1末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2特殊用法 ①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ②特殊求空格数根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001;

费马小定理数论的证明方法

费马小定理数论的证明方法 2007年12月28日星期五 01:29 P.M. 费马小定理数论的证明方法 Mod的简单介绍 (Congruence) a=b(mod m) a和b除以m以后有相同的余数不失一般性地另a>b 则a=km+b比如7=1 mod 2 9=4 mod 5 简单的Congruence 计算如果a=b mod m c=d mod m 则a=km+b c=tm+d 直接可推出 a+b=c+d (mod m) a-b=c-d (mod m) ab=cd (mod m) 并且可得存在正整数c 使得ac=bc (mod mc) 当然ac=bc(mod m) 费马小定理如果a,p互质且q是质数则a^(p-1)=1 (mod p) 考虑数列An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a 假设An中有2项ma, na 被p除以后的余数是相同的.那么必然有ma=na (mod p) 即a(m-n)=0(mod p) 由于a和p互质,所以m-n=0(mod p) 但是m,n属于集合{1,2,3..p-1} 且m不等于n,所以m-n不可能是p的倍数.和假设产生矛盾所以An中任意2项被p除得到的余数都是不同的, 并且对于任一个整数被p除以后的余数最多有p-1个,分别是 1,2,3,….p-1 而数列An中恰好有p-1个数,所以数列中的数被p除以后的余数一定正好包含所有的1,2,3,4,5…. p-1 由此我们可以用Congruence的乘法性质, a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4..*(p-1) (mod p) 对两边进行化简,即可以得到a^(p-1)=1 (mod p) Euler’s Totient function 定义o(n)是所有比n小且和n互质的数的总数(包括1) 例如o(5)=4 o(10)=8 我们发现引入这个以后费马小定理可以改写为a^o(p)=1 (mod p) 事实上,这个结论对所有的正整数n都成立即a^o(n)=1 (mod n)

小学五年级奥数—数论之同余问题

小学五年级奥数—数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：

1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b

小奥数论整除和余数知识点总结及例题

小奥数论整除和余数知识点总结及例题 Prepared on 21 November 2021

1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）

从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除）除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0；此时，a=b ×c;b=a ÷c

数论班100题手册

数论短期班100题手册知识框架体系一、奇偶性质 1．奇数和偶数的表示方法：因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21 k+来表示奇数(这里k是整数)．特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数．最小的奇数是1，最小的偶数是0． 2．奇数与偶数的运算性质：性质一：偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数) 奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数) 偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数) 可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性；一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化． (也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数．) 性质二：偶数?奇数=偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数) 偶数?偶数=偶数(推广开就是：偶数个偶数相加得偶数) 奇数?奇数=奇数(推广开就是：奇数个奇数相加得奇数) 可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数．(也可以这样简记：对于乘法，见偶(数)就得偶(数))．性质三：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数．二、整除 1．整除的定义所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商a b 是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a b c =?．这是我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b 叫a的约数，a是b的倍数，记作：“|b a”． 2．整除性质： ⑴传递性若|c b，|b a，则|c a． ⑵可加性若|c a，|c b，则|c a b ± （）． ⑶可乘性若|c a，|d b，则| cd ab． 3．整除的特征 ⑴4,25,8,125,16,625的整除特征能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位(100425 =?,10008125 =?,1000016625 =?,100000323125 =?) ⑵3,9的整除特征能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表

四年级奥数整除与余数

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征：整除： 1.能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。 2.能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。 3.能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。 4.能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。 5.能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。 6.能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

7.能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。有余数的除法： 1.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 2.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 3.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。 4.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520 【巩固练习】 1.已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。【答案】由于12=3×4，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。当A1A72能被3整除时，则有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以

数论之余数三大定理

第十四章数论之余数三大定理概念一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完 (2)当0 全商三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

例题 1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

数论之同余问题

数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点拨：三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c

的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除

小奥数论整除和余数知识点总结及例题完整版

小奥数论整除和余数知识点总结及例题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】